2021屆廣東省珠海市高三上學(xué)期第一次摸底數(shù)學(xué)試題(教師版含解析)

珠海市2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期高三摸底測(cè)試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題首先可以通過(guò)對(duì)不等式、進(jìn)行計(jì)算得出集合和集合中所包含的元素，然后通過(guò)交集的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】，即或，則集合，，即，解得，則集合，故，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的相關(guān)運(yùn)算，主要考查交集的相關(guān)運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，考查計(jì)算能力，是簡(jiǎn)單題.2.()A.1 B.2 C.?i D.?2i【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】化簡(jiǎn)得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和虛數(shù)單位的冪運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.8名醫(yī)生去甲、乙、丙三個(gè)單位做核酸檢測(cè)，甲、乙兩個(gè)單位各需三名醫(yī)生，丙需兩名醫(yī)生，其中醫(yī)生a不能去甲醫(yī)院，則不同的選派方式共有()A.280種 B.350種 C.70種 D.80種【答案】B【解析】【分析】對(duì)醫(yī)生a去乙、丙醫(yī)院進(jìn)行討論，分別按要求選派，即得結(jié)果.【詳解】若醫(yī)生a去乙醫(yī)院，再依次為甲、乙、丙三個(gè)單位選派得；若醫(yī)生a去丙醫(yī)院，再依次為甲、乙、丙三個(gè)單位選派得；所以不同的選派方式共有種.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了組合的應(yīng)用，分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.4.一球內(nèi)接一圓錐，圓錐的軸截面為正三角形，過(guò)作與球相切的平面，則直線與平面所成的角為()A.30° B.45° C.15° D.60°【答案】D【解析】【分析】分析得平面與圓錐底面平行，求直線與圓錐底面所成的角，即得結(jié)果.【詳解】如圖所示截面為正三角形的三棱錐中，在球上，過(guò)作與球相切的平面必然與圓錐底面平行，則直線與平面所成的角，即直線與圓錐底面所成的角，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了球內(nèi)接圓錐，直線與平面所成的角，屬于基礎(chǔ)題.5.現(xiàn)有8位同學(xué)參加音樂(lè)節(jié)演出，每位同學(xué)會(huì)拉小提琴或會(huì)吹長(zhǎng)笛，已知5人會(huì)拉小提琴，5人會(huì)吹長(zhǎng)笛，現(xiàn)從這8人中隨機(jī)選一人上場(chǎng)演出，恰好選中兩種樂(lè)器都會(huì)演奏的同學(xué)的概率是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意：8位同學(xué)會(huì)拉小提琴或會(huì)吹長(zhǎng)笛，已知5人會(huì)拉小提琴，5人會(huì)吹長(zhǎng)笛即可知有2位同學(xué)兩種樂(lè)器都會(huì)演奏，利用古典概型的概率公式求概率即可；【詳解】由題意知，8位同學(xué)中有2位同學(xué)兩種樂(lè)器都會(huì)演奏∴從8人中隨機(jī)選一人上場(chǎng)演出，恰好選中兩種樂(lè)器都會(huì)演奏的同學(xué)的概率為：兩種樂(lè)器都會(huì)演奏的同學(xué)故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型，首先根據(jù)已知判斷兩種樂(lè)器都會(huì)演奏的學(xué)生人數(shù)，然后利用古典概型的概率公式求概率；6.若定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則滿足的解集是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析出函數(shù)在單調(diào)遞增，可得出，然后分、、三種情況解不等式，綜合可得出原不等式的解集.【詳解】由于定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞增，則該函數(shù)在單調(diào)遞增，且，.顯然當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由可得，解得；當(dāng)時(shí)，由可得，解得.因此，不等式的解集為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解函數(shù)不等式，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.7.已知P是邊長(zhǎng)為1正方形ABCD邊上或正方形內(nèi)的一點(diǎn)，則的最大值是()A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)建A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸的直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示各頂點(diǎn)，設(shè)則可用坐標(biāo)表示，由于是兩個(gè)相互獨(dú)立的變量，即可將代數(shù)式中含和的部分分別作為獨(dú)立函數(shù)求最大值，它們的和即為的最大值【詳解】構(gòu)建以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸的直角坐標(biāo)系，如下圖示：由正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，知：，若令，即，；∴，而，，則在上或有最大值為0，在上有最大值為1；∴的最大值為1故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了利用坐標(biāo)表示向量數(shù)量積求最值，首先構(gòu)建直角坐標(biāo)系將目標(biāo)向量用坐標(biāo)表示，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式得到函數(shù)式，進(jìn)而求最大值8.直線是曲線和曲線的公切線，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可求得直線與曲線的切點(diǎn)的坐標(biāo)，由可求得直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，再將兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，可得出關(guān)于、的方程組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，，則，由，可得，則，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程可得，可得，①，則，由，可得，，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程可得，，②聯(lián)立①②可得，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩曲線的公切線求參數(shù)，要結(jié)合切點(diǎn)以及切線的斜率列方程組求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.