專題24 圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）大題綜合（學(xué)生卷）- 2025年高考之近十年真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編

專題24圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）大題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1第二問(wèn)求曲線方程（10年6考）2022·天津卷、2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·天津卷2018·全國(guó)卷、2017·全國(guó)卷、2017·天津卷、2015·天津卷2015·安徽卷熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及方程的求解，通常大題第一問(wèn)考查方程求解掌握軌跡方程的求解，近年該考點(diǎn)多次考查熟練掌握直線方程的求解，會(huì)求斜率值或范圍會(huì)弦長(zhǎng)等距離的求解，會(huì)定值定點(diǎn)定直線的求解及證明，該內(nèi)容也是高考命題熱點(diǎn)考點(diǎn)2求軌跡方程（10年5考）2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2019·全國(guó)卷2017·全國(guó)卷、2015·湖北卷考點(diǎn)3求直線方程（10年8考）2024·全國(guó)新Ⅰ卷、2023·天津卷、2022·全國(guó)甲卷、2021·天津卷2020·天津卷、2018·江蘇卷、2017·全國(guó)卷、2017·天津卷2015·江蘇卷考點(diǎn)4求斜率值或范圍（10年6考）2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·全國(guó)乙卷、2019·天津卷2018·天津卷、2018·天津卷、2017·天津卷、2017·山東卷2016·山東卷、2016·上海卷、2016·天津卷、2016·全國(guó)卷2016·上海卷、2016·天津卷、2015·天津卷、2015·北京卷考點(diǎn)5離心率求值或范圍綜合（10年7考）2024·北京卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2020·全國(guó)卷2019·天津卷、2019·全國(guó)卷、2016·四川卷、2016·浙江卷2015·重慶卷、2015·重慶卷考點(diǎn)6弦長(zhǎng)類求值或范圍綜合（10年6考）2022·浙江卷、2020·北京卷、2019·全國(guó)卷、2017·浙江卷2016·北京卷、2016·全國(guó)卷、2015·四川卷、2015·山東卷考點(diǎn)7其他綜合類求值或范圍綜合（10年5考）2024·上海卷、2024·北京卷、2020·北京卷、2020·浙江卷2019·全國(guó)卷、2016·四川卷、2015·四川卷考點(diǎn)8定值定點(diǎn)定直線問(wèn)題（10年7考）2023·全國(guó)新Ⅱ卷、2023·全國(guó)乙卷、2022·全國(guó)乙卷2020·全國(guó)新Ⅰ卷、2020·全國(guó)卷、2019·北京卷、2019·北京卷2017·全國(guó)卷、2017·北京卷、2017·全國(guó)卷、2016·北京卷2016·北京卷、2015·陜西卷、2015·全國(guó)卷考點(diǎn)9其他證明綜合（10年9考）2024·全國(guó)甲卷、2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2023·北京卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2021·全國(guó)新Ⅱ卷、2019·全國(guó)卷2018·北京卷、2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷2017·北京卷、2017·全國(guó)卷、2016·四川卷、2016·四川卷2016·江蘇卷、2016·全國(guó)卷、2016·四川卷、2015·湖南卷2015·全國(guó)卷、2015·福建卷考點(diǎn)10圓錐曲線與其他知識(shí)點(diǎn)雜糅問(wèn)題（10年3考）2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2018·全國(guó)卷、2016·四川卷考點(diǎn)01第二問(wèn)求曲線方程1．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2．（2020·全國(guó)·高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.3．（2019·全國(guó)·高考真題）已知曲線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)：（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求該圓的方程.4．（2019·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時(shí)與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.5．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．6．（2017·全國(guó)·高考真題）已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；（2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.7．（2017·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設(shè)點(diǎn)在線段上，，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.8．（2015·天津·高考真題）已知橢圓的上頂點(diǎn)為B,左焦點(diǎn)為,離心率為,（Ⅰ）求直線BF的斜率;（Ⅱ）設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P（P異于點(diǎn)B）,過(guò)點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn)Q（Q異于點(diǎn)B）直線PQ與y軸交于點(diǎn)M,.（?。┣蟮闹?（ⅱ）若,求橢圓的方程.9．（2015·安徽·高考真題）設(shè)橢圓E的方程為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（Ⅰ）求E的離心率e；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求E的方程.考點(diǎn)02求軌跡方程1．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．2．（2021·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.3．（2019·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.4．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F.5．（2015·湖北·高考真題）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿通過(guò)處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（不動(dòng)時(shí)，也不動(dòng)），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．

