人教版數(shù)學(xué)八下同步講練課件18.2 特殊的平行四邊形 第四課時

18.2特殊的平行四邊形第4課時目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入菱形的性質(zhì)：ABCDO(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；(2)菱形的四條邊都相等；(3)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；新課精講探索新知1知識點由對角線的位置關(guān)系判定菱形同學(xué)們想一想，我們在學(xué)習(xí)平行四邊形的判定和矩形的判定時，我們首先想到的第一種方法是什么？那么類比著它們，菱形的第一種判定方法是什么？根據(jù)定義得：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.探索新知平行四邊形菱形一組鄰邊相等還有其它的方法嗎？探索新知

用一長一短兩根細木條，在它們的中點處固定一個小釘，做成一個可以轉(zhuǎn)動的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個四邊形.轉(zhuǎn)動木條，這個四邊形什么時候變成菱形?猜想一：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。探索新知證明：判定一：對角線互相垂直的平行四形是菱形.DCBA已知：在ABCD中有對角線AC⊥BD，且相交于點O求證：ABCD是菱形∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴BO=DO又∵AO=AO，∠AOD=∠AOB∴△AOD≌△AOB.∴AD=AB∴ABCD是菱形O探索新知歸納對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.提示：此方法包括兩個條件

——(1)是一個平行四邊形；(2)兩條對角線互相垂直.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.探索新知例1如圖，□ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且

AB=5，AO=4，BO=3.求證：□

ABCD

是菱形.∵AB=5，AO=4，BO=3，∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形，AC⊥BD.∴□ABCD是菱形.證明：探索新知總結(jié)證明一個四邊形是菱形的方法：

若已知要證的四邊形的對角線互相垂直，則要考慮證明這個四邊形是平行四邊形．典題精講1如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是一個菱形嗎？為什么？四邊形ABCD是一個菱形．理由：由題意易得AB＝BC＝CD＝AD，所以四邊形ABCD是菱形．解：典題精講2如圖，四邊形ABCD

是軸對稱圖形，且直線AC

是對稱軸，BD與AC交于點O，AB∥CD，則下列結(jié)論：①AC⊥BD；②AD∥

BC；③四邊形ABCD

是菱形；④△ABD≌△CDB.其中正確的是____________(只填寫序號).①②③④探索新知2知識點由邊的數(shù)量關(guān)系判定菱形

我們知道，菱形的四條邊相等.反過來，四條邊相等的四邊形是菱形嗎?思考探索新知例2如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，

點E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中

點．試說明：四邊形EFGH是菱形．由于點E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中點，可知EH，HG，GF，F(xiàn)E分別是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD的中位線，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，根據(jù)“四條邊相等的四邊形是菱形”可得四邊形EFGH是菱形．

導(dǎo)引：探索新知∵點E，H分別為AD，AC的中點，∴EH為△ACD的中位線，∴EH＝

CD.同理可證：EF＝

AB，F(xiàn)G＝

CD，HG＝

AB.∵AB＝CD，∴EH＝EF＝FG＝HG，∴四邊形EFGH是菱形．解：探索新知總

結(jié)

有較多線段相等的條件時，我們可考慮通過證明四條邊相等來證明這個四邊形是菱形．注意：本例也可以通過先證四邊形EFGH是平行四邊形，再證一組鄰邊相等，只不過步驟復(fù)雜一點，讀者不妨試一試．探索新知要證明一個四邊形是菱形，一般先證明它是平行四邊形，再證明它的一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直．例3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC

于點D，CH⊥AB于點H，交AD于點F，DE⊥AB于點E，

那么四邊形CDEF是菱形嗎？說說你的理由．導(dǎo)引：探索新知四邊形CDEF是菱形．理由如下：∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE，∠4＋∠5＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC.又∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2.∴CF＝CD，∴CF＝DE，即CF

DE.∴四邊形CDEF是平行四邊形．又∵DC＝DE，∴四邊形CDEF是菱形．∥＝解：探索新知總

結(jié)判定菱形的方法：①若用對角線進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角線互相垂直平分；②若用邊進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都相等．典題精講一個平行四邊形的一條邊長是9，兩條對角線的長分別是12和，這是一個特殊的平行四邊形嗎？為什么？求出它的面積.1這是一個特殊的平行四邊形，是菱形．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝9，BD＝12，AC＝所以O(shè)B＝OD＝6，OA＝OC＝解：典題精講因為62＋()2＝92，即OB2＋OA2＝AB2，所以△AOB是直角三角形，所以AO⊥BO，即AC⊥BD，所以平行四邊形ABCD是菱形．S菱形ABCD＝

