數(shù)學(xué)建模層次分析法市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

層次分析法AnalyticHierarchyProcessAHPT.L.saaty第1頁(yè)層次分析法建模一問(wèn)題提出日常生活中有許多決議問(wèn)題。決議是指在面臨各種方案時(shí)需要依據(jù)一定標(biāo)準(zhǔn)選擇某一個(gè)方案。例1購(gòu)物買(mǎi)鋼筆，普通要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價(jià)格、外形等方面原因選擇某一支鋼筆。買(mǎi)飯，則要依據(jù)色、香、味、價(jià)格等方面原因選擇某種飯菜。例2旅游假期旅游，是去風(fēng)光秀麗蘇州，還是去迷人北戴河，或者是去山水甲天下桂林，普通會(huì)依據(jù)景色、費(fèi)用、食宿條件、旅途等原因選擇去哪個(gè)地方。第2頁(yè)例3擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位能夠去選擇，普通依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等原因擇業(yè)。例4科研課題選擇因?yàn)榻?jīng)費(fèi)等原因，有時(shí)不能同時(shí)開(kāi)展幾個(gè)課題，普通依據(jù)課題可行性、應(yīng)用價(jià)值、理論價(jià)值、被培養(yǎng)人才等原因進(jìn)行選題。第3頁(yè)面臨各種各樣方案，要進(jìn)行比較、判斷、評(píng)價(jià)、最終作出決議。這個(gè)過(guò)程主觀原因占有相當(dāng)比重給用數(shù)學(xué)方法處理問(wèn)題帶來(lái)不便。T.L.saaty等人20世紀(jì)在七十年代提出了一個(gè)能有效處理這類(lèi)問(wèn)題實(shí)用方法。層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)這是一個(gè)定性和定量相結(jié)合、系統(tǒng)化、層次化分析方法。過(guò)去研究自然和社會(huì)現(xiàn)象主要有機(jī)理分析法和統(tǒng)計(jì)分析法兩種方法，前者用經(jīng)典數(shù)學(xué)工具分析現(xiàn)象因果關(guān)系，后者以隨機(jī)數(shù)學(xué)為工具，經(jīng)過(guò)大量觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律。近年發(fā)展系統(tǒng)分析是又一個(gè)方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析數(shù)學(xué)工具之一。第4頁(yè)選擇鋼筆層次分析法基本思緒：與人們對(duì)某一復(fù)雜決議問(wèn)題思維、判斷過(guò)程大致一致。質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序?qū)⒏鱾€(gè)鋼筆質(zhì)量、顏色、價(jià)格、外形、實(shí)用進(jìn)行排序經(jīng)綜合分析決定買(mǎi)哪支鋼筆第5頁(yè)二層次分析法基本步驟1建立層次結(jié)構(gòu)模型

普通分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。例1層次結(jié)構(gòu)模型準(zhǔn)則層方案層目標(biāo)層第6頁(yè)例2層次結(jié)構(gòu)模型準(zhǔn)則層A方案層B目標(biāo)層Z若上層每個(gè)原因都支配著下一層全部原因，或被下一層所有原因影響，稱(chēng)為完全層次結(jié)構(gòu)，不然稱(chēng)為不完全層次結(jié)構(gòu)。第7頁(yè)設(shè)某層有個(gè)原因，2結(jié)構(gòu)成對(duì)比較矩陣要比較它們對(duì)上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）影響程度，確定在該層中相對(duì)于某一準(zhǔn)則所占比重。（即把個(gè)原因?qū)ι蠈幽骋荒繕?biāo)影響程度排序）用表示第個(gè)原因相對(duì)于第個(gè)原因比較結(jié)果，則則稱(chēng)為成對(duì)比較矩陣。上述比較是兩兩原因之間進(jìn)行比較，比較時(shí)取1~9尺度。第8頁(yè)１３５７９尺度第個(gè)原因與第個(gè)原因影響相同第個(gè)原因比第個(gè)原因影響稍強(qiáng)第個(gè)原因比第個(gè)原因影響強(qiáng)第個(gè)原因比第個(gè)原因影響明強(qiáng)第個(gè)原因比第個(gè)原因影響絕對(duì)地強(qiáng)含義比較尺度：（1~9尺度含義）2,4,6,8表示第個(gè)原因相對(duì)于第個(gè)原因影響介于上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)含義，依據(jù)。第9頁(yè)

標(biāo)度法

10.心理學(xué)研究表明，人們經(jīng)過(guò)感覺(jué)思維比較判斷兩個(gè)對(duì)象相對(duì)差異是可能。20.同時(shí)比較時(shí)能區(qū)分差異心理學(xué)極限為7±2個(gè)。

