中考數(shù)學以二次函數(shù)與圖形的面積、周長及線段的數(shù)量問題背景解答題

y=ax2-(2a-+3

1.(2018瀘州中考)如圖，已知二次函數(shù)I4)的圖象經(jīng)過點A(4,0),與y軸

交于點B.在x軸上有一動點C(m,0)(0vmv4),過點C作x軸的垂線交直線AB于點E,交

該二次函數(shù)圖象于點D.

(1)求a的值和直線AB的解析式；

⑵過點D作DF_LAB于點F,設AACE,4DEF的面積分別為Si,S2,若Si=4Sz,求m的

值;

(3)點H是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限的動點，點G是線段AB上的動點，當四邊形

DEGH是平行四邊形，且MEG"周長取最大值時，求點G的坐標.

51](1/

；(2)6；(3)\3f-或回4/

【解析】

【分析】

(1)把A代入求出a值，隨之可得解析式.再設直線幺臊析式為》=匕+瓦代入A,B可得直線解析式.

(2)求出D,E坐標，再利用相?表示出AE,列出等式即可解答

(3)過點6做GMJ.OC,十點M,表不出DE,HG,MG,EG,再根據(jù)題中的條件即口」解答求出G的坐標.

【詳解】

解：(1)把點44,0)代入，得

3

0=a-492-(2a--)x4+3

解得

3

a=——

4

y=--x24--x+3

???函數(shù)解析式為：44

設直線4B解析式為，=履+6

把4(4,0),B(0,3)代入

(0=4k+b

[b=3

k=--

4

解得〔b=3

3

…y———x+3

???直線43解析式為：4

(2)由已知，

點0坐標為(見一+3)

點E坐標為-+

AC=4-m

3,933,

DE=(--m24--m+3)—(—-m+3)=--m2+3m

???BC〃辭由

5

???AE=-(4—m)

vLDFA=LDCA=90°,dBD=MEA

:"DEF/AAEC

???S1=4s2

AE=2DE

???^(4-m)=2(-^m2+3m)

_5

解得叫一%,m2=4(舍去)

5

故M值為％

(3)如圖，過點G做GM_LDC于由M

由(2)4

3

HG=——n27+3n

同理4

???四邊形OEGH是平行四邊形

32c32r

???—m+3m——n+3n

44

3

(n-m)[-(n+m)-3]=0

整理得:4

vm^n

.-.m+n=4,即九=4-m

MG=n-m=4-2m

由已知AEMG-AB04

MG_4

???~EM~3

5

???EG=/4-2m)

???㈤EG"周長L=2[-^m2+3m+2(4-2m)]=一源+m+10

3

???。=-5<0

?.?帆=_媒=_南=爭寸，竭大.

111

An=4--=—

；?G點坐標為名力此時點E坐標為尊9

當點G、E位置對調時，依然滿足條件

??點G坐標為（表》或^7）

如圖，拋物線跋。交軸于點、左右），交軸于點

2.y=2_2G-3XAB（ABYC,S^BC

=6,點P為第一象限內拋物線上的一點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若NPCB=45。，求點P的坐標；

(3)點Q為第四象限內拋物線上一點，點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1,連接PC、

AQ,當PC=?AQ時，求點P的坐標以及APCQ的面積.

9

【解析】試題分析：(D根據(jù)拋物線的解析式求得點A、B、C的坐標，根據(jù)，S皿=6即可求得a值，

從而求得拋物線的解析式J(2)根據(jù)點B、C的坐標判定aOBC是等腰直角三角形，即可得NBCON

OBC=45°,已知點P為第一象限內拋物線上的一點，且NPCB=45。，可得PC"0B,所以P點的縱坐標為3,

令y=3,解方程即可求得點P的橫坐標：從而求得點P的坐標；(3)根據(jù)點P在第一象限，點Q在第二象

限，且橫坐標本睦b進而設出點P(3-m,-mMm)(O<m<l);得出短QGm,^n^m-5),得出CF,

AC，最后建立方程求出m的值，從而求出點P、Q的坐標，再求出直線CQ的解析式及點D的坐標，根據(jù)

S&PCQNSAJCD+S2PQD即可求得APCQ的面積.

