九省聯(lián)考2024年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題（含答案）

九省聯(lián)考2024年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二四總分評分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為（）A．14 B．16 C．18 D．202．橢圓x2a2+yA．233 B．2 C．33．記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SA．120 B．140 C．160 D．1804．設(shè)α，β是兩個(gè)平面，A．若α⊥β，m∥αB．若m?α，l?βC．若α∩β=m，l∥αD．若m⊥α，l⊥β5．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）A．20種 B．16種 C．12種 D．8種6．已知Q為直線l：x+2y+1=0上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足QP=(1，?3)A．E是一個(gè)半徑為5的圓 B．E是一條與l相交的直線C．E上的點(diǎn)到l的距離均為5 D．E是兩條平行直線7．已知θ∈(3π4，A．14 B．34 C．1 8．設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1A．2 B．2 C．5 D．7二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)f(x)=sin(2x+3πA．函數(shù)f(x?πB．曲線y=f(x)的對稱軸為x=kπC．f(x)在區(qū)間(πD．f(x)的最小值為?210．已知復(fù)數(shù)z，A．z2=|C．z?w=z?11．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(12)≠0A．f(?12)=0C．函數(shù)f(x?12)是偶函數(shù) 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合A={?2，0，2，4}，13．已知軸截面為正三角形的圓錐MM'的高與球O的直徑相等，則圓錐MM'的體積與球O的體積的比值是，圓錐MM14．以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)．設(shè)0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，則max{b?a，c?b，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知函數(shù)f(x)=lnx+x2+ax+2在點(diǎn)(2，f(2))（1）求a；（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值．16．盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球．（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；（2）記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．17．如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，（1）證明：C1O⊥平面（2）求二面角B?AA18．已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中（1）證明：直線MN過定點(diǎn)；（2）設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)，求△GMN面積的最小值．19．離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)p是素?cái)?shù)，集合X={1，2，?，p?1}，若u，v∈X，m∈N，記u?v為uv除以p的余數(shù)，um，?為um除以p的余數(shù)；設(shè)（1）若p=11，a=2，求（2）對m1，m2∈{0，1，?，p?2}，記m1⊕m2（3）已知n=log(p)ab．對x∈X

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】將數(shù)據(jù)按升序排列得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，

所以中位數(shù)為16.

故答案為：16.

【分析】將數(shù)據(jù)按升序排列，結(jié)合中位數(shù)的定義運(yùn)算求解.2．【答案】A【解析】【解答】由題意可知：b=1，c=a2-1，

因?yàn)閑=ca=a2-13．【答案】C【解析】【解答】由題意可得：a3+a7=2a5=6，可得a54．【答案】C【解析】【解答】對于A：若α⊥β，m∥α，l∥β，則m，l可能平行、相交或異面，不一定垂直，故A錯(cuò)誤；

對于B：若m?α，l?β，m∥l，則α∥β或α，β相交，故B錯(cuò)誤；

對于C：若α∩β=m，l∥α，l∥β，則m∥l，故C正確；

對于D：若5．【答案】B【解析】【解答】由題意可知：乙和丙在1、4位或在2、5位，且甲在乙和丙之間，

所以不同排法共有C21C216．【答案】C【解析】【解答】設(shè)Px，y，

因?yàn)镼P=(1，?3)，可知Qx-1，y+3，

且Q為直線l：x+2y+1=0上的動點(diǎn)，則x-1+2y+3+1=0，即x+2y+6=0，

即P的軌跡方程為x+2y+6=0，是一條與l平行的直線，故ABD錯(cuò)誤；

且兩平行間距離為6-15=5，即E上的點(diǎn)到l7．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)閠an2θ=?4tan(θ+π4)，即2tanθ1-tan2θ=?4tanθ+11-tanθ，

整理得2tanθ+1tanθ+2=0，則tanθ=-12或tan8．【答案】D【解析】【解答】如圖，根據(jù)雙曲線的對稱性可知：四邊形AF2BF1為平行四邊形，則F2B=F1A，

因?yàn)锽F1-BF2=BF1-AF1=AF1=2a，

可得F2B=F19．【答案】A,C【解析】【解答】因?yàn)閒(x)=sin(2x+3π4)+cos(2x+3π4)=2sin(2x+3π4+π4)=2sin(2x+π)=-2sin2x，

對于A：因?yàn)閒(x?π4)=-2sin2x?π4=-2sin2x-π2=2cos2x，

可知函數(shù)f(x?π4)為偶函數(shù)，故A正確；10．【答案】B,C,D【解析】【解答】設(shè)z=a+bi(a，b∈R)，w=c+di(c，d∈R)，其中z≠0，w≠0，

對于A：例如z=i，則z2=-1，|z|2=1，兩者不相等，故A錯(cuò)誤；

對于B：因?yàn)閦z=a+bia-bi=a+bi2a-bia+bi=a+bi2a2+b2=z2z2，故B正確；

對于C：因?yàn)閦-w=11．【答案】A,B,D【解析】【解答】因?yàn)閒(x+y)+f(x)f(y)=4xy，令x=12，y=0，可得又因?yàn)閒(12)≠0，則1+f(0)=0令x=12，y=?1即f(0)+f(1且f(0)=?1，f(12)≠0，可得f(令y=?12，則有即f(x?12)=?2x可得f(x+12)=?2x?2對f(x+12)=?2x?2，令x=0故B正確、C錯(cuò)誤、D正確.故答案為：ABD.【分析】根據(jù)題意利用賦值法，令x=12，y=0可得f(0)=?1，令x=12，y=?12可得f(?112．【答案】5【解析】【解答】因?yàn)锳∩B=A，則A?B，

