山西省長治市2024-2025學年八年級上學期1月期末數(shù)學試題【含答案解析】

山西省2024—2025學年八年級期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷注意事項：1．全卷滿分120分，答題時間為120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．計算算術(shù)平方根后，無理數(shù)的定義進行解答即可．【詳解】解：在，，，中，是無理數(shù)的是，故選：D2.“少年強則國強，少年獨立則國獨立”這句話中，“國”字出現(xiàn)的頻率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了求頻率，熟知頻率頻數(shù)總數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)進行求解即可．【詳解】解：∵一共有14個字，其中“國”字一共出現(xiàn)了2次，∴“國”字出現(xiàn)的頻率為，故選：A．3.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是積的乘方，同底數(shù)冪的乘法、除法，單項式乘以多項式，掌握冪指數(shù)運算法則，分別根據(jù)以上運算法則逐一計算分析判斷即可．【詳解】解：A、，原計算不正確，B、，原計算正確，C、，原計算不正確，D、，原計算不正確．故選擇：B．4.下面的說法正確的是（）A.的平方根是 B.的平方根是C.9的算術(shù)平方根是 D.的立方根是【答案】D【解析】【分析】此題考查了平方根、算術(shù)平方根和立方根．根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的求法進行解答即可．【詳解】解：A.沒有平方根，故選項錯誤，不符合題意；B.的平方根是，故選項錯誤，不符合題意；C.9的算術(shù)平方根是，故選項錯誤，不符合題意；D.的立方根是，故選項正確，符合題意；故選：D5.如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是1，點B表示的數(shù)是．以點A為圓心，的長為半徑畫弧，與數(shù)軸交于原點左側(cè)的點D，則點D表示的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查的是勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，正確運用勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵，要理解數(shù)軸上的點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系．根據(jù)勾股定理求出的長，即可得到答案．【詳解】解：∵在中，，，∴點表示的數(shù)為：，故選：A．6.如圖，在中，．以點A為圓心，的長為半徑畫弧，交AB于點D，再分別以點A，D為圓心，AB，的長為半徑畫弧交于點E，連接，DE．則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等是解題關(guān)鍵．由已知可知，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分析求解．【詳解】解：由作圖可知，，，∴，∴，故選：C．7.為倡導全民閱讀，終身學習，早在1995年，聯(lián)合國教科文組織就將每年的4月23日定為世界讀書日．小明將他一天中的作息時間分配情況制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖．如果小明想把每天的閱讀時間調(diào)整為，那么他的閱讀時間需增加（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查扇形統(tǒng)計圖及相關(guān)計算．先從圖中可以求出原用于閱讀的時間，再求他的閱讀需增加時間即可．【詳解】解：原用于閱讀的時間為小時，∴把自己每天的閱讀時間調(diào)整為，那么他的閱讀時間需增加小時分鐘．故選：B．8.臨汾是帝堯之都，有著堯都之稱．堯都華表柱身祥云騰龍，頂蹲沖天吼，底座浮雕長城和黃河壺口瀑布，是中華民族歷史悠久、文化燦爛的標志．如圖，在底面周長約為6米且?guī)в袑訉踊丨h(huán)不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底沿立柱表面均勻地盤繞2圈到達柱頂正上方（從點A到點C，B為的中點），每根華表刻有雕龍的部分的柱身高約16米，則雕刻在石柱上的巨龍至少為（）A.20米 B.25米 C.30米 D.15米【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用——最短距離問題，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)A柱體的側(cè)面展開，并分析出每圈龍的長度與高度和圓柱的周長組成直角三角形．根據(jù)題意得到把圓柱體的側(cè)面展開后是長方形，每圈龍的長度與高度和圓柱的周長組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求出每圈龍的長度，最后乘2即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：把圓柱體的側(cè)面展開后是長方形，如圖，雕龍把大長方形均分為2個小長方形，則雕刻在石柱上的巨龍的最短長度為2個小長方形的對角線的和，底面周長約為6米，柱身高約16米，，，∴雕刻在石柱上的巨龍至少為米．故選：A．9.如圖1，這是一種太陽能熱水器，它是一種環(huán)保、經(jīng)濟的家庭熱水供應(yīng)設(shè)備，備受大眾喜愛．該太陽能安裝后，我們可以將其看作（如圖2）．為了使其更加牢固，安裝工人增加了，兩根支架．