試題解析：

(1),/拋物線y=ax2-2ax-3a=a(x+l)(x-3),

.*.A(-l,0),B(3,0),C(0,-3a),

/.AB=4,OC=|-3a|=|3a|,

VSAABC=6,

A-ABOC=6,

2

—x4x|3a|=6,

2

.'.a=-l或a=l(舍),

，拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

⑵由⑴知,B(3,0),C(0,-3a),

AC(0,3),

???OB=3,0C=3,

???△OBC是等腰直角三角形，

/.ZBCO=ZOBC=45°,

???點P為第一象限內拋物線上的一點，且NPCB=45。,

???PC〃OB,

???P點的縱坐標為3,

由(1)知，拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,

令y=3,，-x?+2x+3=3,

，x=0(舍)或x=2,

，P(2,3)；

(3)如圖2,過點P作PDlx軸交CQ于D,

2

設P(3-m,-m-4m)(0<m<1)5

???qo,3),

/.PCz^S-m)q-m7m-3)2=(m-3)2

???點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1,

VA(-1,O).

AQ2=(4-m+1)2+(-m2+6m-5)2=(m-5)2[(m-l)2+l]

VPC=-AQ,

9

81PC?=25AQ2,

???8l(m-3)2[(m-l)2+l]=25(m-5)2[(m-l)2+l],

*/0<m<1,

.■?81(m-3)J25(m-5)S

/.9(m-3)=±5(m-5)，

「?m=；或m=—(舍)，

5779

..叱70廣，

?.?直線CQ的解析式為廣-3;x?3,

.叼7，

53

.?叱

/.PD=-+-=52,

44

11115735

SiPCQ=SApcD*Sz.PQD=—PDxxP——PDx(xQ-xP)=—PDxxQ=—x—x—=—.

3.(2018甘肅隴南中考)如圖，已知二次函數(shù)尸ax?+2x+c的圖象經(jīng)過點C(0,3),與x軸分

別交于點A,點B(3,0).點P是直線BC上方的拋物線上一動點.

(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的表達式；

(2)連接P0,PC,并把AP0C沿y軸翻折，得到四邊形POP'C.若四邊形POP，C為菱形，

請求出此時點P的坐標；

(3)當點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形

ACPB的最大面積.

2+83315

【答案】（1）V=-x2+2x+3（2）（2,2）（3）當點p的坐標為（2,4）時，四邊形ACPB

75

的最大面積值為百

【解析】

【分析】

（D*睡待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

<2）根據(jù)菱形的對角線互相垂直且平分，可得P點的縱坐標，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得P點

坐標5

（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PQ的長，根據(jù)面積的

和停，可得二次函數(shù)，根抿二次函融的件底，可得答案.

【詳解】

（1）將點R和點C的坐標代入函數(shù)解析式,得

f9a+6+c=0

Ic=3.

二次函數(shù)的解析式為y=-X2+2X+3；

（2）若四邊形POPC為菱形，則點P在線段CO的垂直平分線上,

如圖1,連接PP',則PE_LCO,垂足為E,

3

，點p的縱坐標2,

_2+聞_2-回

解得“】二2，氣=2.(不合題意,舍),

，點P的坐標為?卜

(3)如圖2,

AO尸5、x

P在拋物線上，諛P(m,-m:-2m-3),

設直線BC的解析式為y=kx-b,

將點B和點C的坐標代入函數(shù)解析式，得

(3k+3=0

直線BC的解析為y=?x+3,

設點Q的坐標為(m,-m+3),

PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.

當y=0時，-X2+2X+3=0>

解得X1=-1,X2=3,

OA=1,

/15=3-(-l)=4,

S四邊形ABPC=SAABC+SAPCQ+SAPBQ

111

=^AB-OC+-P(?.OF+-PQ-FBf

3

當m=2時，四邊形ABPC的面積最大.

33151

-m24-2m+3=—i-，卜

當m=2時,4,即P點的坐標為I24)

當點P的坐標為卜彳）時，四邊形ACPB的最大面積值為后75.

