《浙江大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研考點編含歷年真題解析》

《浙江大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研復(fù)習(xí)精編》1/219版權(quán)所有翻印必究《2019浙江大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研復(fù)習(xí)精編》電話400-666-0985QQ400811356710/205目錄Ⅰ序言 5Ⅱ考前必知 7一、歷年報錄情況 7二、學(xué)費與獎學(xué)金 7Ⅲ復(fù)習(xí)方略 9Ⅳ考試分析 11一、考試難度 11二、考試題型 12三、考點分布 12四、試題分析 14五、考試展望 14Ⅴ復(fù)習(xí)指南 15Ⅵ核心考點解析 31《數(shù)學(xué)分析》 31第一章函數(shù) 31第二章極限 35第三章函數(shù)的連續(xù)性 44第四章導(dǎo)數(shù)、中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 49第五章不定積分 60第六章定積分 64第七章級數(shù) 80第八章多元函數(shù)微分學(xué) 99第九章重積分 114第十章曲線積分與曲面積分 125Ⅶ往年真題試卷與答案解析 137往年考研真題試卷 137浙江大學(xué)2007年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題 137浙江大學(xué)2008年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題 139浙江大學(xué)2009年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題 141浙江大學(xué)2010年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題 143浙江大學(xué)2011年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題 145浙江大學(xué)2012年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題 147浙江大學(xué)2013年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題 149浙江大學(xué)2014年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題 150浙江大學(xué)2015年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題 151浙江大學(xué)2016年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題 153往年考研真題試卷答案解析 155浙江大學(xué)2007年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案解析 155浙江大學(xué)2008年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案解析 161浙江大學(xué)2009年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案解析 169浙江大學(xué)2010年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案解析 175浙江大學(xué)2011年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案解析 182浙江大學(xué)2012年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案解析 187浙江大學(xué)2013年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案解析 192浙江大學(xué)2014年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案解析 198浙江大學(xué)2015年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案解析 203浙江大學(xué)2016年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題答案解析 211

Ⅰ序言《浙江大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研復(fù)習(xí)精編》（以下簡稱《復(fù)習(xí)精編》）是一、主要內(nèi)容考前必知：包括歷年報錄情況、學(xué)費與獎學(xué)金等，信息面全、可靠性高，考生可對專業(yè)課的考研情況了如指掌。復(fù)習(xí)方略：詳細(xì)闡述考研專業(yè)課高分復(fù)習(xí)策略，推薦最有價值的相應(yīng)復(fù)習(xí)參考書目，考生可根據(jù)自己的實際情況，制定屬于自己的最佳復(fù)習(xí)方略?？荚嚪治觯喊碱}難度分析、考試題型解析、考點章節(jié)分布、最新試題分析、考試展望等，使考生在復(fù)習(xí)之初即可對專業(yè)課有深度把握和宏觀了解，迅速掌握復(fù)習(xí)重點、難點內(nèi)容。復(fù)習(xí)指南：包括復(fù)習(xí)提示、知識框架圖。復(fù)習(xí)提示揭示各章節(jié)復(fù)習(xí)要點、總結(jié)各章節(jié)常見考查題型、提示各章節(jié)復(fù)習(xí)重難點與方法；知識框架圖構(gòu)建章節(jié)主要考點框架、梳理全章主體內(nèi)容與結(jié)構(gòu)，可達(dá)到高屋建瓴和提綱挈領(lǐng)的作用。有助于考生通曉各章節(jié)的主體內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，快速形成學(xué)科體系、強化記憶。核心考點解析：去繁取精、高度濃縮初試參考書目各章節(jié)核心考點要點并進行詳細(xì)展開解析、以星級多寡標(biāo)注知識點重次要程度便于高效復(fù)習(xí)。該內(nèi)容相當(dāng)于筆記，但比筆記更系統(tǒng)、更全面、重難點也更分明。往年真題試卷與答案解析：反復(fù)研究往年真題，能洞悉考試出題難度和題型；了解?？颊鹿?jié)與重次要章節(jié)，能有效指明復(fù)習(xí)方向，并且往年真題也常常反復(fù)再考。該內(nèi)容包含往年考研真題與答案解析，每一個題目不但包括詳細(xì)答案解析，而且對考查重點進行了分析說明。二、主要特色立足教材，夯實基礎(chǔ)。以指定教材為依據(jù)，全面梳理知識，注意知識結(jié)構(gòu)的重組與概括。讓考生對基本概念、基本定理等學(xué)科基礎(chǔ)知識有全面、扎實、系統(tǒng)的理解、把握。注重聯(lián)系，強化記憶。復(fù)習(xí)指南分析各章節(jié)在考試中的地位和作用，并將各章節(jié)的知識體系框架化、網(wǎng)絡(luò)化，幫助考生構(gòu)建學(xué)科知識網(wǎng)絡(luò)，串聯(lián)零散的知識點，更好地實現(xiàn)對知識的存儲，提取和應(yīng)用。深入研究，洞悉規(guī)律。深入考研專業(yè)課考試命題思路，破解考研密碼，為考生點撥答題技巧。三、使用說明1、全面了解，宏觀把握。備考初期，考生需要對《復(fù)習(xí)精編》中的考前必知列出的歷年報錄情況等考研信息進行全面了解，合理估量自身水平，結(jié)合自身研究興趣，科學(xué)選擇適合自己的研究方向，為考研增加勝算。2、穩(wěn)扎穩(wěn)打，夯實基礎(chǔ)?；A(chǔ)階段，考生應(yīng)借助《復(fù)習(xí)精編》中的考試分析初步了解考試難度、考試題型、考點分布，并通過最新年份的試題分析以及考試展望初步明確考研命題變化的趨勢；通過認(rèn)真研讀復(fù)習(xí)指南、核心考點解析等初步形成基礎(chǔ)知識體系，并通過做習(xí)題來進一步熟悉和鞏固知識點，達(dá)到夯實基礎(chǔ)的目的。做好充分的知識準(zhǔn)備，過好基礎(chǔ)關(guān)。3、強化復(fù)習(xí)，抓住重點。強化階段，考生應(yīng)重點利用《復(fù)習(xí)精編》中的復(fù)習(xí)指南（復(fù)習(xí)提示和知識點框架圖）來梳理章節(jié)框架體系，強化背誦記憶；研讀各章節(jié)的核心考點解析，既要縱向把握知識點，更應(yīng)橫向?qū)Ρ戎R點，做到靈活運用、高效準(zhǔn)確。4、查缺補漏，以防萬一。沖刺階段，考生要通過鞏固《復(fù)習(xí)精編》中的核心考點解析，全面研究往年真題試卷與答案解析，通過分析，提煉出命題思路和要點，有效把握專業(yè)課往年出題方向、常考章節(jié)和重點章節(jié)，做到主次分明、有所側(cè)重地復(fù)習(xí)，并加強應(yīng)試技巧。5、臨考前夕，加深記憶。臨考前夕，應(yīng)重點記憶核心考點解析中的五星級考點、瀏覽知識點框架圖，避免考試時因緊張等心理問題而出現(xiàn)遺忘的現(xiàn)象，做到胸有成竹走向考場。