已知雙曲線中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，漸近線方程為，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行討論，得關(guān)系，再計(jì)算離心率即可.【詳解】若雙曲線焦點(diǎn)在軸上，因?yàn)闈u近線方程為，故，；若雙曲線焦點(diǎn)在軸上，由漸近線方程為，得，.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的離心率，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.10.如圖是函數(shù)的部分圖象，則()A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由圖象可求得函數(shù)的振幅以及最小正周期，可求得的值，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式可求得的值，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由圖象可得，該函數(shù)的最小正周期滿足，可得，，所以，，又，可得，，，B、D選項(xiàng)合乎要求；對(duì)于A選項(xiàng)，，不合乎要求；對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)合乎要求.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求正弦型函數(shù)的解析式，同時(shí)也考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11.已知，則()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由異號(hào)，利用不等式性質(zhì)以及基本不等式即可判斷各選項(xiàng)的正誤；【詳解】即異號(hào)；∴成立，故A正確，而B(niǎo)錯(cuò)誤；又，故C正確；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了不等式，根據(jù)兩數(shù)異號(hào)，結(jié)合不等式性質(zhì)以及基本不等式判斷正誤，屬于簡(jiǎn)單題；12.已知隨機(jī)變量的取值為不大于的非負(fù)整數(shù)，它的概率分布列為……其中滿足，且．定義由生成的函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，為隨機(jī)變量的期望．現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的正四面體型骰子，四個(gè)面分別標(biāo)有1，2，3，4個(gè)點(diǎn)數(shù)，這枚骰子連續(xù)拋擲兩次，向下點(diǎn)數(shù)之和為，此時(shí)由生成的函數(shù)為，則()A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】先求出和，并判斷，則排除選項(xiàng)A，判斷選項(xiàng)C正確；再求出的分布列和的解析式，最后求出，則排除選項(xiàng)B；判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】解：因?yàn)椋瑒t，，令時(shí)，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；連續(xù)拋擲兩次骰子，向下點(diǎn)數(shù)之和為，則的分布列為：故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、由生成的函數(shù)求數(shù)學(xué)期望、求隨機(jī)變量生成的函數(shù)與函數(shù)值，是基礎(chǔ)題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)原點(diǎn)的直線與交于A，B兩點(diǎn)，、都與軸垂直，則=________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中所給的橢圓方程，以及橢圓中三者之間的關(guān)系，可以求得，設(shè)出，由兩點(diǎn)間距離公式可以求得，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，求得，之后代入求得，得到結(jié)果.【詳解】在已知橢圓中，，因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，則與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又、都與軸垂直，設(shè)，則，又在橢圓上，則，得，則，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)橢圓的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有橢圓中三者之間的關(guān)系，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，兩點(diǎn)間距離公式，屬于基礎(chǔ)題目.14.將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前項(xiàng)和為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)．【答案】【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)題意確定數(shù)列的前項(xiàng)，然后通過(guò)等比數(shù)列求和公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是由數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到，所以數(shù)列的前項(xiàng)為、、、、、，則的前項(xiàng)和為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的項(xiàng)以及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，能否根據(jù)題意確定數(shù)列中的項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是簡(jiǎn)單題.15.已知、為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，，，則____．【答案】【解析】【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式得到、，再用湊角得到，最后利用二倍角公式得到答案.【詳解】因?yàn)?、為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以，，因?yàn)?，，所以，，所以，則，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角差的三角公式、倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.16.