1

y=T-2

4.（2018錦州中考）在平面直角坐標系中，直線2與x軸交于點B,與y軸交于點C,

1

y=-x2+bx+c

二次函數(shù)2的圖象經(jīng)過點B,C兩點，且與x軸的負半軸交于點A,動點D在直

線BC下方的二次函數(shù)圖象上.

（1）求二次函數(shù)的表達式;

（2）如圖1,連接DC,DB,設ABCD的面積為S,求S的最大值;

（3）如圖2,過點D作DMJLBC于點M,是否存在點D,使得ACDM中的某個角恰好等

【分析】

（1）先求得點B、C的坐標，再代入丫=；/+6*+詠得，c的值，即可得二次函數(shù)的表達式；（2）過點

D作DEL塔由于點E,交BC于點F,過點C作CGLDE于點G,設。［（爐一：@一？），則F（a,；a-2）.用含

有a的代數(shù)式表示出FD的長，再根據(jù)S=Sue得到S與a的二次的數(shù)關系，利用二次邰|數(shù)的性質

即可解答J（3）在x軸上取點K,使CK-BK,則N0KC-2NABC,過點B作BQ//MD交CD延長線于點

Q,過點Q作QHlx軸于點H,分NDCM-NQCB-2NABC和NCDM-NCQB-2/ABC兩種情況求點D的

橫坐標即可.

【詳解】

(1)直線y=；%-2,當％=耐，y=-2；當y=0時，％=4,

.?.8(4,0),C(0,-2).

???二次函數(shù)丫="2+"+。的圖象經(jīng)過8,C兩點，

**(|X42+4h+c=0,解得｛:__￡

...二次函數(shù)的表達式為：y=|x2-1x-2.

⑵過點0作昉U軸于點E,交BC于點F,過點C作CGJ.DE于點G,

第25艮圖I

D(a^a2-^a-2^

依題意設I22人則［2).

其中0<a<4,

FD=-a-2-(^a2--a-2^=-a2+2a

2{22)2,

?S=SgFD+SAFCD

=-FDBE+-FDCG

22,

=|FD(BE+CG)

=-FD-OB

2,

=|x4^-|a24-2a)

=-a2+4Q,

=-(a-2)2+4.

???-i<o,???拋物線開口向下.

又?.?0<a<4,

.,.當a=2時，S有最大值，S最大值=4.

⑶2或含

在4軸上取點K,使CK=BK,貝*0KC=2乙4BC.

過點B作BQ"M。交CD延長線于點Q,過點Q作QH1瑤由于點H,

第“過用2

設點K的坐標為(m,0),則OK=m,

CK=BK=4-m.

在RMOKC中，(4-m)2=m2+22,解得m=:

當zDCM=乙QCB=2UBC=乙OK。寸,

BQ_BQ__MD_PC_4

二.tan乙QCBBC—27m~CM~OK~3

易證AQHBsABOC

BH_BQ

.?.而一前

816

BH=-HQ=—

33

,2016、

Q-)

”(0,-2),

1c

“y=--x-2

???直線QC的函數(shù)表達式為：2

1231

￡一/一2二-/-2,解得：/=2,勺=。(舍)

???。點的橫坐標為2.

29

②當〃:DM=NCQB=2乙4BC時，方法同①，可確定點0的橫坐標為五.

5.(2017瀘州中考)如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a#0)的圖象經(jīng)過A(-1,B(4,

0)、C(0,2)三點.

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)點D是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足NDBA=NCAO(。是坐標原點)，求點D的坐

標;

(3)點P是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動點，連接PA分別交BC,y軸與點E、F,

若△PEB、ZkCEF的面積分別為&、S2,求S「S2的最大值.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

(D由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，

<2)當點D在x軸上方時，則可知當CD/AB時，滿足條件，由對稱性可求得D點坐標；當點D在x軸

下方時，可證得BD〃AC,利用AC的解析式可求得直線BD的解析式，再聯(lián)立直線BD和拋物線的解析式

可求得D點坐標；

(3)過點P作PH〃y軸交直線BC于點H,可設出P點坐標，從而可表示出PH的長，可表示出aPEB的

面積，進一步可表示出直線AP的解析式，可求得F點的坐標，聯(lián)立直線BC和PA的解析式，可表示出E

點橫坐標，從而可表示出^CEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質可求得S1-S2的最大值.

