2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)3指數(shù)函數(shù)第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)案北師大版必修1

PAGE7-第2課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解并駕馭指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．(重點(diǎn))2．駕馭函數(shù)圖像的簡潔變換．(易混點(diǎn))3．能運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去探討指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)．(難點(diǎn))1.通過函數(shù)圖像的簡潔變換，培育直觀想象素養(yǎng)．2．通過運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).函數(shù)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用閱讀教材P73從“問題提出”～P76“練習(xí)2”結(jié)束這部分內(nèi)容，完成下列問題．(1)平移變換①左右平移：y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(a>0，左移a個(gè)單位長度),\s\do14(a<0，右移|a|個(gè)單位長度))y＝f(x＋a)．特征：左加右減；②上下平移：y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(b>0，上移b個(gè)單位長度),\s\do14(b<0，下移|b|個(gè)單位長度))y＝f(x)＋b.特征：上加下減．(2)對稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(關(guān)于x軸),\s\do14(對稱))y＝f(－x)；②y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(關(guān)于y軸),\s\do14(對稱))y＝－f(x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(關(guān)于原點(diǎn)),\s\do14(對稱))y＝－f(－x)．(3)翻折變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(y軸左側(cè)部分去掉，保留y軸右側(cè)部分，把y軸),\s\do14(右側(cè)部分以y軸為對稱軸翻折到y(tǒng)軸左側(cè)))y＝f(|x|)．②y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(x軸下側(cè)部分去掉，保留x軸上側(cè)部分，把x軸下側(cè)),\s\do14(部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上側(cè)))y＝|f(x)|.思索：(1)如何由y＝2x＋1的圖像通過變換得到y(tǒng)＝2x的圖像？(2)2x肯定小于3x嗎？[提示](1)先考慮由y＝2x的圖像得到y(tǒng)＝2x＋1的圖像，可向左平移1個(gè)單位長度；依據(jù)運(yùn)動的相對性；由y＝2x＋1的圖像得到y(tǒng)＝2x的圖像，只需向右平移1個(gè)單位長度．(2)當(dāng)x>0時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up20(x)<1，∴2x<3x；當(dāng)x＝0時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up20(x)＝1，∴2x＝3x，當(dāng)x<0時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up20(x)>1，∴2x>3x.1．函數(shù)y＝2|x|的圖像是()B[y＝2|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x<0))，故選B.]2．2.3－0.28________0.67－3.1.(填“>”，“＝”，或“<”)<[2.3－0.28<2.30＝1＝0.670<0.67－3.1.]3．已知0.2x<25，則x的取值范圍是________．x>－2[由0.2x<25，得5－x<52，∴－x<2，∴x>－2.]4．若2a>1，則a的取值范圍是________．(0，＋∞)[y＝2x在R上為增函數(shù)，因?yàn)?a>1＝20，所以a>0.]與指數(shù)函數(shù)圖像有關(guān)的圖像變換【例1】已知f(x)＝2x，利用圖像變換作出下列函數(shù)的圖像．(1)f(x－1)；(2)f(x)－1；(3)f(－x)；(4)－f(x)．[思路探究]視察變換前后函數(shù)解析式之間的關(guān)系，確定變換的方法，再畫出圖像．[解](1)y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(右移1個(gè)),\s\do14(單位長度))y＝f(x－1)，如圖(1)．(2)y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(下移1個(gè)),\s\do14(單位長度))y＝f(x)－1，如圖(2)．(3)y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(關(guān)于y軸),\s\do14(對稱))y＝f(－x)，如圖(3)．(4)y＝f(x)eq\o(→,\s\up14(關(guān)于x軸),\s\do14(對稱))y＝－f(x)．如圖(4)．1．平移規(guī)律分左、右平移和上、下平移兩種，遵循“左加右減，上加下減”．若已知y＝ax的圖像，把y＝ax的圖像向左平移b(b>0)個(gè)單位長度，則得到y(tǒng)＝ax＋b的圖像；把y＝ax的圖像向右平移b(b>0)個(gè)單位長度，則得到y(tǒng)＝ax－b的圖像；把y＝ax的圖像向上平移b(b>0)個(gè)單位長度，則得到y(tǒng)＝ax＋b的圖像；向下平移b(b>0)個(gè)單位長度，則得到y(tǒng)＝ax－b的圖像．2．對稱規(guī)律函數(shù)y＝ax的圖像與y＝a－x的圖像關(guān)于y軸對稱；y＝ax的圖像與y＝－ax的圖像關(guān)于x軸對稱；函數(shù)y＝ax的圖像與y＝－a－x的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱．