專題04 以拋物線為情境的最值或范圍問題（解析版）-高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分必會十大基本題型

拋物線必會十大基本題型講與練04以拋物線為情景的最值與范圍問題典例分析類型一、以拋物線為情景的點(diǎn)線最值問題1．拋物線上的一動點(diǎn)M到直線距離的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】對求導(dǎo)可求與直線平行且與拋物線相切的切線方程，再利用兩平行線的距離公式可得所求的最小距離．【詳解】因?yàn)?，所以，令，得，所以與直線平行且與拋物線相切的切點(diǎn)，切線方程為，即，由兩平行線的距離公式可得所求的最小距離.2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離的最小值為（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】設(shè)出直線的方程，聯(lián)立后利用弦長公式表達(dá)出，求出長度的最小值，再利用拋物線的定義來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為的一半，進(jìn)而求出點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離的最小值.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，則設(shè)直線的方程為，，，，.聯(lián)立，整理得，則，.，.3．已知直線和直線，拋物線上一動點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】結(jié)合拋物線的定義求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，即直線是拋物線的準(zhǔn)線.拋物線上一動點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，也即是到直線與焦點(diǎn)的距離之和，最小值為到直線的距離，即.4．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，直線，動點(diǎn)M在C上運(yùn)動，記點(diǎn)M到直線l與l′的距離分別為d1，d2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)d1+d2最小時(shí)，cos∠MFO＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由拋物線的定義可知，d1＝|MF|，設(shè)MN⊥l'，垂足為N，d1+d2＝|MF|+|MN|，當(dāng)M、F、N三點(diǎn)共線時(shí)，d1+d2最小，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，以及直角三角形中的銳角的余弦值即可求出結(jié)果.【詳解】由拋物線的定義可知，d1＝|MF|，設(shè)MN⊥l'，垂足為N，∴d1+d2＝|MF|+|MN|，當(dāng)M、F、N三點(diǎn)共線時(shí)，d1+d2最小，∵拋物線C：y2＝4x，∴焦點(diǎn)F（1，0），∴|FN|＝d＝，設(shè)直線l'與x軸的交點(diǎn)為D，令y＝0，得，即FD＝2+1＝3，在Rt△DNF中，cos∠MFO＝cos∠NFD＝．類型二、以拋物線為情景的斜率最值問題1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線上，若存在點(diǎn)B，滿足，則OB的斜率的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，，表示出，考慮的正負(fù)情況，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意：，，設(shè)點(diǎn)，，A在拋物線上，故，，，由得，即，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，2．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出，P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)及拋物線方程，得到，從而表達(dá)出直線OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則要想求解直線OM的斜率的最大值，此時(shí)，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故直線OM的斜率的最大值為.∴k有最大值，3．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)到F的距離為3，(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為k的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N．若，求斜率k的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出p，得拋物線方程，代入點(diǎn)即可得解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程得出根與系數(shù)的關(guān)系，得出的范圍，再根據(jù)，求取值范圍即可.【解析】(1)由題意知，得，所以拋物線C的方程為．將點(diǎn)代入，得，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(2)直線與拋物線聯(lián)立，消去y得，，解得或．設(shè)，則有，則，即，又．所以，則因?yàn)椋O(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，所以因?yàn)榛?，所以k的取值范圍是。類型三、有關(guān)拋物線焦點(diǎn)的最值問題1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，且l過點(diǎn)，M在拋物線C上，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】先求出拋物線的方程，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到拋物線的準(zhǔn)線的距離，結(jié)合圖象，即可求出結(jié)果．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為且l過點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程是，則拋物線的方程為，因?yàn)?，點(diǎn)在拋物線內(nèi)，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足是，在拋物線上，是拋物線的焦點(diǎn)，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，（圖中虛線位置），取到最小值，即最小值為，2．（多選題）已知拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為3 B．的最大值為7C．的最小值為-2 D．