湖南省百師聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學試題 含解析

學年高二年級上學期期末檢測卷數(shù)學試題答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間為分鐘，滿分分85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線一般式方程求出斜率，即可計算得出傾斜角.【詳解】易知直線的斜率，設傾斜角為，易知,所以，可得.故選：D.2.橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出、的值，即可得出該橢圓的離心率的值.第1頁/共18頁【詳解】在橢圓中，，，所以，所以，，所以，該橢圓的離心率為.故選：B.3.已知正方體的棱長為2，，，分別為向量，，的單位向量.下列用，，表示的向量中，正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法法則與減法法則逐一驗證即可.【詳解】對于選項A：因為，，，，A錯誤；對于選項B：，故B錯誤；對于選項C：，故C正確；對于選項D：，故D錯誤.故選：C.4.在等差數(shù)列中，為其前項和.若，，則（）A.210B.420C.198D.105【答案】A【解析】【分析】列方程組求出等差數(shù)列的首項和公差，再利用等差數(shù)列的前項和公式可求得結果.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以解得，所以.第2頁/共18頁故選：A.5.若雙曲線：的一條漸近線被圓所截得的弦長為的離心率為（）A.B.3C.D.【答案】B【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線距離公式及圓的弦長公式列式求出離心率.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，雙曲線的漸近線方程為，依題意，圓的圓心到直線的距離為，則，所以離心率.故選：B6.在數(shù)列中，為其前項和.若，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)與的關系式，求得，進而得到數(shù)列是等比數(shù)列，再用公式計算即可.【詳解】因為，所以當時，.兩式相減，得，.因為，且當時，，所以，所以，所以數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，所以.故選：C.7.給定一個點和一個向量，那么過點，且以向量為法向量的平面可以表示為集合，第3頁/共18頁的方程為.根據(jù)以上信息，解決下面問題：已知平面的方程為是兩平面與與平面所成角的正弦值為（）A.0B.C.D.【答案】D【解析】的方向向量為公式求解.【詳解】由題意可知，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為.又直線是平面與平面的交線，設直線的方向向量為，則取，則.設與平面所成的角為，則.故選:D.8.若是函數(shù)的極小值點，則的極大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，求出a的值，再由a的取值和單調性即可求出取得極大值，即可求的結果.第4頁/共18頁【詳解】因為，所以.又是函數(shù)的極小值點，所以，解得或.當時，恒成立，函數(shù)單調遞增，不符合題意，舍去.當時，，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；是的極小值點，所以，.由以上分析知，當時，取得極大值，且.故選：B.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列，以下說法正確的有（）A.B.當時，C.當時，是數(shù)列中的項D.若是數(shù)列的項，則的值不可能為7【答案】ABC【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式即可判斷選項A與選項B項C；利用等差數(shù)列概念即可判斷D.第5頁/共18頁【詳解】對于A，由題意得，A正確；對于B，當時，數(shù)列的首項為2，公差為，故，B正確；對于C，由B選項可知，令，解得，所以是數(shù)列的第8項，C正確；對于D，，，中的項在等差數(shù)列中對應的項的序號是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，即，若是數(shù)列的項，令，當時，，D錯誤.故選：ABC.10.已知拋物線：與雙曲線：在拋物線上，則下列結論正確的有（）A.雙曲線的離心率為3B.雙曲線的漸近線方程為C.D.點到拋物線的焦點的距離為8【答案】ABD【解析】ABC的定義即可判斷D項.【詳解】對于A，在雙曲線：中，，，則雙曲線的離心率為3，故A正確；對于B，由可得雙曲線的漸近線方程為，即，故B正確；對于C，由上分析，可得拋物線中，，即得，故C錯誤；對于D，由拋物線的定義，可得點到拋物線的焦點的距離等于點到拋物線的準線第6頁/共18頁的距離，即，故D正確.故選：ABD.如圖，在棱長為2的正方體中，，，，則下列說法正確的有（）A.B.三棱錐的體積最大值為1C.若，則點到直線的距離為D.三棱錐外接球球心軌跡的長度近似為【答案】ACD【解析】A體積的表達式，利用二次函數(shù)即可得到選項B中最大值；利用點到線的距離公式即可求得點到直線的距離為CD正確.【詳解】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示.設，第7頁/共18頁則，，，，.對于選項A：因為，，所以，所以，所以，A正確.對于選項B：三棱錐的體積，所以當時，三棱錐的體積取得最大值，B錯誤.對于選項C：若，則，，，所以，，所以點到直線的距離，C正確.對于選項D：設，的中點分別為，，過點作平面的垂線，過點作與棱垂直的平面，直線與平面交于點，則點為外接球的球心，顯然點的軌跡長度與點的軌跡長度相等.因為，，所以.在平面內，點的軌跡方程為，且，，故點的軌跡長度近似為，即三棱錐外接球球心軌跡的長度近似為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知數(shù)列滿足：（mm的所有可能取值之和為__________.【答案】【解析】【分析】由結合遞推關系式，分情況討論，分別求出的值即可．第8頁/共18頁【詳解】當時，則，可知或，若，則；若，則；綜上所述，或，即m的所有可能取值之和．故答案為：13.直線：與橢圓：交于，上頂點為點的面積為______.