【詳解】

a-b+c=0

16a+4b+c=0

(1)由題意可得c=2解得

13\

-x2+-x+2

???拋物線解析式為y=22

(2)當點D在x軸上方時，過C作CD〃AB交拋物線于點D,如圖1,

y

圖1

YA、B關于對稱軸對稱，C、D關于對稱軸對稱,

，四邊形ABDC為等腰梯形,

AZCAO=ZDBA,即點D滿足條件,

AD(3,2)；

當點D在x軸下方時,

VZDBA=ZCAO,

，BD〃AC,

VC(0,2),

工可設直線AC解析式為丫=1^+2,把A(-1,0)代入可求得k=2,

???直線AC解析式為y=2x+2,

???可設直線BD解析式為y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=-8,

???直線BD解析式為y=2x-8,

聯(lián)立直線BD和拋物線解析式可得

y=2x-8

y=-+2儼=g(x=渣

(22,解得口=?；?y=-18,

AD(-5,-18)；

綜上可知滿足條件的點D的坐標為(3,2)或(-5,-18)；

(3)過點P作PH〃y軸交直線BC于點H,如圖2,

y

圖2

3

工:+—

設P(t,-22t+2),

-x+2

由B、C兩點的坐標可求得直線BC的解析式為y=2

―t+2

AH(1,-2),

1931

.5t+于+2-(--t+2)

PH—yp-yn——2乙/

A

設直線AP的解析式為y=px+q,

1

p=—1+2

f123”2

-弓t+/o2=tp+q1

22q=—1+2

：AO=-p+q,解得［2,

11

???直線AP的解析式為y=(2+2)(x+1),.令x=0可得y=2-Z,

.'.F(0,2-1t),

/.CF=2-(2-1t)g

聯(lián)立直線AP和直線BC解析式可得

y=(2--t)(x+1)

V2，解得X=c/-,即E點的橫坐標為t六，

y=--x+25T-

Z2

(XB-XE)V(-22t)(5金)，七

丁?SrS耳(*+2t)(5-七)-汾士，-1t2+5t-|(t-f)嗎

.當t=爭寸，有SiS有最大值，最大值為￡.

6.(2016瀘州中考)如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，直線1與拋物線

y=m/+n相交于人a,3我,B(4,0)兩點.

（1）求出拋物線的解析式；

（2）在坐標軸上是否存在點D,使得AABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求

出點D的坐標；若不存在，說明理由；

（3）點P是線段AB上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作PM〃OA,交第一象限內

的拋物線于點M,過點M作MC±x軸于點C,交AB于點N,若△BCN、△PMN的面積S△◎、

MN

SAMW滿足SziBoF2s求出N，的值，并求出此時點M的坐標.

30+83乖-回

【答案】（l）y二一爐2+4&X；⑵D（l,0）或（0,2）或（0,2）；（3）

aM（企+1,2g我.

【解析】

【分析】

（1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式5

（2）分D在x軸上和y軸上，當D在x軸上時，過A作ADj_x軸，垂足D即為所求；當D點在y軸上時，

設出D點坐標為（0,d）,可分別表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到關于d的方程，可求得d的值，

從而可求得滿足條件的D點坐標；

（3）過P作PFJ_CM于點F,利用RuADOsRtaMFP以及三角國數(shù)，可用PF分別表示出MF和NF,從

而可表示出MN,設BC=a,則可用a表示出CN,再利用S&BCX=2s二由，可用PF表示出a的值，從而可用

PF表示出CN,可求得靠的值$借助a可表示出“點的坐標，代入拋物線解析式可求得a的值，從而可求

出M點的坐標.

【詳解】

(1)VA(1,3口),B(4,0)在拋物線y=m產+nx的圖象上，解得『=

<16m+4n=0<n=4V3

???拋物線解析式為y=-V3%2+4V3%；

<2)存在三個點演足題意，理由如下：

①當點D在x軸上時，如圖1,過點A作ADlx軸于點D,3舜)，

「.D坐標為(1,0),

②當點D在y軸上時，設D(0,d),

^AD2=l+(3V3-d)2,BD2=42+d2,

§_AB2=(4-1)2+(3V3)2=36,

「△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，???