的最大值為3【答案】ACD【分析】畫出圖象，根據(jù)拋物線的圖象可得，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)即可求解．過作軸平行線，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，此時(shí)取最小值.【詳解】如圖1，點(diǎn)在拋物線外，，故的最小值為，A正確；如圖2，只有當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最大，最大值為，如圖3，過作軸平行線，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，根據(jù)拋物線定義，，此時(shí)有最小值.3．已知拋物線C：的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．拋物線C的準(zhǔn)線l的方程為B．的最小值為4C．若，點(diǎn)Q為拋物線C上的動點(diǎn)，則的最小值為6D．的最小值【答案】ACD【解析】【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可得的值，進(jìn)而求出拋物線的方程，可判斷A正確；設(shè)直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，由拋物線的性質(zhì)可得弦長的表達(dá)式，再由參數(shù)的范圍可得其最小值，判斷B不正確；過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的性質(zhì)可得，可判斷C正確；由兩根之積及均值不等式的性質(zhì)可得的最小值為，判斷D正確．【詳解】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4可得，所以拋物線的方程為，A中，由拋物線的方程為，所以可得準(zhǔn)線方程為，故A正確；中，過焦點(diǎn)的直線為，則，整理可得，可得，，所以，時(shí)取等號，最小值為8，所以不正確；中，滿足，可知點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號，所以的最小值為6，故正確；中，由B的分析可知：由拋物線的方程可得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以正確；類型四、以拋物線為情景的參數(shù)范圍問題1．已知拋物線，直線，且在上恰有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)與平行且與拋物線相切的直線方程，利用判別式等于零求得，再根題意得兩直線間的距離，解不等式可得答案.【詳解】設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立，得，，∵，∴,由題意得，直線與直線的距離，即，解得，∴,2．已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)，第一步設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求解即可.【詳解】設(shè)拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)是，設(shè)直線的方程為．將代入拋物線方程，得，則，則的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為．因?yàn)辄c(diǎn)P在直上，所以，即．又，將代入得，即，解得3．已知動直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線C交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在x軸上方，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為G.(1)若直線的斜率為求直線l的方程;(2)設(shè)點(diǎn)，若恒為銳角，求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，表達(dá)出G點(diǎn)坐標(biāo)，由直線OG的斜率列出方程，求出直線方程；（2）將恒為銳角轉(zhuǎn)化為，等價(jià)于對任意的恒成立，根據(jù)二次函數(shù)根的分布，列出不等式組，求出的取值范圍.【解析】(1)由題意得，設(shè)直線的方程為，線段的中點(diǎn)．聯(lián)立方程，整理得：，由韋達(dá)定理得：．，即．∵直線的斜率為，，解得：或，∴直線l的方程為：或．(2)為銳角，等價(jià)于．設(shè)，則，故恒成立．令，則，原式等價(jià)于對任意的恒成立，即對任意的恒成立．令．①，解得：；②，解得：．又，故．綜上所述，的取值范圍是．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中求解取值范圍的題目，通常要設(shè)出直線，與圓錐曲線聯(lián)立，根據(jù)兩根之和與兩根之積進(jìn)行代入化簡，最后利用基本不等式，二次函數(shù)根的分布或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)行求解.類型五、以拋物線為情景的面積范圍與最值問題1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F與x軸垂直的直線交拋物線的弦長為2．(1)求拋物線N的方程；(2)點(diǎn)和點(diǎn)為兩定點(diǎn)，點(diǎn)A和點(diǎn)B為拋物線N上的兩動點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)Q在直線OM上，求△ABC面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，可得，得到，求得，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)，直線AB的斜率為，得到，得到直線的方程，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，求得面積，令，得到，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【解析】(1)由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，在方程中，令，可得，所以弦長為，即，解得，所以拋物線C的方程為．(2)由（1）知拋物線的方程為，設(shè)，直線AB的斜率為，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在直線上，由可知直線OM的方程為，設(shè)，所以，所以，又，所以，即得，設(shè)直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，所以，所以，即，由根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系得，則，又由點(diǎn)到直線的距離為，所以，記，因?yàn)?，所以，所以，令，可得，令，可得，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即有最大值為.2．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l：與y軸、拋物線C相交于P，A，自下而上，記△、△的面積分別為、．