Ⅱ考前必知一、歷年報錄情況專業(yè)201320142015201620172018年報考人數(shù)錄取人數(shù)報考人數(shù)錄取人數(shù)報考人數(shù)錄取人數(shù)報考人數(shù)錄取人數(shù)報考人數(shù)錄取人數(shù)報考人數(shù)錄取人數(shù)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)9515762471165918781510517計算數(shù)學(xué)6193211317305474605應(yīng)用數(shù)學(xué)91177916658557455586運籌學(xué)與控制論31151659192121133統(tǒng)計學(xué)5396096010664氣象學(xué)2352113134二、學(xué)費與獎學(xué)金（一）學(xué)費全日制碩士研究生8000元/生?學(xué)年。學(xué)校原有或另行規(guī)定并經(jīng)省物價部門核準(zhǔn)的研究生教育收費項目，按照原有或另行規(guī)定的收費政策執(zhí)行。專業(yè)類型學(xué)費標(biāo)準(zhǔn)普通專業(yè)（以下專業(yè)以外）8000元/生·學(xué)年法律碩士（非法學(xué)）33000元/生·全程軟件學(xué)院各專業(yè)40000元/生·全程社會工作48000元/生·全程國際商務(wù)碩士、稅務(wù)碩士60000元/生·全程金融碩士、會計碩士80000元/生·全程工商管理碩士(全脫產(chǎn))138000元/生·全程工商管理碩士（GEP項目）180000元/生·全程（二）獎助學(xué)金1.有關(guān)浙江大學(xué)獎助學(xué)金具體規(guī)定及注意事項請見研究生院網(wǎng)站(網(wǎng)址：/)。2.學(xué)校按照國家和學(xué)校規(guī)定評選國家獎學(xué)金及各類專項獎學(xué)金。3.學(xué)校設(shè)置學(xué)業(yè)獎學(xué)金，碩士生8000元/學(xué)年，獎勵對象為全日制非在職研究生，但不包括以下類型的研究生：金融碩士、國際商務(wù)碩士、稅務(wù)碩士、社會工作碩士、會計碩士、法律碩士(非法學(xué))、工商管理碩士、軟件學(xué)院各專業(yè)。"強軍計劃"、"少民骨干計劃"、"對口支援計劃"國家其它政策扶持的在職研究生，可向?qū)W校申請另設(shè)的專項學(xué)業(yè)獎學(xué)金。4.學(xué)校設(shè)置崗位助學(xué)金(含國家助學(xué)金等)，全日制非在職碩士生學(xué)校資助部分為700元/月，導(dǎo)師資助部分按照學(xué)校及院系制定的標(biāo)準(zhǔn)發(fā)放。每學(xué)年發(fā)放12個月。5.學(xué)校和導(dǎo)師根據(jù)實際需要設(shè)立助研、助教、助管崗位，并根據(jù)崗位工作發(fā)放津貼。6.電子與通信工程、集成電路工程、光學(xué)工程、動力工程等四個工程碩士領(lǐng)域的全日制招生納入浙江大學(xué)工程師學(xué)院，實行專業(yè)學(xué)院和工程師學(xué)院雙重管理模式。7.家庭經(jīng)濟困難的研究生，學(xué)校設(shè)立了綠色通道，可申請助學(xué)貸款等。8.外國來華留學(xué)生學(xué)費及資助方式按國家和學(xué)校另行制定的規(guī)定執(zhí)行。

Ⅲ復(fù)習(xí)方略819數(shù)學(xué)分析是最基礎(chǔ)的課程，開始出現(xiàn)到現(xiàn)在有幾百年了，沒有別的方法，只有不斷地做題，看真題，看書，反復(fù)做，反復(fù)看，而且不止一本的看，因為這兩門課太基礎(chǔ)了，題目很多很多，只有用功看，另外也要結(jié)合歷年真題，有重點的看，難易結(jié)合的看。數(shù)學(xué)專業(yè)課每天花8小時以上不為過，關(guān)于專業(yè)課參考書，首先以教材為主，數(shù)學(xué)分析，裴禮文的書為主，還有謝惠民的《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課解答》都很經(jīng)典，考生們盡量把后面的習(xí)題做完，那里面的習(xí)題相對來說是比較常見的。關(guān)于考研準(zhǔn)備時的交流和答疑，建議是找老師討教或者在圖書館或者網(wǎng)上檢索看看里面有無相似例題或者引理，后一種方法可謂是事半功倍的。關(guān)于網(wǎng)絡(luò)資源的利用，在這里給考生們推薦兩個比較好的數(shù)學(xué)網(wǎng)站，博士數(shù)學(xué)論壇和廈門大學(xué)精品課程網(wǎng)，還有復(fù)旦大學(xué)的課程網(wǎng)站，里面有內(nèi)部的一些資料，還有學(xué)生在學(xué)習(xí)過程的討論，很有意義和共鳴?？忌鷤円颜n本好好的過一遍，現(xiàn)在就可以開始，課后習(xí)題要全做一遍。當(dāng)然那些難的題目就可以放棄了，有些證明復(fù)雜，非常有技巧性的題目也就看看。對于選擇錢吉林的書還是裴禮文的，考生反映裴禮文的教材相對較好。因為做錢吉林的書，考生們所看到的是題目和解答，思路僅限于這道題目和相類似的題目，在解題思路和技巧上提高的并不多。但是裴禮文的會教給考生很多方法，這在每部分開始時講明，然后他選的題目也挺好的。最后不管看錢吉林的還是裴禮文的，一本書都要看好幾遍才可以，如果只是草草的翻著看看，基本上收獲都不會很大。先把書上的題做做，不用非要按順序來，可以先挑幾章自己感興趣的做。還有一定要把時間安排好，不能三天打魚兩天曬網(wǎng)哦?？吹谝槐闀鴷r要把那些比較好的題目做上記號。第二遍時，只看那些做記號的了，是“做”不是“看”，做時再從中挑出還是不會做的，找個本子記下來，題目和解題方法。第三遍時就不用看那本書了，只看本子，那上面才是精華。記得把那些解題的思路，還有那些相關(guān)的題目也要標(biāo)記下，方便記憶。其實，數(shù)學(xué)的東西，有很多是需要記憶的，一些東西還是在做題的過程中一點一滴的回憶慢慢形成反應(yīng)哦，只有這樣才可以在考場上靈活應(yīng)變?？佳惺褂媒滩模?19數(shù)學(xué)分析科目考研參考書目：《數(shù)學(xué)分析》（第三版）（上、下），華東師范大學(xué)編著，高等教育出版社601高等代數(shù)科目考研參考書目《高等代數(shù)》（第三版），北京大數(shù)學(xué)系編著，高等教育出版社；