222222

AD+BD=ABt即1+(3^3-d)+4+d=36,

3一±yn3-+yn3#-回

解得d=2一,???D點坐標為(0,2—)或(0,—2—)：

30+83曲

綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標為(1,0)或(0,2)或(0,2)；

(3)如圖2,過P作PF_LCM于點E

VPMZ/OA,???RSADOSRSMFP,

MF_AD

：.PFOD=3y[3t.?.MF=3GPF,

在RsABD中，BD=3,AD=3G,

，lanNABD二祗AZABD=60°,

設BC=a,則CNfAi,

在RSPFN中，ZPNF=ZBNC=30°,

竺—立

AtanZPNF=W_3,

AFN=A/3PF,/.MN=MF+FN=4A/3PF,

VSABCN=2SAPMN，

yfl2=2X；x4y/3PF2

.?，a=2A/2pF,

，NC=$a=2&PF,

MN4回F

：,~NC=2^6PF=yl2t

MN=A/^NC=A/2xV5a=#a,

AMC=MN+NC=（A/6+A/3）A,

，M點坐標為（4-a,（質+我a）,

又M點在拋物線上，代入可得-根（4-。）2+4在（4-Q）=（#+用）a,解得a=3-&或a=0

（舍去），0C=4-H=A/2+1,MC=2#+4,

，??點M的坐標為（也—2冊+我.

y=--x

7.（2018濟南中考）如圖1,拋物線16平移后過點4（8,,0）和原點，頂點為8,對

稱軸與魂相交于點G與原拋物線相交于點O.

（1）求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積§陰物

（2）如圖2,直線AB與諭相交于點P,點M為線段0A上一動點，0MN為直角，邊MN

與AP相交于點N,設=。試探求：

①「為何值時AMAN為等腰三角形；

②/為何值時線段PN的長度最小，最小長度是多少.

17

y=---ox2+bxrt=-

【答案】（1）平移后拋物線的解析式16,而影=12；⑵①2,②當/=3時,

15

PN取最小值為2.

【解析】

【分析】

(1)設平移后拋彼玄的解析式尸-器2他X,將點A(8,0)代入，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得平移后拋物線

的解析式，再根據(jù)割補法由三角形面積公式即可求解；

(2)作NQ垂直于x軸于點Q,

①分當MN=AN時，當AM=AN時，當MN=MA時，三種情況討論可得△?沖為等股三角形時t的值；

②由MN所在直線方程為產：”一?，與直線AB的解析式片-x坨聯(lián)立，得XN的最小值為6,此時t=3,FW

取最小值為

【詳解】

3,

y=-----X2+bx

(1)設平移后拋物線的解析式16,

y=--x2+-x-2%-4)2+3

將點A(8,,0)代入，得162=16,

所以頂點B(4,3),

所以S陰影=0C?CB=12；

(2)設直線AB解析式為丫=1^+!1,將A(8,0)、B(4,3)分別代入得

3

cm=——

j8m+ri=04

(4m+n=3,解得：(n=6,

3

y=——x+6

所以直線AB的解析式為4，作NQ垂直于x軸于點Q,

8+t24-3t

①當MN=AN時，N點的橫坐標為2,縱坐標為8,

24-3C8-t

NQMQ8~179

----=—-----------------t——,8

由三角形NQU和三角形M0P相似可知。MOP,得t6,解得2(舍去).

NQ=%-t)AQ=-(8-1)

當AM=AN時，AN=8-t,由三角形ANQ和三角形APO相似可知5,5

8-t

MQ=5,

38-t

NQ_MQ5(8_t)_^"

由三角形NQM和三角形MOP相似可知。M一而得：一t

解得：

t=12(舍去)；

當MN=MA時，4MM4=4"47<45。故乙4刈7是鈍角，顯然不成立，

9

I=-

故2;

②由MN所在直線方程為yX-%,與直線AB的解析式y(tǒng)=-x+6聯(lián)立,

72+2t2

得點N的橫坐標為XN=9+,即t?-XNI+36-XN=O,

9

由判別式△=X?N-4(36-24)NO,得XNN6或x旺-14,

又因為0VXN<8,

所以XN的最小值為6,此時t=3,

15

當t=3時，N的坐標為(6,),此時PN取最小值為2.