(1)求AB中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離d的取值范圍；(2)求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）問題需求的取值范圍，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)的值域；（2）將用A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，從而結(jié)合韋達(dá)定理建立函數(shù)關(guān)系式，由滿足的不等關(guān)系求解．【解析】(1)聯(lián)立消去y，得，設(shè)，，則，，∴；(2)由，由（1）知：，由得：，解得或，又，故，由得：，解得，∴，故的取值范圍為3．如圖所示，已知拋物線：，過點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，若拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，記的中點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)直線，，，，，，將，的坐標(biāo)代入拋物線方程得到，再代入直線方程化簡即可；（2）聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，將在面積表示出來，再利用求解即可．【解析】(1)由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，，，，，，如圖，由可得：，所以，所以，代入直線方程得：，又當(dāng)時(shí)，由得，在拋物線開口方向內(nèi)，，點(diǎn)的軌跡方程為：；(2)由（1）可知直線：，由

得：，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，即則，

，，又，令，

，，由得（負(fù)根舍去），知當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，當(dāng)時(shí)，取得最大值，時(shí)，.4．如圖，已知橢圓和拋物線，斜率為正的直線與軸及橢圓依次交于、、三點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在拋物線上．(1)求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍；(2)設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，且位于橢圓的左上方，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，使得的面積存在最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)直線的方程為，則，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可得出，結(jié)合可得出的取值范圍，進(jìn)而可求得的取值范圍，即可得解；（2）設(shè)點(diǎn)，計(jì)算得出的面積，令，記，則，求導(dǎo)，分析可知函數(shù)在內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，即可得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【解析】(1)由題意可設(shè)直線的方程為，則，聯(lián)立，可得，，可得，①設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，，設(shè)點(diǎn)，則，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，則，代入①可得，可得，解得，因此.因此，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是.(2)設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，，故的面積，②將代入②得，令，記，則，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，函數(shù)在內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)，所以，，可得，③，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的左上方，則，④由③④可得，因此，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．鞏固練習(xí)1．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A，B在拋物線C上，且滿足AF⊥BF．設(shè)線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】作輔助線，利用拋物線的定義可知直角梯形的兩底分別等于，利用梯形的中位線定理表示出d，進(jìn)而表示出，再根據(jù)基本不等式求得最小值.【詳解】如圖示：設(shè)AB的中點(diǎn)為M,分別過點(diǎn)作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為C，D，N，設(shè)，則，MN為梯形ACDB的中位線，則，由AF⊥BF．可得，故，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號，故，2．已知P為拋物線上一動點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上一動點(diǎn)，若的最小值為3，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】【分析】過過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，為垂足，則，結(jié)合圓的性質(zhì)可得答案.【詳解】可轉(zhuǎn)化為，則圓心為，半徑為1.因?yàn)榈淖钚≈禐?，點(diǎn)Q為圓上一動點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，則的方程為：過點(diǎn)作,為垂足，則如圖，則.由，可得，3．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，點(diǎn)，，設(shè)取最小值和最大值時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，且，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】【分析】如圖所示，與拋物線相切時(shí)，最小，與拋物線相切時(shí)，最大.設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率為，由切線方程得到，即得到韋達(dá)定理，設(shè)，化簡代入韋達(dá)定理得解.【詳解】如圖所示，與拋物線相切時(shí)，最小，與拋物線相切時(shí)，最大.由得，所以.設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率為，所以切線方程為,因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即.