Ⅳ考試分析一、考試難度1.考試難度浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)課考試科目是819數(shù)學(xué)分析與601高等代數(shù)，從歷年的真題來看，考試的難度適中?？忌鷤円欢ㄒ⒁饣局R基本概論的運用，才能從容應(yīng)對。對于數(shù)學(xué)分析這門課，主要是圍繞極限與導(dǎo)數(shù)，然后微積分基本定理，然后由常義積分推廣為廣義積分，由一元擴張為多元，曲線積分，曲面積分，含參變量積分，還有與之緊密聯(lián)系的級數(shù)，數(shù)列級數(shù)，函數(shù)項級數(shù)，冪級數(shù)，這些都是分析里面的精髓。其中證明題以一元函數(shù)為主，計算題偏向多元，曲線曲面積分，Gauss公式，這些都是?？键c，在真題中幾乎年年出現(xiàn)，這門課只有多做題，多思考才能得高分。通過近幾年的真題分析，可以發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析的命題上，有如下規(guī)律：總分150分，計算題占到40到60分，剩余為證明題，計算題為極限，不定積分，廣義積分，含參變量積分，曲面積分都有，證明題的話偏向一元函數(shù)。在每年的試卷中，知識點分布基本比較均勻，但是也稍有側(cè)重，多元里的一些公式和定理比如梯度，方向?qū)?shù)都很少涉及，F(xiàn)ourier級數(shù)這一塊偶爾碰到，考生復(fù)習(xí)時可以了解即可，但是一元的東西尤其是收斂性的判別，以及各種級數(shù)的收斂證明，含參變量積分的求值一定要重點復(fù)習(xí)，必考。重要的已考點：在真題中，很多考點會反復(fù)出現(xiàn)，一方面告訴考生這是重點，一方面可以幫助考生記憶重要知識點，靈活掌握各種解題方法，所以對于反復(fù)考查的知識點，一定不要局限于答案，而要對答案進行變化。有些考點反復(fù)考查，但是經(jīng)常變換題型，比如，在含參變量的考查上，分區(qū)間討論這一方法頻繁出現(xiàn)，可能是計算題求值，也可能是證明題證明某個區(qū)間上收斂，某個區(qū)間上發(fā)散。每年都以不同的方式出題，知識點和方法卻是相同的，所以，集合真題復(fù)習(xí)的過程中，針對每個知識點，考生應(yīng)該廣開思路，多加積累方法，一些經(jīng)典的題目的經(jīng)典解法一定要理解透，研究透，還有一些重要的結(jié)論，公式也要記住，這些對考生解題思路和速度都有幫助，還讓考生信心倍增。還有，在復(fù)習(xí)時，應(yīng)該將所學(xué)的知識點，形成一個網(wǎng)絡(luò)，這樣不但有利于對知識點的掌握，同時有利于提高應(yīng)試能力。從多年的歷年真題分析看，很多題目都是華師大教材課后習(xí)題的變形，這就是說，在數(shù)學(xué)分析的復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)基于課本，華師大的課后習(xí)題質(zhì)量還是非常高的，要做到課后習(xí)題基本會做，會舉一反三，課后習(xí)題所涉及的知識點都已掌握，這樣，無論題目如何變化，都能夠取得理想的成績。2.出題風(fēng)格浙江大學(xué)數(shù)學(xué)分析科目考試試卷真題難度適中，偏向于對基本知識點的考查，而且每一年的題目基本上都是穩(wěn)定的，涵蓋計算題，證明題，側(cè)重點各有不同，考查的知識點不盡相同考生在備考復(fù)習(xí)過程中，最初要全面的復(fù)習(xí)參考科目的知識，后期要結(jié)合一些著名的習(xí)題集和真題復(fù)習(xí)，只有訓(xùn)練到位，才能得心應(yīng)手。二、考試題型數(shù)學(xué)分析考試題型只有計算題和證明題兩種。1.計算題每年的試卷中，計算題占到40分到60分的分值，非常重要，但是題目較為基礎(chǔ)，難度不大，重在對運算能力的考查，有不定積分，涉及到的方法有分部積分和變量代換，求解極限，一般用洛必達(dá)法則和等價無窮小，以及Taylor展開。廣義積分就是分區(qū)間分別積分，有可能用到變量代換，重積分一定要分好區(qū)域再積分，還有積分號下含參變量的求導(dǎo)數(shù)，這都屬于基礎(chǔ)題，一定要拿全分。2.證明題證明題的范圍涉及較為廣泛，難度也各有不同，一元函數(shù)的連續(xù)，可微，可導(dǎo)，積分性質(zhì)的應(yīng)用就是一個很重要的考點，對知識脈絡(luò)一定要清楚，廣義積分和含參變量是第二個?？键c，里面包含了分析的精華，收斂的判別，積分的求值，數(shù)列函數(shù)極限的分類討論，也有可能出現(xiàn)實數(shù)基本定理，前幾年出現(xiàn)了多元函數(shù)的一些內(nèi)容，比如Possion積分，坐標(biāo)變換，近幾年沒有出現(xiàn)，大家可以稍微放下，一般壓軸題也會出現(xiàn)在數(shù)列，或者積分不等式或者等式的證明上，一句話，多做多看多思考。三、考點分布注：此處不再按指南的章節(jié)進行編排，而是基于考試大綱對內(nèi)容進行了整合，整理成幾大塊熟悉的內(nèi)容，這樣更有利于復(fù)習(xí)（一）極限與連續(xù)年份考查知識點2007數(shù)列與函數(shù)極限2012-2014函數(shù)的連續(xù)性與一致連續(xù)2012連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2015極限的性質(zhì)2016柯西數(shù)列收斂準(zhǔn)則（二）導(dǎo)數(shù)與微分年份考查知識點2008導(dǎo)數(shù)與微分基本運算2009微分中值定理2012函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性2010不定型的極限計算2015-2016洛必達(dá)法則（三）一元定積分與反常積分年份考查知識點2008不定積分的計算2007-2012定積分的計算2012反常積分的計算2010反常積分的收斂判定2016三角函數(shù)的化簡、積分不等式（四）實數(shù)完備性年份考查知識點2011單調(diào)收斂定理2012Cauchy收斂準(zhǔn)則2008確界存在定理2008聚點定理（五）級數(shù)年份考查知識點2011數(shù)項級數(shù)的收斂2012正項級數(shù)的收斂2009一般級數(shù)的收斂2008冪級數(shù)2007-2013（很重要）函數(shù)項級數(shù)（六）多元函數(shù)微分學(xué).年份考查知識點2012、2013多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（七）多元函數(shù)積分年份考查知識點2013多重積分的計算2010曲面積分2011、2014Gauss公式（八）含參變量積分年份考查知識點2012含參變量常義積分2010廣義積分一致收斂四、試題分析：以2016年為例浙江大學(xué)819數(shù)學(xué)分析2016年的考試真題總體不難，較簡單，八個大題都沒有出現(xiàn)生僻的知識點，考查的也較全面，題目綜合度較高，考點涉及極限的求解與證明、函數(shù)的連續(xù)性與一致連續(xù)、Gauss公式、級數(shù)收斂、有限覆蓋定理、區(qū)間套定理、一元函數(shù)的連續(xù)、可微、可導(dǎo)、積分性質(zhì)的應(yīng)用等等。從整體看，這份專業(yè)課試卷的難度不大，偏向于考查基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，不存在難題和怪題。據(jù)往年的考研經(jīng)驗，題目大部分出自浙大李勝宏的《數(shù)學(xué)分析》原題，考生可以以這本書為復(fù)習(xí)重點。綜上，2016年的考研真題雖較之前風(fēng)格大變，但是難度趨于平穩(wěn)，重點仍考查考生對指定教材的熟練程度，考查考生對課本基本概念的理解以及對知識的靈活應(yīng)用。考查的知識點，題型也基本與過去相似。五、考試展望通過對歷年真題及命題趨勢的分析研究，今年，我們認(rèn)為專業(yè)課考研真題會呈現(xiàn)以下趨勢：（一）每個章節(jié)所要考查的知識點基本是和過去相似，課本上的基本概念，一些常用的公式，定義仍然是考試的熱點?？忌鷱?fù)習(xí)的過程中，可參照第三節(jié)所列出的各章節(jié)知識點和浙大李勝宏那本書來做題，掌握考試重點。（二）從題型上來看，仍然是計算與證明為主，題量以及題型會保持穩(wěn)定。（三）根據(jù)上面的展望，可以列出今年考研有可能出現(xiàn)的知識點：（僅作參考）數(shù)學(xué)分析考查章節(jié)考查知識點極限與連續(xù)都可能涉及導(dǎo)數(shù)與微分微分中值定理一元積分學(xué)都可能涉及實數(shù)完備性可能性不大級數(shù)都可能涉及多元函數(shù)微分偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)積分計算必考含參變量積分計算