第10頁(yè)30.試驗(yàn)表明9級(jí)標(biāo)度法是可行。光源四面放四個(gè)物體,距離為27,45,63,84?？伤愕盟鼈兿鄬?duì)亮度為0.607,0.219,0.111,0.063。記W：較亮，S：亮，D：很亮，A：絕對(duì)亮。由人進(jìn)行相對(duì)比較,得(c1-c2):W-S,(c1-c3):S-D,(c1-c4):D,(c2-c3):W,(c2-c4):W-S,(c3-c4):W第11頁(yè)由上述定義知，成對(duì)比較矩陣則稱(chēng)為正互反陣。比如，例2旅游問(wèn)題中，第二層A各原因?qū)δ繕?biāo)層Z影響兩兩比較結(jié)果以下：滿(mǎn)足一下性質(zhì)ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。第12頁(yè)由上表，可得成對(duì)比較矩陣旅游問(wèn)題成對(duì)比較矩陣共有6個(gè)（一個(gè)5階，5個(gè)3階）。問(wèn)題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各原因?qū)ι蠈幽吃蛴绊懗潭扰判蚪Y(jié)果呢？第13頁(yè)3層次單排序及一致性檢驗(yàn)層次單排序：確定下層各原因?qū)ι蠈幽吃蛴绊懗潭冗^(guò)程。用權(quán)值表示影響程度，先從一個(gè)簡(jiǎn)單例子看怎樣確定權(quán)值。比如一塊石頭重量記為1，打壞分成各小塊，各塊重量分別記為：則可得成對(duì)比較矩陣由右面矩陣能夠看出，第14頁(yè)即，在正互反矩陣中，若,則稱(chēng)為一致陣。但在例2成對(duì)比較矩陣中，一致陣性質(zhì)：5.任一列(行)都是對(duì)應(yīng)于特征根特征向量。第15頁(yè)一致性判斷矩陣各列均是判斷矩陣特征向量若特征向量為w=(w1,…,wn)’,則有aij=aik/

ajk=wi/wj表示wi與wj之間比值,是這二者主要性之間一個(gè)判斷.w就是各對(duì)象之間一個(gè)排序.即:各列均表示被判斷元素之間排序。第16頁(yè)若成對(duì)比較矩陣是一致陣，則我們自然會(huì)取對(duì)應(yīng)于最大特征根歸一化特征向量，且定理：階互反陣最大特征根，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為一致陣。表示下層第個(gè)原因?qū)ι蠈幽吃蛴绊懗潭葯?quán)值。若成對(duì)比較矩陣不是一致陣，Saaty等人提議用其最大特征根對(duì)應(yīng)歸一化特征向量作為權(quán)向量，則這么確定權(quán)向量方法稱(chēng)為特征根法.第17頁(yè)因?yàn)檫B續(xù)依賴(lài)于，則比大越多，不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)特征向量作為被比較原因?qū)ι蠈幽吃蛴绊懗潭葯?quán)向量，其不一致程度越大，引發(fā)判斷誤差越大。因而能夠用數(shù)值大小來(lái)衡量不一致程度。定義一致性指標(biāo)其中為對(duì)角線元素之和，也為特征根之和。第18頁(yè)

隨機(jī)一致性指標(biāo)

固定n,令A(yù)上三角從{1/9,…,1,2,…,9}中隨機(jī)取值,組成正互反矩陣。計(jì)算它CI。對(duì)每個(gè)n=1,2,…,9分別隨機(jī)地抽取n=100~500個(gè)樣本,得到Ank

和CInk(不一致判斷矩陣指標(biāo))。取

則CI>RI時(shí),判斷矩陣顯著不含有一致性。取α<1,則當(dāng)CI<α

RI時(shí),A在水準(zhǔn)α下有滿(mǎn)意一致性.

第19頁(yè)則可得一致性指標(biāo)隨機(jī)結(jié)構(gòu)500個(gè)成對(duì)比較矩陣隨機(jī)一致性指標(biāo)RI數(shù)值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第20頁(yè)一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率<0.1及隨機(jī)一致性指標(biāo)數(shù)值表，對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)過(guò)程。普通，當(dāng)一致性比率不一致程度在允許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，不然要重新結(jié)構(gòu)成對(duì)比較矩陣，對(duì)加以調(diào)整。時(shí)，認(rèn)為第21頁(yè)4層次總排序及其一致性檢驗(yàn)

