專題訓(xùn)練：數(shù)列綜合應(yīng)用30題（解析版）

專題訓(xùn)練：數(shù)列綜合應(yīng)用30題1．（2023·河北·高二石家莊市第四中學(xué)?？计谥校┦菙?shù)列的前n項和，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列中最小的項．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足上式，所以.（2）,,當(dāng)時,,即,所以;當(dāng)時,,即,所以;所以列中最小的項為.2．（2023·山東·高二青島二中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）求的最小值，并指出取何時取得最小值.【答案】（1）；（2）的最小值為，對應(yīng)或【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，，解得，所以.（2）由，解得，所以當(dāng)或時取得最小值，且的最小值為.3．（2023·陜西西安·高二西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎獮榈炔顢?shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若為遞增數(shù)列，，設(shè)的前項和為，求取最小時的值.【答案】（1），或，；（2）4【解析】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，∵，，成等比數(shù)列，∴，即，化簡整理，得，解得，或，則當(dāng)公差時，，，當(dāng)公差時，，，∴，或，；（2）依題意，由等差數(shù)列為遞增數(shù)列，可知，，則，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，∵等差數(shù)列的公差，∴數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，又，∴當(dāng)時，前項和取得最小值，故取最小時的值為4.4．（2023·云南·高二下關(guān)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，由，得，兩式相減并整理得，即，∴是首項為3，公比為3的等比數(shù)列；（2）由（1）可得：，，當(dāng)時，，則，所以，，∴，所以.5．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，且當(dāng)時，有，（1）求；（2）若數(shù)列中，求【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為當(dāng)時，有，可知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由題意可得：，解得，所以.（2）由（1）可得：，當(dāng)時，則，即，且也滿足上式，所以.6．（2023·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正項數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，由，得，則，則．因為，所以，所以是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，則．（2）由（1）可知，則．7．（2023·福建·高二南平第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：.（1）求數(shù)列的通項公式．（2）記，數(shù)列的前項和．若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因為①，當(dāng)時，，當(dāng)時，有②，①②得：，所以，經(jīng)檢驗符合上式，所以，，（2），所以，因為，所以不等式恒成立，則，解得：或.故實數(shù)的取值范圍為.8．（2023·湖北黃石·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)已知數(shù)列的公差為d，依題意有，解得，，.（2）由（1）可得，，∴，，，，，累加相消得.故.9．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足.（1）求及數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，且滿足，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）因為①所以當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，②，由①②得，即，又滿足上式，所以.（2）證明：因為，所以.10．（2023·河北保定·高二河北定興第三中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足．（1）求的通項公式．（2）記，數(shù)列的前n項和為，是否存在實數(shù)m，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）①中，令得，，解得，當(dāng)時，②，①-②得，，故，當(dāng)時，，滿足要求，綜上，的通項公式為（2），，，假設(shè)存在實數(shù)m，使得數(shù)列為等差數(shù)列，故當(dāng)時，，只有當(dāng)，即時，為常數(shù)，其他值均不合要求，故當(dāng)時，是等差數(shù)列.11．（2023·甘肅甘南·高二校考期中）在數(shù)列中，且.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，若的前項和為，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由，兩邊同除以，可得，即，因為，可得，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，可得，所以，即數(shù)列的通項公式為.（2）由，可得，所以數(shù)列的前項和為，因為，可得，即.12．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項和，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前n項和為，若關(guān)于m的不等式恒成立，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，∴，兩式相減得，又，符合上式，∴，，，∴是以5為首項，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴；（2）法一：∴易得為遞增數(shù)列，當(dāng)時，有最小值.若關(guān)于m的不等式恒成立，則恒成立，解得.法二：，，則，為數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時，有最小值.若關(guān)于m的不等式恒成立，則恒成立，解得.13．（2023·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由得，又，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，所以所以，.14．（2023·江蘇鹽城·高二響水中學(xué)校考期中）已知數(shù)列的前項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，是數(shù)列的前項和，若對任意的，不等式都成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為數(shù)列的前項和滿足，當(dāng)時，，兩式相減得：，即，當(dāng)時，，解得：，可知數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．