Ⅴ復(fù)習(xí)指南《數(shù)學(xué)分析》第一章函數(shù)一、本章復(fù)習(xí)提示本章精簡某些與中學(xué)數(shù)學(xué)相重復(fù)的函數(shù)概念，增加實數(shù)集有關(guān)的一些內(nèi)容，如鄰域，有界集，確界原理等。在歷年的考題中，本章不是考是重點，考生只要了解一些簡單性質(zhì)的應(yīng)用即可。在復(fù)習(xí)過程中，建議考生掌握基本的概念及求函數(shù)定義域、值域的常用方法，這些都是比較容易涉及的考點。二、本章知識框架圖

第二章極限一、本章復(fù)習(xí)提示本章主要闡述了極限的相關(guān)內(nèi)容。首先簡要介紹了數(shù)列極限的概念，并給出了一些應(yīng)用。然后介紹了函數(shù)極限概念及應(yīng)用。在歷年的考題中，本章會出現(xiàn)計算題和證明題，如求已知數(shù)列的極限、考查數(shù)列的收斂性、計算函數(shù)的極限和已知遞推關(guān)系求極限等。在復(fù)習(xí)過程中，建議考生在復(fù)習(xí)數(shù)列極限時，首先要熟練掌握數(shù)列收斂的定義、判別法；然后通過練習(xí)總結(jié)數(shù)列的特征及不同的數(shù)列應(yīng)用的方法。在復(fù)習(xí)函數(shù)極限時，考生需熟練掌握函數(shù)極限定義、存在的條件，并且不斷總結(jié)計算方法。二、本章知識框架圖極限極限函數(shù)極限

QUOTEQUOTE第三章函數(shù)的連續(xù)性一、本章復(fù)習(xí)提示本章綜合了課本中第四章函數(shù)的連續(xù)性相關(guān)知識。首先從函數(shù)在一點的連續(xù)性為切入點，然后引出函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性。其次，研究函數(shù)的性質(zhì)，分別介紹連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的特殊性質(zhì)，以及一致連續(xù)性。最后最初等函數(shù)的連續(xù)性做了簡單的說明。在歷年考題中，本章多以證明題的形式出現(xiàn)，常見的考題有判斷函數(shù)的連續(xù)性與一致連續(xù)性；連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)等。可見，一些連續(xù)函數(shù)的特殊性質(zhì)是考試重點，如連續(xù)函數(shù)的價值性定理，根的存在性定理，一致連續(xù)性以及一致連續(xù)性定理。在復(fù)習(xí)過程中，建議考生要結(jié)合課本，并且以課本上面的例子和習(xí)題為主。在判斷函數(shù)連續(xù)性時，可以采用定義法、左右連續(xù)法以及放縮法。判定一致連續(xù)時，也可以采用同樣的方法。同時，考生在做課后習(xí)題中會遇到用利普希茲條件判定函數(shù)的一致連續(xù)，考生必須把它作為考點掌握。有關(guān)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)主要會涉及到的考點有用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明相關(guān)結(jié)論、構(gòu)造輔助函數(shù)、利用區(qū)間套定理（比較難）、利用反正法、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的運用、閉區(qū)間套定理、用反正法等來證明閉區(qū)間上函數(shù)的連續(xù)性。本章的知識都是《數(shù)學(xué)分析》中比較基礎(chǔ)的一章，作為基礎(chǔ)性的知識，希望考生復(fù)習(xí)時一定要重視。同時，考生在做本章課后習(xí)題會發(fā)現(xiàn)一些連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)存在很多等價形式，要求考生充分掌握此部分的內(nèi)容，進行反復(fù)練習(xí)。二、本章知識框架圖