若支架與地面呈，支架，，，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，先求解，再利用角平分線的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：，．又，，，∵，∴，，∵，，∴，故選C10.如圖，在中，，F(xiàn)為邊的中點，邊的垂直平分線分別交于點D，，E，連接．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，垂直平分，利用垂直平分線的性質(zhì)即可證明得，可知，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得，三角形外角的性質(zhì)得，即可解答．【詳解】解：連接，∵，點為的中點，，∴平分，，則，垂直平分，∴，∵垂直平分，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴故選：D二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握提公因式法和公式法分解因式是解題的關(guān)鍵．先提公因式6，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：故答案為：．12.命題“多項式的公因式是”是______（填“真”或“假”）命題．【答案】假【解析】【分析】此題考查的是公因式的定義，找公因式的要點是：（1）公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）字母取各項都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．直接利用公因式定義分析得出答案．【詳解】解：多項式的公因式是，原命題是假命題，故答案為：假．13.如圖，小明用一些長方體小木塊壘了兩面與地面垂直的木墻與，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板，且直角三角板斜邊的兩個端點分別與點A，B重合，直角三角板的直角頂點C與點D，E均在水平地面上，點A，B，C，D，E均在同一豎直平面內(nèi)．經(jīng)測量，，則兩面木墻之間的距離_______cm．【答案】【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明，得出，，即可得解．【詳解】解：由題意得：，，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案為：．14.如圖，數(shù)學活動課上，一數(shù)學小組的同學把紙條等分成14份，如果第一次在剪刀處剪斷，想再剪一刀，使三段能構(gòu)成等腰三角形，那么第二次可以在_______處剪斷．（多選，填寫序號）【答案】②或③【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形三邊關(guān)系，分4厘米為等腰三角形的腰和底討論即可．【詳解】解：當4為腰時，則底為，此時能組成三角形，∴第二次可以在②處剪斷，當4為底時，則腰為，此時能組成三角形，∴第二次可以③處剪斷，在①處剪斷時，三段的長分別為、、10，不能組成三角形，在④處剪斷時，三段的長分別為、、，不能組成三角形，綜上，第二次可以在②或③處剪斷，故答案為：②或③．15.已知的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足，則的周長為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．熟練掌握完全平方公式的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．由，可得，可求，由三角形三邊關(guān)系可求，由是正整數(shù)，可得，進而可求周長．【詳解】解：∵，∴，∴，，解得，，∵，∴，∵是正整數(shù)，∴，∴的周長為，故答案為：．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.計算：（1）．（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此題考查了實數(shù)的混合運算、單項式乘以多項式、多項式除以單項式等知識．（1）利用立方根、算術(shù)平方根的性質(zhì)、絕對值法則進行化簡后，再計算加減法即可；（2）先計算單項式乘以多項式法則計算，再計算多項式除以單項式即可．【小問1詳解】解：【小問2詳解】17.某學校開辟了兩塊勞動實踐種植實驗田，一塊形狀為長方形，一塊形狀為正方形，兩塊實驗田均用來種植茄子幼苗．其中，長方形實驗田每排種植株，種植了排；正方形實驗田每排種植株，種植了排，其中．這兩塊試驗田共種植茄子幼苗多少株？【答案】這兩塊試驗田共種植茄子幼苗株．【解析】【分析】本題考查了整式的混合運算，能正確根據(jù)整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)多項式乘以多項式法則進行計算即可．【詳解】解：由題意得（株）．答：這兩塊試驗田共種植茄子幼苗株．18.為進一步提高課后服務(wù)質(zhì)量，落實“雙減”政策，某校利用課外活動時間開設(shè)了“廚藝”“園藝”“電工”“木工”“編織”五大類勞動課程．為了解八年級學生對每類課程的選擇情況，隨機抽取了八年級若干名學生進行調(diào)查（每人必選且只選一類最喜歡的課程），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題．（1）本次共調(diào)查了_____________名學生．（2）補全條形統(tǒng)計圖．（3）扇形統(tǒng)計圖中，的值為_____________；“編織”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為_____________．