一半徑為的球的表面積為，球一內(nèi)接長(zhǎng)方體的過(guò)球心的對(duì)角截面為正方形，則該長(zhǎng)方體體積的最大值為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】由球體的表面積公式求出半徑，根據(jù)其內(nèi)接長(zhǎng)方體的過(guò)球心的對(duì)角截面為正方形，設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為即有、，最后利用長(zhǎng)方體的體積公式有，利用基本不等式即可求其最大值【詳解】由半徑為的球的表面積為，知：，有；由題意，若設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，；∴，而長(zhǎng)方體體積∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的表面積和體積，根據(jù)球體表面積公式得到其半徑，由內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角截面為正方形即可得長(zhǎng)、寬、高的等量關(guān)系，利用長(zhǎng)方體的體積公式結(jié)合基本不等式求最值四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．問(wèn)題：是否存在非直角△，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】利用兩角和正弦公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，得到，結(jié)合題設(shè)可知且、，進(jìn)而利用①或②或③求得相關(guān)結(jié)論，判斷是否與題設(shè)矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求值；【詳解】△中，由，得∴；∵△不是直角三角形；∴，則有，即，而，即有；選①：由，及得；由得不合理，故△不存在.選②：由得：，故有；∴為直角，不合題設(shè)，故△不存在．選③：由得：．【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形及三角恒等變換等相關(guān)知識(shí)，利用三角恒等變換中兩角和正弦公式化簡(jiǎn)已知函數(shù)式，進(jìn)而得到相關(guān)結(jié)果，再結(jié)合所給條件得到相關(guān)結(jié)論并判斷是否與題設(shè)矛盾；18.已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)本題首先可設(shè)數(shù)列的公比為，然后根據(jù)題意得出，通過(guò)計(jì)算求出和的值，最后根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果；(2)本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)得出，最后通過(guò)裂項(xiàng)相消法求和即可得出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，所以，解得，故的通?xiàng)公式.(2)因?yàn)椋?，則，故數(shù)列的前項(xiàng)和為：．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及裂項(xiàng)相消法求和，常見(jiàn)的裂項(xiàng)有：、、等，考查計(jì)算能力，是中檔題.19.如圖，三棱錐中，，，平面底面，、分別是、的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正切值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】(1)利用等腰三角形三線合一可得，由面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面；(2)取中點(diǎn)，連接、，證明出平面，可得出二面角的平面角為，通過(guò)解可求得，進(jìn)而得解.【詳解】(1)證明：，是中點(diǎn)，，平面底面，平面底面，平面，平面；(2)如圖，取的中點(diǎn)，連接、，則，，是的中點(diǎn)，，則，，，，，，平面，平面，，，平面，平面，，為二面角的平面角.在中，，因此，二面角的正切值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用面面垂直證明線面垂直，同時(shí)也考查了利用定義求解二面角的正切值，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20.某藥企對(duì)加工設(shè)備進(jìn)行升級(jí)，現(xiàn)從設(shè)備升級(jí)前、后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本檢測(cè)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值:該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，每件售價(jià)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在和內(nèi)的為一等品，每件售價(jià)為180元；質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的為二等品，每件售價(jià)為120元；其余為不合格品，全部銷毀．每件產(chǎn)品生產(chǎn)銷售全部成本50元．下圖是設(shè)備升級(jí)前100個(gè)樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分布直方圖下表是設(shè)備升級(jí)后100個(gè)樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)(1)以樣本估計(jì)總體，若生產(chǎn)的合格品全部在當(dāng)年內(nèi)可以銷售出去，計(jì)算設(shè)備升級(jí)前一件產(chǎn)品的利潤(rùn)(元)的期望的估計(jì)值．(2)以樣本估計(jì)總體，若某位患者從升級(jí)后生產(chǎn)的合格產(chǎn)品中隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)兩件，設(shè)其支付的費(fèi)用為(單位：元)，求(元)的分布列．【答案】(1)118元；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)產(chǎn)品等級(jí)得取值，利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率，得到分布列并計(jì)算期望即可；(2)先列出患者購(gòu)買(mǎi)一件合格品費(fèi)用的分布列，再寫(xiě)患者隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)兩件時(shí)的分布列即可.【詳解】解：(1)由題設(shè)知，產(chǎn)品等級(jí)分為不合格、品二等品，一等品，優(yōu)等品，則，根據(jù)頻數(shù)分布表得到的分布列為:設(shè)備升級(jí)前利潤(rùn)的期望值為:∴升級(jí)前一件產(chǎn)品的利潤(rùn)的期望估計(jì)值為118元．(2)升級(jí)后設(shè)患者購(gòu)買(mǎi)一件合格品的費(fèi)用為(元)則，患者購(gòu)買(mǎi)一件合格品的費(fèi)用的分布列為故患者隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)兩件時(shí)則升級(jí)后患者購(gòu)買(mǎi)兩件合格品的費(fèi)用的分布列為【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖和頻率分布表的應(yīng)用，以及分布列和期望的計(jì)算，屬于中檔題.21.已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)單調(diào)性；(2)討論的零點(diǎn)的個(gè)