確定某層全部原因?qū)τ诳偰繕?biāo)相對(duì)主要性排序權(quán)值過(guò)程，稱(chēng)為層次總排序

從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)：對(duì)總目標(biāo)Z排序?yàn)閷哟螁闻判驗(yàn)榈?2頁(yè)即層第個(gè)原因?qū)偰繕?biāo)權(quán)值為：層層次總排序?yàn)椋築層層次總排序AB第23頁(yè)層次總排序一致性檢驗(yàn)設(shè)層對(duì)上層(層)中原因?qū)哟螁闻判蛞恢滦灾笜?biāo)為，隨機(jī)一致性指為，則層次總排序一致性比率為：當(dāng)時(shí)，認(rèn)為層次總排序經(jīng)過(guò)一致性檢驗(yàn)。到此，依據(jù)最下層（決議層）層次總排序做出最終決議。第24頁(yè)1.建立層次結(jié)構(gòu)模型該結(jié)構(gòu)圖包含目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法基本步驟歸納以下3.計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)2.結(jié)構(gòu)成對(duì)比較矩陣從第二層開(kāi)始用成對(duì)比較矩陣和1~9尺度。對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)經(jīng)過(guò)，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不經(jīng)過(guò)，需要重新結(jié)構(gòu)成對(duì)比較矩陣。第25頁(yè)計(jì)算最下層對(duì)最上層總排序權(quán)向量。4.計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)。若經(jīng)過(guò)，則可按照總排序權(quán)向量表示結(jié)果進(jìn)行決議，不然需要重新考慮模型或重新結(jié)構(gòu)那些一致性比率較大成對(duì)比較矩陣。利用總排序一致性比率第26頁(yè)三層次分析法建模舉例旅游問(wèn)題(1)建模分別分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。第27頁(yè)（2）結(jié)構(gòu)成對(duì)比較矩陣第28頁(yè)(3)計(jì)算層次單排序權(quán)向量和一致性檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣最大特征值表明經(jīng)過(guò)了一致性驗(yàn)證。故則該特征值對(duì)應(yīng)歸一化特征向量第29頁(yè)

對(duì)成對(duì)比較矩陣能夠求層次總排序權(quán)向量并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，結(jié)果以下：計(jì)算可知經(jīng)過(guò)一致性檢驗(yàn)。第30頁(yè)對(duì)總目標(biāo)權(quán)值為：（4）計(jì)算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗(yàn)又決議層對(duì)總目標(biāo)權(quán)向量為：同理得，對(duì)總目標(biāo)權(quán)值分別為：故，層次總排序經(jīng)過(guò)一致性檢驗(yàn)。第31頁(yè)可作為最終決議依據(jù)。故最終決議應(yīng)為去桂林。又分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案權(quán)重排序?yàn)榈?2頁(yè)四層次分析法優(yōu)點(diǎn)和不足1系統(tǒng)性

層次分析法把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合思維方式進(jìn)行決議，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來(lái)系統(tǒng)分析主要工具。2實(shí)用性層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來(lái)，能處理許多用傳統(tǒng)最優(yōu)化技術(shù)無(wú)法著手實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用范圍很廣，同時(shí)，這種方法使得決議者與決議分析者能夠相互溝通，決議者甚至能夠直接應(yīng)用它，這就增加了決議有效性。第33頁(yè)3簡(jiǎn)練性含有中等文化程度人即能夠了解層次分析法基本原理并掌握該法基本步驟，計(jì)算也非常簡(jiǎn)便，而且所得結(jié)果簡(jiǎn)單明確，輕易被決議者了解和掌握。以上三點(diǎn)表達(dá)了層次分析法優(yōu)點(diǎn)，該法局限性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一只能從原有方案中優(yōu)選一個(gè)出來(lái)，沒(méi)有方法得出更加好新方案。第34頁(yè)第二該法中比較、判斷以及結(jié)果計(jì)算過(guò)程都是粗糙，不適合用于精度較高問(wèn)題。第三從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對(duì)比較矩陣，人主觀原因?qū)φ麄€(gè)過(guò)程影響很大，這就使得結(jié)果難以讓全部決議者接收。當(dāng)然采取教授群體判斷方法是克服這個(gè)缺點(diǎn)一個(gè)路徑。思索：多名教授綜合決議問(wèn)題第35頁(yè)五正互反陣最大特征值和特征向量實(shí)用算法用定義計(jì)算矩陣特征值和特征向量相當(dāng)困難，尤其是階數(shù)較高時(shí)；成對(duì)比較矩陣是經(jīng)過(guò)定性比較得到比較粗糙結(jié)果，對(duì)它準(zhǔn)確計(jì)算是沒(méi)有必要。尋找簡(jiǎn)便近似方法。第36頁(yè)定理對(duì)于正矩陣A（A全部元素為正）1）A最大特征根為正單根；2）對(duì)應(yīng)正特征向量w（w全部分量為正）；3）其中是對(duì)應(yīng)歸一化特征向量。第37頁(yè)1冪法步驟以下a)任取n維歸一化