2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課下梯度提能二十平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角新人教A版必修4

PAGE1-課下梯度提能（二十）一、題組對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)練一平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，則x＝()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．12．已知向量a＝(0，－2eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，則向量a在b方向上的投影為()A.eq\r(3)B．3C．－eq\r(3)D．－33．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且a·b＝eq\r(3)，則b＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3\r(3),4)))D．(1，0)對(duì)點(diǎn)練二向量模的問題4．已知平面對(duì)量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，則|c|等于()A．4eq\r(2)B．2eq\r(5)C．8D．8eq\r(2)5．設(shè)平面對(duì)量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于________對(duì)點(diǎn)練三向量的夾角與垂直問題6．設(shè)向量a＝(1，0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，則下列結(jié)論中正確的是()A．|a|＝|b|B．a(chǎn)·b＝eq\f(\r(2),2)C．a(chǎn)－b與b垂直D．a(chǎn)∥b7．以原點(diǎn)O和點(diǎn)A(5，2)為頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，使∠B＝90°，求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo)．8．已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a＝(1，2)．(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c∥a，求c的坐標(biāo)；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ.對(duì)點(diǎn)練四平面對(duì)量的數(shù)量積問題9．在直角三角形ABC中，角C為直角，且AC＝BC＝1，點(diǎn)P是斜邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則eq\o(CP,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝()A．0B．1C.eq\f(9,4)D．－eq\f(9,4)10．如圖，在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝4，BC＝2，D是AC邊上一點(diǎn)，且eq\o(DC,\s\up8(→))＝－eq\f(3,4)eq\o(DA,\s\up8(→))，則eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝________.二、綜合過關(guān)訓(xùn)練A.eq\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C．4D．－42．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x軸上有一點(diǎn)P，使有最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(－3，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(4，0)3．a(chǎn)，b為平面對(duì)量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，則a，b夾角的余弦值等于(A.eq\f(8,65)B．－eq\f(8,65)C.eq\f(16,65)D．－eq\f(16,65)4．已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，則|a－b|＝________.5．如圖，已知點(diǎn)A(1，1)和單位圓上半部分上的動(dòng)點(diǎn)B，若⊥，則向量的坐標(biāo)為________．6．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是________．7．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，則在線段OC上是否存在點(diǎn)M，使得？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]1.解析：選Da·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1?x＝1.2.解析：選D向量a在b方向上的投影為eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－6,2)＝－3.選D.3.解析：選B法一：設(shè)b＝(x，y)，其中y≠0，則a·b＝eq\r(3)x＋y＝eq\r(3).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,\r(3)x＋y＝\r(3),y≠0，))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))即b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).故選B.法二：利用解除法．D中，y＝0，∴D不符合題意；C中，向量eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3\r(3),4)))不是單位向量，∴C不符合題意；A中，向量eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))使得a·b＝2，∴A不符合題意．故選B.4.解析：選D易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝eq\r(82＋（－8）2)＝8eq\r(2).5.解析：a∥b，則2×(－2)－1·y＝0，解得y＝－4，從而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝eq\r(5).答案：eq\r(5)6.解析：選C由題意知|a|＝eq\r(12＋02)＝1，|b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，a·b＝1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，故a－b與b垂直．7.解：設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x，y)，＝(x－5，y－2)．∵⊥，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－5x－2y＝0.又∵||＝||，∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2，即10x＋4y＝29.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－5x－2y＝0，,10x＋4y＝29，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,2)，,y＝－\f(3,2)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(7,2).))∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，－\f(3,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,2))).＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(7,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，\f(3,2))).8.解：(1)設(shè)c＝(x，y)，∵|c|＝2eq\r(5)，∴eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(5)，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2eq\r(5)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－4.))故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)∴(a＋2b)·(2a－b)＝0即2a2＋3a·b－2b2＝∴2×5＋3a·b－2×eq\f(5,4)＝0，整理得a·b＝－eq\f(5,2)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.9.解析：選B以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則C(0,0)，A(1，0)，B(0,1)，不妨設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，所以eq\o(CP,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CP,\s\up8(→))·eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(CP,\s\up8(→))·(eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1.故選B.10.解析：依據(jù)題意得eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,7)\o(BA,\s\up8(→))＋\f(4,7)\o(BC,\s\up8(→))))·(eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→)))＝eq\f(3,7)eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(3,7)×16＋eq\f(4,7)×4－eq\f(4,7)eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,7)eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\f(32,7)＝－eq\f(1,7)×4×2×cos120°－eq\f(32,7)＝－4.答案：－4二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1.解得m＝4.2.解析：選C設(shè)P(x，0)，則＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故當(dāng)x＝3時(shí)，AP→·BP→最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，0)．3.解析：選C設(shè)b＝(x，y)，則2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8＋x＝3，,6＋y＝18，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝12，))故b＝(－5，12)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(16,65).4.解析：由題意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝eq\r(5).答案：eq\r(5)5.解析：依題意設(shè)B(cosθ，sinθ)，0≤θ≤π，即cosθ＋sinθ＝0，解得θ＝eq\f(3π,4)，所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))6.解析：因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以0<eq\f(a·b,|a||b|)<1，即0<eq\f(3λ2＋4λ,\r(5λ2)×\r(9λ2＋4))<1，解得λ<－eq\f(4,3)或0<λ<eq\f(1,3)或λ>eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a