11

y=-x+2y=-x2+mx-2

8.(2018綏化中考)已知直線2分別交x軸、y軸于A、B兩點,拋物線2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點D是拋物線上的動點，且在第三象限，求△48。面積的最大值；

(3)如圖2,經(jīng)過點M(-4,1)的直線交拋物線于點p、Q,連接CP、CQ分別交y軸于點E、

F,求。EOF的值.

b4ac-b2

(——,------)

備注：拋物線頂點坐標公式2a4a

/<\y=~x2+_2(3)OE-OF=-

【答案】(1)拋物線的解析式為22；(2)9；2.

【解析】

【分析】

(1冼求得點A的坐標，然后將點A的坐標代入拋物線的解析式求得m的值即可;

(2對點D作DH〃勢由，交A與點H,^D(n,1n2+|n-2),H(n,1n+2),然后用含n的式子表示DH的長,

接下來，利用配方法求得DH的最大值，從而可求得aABD面積最大值；

(3洗求得點C的坐標，然后設直線CQ的解析式為y=ax-a,CP的解析式為y=bx-b,接下來求得點Q

和點P的橫坐標，然后設直線PQ的解析式為y=x+d,把玳入得：y=kx+4k+l,將PQ的解

析式為與拋物線解析式聯(lián)立得到關于x的一元二次方程，然后依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可求得

ab=-：,最后，由ab的值可得到0E2F的值.

【詳解】

1

，八-y=-x+20=-X+2

(1)把y=o代入2得:2,解得：％=-4,

3

y=-x2+mx-2m=-

把點A的坐標代入2得:2,

y=-x2+-x-2

???拋物線的解析式為22

(2)過點D作軸，交A與點H,

?**DH—(―n+2)—('ti2+—n—2)=—^(n+l)2+—

9

???當”=-1時，DH最大，最大值為2,

19

.2-x-x4=9

此時△ABD面積最大，最大值為22；

(3把y=3弋入丫=扣2+梟-2,得：x2+3x-4=0,解得：x=l或x=-4,

AC(1,O),

設直線CQ的解析式為y=ax-a,CP的解析式為y=bx-b,

y=ax—a

l22-解得：x=l或x=2a-4,

(y=x+x2

:.Xq=2a-4,

同理：Xp=2b—4,

設直線PQ的解析式為y=X+d,把M(T,1玳入得：y=kx+4k+l,

fy=Jex+4k+1

-2，

.*.x2+(3-2k)x-8k-6=0,

Xq+xp=2a-4+2b-4=2k-3,xQ-xp=(2a-4)(2b-4)=-8k-6,

解得：ab=-；,

又丫OE=-b,OF=a,

:.OE,OF=-ab=

9.(2018萊蕪中考)如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三

點，D為直線BC上方拋物線上一動點，DE_LBC于E.

(2)如圖1,求線段DE長度的最大值；

(3)如圖2,設AB的中點為F,連接CD,CF,是否存在點D,使得ACDE中有一個角與

NCFO相等？若存在,求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由.

3912

【答案】⑴y=?4x2+%x+3；(2)當a=2時，DE取最大值，最大值是5；(3)存在點D,使

7107

得ACDE中有一個角與NCFO相等，點D的橫坐標為§或33.

【解析】

t分析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)平行于、?軸直線上兩點間的距離是校大緘坐標減較小的縱坐標，可得DM,根據(jù)相似三角形的

判定與性質，可得DE的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質，可得答案；

<3)根據(jù)正切函數(shù)，可得NCFO,根據(jù)相似三角形的性質，可得GH,BH,根據(jù)待定系數(shù)法，可得CG的

解析式，根據(jù)解方程組，可得答案.