第四章導(dǎo)數(shù)、中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、本章復(fù)習(xí)提示本章是《數(shù)學(xué)分析》中第五章導(dǎo)數(shù)與微分，第六章微分中值定理及其應(yīng)用的綜合章節(jié)，是整個《數(shù)學(xué)分析》最基本也是最重要的一章。而我們所要掌握的是導(dǎo)數(shù)的定義及意義，左右導(dǎo)數(shù)的定義，微分與高階導(dǎo)數(shù)的定義及應(yīng)用。在各大高校的考研題中經(jīng)常見到值定理的一些靈活應(yīng)（用），其中包括費馬定理，羅爾定理拉格朗日中值定理，柯西定理等。由于歷年考題中經(jīng)常運用導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)，例如研究函數(shù)的性質(zhì)，因此考生在了解函數(shù)的性質(zhì)之前考生必須熟悉單調(diào)性，極值問題，凸性，拐點及漸近線等基本概念的定義及相互之間的區(qū)別，具體的問題我們將會在下面的內(nèi)容中體現(xiàn)。在歷年考題中本章知識點涉及較多，其中常見的考點有全微分，偏導(dǎo)數(shù)。中值定理是歷年考試中重中之重的考點，主要有拉格朗日中值定理，羅爾中值定理，柯西中值定理以及費馬定理等。在復(fù)習(xí)中，考生首先要掌握多種求導(dǎo)數(shù)的方法，如定義法，左右導(dǎo)數(shù)法，洛必達(dá)法則，參數(shù)方程法，隱函數(shù)求導(dǎo)法以及對數(shù)求導(dǎo)法等。其次，掌握微分中值定理中各個定理的適用條件以及用法，如拉格朗日中值公式，泰勒公式，費馬定理的應(yīng)用，羅爾中值定理，柯西中值定理等。最后，掌握導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，例如研究函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性，拐點等。以上這些內(nèi)容考生在復(fù)習(xí)過程中都要作為重點知識來掌握。二、本章知識框架圖

第五章不定積分一、本章復(fù)習(xí)提示本章是關(guān)于不定積分的定義與常用的求法，雖然內(nèi)容不是很多，但是卻是為定積分的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，因此關(guān)于幾種常用的方法，例如換元積分法，分部積分法，三角函數(shù)有理式的積分法等都要掌握。在歷年考題中，本章主要以計算題的形式出現(xiàn)，所以考生需掌握求不定積分的不同方法。在復(fù)習(xí)過程中，首先主要是要掌握原函數(shù)的定義，這是不定積分一章中最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容。求不定積分的方法有許多種，主要包括公式法，直接積分法，換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)的積分法，三角函數(shù)有理式的積分法以及某些無理根式的積分法。二、本章知識框架圖原函數(shù)與不定積分不定積分概念與基本公式不定積分的幾何意義基本積分表第一換元法（“湊分”法）換元法與部分積分法第二換元法不定積分部分換元法有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)和可化為有理三角函數(shù)有理式的不定積分函數(shù)的不定積分某些無理根式的不定積分

第六章定積分一、本章復(fù)習(xí)提示本章綜合了數(shù)學(xué)分析中的第九章定積分，第十章定積分的應(yīng)用，第十一章反常積分以及第十九章含參量積分這四章的內(nèi)容。首先從正常積分定積分為研究對象，在不定積分的基礎(chǔ)上進行深入。然后研究了兩類較為反常的積分——無窮積分和瑕積分，研究了它們的相關(guān)性質(zhì)和收斂的判別。最后研究含參量的正常積分和含參量的反常積分。在歷年的考題中，本章考題以計算題為主，一般以計算一個定積分為主要考查對象，常用分部積分法和換元積分法，建議考生在復(fù)習(xí)時一定要搞清楚。復(fù)習(xí)上，建議考生在復(fù)習(xí)定積分的計算與證明時，首先要熟練掌握定積分的定義，并且要會根據(jù)定積分的定義來計算定積分。其次，要掌握牛頓萊布尼茨公式，分部積分法，換元法，恒等變形，遞推公式，奇偶變換等求定積分的一般方法。積分中值定理的應(yīng)用在以后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用非常廣泛，需要掌握牢固。反常積分是比較難掌握的一部分內(nèi)容，在復(fù)習(xí)時，要注意掌握反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法；在反常積分的計算中利用變限積分的定義將反常積分轉(zhuǎn)換為正常積分來計算。含參量積分是關(guān)于二元函數(shù)的參變量積分，是比較難得知識點，要掌握含參量積分一致收斂的判別方法，如定義法，柯西準(zhǔn)則法，Abel與Dirichlet判別法等。含參變量反常積分的極限與連續(xù)性；含參量反常積分的計算方法，主要有積分號下求積分或者求導(dǎo)數(shù)，建立微分方程求解，以及級數(shù)解法，或者轉(zhuǎn)化為其他積分進行計算。含參量正常積分的計算方法，主要有積分號下去極限，積分號下求導(dǎo)數(shù)，以及積分號下求積分等。二、本章知識框架圖定積分定積分反常積分含參量積分

第七章級數(shù)一、本章復(fù)習(xí)提示本章綜合了數(shù)學(xué)分析中的第十二章數(shù)項級數(shù)，第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)，第十四章冪級數(shù)和第十五章傅里葉級數(shù)這四章的內(nèi)容。從第十二章開始我們開始研究有關(guān)級數(shù)的相關(guān)知識，從易到難，與前面知識的聯(lián)系不太緊密。但是級數(shù)這一部分知識在考試中占了非常重要的地位。在歷年的考題中，本章考題主要是計算題和證明題、計算題為主。一般以判別級數(shù)的斂散性為主要考查對象，主要包括正項級數(shù)斂散性的判別；交錯級數(shù)的斂散性。條件收斂與絕對收斂的判別。函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂。冪級數(shù)的收斂半徑，收斂域，收斂區(qū)間以及冪級數(shù)的展開式。復(fù)習(xí)上，建議考生要把本章節(jié)作為重點內(nèi)容。常見的判別級數(shù)斂散性的方法有柯西準(zhǔn)則，正項級數(shù)判別法，適用于交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法，以及定義法。注意區(qū)分條件收斂與絕對收斂，絕對收斂的判別法。函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的收斂性判別是比較難的一部分內(nèi)容，一致收斂的判別法中阿貝爾判別法和狄利克雷判別法是兩種常用的判別一致收斂的方法；一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)如連續(xù)性，逐項求導(dǎo)和逐項積分。注意區(qū)分冪級數(shù)的收斂域與收斂區(qū)間；冪級數(shù)收斂半徑的求法以及將一個函數(shù)展開稱為冪級數(shù)。建議考生將傅里葉級數(shù)部分的內(nèi)容放在最后一輪復(fù)習(xí)中，最后再看。二、本章知識框架圖