1．函數(shù)y＝|2x－2|的圖像是()B[y＝2xeq\o(→,\s\up7(下移2個(gè)單位長度))y＝2x－2eq\o(→,\s\up14(x軸上方的部分不變),\s\do14(x軸下方的部分翻折到x軸上方))y＝|2x－2|.故選B.]指數(shù)函數(shù)圖像的應(yīng)用【例2】探討關(guān)于x的方程|2x－1|＝k解的個(gè)數(shù)．[思路探究]將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝|2x－1|與y＝k交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來求解．[解]函數(shù)y＝|2x－1|的圖像如圖：由圖可知，當(dāng)k<0時(shí)，方程無解；當(dāng)k＝0或k≥1時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)0<k<1時(shí)，方程有兩個(gè)解．1．(變條件)探討關(guān)于x的方程|2|x|－2|＝k解的個(gè)數(shù)．[解]函數(shù)y＝|2|x|－2|的圖像如圖：由圖可知，當(dāng)k<0時(shí)，方程無解；當(dāng)k＝0或k>1時(shí)，方程有兩個(gè)解；當(dāng)k＝1時(shí)，方程有三個(gè)解；當(dāng)0<k<1時(shí)，方程有四個(gè)解．2．(變結(jié)論)函數(shù)y＝|2x－1|在區(qū)間(－∞，k]上單調(diào)遞減，求k的取值范圍．[解]函數(shù)y＝|2x－1|的圖像如圖：由圖知，函數(shù)y＝|2x－1|的遞減區(qū)間是(－∞，0]，∴(－∞，k]?(－∞，0]，∴k≤0.方程fx＝k解的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝fx與y＝k交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來求解.有幾個(gè)交點(diǎn)就有幾個(gè)解.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用[探究問題]1．求不等式2x>1的解集．提示：2x>1，即2x>20，又y＝2x是R上的增函數(shù)，則x>0，所以，不等式2x>1的解集是(0，＋∞)．2．求不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up20(2x－1)>9－eq\f(x,2)的解集．提示：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up20(2x－1)>9eq\s\up18(-\f(x,2))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up20(2x－1)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up20(x)又y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up20(x)是R上的減函數(shù)，則2x－1<x，解得x<1.所以，原不等式的解集為(－∞，1)．【例3】求不等式a5x>ax＋8(a>0，且a≠1)的解集．[思路探究]分a>1或0<a<1兩種狀況，分別依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性去掉底數(shù)a.[解]當(dāng)a>1時(shí)，由a5x>ax＋8，得5x>x＋8，解得x>2.當(dāng)0<a<1時(shí)，由a5x>ax＋8，得5x<x＋8，解得x<2.綜上所述，當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為{x|x>2}；當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式的解集為{x|x<2}．解af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)此類不等式主要依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，它的一般步驟為：2．已知ax＋5>ax＋8，則a的取值范圍是________．0<a<1[∵x＋5<x＋8，∴y＝ax是減函數(shù)，∴0<a<1.]1．比較兩個(gè)指數(shù)式值大小的主要方法(1)比較形如am與an的大小，可運(yùn)用指數(shù)型函數(shù)y＝ax的單調(diào)性．(2)比較形如am與bn的大小，一般找一個(gè)“中間值c”，若am<c且c<bn，則am<bn；若am>c且c>bn，則am>bn.2．指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)形如y＝af(x)的函數(shù)的單調(diào)性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，假如兩個(gè)函數(shù)y＝au與u＝f(x)的單調(diào)性相同，則函數(shù)y＝af(x)在[m，n]上是增函數(shù)；假如兩者的單調(diào)性相異(即一增一減)，則函數(shù)y＝af(x)在[m，n]上是減函數(shù)．(2)形如ax>ay的不等式，當(dāng)a>1時(shí)，ax>ay?x>y；當(dāng)0<a<1時(shí)，ax>ay?x<y.1．思索辨析(1)要得到函數(shù)y＝f(x＋1)的圖像，需將函數(shù)y＝f(x)的圖像向右平移1個(gè)單位．()(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖像向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f(x)－1的圖像．()(3)函數(shù)y＝3x與y＝－3x的圖像關(guān)于x軸對稱．()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>bD[∵y＝0.8x是R上的減函數(shù)，∴0.80.7>0.80.9，即a>b.又1.20.8>1.20＝1＝0.80>0.80.7，即c>a，則c>a>b.]3．關(guān)于x的不等式(2＋a2)|x|<(2＋a2)2的解集是________．(－2,2)[∵2＋a2>1，∴y＝(2＋a2)x是R上的增函數(shù)，∴|x|<2，∴－2<x<2]4．在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出y＝0.5