又因?yàn)锳={?2，0，2，4}，可得-2-3=5，0-3=3，2-3=4-3=113．【答案】23；【解析】【解答】設(shè)圓錐MM'的底面半徑為因?yàn)閳A錐MM'的軸截面為正三角形，可知圓錐MM'的高由題可知：球O的半徑為32可知圓錐MM'的體積與球O的體積之比為圓錐MM'的表面積與球O的表面積之比為故答案為：23；1【分析】設(shè)圓錐MM'的底面半徑為r，可知圓錐MM'的高h(yuǎn)=3r，母線14．【答案】1【解析】【解答】設(shè)A=max{b?a，c?b，1?c}，

則A≥b?a>0，A≥c?b>0，A≥1?c>0，

可得2A≥c?b+1?c≥1-b，則b≥1-2A；

3A≥b-a+c?b+1?c≥1-a，則a≥1-3A，

若b≥2a，則1-3A≤a≤b-a≤A，解得A≥14；

若a+b≤1，則1-3A+1-2A≤b-a≤1，解得A≥15；

當(dāng)且僅當(dāng)a=25，b=35，c=45時(shí)，A=1515．【答案】（1）解：f'(x)=1由題意可得(92+a)×(?（2）解：由a=?3，故f(x)=lnx+x則f'(x)=1故當(dāng)0<x<12時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)12<x<1時(shí)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，12)、(1，故f(x)有極大值f(1有極小值f(1)=ln1+1【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解；

(2)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和極值.16．【答案】（1）解：記“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件M，先確定3個(gè)不同數(shù)字的小球，有C4然后每種小球各取1個(gè)，有C2所以P(M)=C（2）解：由題意可知，X的可取值為1，當(dāng)X=1時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為1的小球、有兩個(gè)數(shù)字為1的小球，所以P(X=1)=C當(dāng)X=2時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為2的小球、有兩個(gè)數(shù)字為2的小球，所以P(X=2)=C當(dāng)X=3時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為3的小球、有兩個(gè)數(shù)字為3的小球，所以P(X=3)=C所以X的分布列為：X123P921所以E(X)=1×9【解析】【分析】(1)記“取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件M，先確定3個(gè)不同數(shù)字的小球，然后每種小球各取1個(gè)，結(jié)合古典概型以及組合數(shù)運(yùn)算求解；

(2)由題意可知，X的可取值為1，17．【答案】（1）解：連接BC1因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的正方形，所以BC=DC，又因?yàn)椤螩1CB=∠所以△C1CB?△點(diǎn)O為線段BD中點(diǎn)，所以C1在△C1CO中，C所以cos∠則C1又OC∩BD=O，OC?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以C1O⊥平面（2）解：由題知正方形ABCD中AC⊥BD，C1O⊥平面ABCD則B(0，則AAAB=(?設(shè)面BAA1的法向量為m=(x1則AAAA設(shè)二面角B?AA1?D則cosθ所以二面角B?AA1?D【解析】【分析】(1)連接BC1，DC1，可得BC1=DC118．【答案】（1）解：由C：y2=4x，故F(1，0)，由直線故兩只直線斜率都存在且不為0，設(shè)直線AB、CD分別為x=m1y+1、x=A(x1，y1)、聯(lián)立C：y2=4x與直線消去x可得y2?4m故y1+y則x1故x1+x即M(2m12當(dāng)2m則lMN即y==x由m1m2故x=3時(shí)，有y=1此時(shí)MN過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為(3，當(dāng)2m12+1=2m22有l(wèi)MN：x=2+1=3故直線MN過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為(3，（2）解：由A(x1，y1)、則lAE：y=y3故y=y同理可得lBD：y=有4xy即4x(y有x=y2y4(故x==?4(故xG過點(diǎn)G作GQ//x軸，交直線MN于點(diǎn)Q，

則S由M(2m12故|y當(dāng)且僅當(dāng)m1下證|x由拋物線的對稱性，不妨設(shè)m1>0，則當(dāng)m1>1時(shí)，有m2=?1m1∈(?1，有1m2+m1此時(shí)|x同理，當(dāng)m1<1時(shí)，有點(diǎn)G在x軸下方，點(diǎn)Q亦在有1m2+當(dāng)且僅當(dāng)m1=1時(shí)，故|xQ?故S△GMN【解析】【分析】(1)設(shè)直線AB、CD分別為x=m1y+1、x=m2y+1，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理求得M(2m12+1，2m1)，N(2m219．【答案】（1）解：若p=11，a=2，又注意到所以ap?1（2）解：當(dāng)p=2時(shí)，此時(shí)X={1}，此時(shí)b=c=1故log(此時(shí)log(當(dāng)p>2時(shí)，因1，a，而a∈