第八章多元函數(shù)微分學(xué)一、本章復(fù)習(xí)提示多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，因此它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì)，這章主要包括三大部分：多元函數(shù)的極限與連續(xù)；多元函數(shù)微分學(xué)；隱函數(shù)定理及其應(yīng)用。本章知識點大多是建立在前面一元函數(shù)微分學(xué)的基礎(chǔ)上，所以復(fù)習(xí)中考生可以適當(dāng)結(jié)合，采取比較學(xué)習(xí)法。在歷年考題中，本章主要考查計算題，一般是求偏導(dǎo)數(shù)或全微分，有時還會考查證明題，證明一個函數(shù)的可微性或連續(xù)性。利用一階微分的形式不變性，結(jié)合鏈?zhǔn)椒▌t，考生對這一知識點要多注意?？忌€要注意切線或法線方程的求解問題。在復(fù)習(xí)中，首先是關(guān)于二元函數(shù)的一些極限理論，其中累次極限與重極限的區(qū)別及其求法在很多高校的考研題中體現(xiàn)，還有求二元函數(shù)極限的一些常用方法考生要作為重點知識來掌握。第二部分中要討論多元函數(shù)的可微性及其應(yīng)用，我們首先建立了關(guān)于二元函數(shù)的可微性，全微分，偏導(dǎo)數(shù)，方向?qū)?shù)與梯度等基本概念，接著是可微性的條件、復(fù)合函數(shù)的微分法，還有二元函數(shù)的中值定理及泰勒公式，多元函數(shù)求極值的方法等。在求多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)中，涉及到很多方法，其中關(guān)于一階微分形式不變性與鏈?zhǔn)椒▌t是常用的而且在考試中涉及也會比較多。還有其他一些求偏導(dǎo)數(shù)的方法如直接法，先取對數(shù)在求導(dǎo)的方法，以及數(shù)學(xué)歸納法等，考生也需要進行一定的練習(xí)。二、本章知識框架圖

第九章重積分一、本章復(fù)習(xí)提示本章是課本中第二十一章中重積分相關(guān)內(nèi)容的總結(jié)，是在上一章曲線積分的基礎(chǔ)上對幾何圖形積分的深化研究。主要介紹了二重積分和三重積分的相關(guān)計算，本章中涉及到一個重要的公式格林公式，由于與下一章聯(lián)系較為緊密，所以在這里把格林公式的相關(guān)內(nèi)容放到下一章中做研究。本章在歷年考題中涉及的考題也比較多，幾乎年年都會出題，對于常見的一些重積分的計算公式以及他們之間的轉(zhuǎn)化需要熟悉。將重積分化為累次積分；用變量替換法來求重積分，求曲面的面積等，這些都是最基本的方法，也是考試的易考點，考生在復(fù)習(xí)中要將這些作為重點內(nèi)容進行練習(xí)。在復(fù)習(xí)中，建議考生把重積分的計算作為重點內(nèi)容。掌握一些常用的求解重積分的方法。例如：化累次積分法；變量替換法；對稱法等。在求解累次積分過程中，化解時常常會遇到積分換序，考生要清楚在什么條件下積分可以交換順序。積分等式和不等式的證明，類似于二重積分的計算，三重積分也有相應(yīng)的計算方法，常見的有簡單區(qū)域法；變量替換法；以及對稱法；累次積分交換順序時也要明確需要滿足那些條件。由于本章知識點比較多，而且計算量比較大，不建議考生大量練習(xí)，只需要有針對性的做相應(yīng)的練習(xí)即可，而且由于計算法則較多，希望考生能在臨考之前進行第二次復(fù)習(xí)，加深印象，明確公式，并掌握各個公式的使用條件。二、本章知識框架圖

第十章曲線積分與曲面積分一、本章復(fù)習(xí)提示本章綜合了課本的第二十章曲線積分和第二十二章曲面積分，綜合之后將曲線積分與曲面積分對應(yīng)起來學(xué)習(xí)。首先講解了第一型曲線積分和曲面積分的定義及計算公式，然后介紹了第二型曲線積分和曲面積分的定義及的計算公式，最后，闡述了他們之間的轉(zhuǎn)化。在歷年的考題中，本章多以計算題的形式出現(xiàn)，而且每年必考，希望考生在復(fù)習(xí)過程中一定要作為主要內(nèi)容關(guān)注。雖然考題不多，但是考查了學(xué)生對概念的理解以及應(yīng)用能力，對一些常用的公式考生一定要熟悉，曲面積分與曲線積分之間的轉(zhuǎn)化，公式之間的轉(zhuǎn)化都需要考生熟記。所以考生一定要給予本章足夠的重視。在復(fù)習(xí)上，對第一、二型曲線積分與第一、二型曲面積分的定義的理解建議考生不要死記硬背定義，要從它們建立的模型上來理解，掌握模型的研究方法，能夠區(qū)分各種模型之間的差異。第一型曲線積分的計算方法主要有參數(shù)方程法；轉(zhuǎn)化為第二型曲線積分法；利用曲線方程簡化為被積函數(shù)；利用曲線與被積函數(shù)的對稱性等方法。第一型曲面積分的計算方法有曲面方程法，化為二重積分計算；化為第二型曲面積分；化為三重積分；利用對稱性；利用曲面的方程簡化計算等方法。第二型曲線與曲面積分的計算方法有參數(shù)方程法；格林公式；積分與路徑無關(guān)性；利用曲線與坐標(biāo)軸的垂直關(guān)系或曲面去坐標(biāo)面的垂直關(guān)系；化為第一型積分等方法來計算。上述的這些方法希望考生可以作為重點內(nèi)容來掌握。同時曲線積分與曲二、本章知識框架圖