（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)03求直線方程1．（2024·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．3．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．4．（2021·天津·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，且．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交軸于點(diǎn)．若，求直線的方程．5．（2020·天津·高考真題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．求直線的方程．6．（2018·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．若的面積為，求直線l的方程．7．（2017·全國(guó)·高考真題）已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；（2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.8．（2017·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.9．（2015·江蘇·高考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.考點(diǎn)04求斜率值或范圍1．（2021·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.2．（2021·北京·高考真題）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．3．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.4．（2019·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率.5．（2018·天津·高考真題）設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若(O為原點(diǎn))，求k的值.6．（2018·天津·高考真題）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求的值．7．（2017·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設(shè)點(diǎn)在線段上，，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程.8．（2017·山東·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.9．（2016·山東·高考真題）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)動(dòng)點(diǎn)的直線交軸與點(diǎn)，交于點(diǎn)(在第一象限)，且是線段的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).（ⅰ）設(shè)直線的斜率分別為，證明為定值；（ⅱ）求直線的斜率的最小值.10．（2016·上?！じ呖颊骖}）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)且與雙曲線交于兩點(diǎn).（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率.11．（2016·天津·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍.12．（2016·全國(guó)·高考真題）已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）當(dāng)t=4，時(shí)，求△AMN的面積；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍.13．（2016·上?！じ呖颊骖}）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)且與雙曲線交于兩點(diǎn)．（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率．14．（2016·天津·高考真題）設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍.15．（2015·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長(zhǎng)為c，.（Ⅰ）求直線的斜率；（Ⅱ）求橢圓的方程；（Ⅲ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍.16．（2015·北京·高考真題）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）若垂直于軸，求直線的斜率；（Ⅲ）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)05離心率求值或范圍綜合1．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．3．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．4．（2020·全國(guó)·高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.5．（2019·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時(shí)與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.6．（2019·全國(guó)·高考真題）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.7．（2016·四川·高考真題）已知數(shù)列{}的首項(xiàng)為1，為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.8．（2016·浙江·高考真題）如圖，設(shè)橢圓（a＞1）.

（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用a、k表示）；（Ⅱ）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.9．（2015·重慶·高考真題）如圖，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.(1)若，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若，且，試確定橢圓離心率的取值范圍.10．（2015·重慶·高考真題）如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且

（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若求橢圓的離心率考點(diǎn)06弦長(zhǎng)類求值或范圍綜合1．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．2．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．3．（2019·全國(guó)·高考真題）已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．4．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知拋物線.點(diǎn)A，拋物線上的點(diǎn)P（x,y）,過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.（I）求直線AP斜率的取值范圍；（II）求的最大值5．（2016·北京·高考真題）已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.6．（2016·全國(guó)·高考真題）（2016新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ文科）在直角坐標(biāo)系中，直線l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由.7．（2015·四川·高考真題）如圖，橢圓E：的離心率是，過(guò)點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.8．（2015·山東·高考真題）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).（i）求的值；（ⅱ）求面積的最大值.考點(diǎn)07其他綜合類求值或范圍綜合1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)若離心率時(shí)，求的值．(2)若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．2．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．3．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．4．（2020·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．5．（2019·全國(guó)·高考真題）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.6．（2016·四川·高考真題）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T．（Ⅰ）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．7．（2015·四川·高考真題）橢圓（）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)08定值定點(diǎn)定直線問(wèn)題1．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.2．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．3．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．4．（2020·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．5．（2020·全國(guó)·高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).6．（2019·北京·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).7．（2019·北京·高考真題）已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．8．（2017·全國(guó)·高考真題）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).9．（2017·北京·高考真題）已知拋物線C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P(1,1)．過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．10．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F.11．（2016·北京·高考真題）已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.12．（2016·北京·高考真題）已知橢圓過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值．13．（2015·陜西·高考真題）如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.(I)求橢圓的方程；(II)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），問(wèn)：直線與的斜率之和是否為定值？若是，求出此定值；若否，說(shuō)明理由．14．（2015·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上（1）求的方程（2）直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.考點(diǎn)09其他證明綜合1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．2．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．3．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．4．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.5．（2021·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．6．（2019·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.7．（2018·北京·高考真題）已知拋物線C：=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）．過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．8．（2018·全國(guó)·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．9．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)拋物線，點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）證明：．10．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.11．（2017·北京·高考真題）已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5．12．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明