因?yàn)橛袃蓚€(gè)切點(diǎn)，所以，設(shè)，則有，所以，所以，代入韋達(dá)定理得或.因?yàn)椋?4．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F分別作兩條直線，，直線l1與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為1，則的最小值為（）A．16 B．20 C．24 D．32【答案】C【解析】【分析】設(shè)出直線，的方程，可知，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)，即可得，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得的的最小值.【詳解】解：拋物線C：的焦點(diǎn)，設(shè)直線l1：，直線l2：由題意可知，則，聯(lián)立整理得：設(shè)，，則，設(shè)，，同理可得：由拋物線的性質(zhì)可得：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式“＝”成立．∴的最小值24.5．已知過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則兩點(diǎn)、縱坐標(biāo)的比值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】首先設(shè)出直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求得的范圍.【詳解】設(shè)直線，代入得，，，，直線，代入得，.6．（多選題）若拋物線y2＝2px(p>0)上的動點(diǎn)Q到其焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則（

）A．B．準(zhǔn)線方程為C．當(dāng)時(shí)的面積為D．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，則點(diǎn)到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值求得，進(jìn)而求得準(zhǔn)線方程，結(jié)合拋物線的定義來求得的面積，結(jié)合拋物線的定義來求得到、的距離之和的最小值.【詳解】到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，到焦點(diǎn)距離最小時(shí)，到準(zhǔn)線的距離最小，即為原點(diǎn)時(shí)，到焦點(diǎn)的距離最小為，也即，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.拋物線方程為，對于C選項(xiàng)，，則，，，C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，所以到的距離等于到焦點(diǎn)的距離.所以到直線和直線的距離之和的最小值為“到直線的距離”，焦點(diǎn)，則最小值為，D選項(xiàng)正確.7．（多選題）設(shè)拋物線，為其焦點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程是B．當(dāng)軸時(shí)，取最小值C．若，則的最小值為D．以線段為直徑的圓與軸相切【答案】ACD【分析】A：標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝2px的拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－；B：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式表示|PF|，結(jié)合P點(diǎn)坐標(biāo)的范圍，即可求|PF|的最小值；C：數(shù)形結(jié)合，P為動點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系，當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)取最小值；D：求出圓的半徑與圓心，比較圓心橫坐標(biāo)和半徑即可知是否與y軸相切﹒【詳解】A：拋物線的準(zhǔn)線為x＝－＝－1，故A正確；B：設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)在原點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C：作圖分析：A在拋物線外部，故當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)|PF|取最小值，故C正確；D：根據(jù)題意，可得拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)的中點(diǎn)為，可得，由拋物線的定義，得，，即點(diǎn)到軸的距離等于以為直徑的圓的半徑，因此，以PF為直徑的圓與軸相切，故D正確﹒8．（多選題）已知拋物線與圓的公共點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P為圓C的劣弧上不同于A，B的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線l交拋物線E于點(diǎn)N，則下列四個(gè)命題中正確的是（

）A．B．點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是C．點(diǎn)N到圓心C距離的最小值為1D．若l不經(jīng)過原點(diǎn)，則周長的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，聯(lián)立圓與拋物線的方程可得A，B的坐標(biāo)，求得可判斷A；由A，B的縱坐標(biāo)可判斷B；由拋物線的定義和圖形可知點(diǎn)N到圓心C距離的最小值判斷C；利用轉(zhuǎn)化思想可知結(jié)合的范圍可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為，半徑，與軸正半軸交于點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)與重合，準(zhǔn)線為，對于選項(xiàng)A：聯(lián)立可得，解得或，即，，所以，故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B：點(diǎn)為圓的劣弧上不同于A，B的一個(gè)動點(diǎn)，所以點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：拋物線的焦點(diǎn)與圓心重合，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小值為，所以點(diǎn)N到圓心C距離的最小值為1，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：直線l不經(jīng)過原點(diǎn)，則周長為的取值范圍是，故選項(xiàng)D正確；9．（多選題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若為拋物線上一點(diǎn)，直線的斜率為，且以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．直線與拋物線相交所得的弦長為15C．外接圓的半徑為4D．