高中數(shù)學(xué)人教A版必修 第四章 三角函數(shù)與解三角形（備課資源）

第四章三角函敬與解三角形

第1節(jié)任意角、弧度制及三角函數(shù)的概念

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P89

考試要求

1.了解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能進(jìn)行弧度與角度的互化，會(huì)對(duì)扇形進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.

3.理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義.

知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)全通關(guān)

一、角的概念的推廣

1.任意角

（1）定義:角可以看成平面內(nèi)一條射線繞告它的豌點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.

（2）分類:角按旋轉(zhuǎn)方向分為H、19匚二角.

2.所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是j

3.象限角:使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合》的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么角的終邊（除頂點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾

象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

二、弧度制的定義和公式

1.定義:長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫作?了.

2.角度制和弧度制的互化:180°=nrad,1°=喘rad,1rad<-^_)^(

3.扇形的弧長(zhǎng)公式扇形的面積公式:5=〃弓/取<

三、任意角的三角函數(shù)

1.定義:設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)HxM，則sina=,cosa=,tana=^;

若。的終邊上有一點(diǎn)HxM（與原點(diǎn)。不重合），則sina*,8sa^.tan。中"0）,其中r=y/x2+y2.

2,三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.

兩個(gè)重要結(jié)論

（1）單位圓上任至一點(diǎn)可設(shè)為（aR）.

⑵若在（0弓）,則sina〈a<tana.

自我診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對(duì)的打％",錯(cuò)的打"力)

(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是蛻角.

(2)角a的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)尸的位置無(wú)關(guān)(。與原點(diǎn)。不重合).

(3)不相等的角終邊一定不相同.()

(4)若a為第一象限角，則sina*cosa>\.()

(5)1弧度的角就是長(zhǎng)度為1的弧所對(duì)的圓心角.()

專案(1)*(2)V(3)x(4)V(5)*

2.(教材改墉)下列與竽的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是().

A.2E45。儂Z)BA36(rT"eZ)

C.*360°315°(依Z)D.An%aZ)

答C

與年的終邊相同的角可以寫(xiě)成2附片(代Z),但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確.故選C.

3.(2023?山西期中)已知角8的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸非負(fù)半軸重合，若41力是角8終邊上的一點(diǎn)，且sin8=呼，則

y=_______?

答案-3

解析因?yàn)閟in6=嚼<0,4】同是角8終邊上一點(diǎn)，所以y<0,

由三角函數(shù)的定義，得宜=端，解得片S或y=3(舍去).

4.

(2022年全國(guó)甲卷)沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作.其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”.如圖,&是以。為圓

心,04為半徑的圓弧，。是48的中點(diǎn)，。在藍(lán)上,CDM8.“會(huì)圓術(shù)”給出?的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式:sJ8嚕.當(dāng)

。4與/力。840°時(shí),s<).

A11-3心If?

A-2~0n~2~

C邛D邛

答案B

［析:OA=OB^zAOB=60°,.

:C是的中點(diǎn)，。在觸上,CAU&

延長(zhǎng)。?？傻?。在。。上（圖略）,8=8-00=245,

.3他唔=2”。邛中.

0A222

故選B.

怎曰考點(diǎn)題型命題全研透

考點(diǎn)一任意角及其表示

命題角度1象限角的表示

【例1】（1）已知a是第二象限角，則180°口是（）.

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案A

由。是第二象限角可得90c*A-360°<a<\80°+^-360°（*eZ）.

所以180°<90°心360°）>180°口>180°<180°+左360°）（依2）,

即90°/360°X80°-a>-k360°（AeZ）,

所以180。-。為第一象限角.

（2）若角。是第二象限角則牌第象限角.

答案一或三

:a是第二象限角，.多#2AnW<TT+2ATT,AGZ,

專鈉14祎+后,依Z.當(dāng)4為偶數(shù)是第一象限角;當(dāng)之為奇數(shù)時(shí)5是第三象限角.

42222

綜上，合是第一或第三象限角.

1.給定一個(gè)角判斷它是第幾象限角的思路

判斷角。是第幾象眼角的常用方法:將。寫(xiě)成A+上360°（其中在Z/在0°~350°范圍內(nèi)）的形式，觀察角/?的終邊所在的象限即

可.

2.分角、倍角所在象限的判定思路

（1）求解的思維模式:由欲求想需求由己知想可知,抓住內(nèi)在聯(lián)系,確定解題方略.

（2）由a的象限弱定2a的象限時(shí),應(yīng)注意2a可能不再是象限角，對(duì)此特殊情況應(yīng)特別指出.如a=135°,而2^=270。就不再是象限

角.

感悟?qū)嵺`

1.（2023?濰坊模抵）集合IJ依Z）中的角a所表示的區(qū)域（陰影部分）是（）.

ABCD

笞等c

當(dāng)々"neZ）時(shí),2m空區(qū)2加號(hào),此時(shí)角。表示的區(qū)域與導(dǎo)例表示的區(qū)域一樣;當(dāng)k3+1（必

時(shí),2m*n半公2mHi與此時(shí)a表示的區(qū)域與與SS多表示的區(qū)域一樣.故選C.

2.（2023,河南周口模擬）若角a為第一象限角網(wǎng)0天180°回依Z）是第象限角.

答案一或三

:a是第一象限角，.:當(dāng)4為偶數(shù)時(shí)從180。坨的終邊在第一象限;當(dāng)4為奇數(shù)時(shí)從180。。的終邊在第三象限.故

Q，rT80°+a在Z）是第一或第三象限角

命題角度2終邊相同的角的表示

（->12］（改編）若角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)屏點(diǎn),始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角a的取值集合是（）.

A.{a|a=2kn-^,kz|

B.{a|a=2kn+y,k^Z）

C.{a|a=kn-g,kz|

D.1a|a=kn-^,kz}

答案D

因?yàn)橹本€X-、口”的傾斜角是:依門a=-V3,

所以終邊落在直線尸Mx上的角的取值集合為{a|a=kn《,kz}或{a|a=〃rr+與山斗故選D.

利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合.然后通過(guò)對(duì)集合中的參

數(shù)《依Z）賦值來(lái)求得所需的角.

感悟?qū)嵺`

1.（2023?赤峰高三月考）若角。的終邊與240。角的終邊相同，則角F的終邊所在的象限是（）.