【詳解】

a-b+c=0

16a+4b+c=0

(1)由題意，得Ic=3,

a=—3

4

9

b——

4

解得Ic=3,

39

拋物線的函數(shù)表達式為y=-4x2+4x+3；

(2)設直線BC的解析是為y=kx+b,

(4k+b=Q

tb=3,

k=--

4

解得【b=3

3

,\y=-4x+3,

39

2

設D(a,-4a+4a+3),(0<a<4),過點D作DMJ_x軸交BC于M點，如圖1

3

M(a,-4a+3),

3933

22

DM=(-4a+4a+3)-(4+3)=-4a+3a,

VZDME=ZOCB,ZDEM=ZBOC,

/.ADEM^ABOC,

DE_0B

??，

VOB=4,OC=3,

ABC=5,

4

ADE=5DM

312312

225

ADE=-5a+5a=-5（a-2）+,

12

當a=2時，DE取最大值，最大值是5,

（3）假設存在這樣的點D,ACDE使得中有一個角與/CFO相等，

???點F為AR的中點，

30C

.*.0F=2,tanZCFO=OF=2,

過點B作BG_LBC,交CD的延長線于G點，過點G作GH_Lx軸，垂足為H,如圖2

①若NDCE=NCFO,

GB

AtanZDCE=^=2,

/.BG=10,

VAGBH^BCO,

GH_HB_GB

工麗=瓦一氤

???GH=8,BH=6,

AG(10,8),

設直線CG的解析式為y=kx+b,

fb=3

/.110/c4-b=8,

解得g=3,

1

，直線CG的解析式為y=&+3,

1

329

y=—x+-x+3

??.I44,

7

解得x=§,或x=0（舍）.

②若NCDE=NCFO,

53

同理可得BG=2,GH=2,BH=2,

11

：.G（2,2）,

2

同理可得，直線CG的解析是為產-五x+3,

2

y=-----X+3

11

329

y=—x+-x+3

??.I44,

107

解得或x=0（舍），

7107

綜上所述，存在點D,使得4CDE中有一個角與NCFO相等，點D的橫坐標為§或33.

10.（2018撫順中考）如圖，拋物線y=-x?+bx+c和直線y=x+l交于A,B兩點，點A在x軸

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P從點A出發(fā)，以每秒十個單位長度的速度沿線段AB向點B運動，點Q從點C

出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段CA向點A運動，點P,。同時出發(fā)，當其中一點

到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒(t>0).以PQ為邊作矩形PQNM,

使點N在直線x=3上.

①當t為何值時，矩形PQNM的面積最??？并求出最小面積；

②直接寫出當t為何值時，恰好有矩形PQNM的頂點落在拋物線上.

616210±277

【答案】⑴拋物線解析式為y=-X2+3X+4；(2)①當t1時，面積最小是行;②仁§、一廠

或2.

【解析】

t分析】

(1)利用待定系數(shù)法進行求解即可；

<2)①分別用t表示PE、PQ、EQ,用△P?s^QNC表示NC及QN,歹比矩形PQNM面積與t的函數(shù)關

系式問題可解J

②由①利用線段中點坐標分別等于兩個端點橫縱坐標平均分的數(shù)量關系，表示點M坐標，

分別討論M、N、Q在拋物線上時的情況，并分別求出t值.

【詳解】

(1)由已知，B點橫坐標為3,

,:A、B在產x-1上，

/.A(-1,0),B(3,4),

把A(-1,0),B(3,4)代入y=-x?+bx+c得，

r-l-b+c=0解得.fb=3

l-9+3b+c=4,酢何?lc=4，

???拋物線解析式為y=-x2-3x7；

???直線y=x+l與x軸夾角為45。，P點速度為每秒收個單位長度,

秒時點E坐標為(-1+30),Q點坐標為(3-21,0),

AEQ=4-3t,PE=t,

VZPQE+ZNQC=90o,

ZPQE+ZEPQ=90°.,

AZEPQ=ZNQC,

???△PQEs^QNC,

PQ_PE_1

==

：.NQQC2t

，矩形PQNM的面積S=PQ?NQ=2PQ2,

VPQ2=PE2+EQ2,

AS=2(J"+(4-3t)2)2=20*-48i+32,

當1=2Q-§時，

6616

SJR小=20x(5)2,48x5+32=5；

②由①點Q坐標為(3-2t,0),P(-1+t,t),C(3,0),

AAPQE^AQNC,可得NC=2QE=8-6l,

???N點坐標為(3,8-6t),

由矩形對邊平行且相等，P(-l+t,t),Q(3-2t,0),

???點M坐標為(3t-L8-5t)

當M在拋物線上時，則有

8-5t=-(3t-1)2+3(3t-1)+4,

10±2^/7

解得t=―9一,

當點Q到A時，Q在拋物線上，此時t=2,

當N在拋物線上時，8-6t=4,

2

210±2々

綜上所述當t=3.一9一一或2時，矩形PQNM的頂點落在拋物線上.