【答案】（1）60（2）見詳解（3）25；【解析】【分析】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖等知識，通過條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖獲得所需信息是解題關(guān)鍵．（1）利用選擇“園藝”勞動課程的學生人數(shù)除以其占比，即可獲得答案；（2）首先求得選擇“電工”勞動課程的學生人數(shù)，然后補畫條形統(tǒng)計圖即可；（3）首先求得選擇“廚藝”勞動課程的學生占比，即可確定的值；利用選擇“編織”勞動課程的學生占比，即可獲得答案．【小問1詳解】解：（人），即本次共調(diào)查了60名學生．故答案為：60；【小問2詳解】根據(jù)題意，選擇“電工”勞動課程的學生人數(shù)為（人），故可補畫條形統(tǒng)計圖，如下圖所示：小問3詳解】選擇“廚藝”勞動課程的學生占比為，所以；，即“編織”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為．故答案為：25；．19.小雪與爸媽在公園里蕩秋千．如圖，小雪坐在秋千的起始位置點A處（與地面垂直），兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在點B處接住她后用力一推，爸爸在點C處接住她．若媽媽與爸爸到的水平距離分別為和，，求秋千繩子的長．【答案】【解析】【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，證明，則，由勾股定理得到．【詳解】解：由題意可得，，，∴，∴，∵∴∴∴，∴，∴，即秋千繩子的長為．20.小明自主探究時發(fā)現(xiàn)：三角形的一個角的平分線與其對邊的高重合時，這個三角形是等腰三角形．他通過證明三角形全等得到結(jié)論．請根據(jù)他的思路，完成以下作圖與證明．（1）用直尺和圓規(guī)，作的平分線，交于點D．（保留作圖痕跡）（2）已知在中，是的平分線，．求證：是等腰三角形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查作圖—基本作圖，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)角平分線的基本作圖方法作出圖形即可；（2）根據(jù)證明即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：如圖所示：【小問2詳解】證明：∵是的平分線，∴，∵，∴，在和中，∴，∴．∴是等腰三角形．21.閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．中國古代數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》（如圖1）有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五．”這句話的意思是如果直角三角形的兩直角邊的長分別為3和4，那么斜邊的長為5．上述記載表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之間的數(shù)量關(guān)系是____．對于這個數(shù)量關(guān)系，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)“趙爽弦圖”（如圖2，它是由八個全等的直角三角形圍成的一個正方形），利用面積法進行了證明．參考趙爽的思路，將下面的證明過程補充完整：證明：∵，，，且______，∴____________．整理，得，∴．任務(wù)：（1）補全材料中的填空．（2）如圖3，在中，是邊上的高，，，．設(shè)，求x的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】此題考查了勾股定理的證明和勾股定理的應(yīng)用．（1）根據(jù)題意得到，則．整理得，即可得到結(jié)論；（2）利用勾股定理得到，得到，解方程即可．小問1詳解】證明：∵，，，且，∴．整理，得，∴．【小問2詳解】解：由題意可得，，∵是邊上的高，∴，∴，∴，即解得22.綜合與實踐【操作實踐】如圖1，數(shù)學興趣小組成員用四根木條釘成一個“箏形”（有兩組鄰邊分別相等的四邊形）道具，其中，，，相鄰兩根木條的連接處是可以轉(zhuǎn)動的，連接，．（1）試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【實踐應(yīng)用】（2）小組成員嘗試使用這個“箏形”道具檢測教室門框是否水平．如圖2，，，在道具上的點A處綁一條線繩，線繩的另一端掛一個鉛錘，道具上的點B，D緊貼門框，線繩恰好經(jīng)過點C．由于是鉛錘線，所以是水平的，即門框是水平的．在上述的判斷過程中，得出的依據(jù)是_______．（填字母）A．等角對等邊B．垂線段最短C．等腰三角形“三線合一”【實踐拓展】（3）如圖3，在中，，．若E，F(xiàn)分別是邊，上的動點，當四邊形為“箏形”時，求的度數(shù)．【答案】（1），證明見解析；（2）C；（3）的度數(shù)為或．【解析】【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．（1）根據(jù)題意證明出，即可得到；（2）根據(jù)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)求解即可；（3）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，然后分兩種情況討論①當，；②當，，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）猜想：，理由如下：∵，，，∴∴；（2）由（1）同理可得：，∵，，∴是等腰三角形∴，依據(jù)是等腰三角形“三線合一”性