若拋物線上兩點(diǎn)之間的距離為8，則該線段的中點(diǎn)到軸距離的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)斜率可知，然后根據(jù)拋物線的定義可知拋物線方程，可知直線的方程，根據(jù)弦長公式可知弦長，并使用正弦定理可知外接圓半徑，最后根據(jù)可知結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，，∴直線的傾斜角為120°，，在中，，，又由拋物線的定義可得，，，解得，∴拋物線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A正確；易知直線的方程為，代入拋物線的方程，得，解得或，∴直線與拋物線相交所得弦長為，選項(xiàng)B不正確；易得，，，，，設(shè)外接圓的半徑為，根據(jù)正弦定理可得，設(shè)拋物線上的兩點(diǎn)分別為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，由拋物線的定義可知，，所以，即，所以線段的中點(diǎn)到軸的距離，選項(xiàng)D正確.10．（多選題）拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動點(diǎn)，設(shè)直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)下列結(jié)論正確的是（

）A．|PM|+|PF|的最小值為3B．拋物線C上的動點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小值為3C．存在直線l，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于對稱D．若過A、B的拋物線的兩條切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)T，則A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和最小值為2【答案】AD【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)對每個(gè)命題進(jìn)行判斷．【詳解】A．設(shè)是拋物線的準(zhǔn)線，過作于，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號成立．所以最小值是3，A正確；B．設(shè)是拋物線上任一點(diǎn)，即，，時(shí)，，B錯(cuò)誤；C．假設(shè)存在直線，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于對稱，設(shè)方程為，由得，所以，，設(shè)，則，中點(diǎn)為，則，，必在直線上，所以，，這與直線拋物線相交于兩個(gè)點(diǎn)矛盾，故不存在，C錯(cuò)誤；D．設(shè)，由即，得，則切線方程為，即，同理方程是，由，解得，由題意在準(zhǔn)線上，所以，，所以，所以時(shí)，為最小值．D正確．11．已知P為拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】將點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和，再借助拋物線定義求解作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，拋物線上的點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于它到準(zhǔn)線距離減去1的差，由拋物線定義知，，令點(diǎn)P到直線的距離為，于是得點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和為，過P作于M，連PF，MF，過點(diǎn)F作于Q，交拋物線于點(diǎn)，如圖，顯然，，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)不重合時(shí)，有：，則當(dāng)點(diǎn)P是過焦點(diǎn)F作直線l的垂線與拋物線交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和取得最小值，此最小值為.12．已知P為拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，Q為圓上一個(gè)動點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.【詳解】連接PF，根據(jù)拋物線定義可知：點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離相等，連接圓心與焦點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，如圖所示，此時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和最小，其中，故，13．已知拋物線的方程為，圓C：，點(diǎn)A，B在圓C上，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足，則的最小值是______.【答案】3【解析】【分析】由題可知AB是圓的直徑，，問題轉(zhuǎn)化為求拋物線上點(diǎn)P到圓心C的距離的平方減1的最小值.【詳解】∵圓的圓心為C(2，0)，半徑r＝1，，∴AB是圓的直徑，C是AB的中點(diǎn)，連接PC、PA、PB.設(shè).＝，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)取等號.14．已知，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在拋物線上存在點(diǎn)N，使得，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】過M作C的一條切線，切點(diǎn)為Q，設(shè)，根據(jù)在拋物線上存在點(diǎn)N，使得，得到，然后求得當(dāng)時(shí)的即可.【詳解】過M作C的一條切線，切點(diǎn)為Q，如圖所示：設(shè)，因?yàn)樵趻佄锞€上存在點(diǎn)N，使得，所以，當(dāng)時(shí)，直線MQ的方程為，將代入，可得，由，解得，所以的取值范圍為.15．已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，線段的中點(diǎn)均在拋物線上，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意得是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故，進(jìn)而得，再根據(jù)直線與軸交于點(diǎn)得，最后結(jié)合對勾函數(shù)求解即可.【詳解】設(shè)，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，所以，即；同理得，所以，即是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，所以，故，由于直線與軸交于點(diǎn)，所以，即，因?yàn)閷春瘮?shù)的取值范圍是，所以，16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn).若點(diǎn)到直線的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】先利用求出與平行的拋物線的切線方程，點(diǎn)到直線的最近距離為直線與切線間的距離，求出距離即可得實(shí)數(shù)c的取值范圍.【詳解】設(shè)與平行的拋物線的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得，，直線與的距離是所以點(diǎn)到直線的最近距離為，因此，所以點(diǎn)到直線的最近距離為17．已知直線l1:x－y－5=0和直線l2:y=－4，拋物線x2=16y上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是______【答案】【解析】【分析】由題知直線l2:y=－4為拋物線的準(zhǔn)線，則P到直線l2的距離為其到焦點(diǎn)的距離，再利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則，又直線l2:y=－4為其準(zhǔn)線，∴P到直線l2的距離為，設(shè)P到直線l1的距離為，如圖，可知動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為點(diǎn)到直線l1:x－y－5=0的距離，即.18．已知拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，且拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.(1)求，的值；(2)已知點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，求線段長最小值.【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）由點(diǎn)線距離公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式有，結(jié)合已知求，的值；（2）設(shè)，利用兩點(diǎn)距離公式有，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及拋物線的有界性，討論、求對應(yīng)線段長最小值.【解析】(1)由題設(shè)，拋物線焦點(diǎn)為，則，聯(lián)立直線與拋物線可得：，則，綜上，，可得或，又，所以.(2)由（1）知：，設(shè)，所以，又，要使線段長最小，即最小即可，當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)最小值為；當(dāng)，即時(shí)，則若，則，則時(shí)最小值為；若，則，則時(shí)最小值為；綜上，時(shí)線段長最小值為；時(shí)線段長最小值為；19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線分別與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)如圖，設(shè)點(diǎn)都在拋物線上，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求的最小值.【答案】(1)(2)32【分析】（1）設(shè)，列方程組，求出，即可得到拋物線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，利用是以為斜邊的等腰直角三角形，表示出，用坐標(biāo)表示出利用基本不等式求出的最小值.【解析】(1)設(shè)點(diǎn)，由已知，則，即.因?yàn)椋瑒t，所以拋物線的方程是.(2)設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為，因?yàn)椋瑒t直線的斜率為.因?yàn)?，則，得，①因?yàn)椋瑒t，即，②因?yàn)椋瑒t，即③將②③代入①，得，即，則，所以因?yàn)?，則，又，則，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為32.20．已知點(diǎn)在曲線上.(1)求動點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過原點(diǎn)的直線與（1）中的曲線交于、兩點(diǎn)，求的最大值與最小值.【答案】(1)(2)最小值為，最大值為【分析】（1）令，可得，求得，即可求得動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得到，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程在上有兩解，求得的范圍，結(jié)合，進(jìn)而求得的最值.【解析】(1)由題意，點(diǎn)在曲線上，可得，令，可得，設(shè)，則，即動點(diǎn)的軌跡的方程.(2)由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，要直線與曲線交于、兩點(diǎn)，則方程在上有兩解，設(shè)，可得，解得，設(shè)，則，且又由，因?yàn)?，又因?yàn)?，所以的最小值為，最大值?21．已知是拋物線上一點(diǎn)，是軸上的點(diǎn)，以為圓心且過點(diǎn)的圓與軸分別交于點(diǎn)、，且當(dāng)圓與軸相切時(shí)，到拋物線焦點(diǎn)的距離為．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)線段、長度分別為、，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意圓A與軸相切，A到拋物線焦點(diǎn)的距離為，得到A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，從而求出及拋物線方程；

（2）設(shè)A的坐標(biāo)，由垂徑定理可知，設(shè)，，求得，，，分、討論可得答案．【解析】(1)當(dāng)軸時(shí)，圓A與軸相切，點(diǎn)為切點(diǎn)，由題意可知此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，因?yàn)锳到拋物線焦點(diǎn)的距離為，所以A到拋物線準(zhǔn)線的距離為，故準(zhǔn)線與軸之間的距離為，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)設(shè)A的坐標(biāo)，由垂徑定理可知，，設(shè)，，所以，．所以，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.此時(shí)．綜上所述，．22．如圖，已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為F的拋物線上一點(diǎn)，A，B是拋物線C上異于P的兩點(diǎn)，且直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，若直線PA的斜率為.(1)求拋物線方程；(2)證明：直線AB的斜率為定值并求出此定值；(3)令焦點(diǎn)F到直線AB的距離d，求的最大值.【答案】(1)(2)證明見解析，(3)【分析】（1）待定系數(shù)法求解拋物線方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立后得到A點(diǎn)縱坐標(biāo)，同理得到B點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而求出直線AB的斜率；（3）在前