湖南省長沙市2024-2025學年高三上學期新高考適應性考試數(shù)學試題 含解析

第1頁/共1頁長沙市2025年新高考適應性考試數(shù)學本試卷共5頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項:1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.請保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)的值是（）A.1 B. C.i D.【答案】D【解析】【分析】應用復數(shù)的乘方運算化簡即可得.【詳解】根據(jù)復數(shù)乘方運算，有.故選：D2.若空間中三條不同直線滿足，且，則直線與直線必定（）A.平行 B.相交 C.垂直 D.異面【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線a,b,c的方向向量分別為，由條件證明，由此判斷結(jié)論.【詳解】設(shè)直線a,b,c的方向向量分別為，則都不是零向量，因為，且，所以，，所以.所以直線與直線必定垂直.故選：C.3.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義，可得答案.【詳解】由角的終邊經(jīng)過點，所以根據(jù)任意角三角函數(shù)定義，得.故選：C4.已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則其導函數(shù)f′x的圖象可能是（A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得到導函數(shù)的正負，當時，原函數(shù)斜率為零，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可得函數(shù)的圖象為單調(diào)遞增，則其導函數(shù)恒成立，排除A、D兩個選項，對于B，當，，對應的原函數(shù)此時斜率為零，該選項滿足題意；選項C不符合題意；故選：B.5.若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的最大值是（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】易知，由時，，根據(jù)在區(qū)間上是增函數(shù)，由求解.【詳解】解：，當時，，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，則，所以，則的最大值是，故選：A6.在中，.若于，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題，B，C，D三點共線，可設(shè)，然后由可得答案.【詳解】由圖及題，B，C，D三點共線，則.又于，則.，則.故選：B7.已知拋物線上兩點滿足，若線段的中點的縱坐標的最小值為4，則（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】分析】設(shè)直線，聯(lián)立方程結(jié)合弦長可得，進而求得，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性分析最值即可.【詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去y可得，則，且，由題意可得，整理可得，又因為，令，則，構(gòu)建當，即時，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，可得，解得，不合題意；當，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，可得，解得，符合題意；綜上所述：.故選：B.【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法1.數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；2.構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）．8.已知函數(shù)，若在存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求出和時，函數(shù)的最小值，由題意，列出不等式，借助函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】當時，單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，當時，單調(diào)遞減，所以，無最小值，因為在存在最小值，所以，令，因為和在上均單調(diào)遞增，所以在上均單調(diào)遞增，又因為，所以當時，，即成立，所以的解集為.故選：D二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.為了解某種新產(chǎn)品的加工情況，并設(shè)定工人每天加工該產(chǎn)品的最少數(shù)量.相關(guān)部門從工廠隨機抽查了100名工人在某天內(nèi)加工該產(chǎn)品的數(shù)量.現(xiàn)將這些觀測數(shù)據(jù)進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.樣本觀測數(shù)據(jù)的極差不大于50B.樣本觀測數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率為0.025C.樣本觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)D.