Ⅵ核心考點解析《數(shù)學(xué)分析》第一章函數(shù)一、綜述1.鄰域（1）稱為鄰域，其中>0。（2）稱為的空心鄰域，其中。（3）和分別稱為的右鄰域和左鄰域，其中。2.確界★設(shè)給定數(shù)集，（1）上確界若存在數(shù)，滿足①；②，都存在，使，則稱為的上確界，記為。（2）下確界若存在數(shù)，滿足①；②，都存在，使，則稱為的下確界，記為。（3）確界原理①非空有上（下）界的數(shù)集，必有上（下）確界。②若數(shù)集有上（下）確界，則上（下）確界一定是唯一的。3、函數(shù)（1）函數(shù)定義給定兩個非空實數(shù)集D和M，若有一個對應(yīng)法則，使D內(nèi)每一個數(shù)，都有唯一的一個數(shù)與它對應(yīng)，則稱是定義在D上的一個函數(shù)，記為，并稱D為函數(shù)的定義域，稱為函數(shù)的值域。（2）一些重要的函數(shù)★★★①分段函數(shù)函數(shù)在其定義域的不同部分用不同公式表達(dá)的這類函數(shù)，常稱為分段函數(shù)。例如符號函數(shù)狄利克雷函數(shù)★★★★黎曼函數(shù)★★★★②復(fù)合函數(shù)，其中。③反函數(shù)已知函數(shù)，若對，在中有且只有一個值，使得，則按此對應(yīng)法則得到一個函數(shù)。稱這個函數(shù)為的反函數(shù)。（3）初等函數(shù)基本初等函數(shù)常量函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)這六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)。初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與復(fù)合運算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)。凡不是初等函數(shù)的函數(shù)，統(tǒng)稱為非初等函數(shù)。二、解題方法★★1.考點1求函數(shù)的定義域，它的解法如下：①已知函數(shù)表達(dá)式，求定義域。常用方法是解不等式組。②已知抽象函數(shù)的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域。常用方法也是解不等式組。2.考點2求函數(shù)值及函數(shù)的值域，它的解法如下：①求函數(shù)值。常用方法是代入法。②求函數(shù)表達(dá)式。求復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式常用方法也是代入法。途徑有兩種，一種是由內(nèi)向外，另一種是由外向內(nèi)。求函數(shù)表達(dá)式是，也可用圖像法。③求函數(shù)值域。常用方法是求函數(shù)的最大值與最小值。3.考點3求上下確界或證明確界的性質(zhì)，常用方法是利用確界的定義。三、典型例題解析1.關(guān)于確界原理的應(yīng)用例題1：設(shè)為非空數(shù)集，定義，證明：（1）（2）證明：（1）令，則由上確界的定義，，則有①對，有；②對，，使得；由下確界的定義有：（2）同理可證，令，則有相應(yīng)的。2.周期函數(shù)的性質(zhì)例題2：設(shè)為定義在上以為周期的函數(shù)，證明：若在上有界，則在上有界。證明：因為在上有界，則存在，對任意的，都有，設(shè)，令（表示幾個周期），則有令，則有，則，則有，又則有，所以在上有界。3.求函數(shù)解析式例題3：已知，求解：令，則有所以即有所求函數(shù)為。

第二章極限一、數(shù)列極限1.數(shù)列收斂的定義★★★★（1）為數(shù)列，為定數(shù)，對，總存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，則稱收斂于。記或。（2）對，若在之外數(shù)列中的項至多只有有限個，則稱數(shù)列收斂于。2．?dāng)?shù)列發(fā)散的定義：（2）存在，使得數(shù)列中無窮多個項落在之外，則一定不以為極限。3.數(shù)列極限的性質(zhì)★★★（1）（唯一性）若數(shù)列收斂，則它只有一個極限。（2）（有界性）若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)，使得對一切正數(shù)，有。（3）（保號性）若，則對任意一個滿足不等式的，都存在正數(shù)，當(dāng)時，。（4）（保不等式性）若，且，則。（5）（迫斂性）設(shè)，且，則。（6）（運算）若，則，。若，則。4.常用公式★★★★（1）有理式比（2），其中。（3）。（4）。5.充要條件①柯西準(zhǔn)則★★★數(shù)列收斂的充要條件是：對總存在自然數(shù)，當(dāng)，都有。②子數(shù)列法則數(shù)列收斂的充要條件是它的任一子列都收斂于同一極限。6.單調(diào)數(shù)列★★★任何有界的單調(diào)數(shù)列一定有極限。且單調(diào)遞增有界數(shù)列的極限為其上界。單調(diào)遞減有界數(shù)列的極限為其下確界。二、函數(shù)的極限1．函數(shù)極限的定義★★函數(shù)在點的空心領(lǐng)域有定義，是一個確定的數(shù)，若對，使得當(dāng)時，都有，則稱趨向于時極限存在，且以為極限，記作。2．函數(shù)極限的性質(zhì)★★★（1）（2）唯一性若存在，則它只有一個極限。（3）局部有界性若存在，則它在點的空心領(lǐng)域內(nèi)有界。（4）局部保號性若，則對任意正數(shù)，存在的某一空心領(lǐng)域，使對，恒有。（5）不等式性若，且有成立，則，即。（6）（迫斂性）若，且有，則。3.運算（1）若，則（2），則4.充要條件★★（1）歸結(jié)原則設(shè)在的空心領(lǐng)域有定義，則存在的充要條件是對任何以為極限且含于的數(shù)列，極限都存在且相等。（2）柯西準(zhǔn)則設(shè)在的空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，則極限存在的充要條件是：，總存在，使對任何都有。5.單調(diào)有界定理★★設(shè)為定義在，則存在。6.兩個重要極限★★★（1）（2）7.不定式極限（1）不定式極限的類型包括等，但都可經(jīng)過變換化為。（2）洛比達(dá)法則★★★★①若。和在的空心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且，且，則。②若。和在的空心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且，且，則。③類似有單側(cè)極限的不定式的洛比達(dá)法則。8.無窮小量與無窮大量（1）無窮小量①定義若函數(shù)的極限等于零，則稱這個函數(shù)為無窮小量。②運算有限個（相同類型的）無窮小量之和仍為無窮小量。無窮小量乘無窮小量仍為無窮小量。③若，若則稱為比高階[或等價，或同階，或低階]無窮小。（2）無窮大量①所有以為極限的函數(shù)都仍為無窮大量。②若為的無窮小量，則為的無窮大量（其中在內(nèi)都不為0），反之亦然。（3）當(dāng)時，有下列常用的一組等價無窮小★★★★～；～；～；～；～；～；～；～；～；～等。求極限時，?？蓱?yīng)用等價無窮小代換。三、典型例題解析1.一些常見數(shù)列的極限★★★（1）（為正數(shù)）（2）（3），特例證明：我們以第三個為例：當(dāng)時，上述結(jié)論顯然成立?，F(xiàn)在設(shè)，則有欲使則只需，則取，當(dāng)時，有，即類似地，可以得到。（4）求，其中解：若時，顯然有；當(dāng)時，若，則由，可得到若，則（5）證明解：令又因為則（6）求解：因為又因為則有上式又即有。2.數(shù)列收斂的結(jié)論（1）設(shè)，若，則；。（2）若，且，則。3.數(shù)列收斂的證明（1）單調(diào)有界定理例題1：證明數(shù)列，，……，（個根號），收斂，并求其極限。證明：顯然數(shù)列單調(diào)遞增，且有，又由題目得，則有則又故有即有界，由單調(diào)有界定理，可知數(shù)列收斂。（類似題目）已知，，求證數(shù)列收斂，并求它的極限。例題2：給定兩個正數(shù)，，做出其等差中項與等比中項，一般地，令；，證明與皆存在且相等。證明：因為，根據(jù)題目有即又所以數(shù)列單調(diào)遞減。由題目所以數(shù)列單調(diào)遞增。又因為且單調(diào)遞增，則有；且單調(diào)遞減，則有；根據(jù)單調(diào)有界定理有極限都存在，設(shè)，則即4.函數(shù)極限一些相關(guān)結(jié)論（1）設(shè)，若在內(nèi)有，不一定有。例如：取，，，則在內(nèi)有，但是。5.函數(shù)極限例題1：設(shè)在內(nèi)有定義，證明：若對任何數(shù)列，且，極限都存在，則所有的這些極限都相等。證明：取數(shù)列，，設(shè)；；下證構(gòu)造數(shù)列：顯然有，所以，故也收斂。又因為為的兩個子列，則他們必然有相同的極限，即。例題2：設(shè)為狄利克雷函數(shù)，，證明不存在。證明：根據(jù)有理數(shù)與無理數(shù)在實數(shù)中的稠密性，則在有理數(shù)中取一列子列，我們有在無理數(shù)中取一列子列，我們有則由子列準(zhǔn)則有函數(shù)數(shù)極限不存在。例題3：證明：若為周期函數(shù)，且，則證明：反證法：若，則存在，使得，設(shè)的周期為，則有。對任意的，可以構(gòu)造一個數(shù)列，則有；故有歸結(jié)原則，有，這與已知矛盾，故假設(shè)不成立，則。例題4：設(shè)函數(shù)在上滿足方程，且，證明：，證明：反證法假設(shè)存在，使得，由在上滿足方程，則有，則有為一數(shù)列。①當(dāng)時，，又，則由歸結(jié)原則可以知道存在。則有。②當(dāng)時，，又，則由歸結(jié)原則可以知道存在。，故有。綜上所述，不管是或者是，總有，這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，即，。