（2）由（1）可知：，所以，對任意的，不等式都成立，即，化簡得：，設(shè)，因為，所以單調(diào)遞減，則，所以，則，所以實數(shù)的取值范圍是．15．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求的通項公式；（2）若，求的前項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以；（2）由（1）得，所以，所以.16．（2023·山西·高二大同一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；；；（2）【解析】（1）由題意知顯然為偶數(shù)，則，，所以，即，且，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，于是，，．故數(shù)列的通向公式為.（2）由題意知數(shù)列滿足，，，，所以．所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列；由知數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列．從而數(shù)列的前項和為：.故的前項和為.17．（2023·山西呂梁·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，,對任意正整數(shù)（1）記,證明：為等比數(shù)列；（2）求的通項公式及其前項和．【答案】（1）證明見解析；（2），【解析】（1）因為，且，則，可得，且，可知，所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可得,所以，所以，又以為，則，所以，則，所以．18．（2023·江蘇蘇州·高二蘇州實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的首項為2，公比為，前項的和為，等差數(shù)列滿足.（1）求；（2）若，，求數(shù)列前項的和.【答案】（1）或1；（2）【解析】（1）∵為等差數(shù)列，∴，而，，，∴，解得或1.（2）由（1），∵，∴，∴，，∴，當(dāng)為奇數(shù)時，，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，，∴，∴.19．（2023·甘肅定西·高二臨洮中學(xué)校考期中）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，數(shù)列是等比數(shù)列，且，．（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，（），求數(shù)列的前2n項和；（3）設(shè)（），求數(shù)列的前2n項和．【答案】（1），；（2）；（3）【解析】（1）由題可知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，則，解得，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且，，則，解得，所以，所以和的通項公式為，（2）由（1）得為，則，所以數(shù)列的前項和（3）由（1）得為，，所以，因為當(dāng)為奇數(shù)時，則，所以求列的前項和為故20．（2023·福建福州·高二閩侯縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前10項和.【答案】（1）；（2）50【解析】（1）證明：由知，由知：，∴數(shù)列是以512為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，∴；（2）由（1）知，設(shè)的前項和為，，∴當(dāng)時，，，故21．（2023·山西呂梁·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，是和的等比中項．（1）求的通項公式；（2）若，求的前n項和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d,由，得,因為是和的等比中項，所以,化簡，得,解得,或（舍），所以．（2）由（1）得，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以．22．（2023·湖南·高二邵陽市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，可得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為.（2）由題意知，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，所以.23．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知非零數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由題意，且，且，所以，因為，所以，所以是首項為9，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，因為，所以，所以.24．（2023·河北滄州·高二吳橋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）法一：因為，所以，所以，所以是常數(shù)列，所以，所以．法二：因為所以，①所以，②②-①，得，所以，所以是等差數(shù)列，由中令得，又，故，所以等差數(shù)列的公差，所以．（2），當(dāng)為偶數(shù)時，．當(dāng)為奇數(shù)時，，所以或.25．（2023·廣東東莞·高二東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？计谥校┮阎獢?shù)列，滿足，為數(shù)列的前項和，，（），記的前項和為，的前項積為，且．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1），；（2）【解析】（1）因為，，且，所以，又，所以，因為，所以．因為也適合，所以，所以．（2）由（1）代入得，，所以26．（2023·北京·高二?？茧A段練習(xí)）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的通項滿足，求數(shù)列的前項和的最小值及取得最小值時的值；（3）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）當(dāng)時，取的最小值；（3）【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且，則，解得，所以（2）因為，所以，所以，則當(dāng)時，取的最小值（3）因為，由等差、等比求和公式得.27．（2023·河南焦作·高二焦作市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為數(shù)列的前項和為，且，，當(dāng)時，，當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差可得，可得，又因為，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為，公比為，所以，.（2）由（1）可得，所以，.28．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的公比，若，且分別是等差數(shù)列的第1，3，5項.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）由題意得，，，，解得（舍去）則，解得，所以.則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.（2）.所以，兩式相減得，.29．（2023·云南昆明·高二云南師大附中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時，由，得；當(dāng)時，因為，所以，則，可得.故是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2），則，兩邊都乘以，得