若將工人每天加工產(chǎn)品的最少數(shù)量設(shè)為55，估計80%的工人能完成任務(wù)【答案】ACD【解析】【分析】由頻率分布直方圖可求出極差判斷A；由頻率公式判斷B，分別求出平均數(shù)和中位數(shù)判斷C；由數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率判斷D.【詳解】對于A，由頻率分布直方圖可知，樣本數(shù)據(jù)極差最大值為，故A正確；對于B，由頻率分布直方圖可知，數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率為，故B錯誤；對于C，由頻率分布直方圖可知，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因為數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率為，數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率為，所以中位數(shù)位于區(qū)間中，設(shè)為，則，解得，所以數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，，故C正確；對于D，由C知，數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率為，故將工人每天加工產(chǎn)品的最少數(shù)量設(shè)為55，估計80%的工人能完成任務(wù).D正確.故選：ACD10.已知是等比數(shù)列的前項和，滿足成等差數(shù)列，則（）A.成等比數(shù)列B.成等差數(shù)列C.成等比數(shù)列D.成等差數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可判斷A的真假，根據(jù)條件，求等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式及前項和公式，可判斷BCD的真假.【詳解】對A：因為數(shù)列為等比數(shù)列，可設(shè)首項為（），公比為（），則，所以，，成等比數(shù)列，故A正確；對B：若等比數(shù)列的公比，則，，，根據(jù)，，成等差數(shù)列，則，即，這與矛盾，故不成立；當時，由.所以，兩邊同乘以得：，即，所以，，成等差數(shù)列，故B正確；對C：若，，成等比數(shù)列，則，因為，所以：，又，所以，所以，所以，這與矛盾，故，，不可能成等比數(shù)列，故C錯誤；對D：因為，，兩邊同乘以，得，可得，即，所以，，成等差數(shù)列，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)與，且，使得任意，恒有，則稱函數(shù)是廣義周期函數(shù).下列說法正確的有（）A.一次函數(shù)（為常數(shù)）是廣義周期函數(shù)B.若是廣義周期函數(shù)，則存在實數(shù)，使得是周期函數(shù)C.若有兩個不同的對稱中心，則是廣義周期函數(shù)D.若與都是廣義周期函數(shù)，則也是廣義周期函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】把代入一次函數(shù)的解析式即可證明一次函數(shù)為廣義周期函數(shù)，根據(jù)廣義周期函數(shù)的定義可推出選項正確，利用對稱中心的結(jié)論可解決選項.，選項可通過周期函數(shù)的結(jié)論來推.【詳解】對于,由，只需使故一次函數(shù)（為常數(shù)，且）是廣義周期函數(shù)，故正確；對于,若是廣義周期函數(shù)，則存在常數(shù)與，且，使，則,令，得,即存在實數(shù)，使得，此時，是周期函數(shù)，即正確；對于,若有兩個不同的對稱中心和，因為為函數(shù)的對稱中心，所以，因為為函數(shù)的對稱中心，所以，上面兩式做減法可得：，所以用去代替上式中的可得：，故是廣義周期函數(shù)，故正確.對于,因為與都是廣義周期函數(shù)，則存在常數(shù)與，恒有，存在常數(shù)與，恒有.設(shè)，因與沒有特定的數(shù)量關(guān)系，故得不到為廣義周期函數(shù).故錯誤.故選：.三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知長為2的線段的兩個端點和分別在軸和軸上滑動，則線段的中點的軌跡方程是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出線段的中點到原點的距離，再根據(jù)圓的定義寫出該點的軌跡方程.【詳解】解：設(shè)線段的中點，若不與原點重合時，則是直角三角形，且為直角，則,即的軌跡是以原點為圓心，以為半徑的圓，方程為，若有一個是原點，同樣滿足，故線段的中點的軌跡方程是：.故答案：13.如圖所示，將一個圓心角為的扇形紙板剪掉扇形，得到扇環(huán)，現(xiàn)將扇環(huán)圍成一個圓臺.若，則該圓臺的體積為______.【答案】##【解析】【分析】利用圓臺體積為一個大圓錐的體積減去一個小圓錐的體積，利用母線長可求得大圓錐的底面圓半徑，進而求得圓錐的高，可求大圓錐的體積，同理求得小圓錐的體積，可求圓臺的體積.【詳解】圓臺的體積為一個大圓錐的體積減去一個小圓錐的體積，扇形所圍成的大圓錐的弧長為，所圍成底面圓的半徑為，所以圓錐的高為，故扇形所圍成的大圓錐的體積為.同理可得扇形所圍成的小圓錐的體積為，所以則該圓臺的體積為.故答案為：.14.在中，角所對的邊分別為，且外接圓半徑為，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理和三角形的面積公式可得，又，利用余弦定理和三角形的面積公式可得，再由基本不等式可得，進而得，即可求得的最大值.