【答案】【解析】【分析】將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式求出，并求出點到直線的距離求高，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】設點，.由消去，整理得，，所以，，所以.橢圓的上頂點，點到直線的距離，所以的面積.故答案為：.14.若曲線的一條切線方程為，則______.【答案】【解析】第9頁/共18頁【分析】求導，根據(jù)斜率可得，即可代入求解.【詳解】設，則.設切點為，由題意，得，即，解得，所以，所以，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，且點，在圓上.（1）求圓的標準方程；（2）若傾斜角為的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】1）利用圓的弦的中垂線經(jīng)過圓心，結合題設求出圓心和半徑，即得圓的方程；（2）由弦長求出圓心到弦距離，設直線的方程為，由點到直線的距離公式列方程，解之即得.【小問1詳解】因為點，，所以直線的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為1.因線段的中點為，則線段的垂直平分線的方程為.由解得故圓心，半徑，故圓的標準方程為.【小問2詳解】第10頁/共18頁（可以一起）如圖，因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為.因為弦長，所以圓心到直線的距離.設直線的方程為，則點到直線的距離.由，解得或，所以直線的方程為或.16.如圖，在長方體中，，是的中點，是的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1和平面垂直證明面面垂直即可；第11頁/共18頁（21答案.【小問1詳解】如圖，以為坐標原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，.設平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以.設平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以.因為，所以，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，，，第12頁/共18頁平面的一個法向量為.設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以.設平面與平面的夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為.17.已知函數(shù)．（1）當時，求的單調性；（2）若函數(shù)在處取得極小值，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】1）在時，對函數(shù)求導后分解因式，根據(jù)導函數(shù)的正負即可判斷原函數(shù)的單調性；（2）對函數(shù)求導后，對，，，的情況進行討論，由題意即得參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，則，令，解得或．第13頁/共18頁令，解得，所以在上單調遞減；令，解得或，即在，上單調遞增．綜上，函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減．【小問2詳解】由求導得，①當時，恒成立，令，解得，即在上單調遞減；令，解得，即在上單調遞增，故時，函數(shù)在處取得極小值，符合題意；②當時，令，解得，，且，當時，，函數(shù)在上單調遞減；當時，，函數(shù)在上單調遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意．③當時，令，解得，此時恒成立且不恒為0，單調遞增，故函數(shù)無極值，不符合題意．④當時，令，解得，，且，當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，，函數(shù)在上單調遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意．綜上，實數(shù)的取值范圍是．18.已知圓，定點，D是圓A上的一動點，線段DB的垂直平分線交半徑DA于點E．（1）求點E的軌跡方程；第14頁/共18頁（2）若直線m與點E的軌跡交于MN兩點，與圓相交于PQ兩點，且，求面積的最大值．【答案】（1）（2）1【解析】1）根據(jù)題意分析可知，結合橢圓的定義求軌跡方程；（2到直線m的距離m的方程為，，聯(lián)立方程結合韋達定理求，進而可求的面積，并利用基本不等式求最大值.【小問1詳解】圓的圓心為，半徑為4．因為D是圓上的一個動點，線段DB的垂直平分線交半徑DA于點E，則，可得，因此E點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中，所以點E的軌跡方程為．【小問2詳解】圓的圓心為，半徑為2，由題意可知：圓心到直線m的距離，第15頁/共18頁結合點E的軌跡方程可知：直線m的斜率可以不存在，但不為0，設直線m的方程為，，可得，整理得，即，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，則，所以△OMN面積為，且，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以△OMN面積的最大值為1.【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關的最值問題的兩種解法（1）數(shù)形結合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質求解．（2）構建函數(shù)法：先引入變量，構建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或導數(shù)法求第16頁/共18頁19.已知等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，是的前項和，，.（1）求數(shù)列的通項公式及其前項和；（2）若，求值.【答案】（1），（2）【解析】1）代入等比數(shù)列的基本量，即可求解；（2）分情況討論，求出，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和，結合錯位相減計算即可.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為，則.由，，得，即，解得或（舍去）.所以，【小問2詳解】由（1）知，，所以.因為，所以當時，，當時，，；當時，，；當時，，，當