AC·BD＝

×6×12＝36.典題精講2如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD互相垂直，則下列條件能判定四邊形ABCD為菱形的是(

)A．BA＝BC

B．AC，BD互相平分C．AC＝BD

D．AB∥CDB典題精講3如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，添加下列條件不能判定?ABCD是菱形的只有(

)A．AC⊥BD

B．AB＝BC

C．AC＝BD

D．∠1＝∠2C典題精講4如圖，將?ABCD沿AE翻折，使點B恰好落在AD上的點F處，則下列結(jié)論不一定成立的是(

)A．AF＝EF

B．AB＝EF

C．AE＝AF

D．AF＝BEC典題精講5如圖，在△ABC中，點D是邊BC上的點(與B，C兩點不重合)，過點D作DE∥AC，DF∥AB，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，下列說法正確的是(

)A．若AD⊥BC，則四邊形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是矩形C．若BD＝CD，則四邊形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形D典題精講6如圖，四邊形ABCD的四邊相等，且面積為120cm2，對角線AC

＝24cm，則四邊形ABCD的周長為(

)A．52cm

B．40cmC．39cmD．26cmA易錯提醒下列命題：①四邊都相等的四邊形是菱形；②兩組鄰邊分別相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；④對角線相等的四邊形是菱形；⑤一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形．其中正確的是__________(填序號)．①③⑤易錯提醒易錯點：臆造菱形的判定方法導(dǎo)致出錯.①②③⑤錯解：②是最容易出錯的，兩組鄰邊分別相等的四邊形不一定是菱形，如圖，AB＝AD，BC＝CD，但四邊形ABCD不是菱形．判定菱形時，要區(qū)分是在四邊形還是平行四邊形的基礎(chǔ)上進行判定的，要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系．診斷：學(xué)以致用小試牛刀1如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F.如果AE＝4cm，那么四邊形AEDF的周長為(

)A．12cmB．16cmC．20cmD．22cmB小試牛刀2如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB和直角邊AC為邊向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，F(xiàn)為AB的中點，DE與AB交于點G，EF與AC交于點H，∠BAC＝30°.給出以下結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD＝4AG；

④FH＝

BD.其中正確的結(jié)論是(

)A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④C小試牛刀3如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊CD上一點，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于點F，P是EB延長線上一點，下列結(jié)論：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正確結(jié)論的個數(shù)為(

)A．1B．2C．3D．4D小試牛刀如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別是邊

BC，AB上的中點，連接DE并延長至點F，使EF＝2DE，

連接CE，AF.

(1)求證：AF＝CE；

(2)當(dāng)∠B＝30°時，試判斷四邊形ACEF的形狀并說明理由．小試牛刀(1)證明：∵點D，E分別是邊BC，AB上的中點，∴DE∥AC，且DE＝

AC.∴AC＝2DE.∵EF＝2DE，∴EF＝AC，又∵EF∥AC，∴四邊形ACEF是平行四邊形．∴AF＝CE.(2)解：四邊形ACEF是菱形．理由如下：∵在Rt△ABC中，E為AB的中點，∴EC＝

AB.∵∠B＝30°，∴AC＝

AB.∴AC＝EC.∵四邊形ACEF是平行四邊形，

∴四邊形ACEF是菱形．小試牛刀如圖，在矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F.

(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)當(dāng)∠ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由．小試牛刀(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC、AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB.∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠BDC.∴∠EBD＝∠FDB.∴BE∥DF.又∵AD∥BC，∴四邊形BEDF是平行四邊形．證明：小試牛刀(2)當(dāng)∠ABE＝30°時，四邊形BEDF是菱形．

理由：∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°.∴∠EDB＝∠EBD＝30°.∴EB＝ED.

又∵四邊形BEDF是平行四邊形，∴四邊形BEDF是菱形．解：小試牛刀如圖，在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線

交AD于點E，交CB的延長線于點F，連接AF，BE.(1)求證：△AGE≌△BGF；(2)試判斷四邊形AFBE的形狀，并說明理由．小試牛刀(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠AEG＝∠BFG.∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG.

在△AGE和△BGF中，∴△AGE≌△BGF(AAS)．(2)解：四邊形AFBE是菱形，理由如下：∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF.∵AD∥BC，∴四邊形AFBE是平行四邊形．

又∵EF⊥AB，∴四邊形AFBE是菱形．小試牛刀如圖①，將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折

疊，頂點C落到點E處，BE交AD于點F.

(1)求證：△BDF是等腰三角形；

(2)如圖②，過點D作DG∥BE，交BC于點G，連接FG

交BD于點O.①判斷四邊形BFDG的形狀，并說明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的長．小試牛刀(1)