【詳解】設(shè)的面積為，的外接圓半徑為，由正弦定理，則，則，由余弦定理，則，由，得，所以，當且僅當時取等號，所以，則的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是先由正弦定理和三角形的面積公式可得，再由余弦定理和三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可得.四、解答題:本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.甲同學計劃去參觀某景點，但門票需在網(wǎng)上預約.該同學從第一天開始，每天在規(guī)定的預約時間段開始預約，若預約成功，便停止預約；若連續(xù)預約三天都沒成功，則放棄預約.假設(shè)該同學每天預約門票成功的概率均為0.7，（1）求甲同學到第三天才預約成功的概率；（2）記為甲同學預約門票的天數(shù)，求的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立事件的乘法公式及互斥事件的概率求和公式可得答案.（2）求出隨機變量的可能取值和概率可得答案；【小問1詳解】設(shè)甲同學到第三天才預約成功的事件為，根據(jù)獨立事件的乘法公式，；【小問2詳解】隨機變量的可能取值為，，，，23；16.如圖，在平行六面體中，，且，設(shè)與的交于點.（1）證明:平面；（2）若，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先通過證明平面，得到，再通過等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)線面垂直的判定定理可證平面.（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求直線與平面所成角的正弦.【小問1詳解】因為底面為平行四邊形，且，所以為菱形，所以.又，，平面，且，所以平面.因為平面，所以.在和中：（）.所以.又為中點，所以.又，平面，且，所以平面.【小問2詳解】由（1）可知，，，兩兩垂直，所以以為原點，建立如圖空間直角坐標系：因為，，，所以，，.所以，，，.所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得.所以，，.設(shè)直線與平面所成的角為，則.17.已知函數(shù)，其中.（1）若在點處的切線與兩坐標軸所圍成三角形的面積為，求的值；（2）若是的極小值點，證明:.【答案】（1）；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，根據(jù)切線與兩坐標軸所圍成三角形的面積列方程求參數(shù)即可；（2）對函數(shù)求導，根據(jù)易知可得，應用分析法轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造且，問題化為，導數(shù)研究函數(shù)最值可得，應用反證法證明時得到矛盾結(jié)論，即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，則，所以在點處的切線為，令，則；令，則，所以切線與兩坐標軸所圍成三角形的面積，可得.【小問2詳解】由（1），且，，，由是的極小值點，則且，可得，要證，即，需證，即，令且，只需證，而，所以當時，，當時，，所以上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故，綜上，只需，即即可，若，則，故，此時，且，對于，則，顯然時，時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，故單調(diào)遞增，無極小值，不符合題設(shè)；綜上，，故得證.18.已知橢圓C:x2a2+y2（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于兩點，點為的外心.（i）若為等邊三角形，求點的坐標；（ii）若點在直線上，求點到直線的距離的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距為，離心率為即可求出，再由即可求出，進而得橢圓的方程；（2）（i）根據(jù)為等邊三角形，可設(shè)直線的方程為：，根據(jù)求得的值，點為外心，即為中垂線的交點；(ii)設(shè)直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立方程組有，的外心點在直線上，所以有，即可得，最后由點到直線的距離得，利用函數(shù)求出最值即可.【小問1詳解】因為橢圓的焦距為，又因為離心率為，所以，由得，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】（i）因為為等邊三角形，所以，由對稱性可知關(guān)于軸對稱，可設(shè)直線的方程為：，當時，，所以點，點，，因為，所以，化簡整理有：，解得或-（舍去），又因為點為的外心，即為的重心，設(shè)，則有，所以；（ii）當直線的斜率為0時，線段的中垂線為軸，不滿足題意.設(shè)直線的方程為：，則有：，所以，設(shè)，則有：，設(shè)、為線段，的中點，則，，可得線段的中垂線方程為，即①，同理可得線段的中垂線方程為②，聯(lián)立①②解得，由，可得，即，代入不等式，解得且，則，所以點到直線的距離為，設(shè)函數(shù)，，則在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，可得，進而得.綜上，點到直線的距離的取值范圍為.【點睛】難點點睛：圓錐曲線類的綜合解答題，解答思路一般并不困難，難點在于復雜的計算，并且大多都是字母參數(shù)的運算，因此要求學生有較強的計算能力和推理能力.19.已知無窮數(shù)列滿足.對于集合，定義若，則；若，則.（1）若，求集合；（2）若，集合，且，求中元素個數(shù)的可能值；（3）若，