2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營(yíng)第7節(jié)-二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

第九單元第7節(jié)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布2023屆1《高考特訓(xùn)營(yíng)》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.通過(guò)具體實(shí)例，了解伯努利實(shí)驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決實(shí)際問(wèn)題.2.了解正態(tài)密度曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用1.n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)建模2.正態(tài)分布0102知識(shí)特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識(shí)特訓(xùn)知識(shí)必記拓展鏈接對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)n重伯努利試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有________種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．(2)在n重伯努利試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)．設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝________________________________，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從__________，記為_(kāi)______________，并稱p為成功概率．兩二項(xiàng)分布

X～B(n，p)2．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6826；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9544；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9974.[思考]

均值與方差有哪些常用性質(zhì)？若Y＝aX＋b，其中a，b(a≠0)是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(5)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)；(6)若X～N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為E(X)＝μ，D(X)＝σ2.1．[生活拓展]生活中的正態(tài)分布(1)高斯是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的重要貢獻(xiàn)不勝枚舉，德國(guó)的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線，這就傳達(dá)了一個(gè)信息：在高斯的科學(xué)貢獻(xiàn)中，對(duì)人類文明影響最大的就是“正態(tài)分布”．(2)我們買一些食品時(shí)，食品的重量多少會(huì)有些浮動(dòng)，例如面包包裝袋的重量標(biāo)識(shí)可以這樣寫：1000±50g表示面包的重量應(yīng)該是1000g，但由于種種原因可能會(huì)有50g的誤差．面包應(yīng)有重量1000g，上下浮動(dòng)50g，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：面包的重量服從期望值為1000g，標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布．2．[學(xué)以致用]用二項(xiàng)分布破解賽制問(wèn)題教材和考題中涉及“三局兩勝制”或“五局三勝制”等的概率計(jì)算問(wèn)題，我們用二項(xiàng)分布看看里面的奧妙．【例】甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利？你對(duì)局制長(zhǎng)短的設(shè)置有何認(rèn)識(shí)？提示：每局比賽只有兩個(gè)結(jié)果，甲獲勝或乙獲勝，每局比賽可以看成是相互獨(dú)立的，所以甲獲勝的局?jǐn)?shù)X是隨機(jī)變量，X服從二項(xiàng)分布．可以看出采用5局3勝制對(duì)甲更有利，由此可以猜測(cè)“比賽的總局?jǐn)?shù)越多，甲獲勝的概率越大”，由此可以看出為了使比賽公平，比賽的局?jǐn)?shù)不能太少．在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題背景中，比賽局?jǐn)?shù)越少，對(duì)乙隊(duì)越有利；比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)甲隊(duì)越有利．答案：22．[教材改編]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，則c＝________．3．[模擬演練](2022·湖北巴東)箱子里有5個(gè)黑球，4個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為(

)B4．[真題體驗(yàn)](2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，則下列結(jié)論不正確的是(

)A．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中結(jié)果落在(9.9，10.2)與落在(10，10.3)的概率相等D解析：因?yàn)槟澄锢砹康臏y(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，所以測(cè)量的結(jié)果的概率分布關(guān)于10對(duì)稱，且方差σ2越小，則分布越集中．對(duì)于A，σ越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，不管σ取何值，測(cè)量結(jié)果大于10的概率均為0.5，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由于概率分布關(guān)于10對(duì)稱，所以測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9，10.2)分布在10附近的區(qū)域大于(10，10.3)分布在10附近的區(qū)域，故測(cè)量結(jié)果落在(9.9，10.2)內(nèi)的概率大于落在(10，10.3)內(nèi)的概率，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選D.02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2

特訓(xùn)點(diǎn)1

n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【多維考向類】(1)第一小組做了四次試驗(yàn)，求該小組恰有兩次失敗的概率；(2)第二小組做了四次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功與失敗的次數(shù)的差的絕對(duì)值為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)第三小組進(jìn)行試驗(yàn)，到成功了四次為止，在第四次成功之前共有三次失敗的前提下，求恰有兩次連續(xù)失敗的概率．

n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布概率的解題策略(1)在求n重伯努利試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率．(2)在根據(jù)伯努利試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，求得概率．考向2期望與方差典例2

(2022·湖北武漢高三模擬)一個(gè)盒子中裝有大量形狀、大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱出它們的重量(單位：克)，重量分組區(qū)間為[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖)．(1)求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；(2)從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量在[5，15]內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望(以直方圖中的頻率作為概率)．

n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的期望與方差(1)如果ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同樣還可求出D(aξ＋b)．典例3

(2022·山東臨沂高三模擬)2019年7月8日，中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見(jiàn)》，提出堅(jiān)持“五育(德、智、體、美、勞)”并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育．某學(xué)校共有學(xué)生4000人，為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，開(kāi)展了以下活動(dòng)：全體同學(xué)參加勞動(dòng)常識(shí)競(jìng)賽，滿分100分．其中，成績(jī)高于80分的同學(xué)有資格到指定農(nóng)場(chǎng)參加勞動(dòng)技能過(guò)關(guān)考核，勞動(dòng)技能過(guò)關(guān)考核共設(shè)三關(guān)，通過(guò)第一關(guān)得20分，未通過(guò)不得分，后兩關(guān)通過(guò)一關(guān)得40分，未通過(guò)不得分，每位同學(xué)三關(guān)考核都要參加．記考核結(jié)束后學(xué)生的得分之和為X.特訓(xùn)點(diǎn)2正態(tài)分布【師生共研類】(1)分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生勞動(dòng)常識(shí)競(jìng)賽成績(jī)?chǔ)巍玁(71，81)，試估計(jì)參加勞動(dòng)技能過(guò)關(guān)考核的人數(shù)(精確到個(gè)位)；附：若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.

解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對(duì)稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ及分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.(2022·河北高三三模)某縣一高級(jí)中學(xué)是一所省級(jí)規(guī)范化學(xué)校，為適應(yīng)時(shí)代發(fā)展、百姓需要，該校在縣委縣政府的大力支持下，啟動(dòng)建設(shè)了一所高標(biāo)準(zhǔn)、現(xiàn)代化、智能化的新校，并由縣政府公開(kāi)招聘事業(yè)編制教師，招聘時(shí)首先要對(duì)應(yīng)聘者的簡(jiǎn)歷進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，面試時(shí)應(yīng)聘者需要回答三道題，第一題考查教育心理學(xué)知識(shí)，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分；第二題考查學(xué)科專業(yè)知識(shí)，答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分；第三題考查課題說(shuō)課，說(shuō)課優(yōu)秀者得15分，非優(yōu)秀者得5分．(1)