11.(2018賀州中考)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線產ax2+bx+c交x軸于A、B兩點

(A在B的左側)，且OA=3,OB=1,與y軸交于C(0,3),拋物線的頂點坐標為D(-

1,4).

(1)求A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）過點D作直線DE〃y軸，交x軸于點E,點P是拋物線上B、D兩點間的一個動點

（點P不與B、D兩點重合），PA、PB與直線DE分別交于點F、G,當點P運動時，EF+EG

是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】（1）A點坐標（-3,0）,B點坐標（1,0）；（2）拋物線的解析式為y=-x?-2x+3；

（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由見解析.

【解析】【分析】（1）根據(jù)OA,OB的長，可得答案；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式$

（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質，可得EG,EF的長，根據(jù)整式的加減，可得答案.

【詳解】（1）由拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點（A在B的左側），且OA=3,OB=1,

得

A點坐標（-3,0）,B點坐標（1,0）；

（2）設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1）?

把C點坐標代入函數(shù)解析式，得

a（0+3）（0-1）=3,

解得a=-1,

拋物線的解析式為y=-（x+3）（x-I）=-x2-2x+3；

（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：

過點P作PQ〃y軸交x軸于Q,如圖，

設P(t,-d-21+3),

貝ijPQ=-t2-2t+3,AQ=3+t,QB=1-t,

???PQ〃EF,

/.△AEF^AAQP,

EF_AE

.,瓦=亞，

PQAE2(-t2-2t+3)2

-12-2t+3)=2(1-t)

AEF=僅=3+t3+t

又?.?PQ〃EG,

.,.△BEG<^ABQP,

EG_BE

:而二的,

PQBE2(-12-2t+3)

AEG=BQ=1-t=2(t+3),

???EF+EG=2(1-t)+2(t+3)=8.

12.(2018龍東地區(qū)中考)如圖，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點A(0,2),對稱軸為直線

x=-2,平行于x軸的直線與拋物線交于B、C兩點，點B在對稱軸左側，BC=6.

(1)求此拋物線的解析式.

(2)點P在x軸上，直線CP將AABC面積分成2：3兩部分，請直接寫出P點坐標.

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x?+4x+2；（2）P的坐標為（-6,0）或（?13,0）.

【解析】【分析】〈1〉由對稱軸直線x-2,以及A點坐標確定出b與c的值，即可求出拋物線解折式j

（2）由拋物線的對稱軸及BC的長，確定出B與C的橫坐標，代入拋物線解析式求出縱坐標，確定出B與

C坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，作出直線CP,與AB交于點Q,過Q作QHly軸，與y軸

交于點H,BC與y軸交于點M,由已知面積之比求出QH的長，確定出Q橫坐標，代入直^戔AB解析式求

出縱坐標，確定出Q坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線CQ解析式，即可確定出P的坐標.

bb

【詳解】（1）由題意得：x=-2a=-2=-2,c=2,

解得：b=4,c=2,

則此拋物線的解析式為y=x2+4x+2；

（2）...拋物線對稱軸為直線x=-2,BC=6,

???B橫坐標為-5,C橫坐標為1,

把x=l代入拋物線解析式得：產7,

/.B（-5,7）,C（1,7）,

設直線AB解析式為產kx+2,

把B坐標代入得：k=-1,即產-x-2,

作出直線CP,與AB交于點Q,過Q作QH_Ly軸，與y軸交于點H,BC與y軸交于點M,

可得AAQHsZXABM,

QH_AQ

???點P在x軸上，直線CP將AABC面積分成2：3兩部分，

AAQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2,即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5,

VBM=5,

，QH=2或QH=3,

當QH=2時，把x=-2代入直線AB解析式得：y=4,

此時Q（-2,4）,直線CQ解析式為y=x+6,令