第三章函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)1.連續(xù)的定義★（2）設(shè)在的右（或左）鄰域內(nèi)有定義。若，則稱在點右（或左）連續(xù)。顯然在連續(xù)的充要條件是：函數(shù)在點既左連續(xù)又右連續(xù)。（3）若函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)，則稱為上連續(xù)函數(shù)。對于區(qū)間端點上的連續(xù)性，按左、右連續(xù)來確定。2.間斷點及其分類（1）函數(shù)的不連續(xù)點統(tǒng)稱為區(qū)間點，間斷點又分為兩類①第一類間斷點：都存在，A若，稱為可去間斷點。B若，稱為跳躍間斷點。②第二類間斷點：至少有一不存在。3.一致連續(xù)函數(shù)★★★★（1）一致連續(xù)的定義設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對，總存在，只要，且，都有，則稱在上一致連續(xù)。（2）在區(qū)間上一致連續(xù)，則在上連續(xù)，反之不然。（3）在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)★★★1.局部有界性若函數(shù)在點連續(xù)，則在點的某個鄰域有界。2.局部保號性若函數(shù)在點連續(xù)，且，則存在的某個鄰域，使得，其中，并存在某個正數(shù)b，使，。3.四則運算連續(xù)性若，都在點連續(xù)，則，，（其中）在點也連續(xù)。4.復(fù)合函數(shù)連續(xù)性5.有界性若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界。6.最值定理★若在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有最大值與最小值。7.介值定理★★若在區(qū)間上連續(xù)，且（或），（或），則存在，使。8.根的存在性定理★★若在區(qū)間上連續(xù)，且，則在內(nèi)至少有一個根。9.反函數(shù)連續(xù)性設(shè)在上嚴(yán)格遞增（或減）且連續(xù)，則其反函數(shù)在相應(yīng)定義域（或）上連續(xù)。三、一致連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)若在區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。四、初等函數(shù)的連續(xù)性任意初等函數(shù)都是它在定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。由于初等函數(shù)的連續(xù)性在考試中很少涉及，考生只要在看課本的時候稍稍注意，知道那些函數(shù)是初等函數(shù)即可。五、解題方法★★1.考點1判斷連續(xù)性解題方法：（1）定義法；（2）判斷左右連續(xù)法；（3）放縮法2.考點2判斷一致連續(xù)解題方法：（1）定義法；（2）放縮性；（3）用利普希茲條件3.考點3連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)解題方法：（1）利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；（2）構(gòu)造輔助函數(shù)法；（3）利用區(qū)間套原理；（4）利用有限覆蓋定理；（5）用洛必達(dá)法則；（6）反證法4.考點4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)解題方法：（1）利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；（2）反證法；（3）用區(qū)間套原理。六、典型例題與解析1.函數(shù)連續(xù)性結(jié)論性題目設(shè)為區(qū)間上為遞增函數(shù)，若為的間斷點，那么必然是的第一類間斷點。2.單調(diào)函數(shù)的連續(xù)性證明例題1：設(shè)為上的單調(diào)函數(shù)，定義，證明在上每一點都右連續(xù)。證明：根據(jù)，由為上的單調(diào)函數(shù)，則可以知道與均存在，故在上有定義，則任取，有，則任取，，當(dāng)時，有，則對任意的，存在，當(dāng)時，上式成立。令，則有，則對一切的，，即在點處右連續(xù)。由的任意性，故有在上每一點都右連續(xù)。例題2：若對任何充分小的，在連續(xù)，能否由此推出在連續(xù)。證明：，取，則有則有又因為在連續(xù)，則在連續(xù)，由的任意性，可以知道在連續(xù)。3、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例題1設(shè)在連續(xù)，且與為有限值，證明：（1）在內(nèi)有界；（2）若存在，使得，則在證明：令則我們可以得到在連續(xù)。（1）由在連續(xù)，故在有最大值和最小值，即在有界，故有在有界。（2）設(shè)為在上的最大值若，則結(jié)論顯然成立。因為，也是在內(nèi)的最大值。若，因為為在上的最大值，故有，因為，則有，所以，且即有，且故必然在內(nèi)取得則存在使得例題2：設(shè)在連續(xù)，滿足，，設(shè)，，證明：（1）為收斂數(shù)列；（2）設(shè)，則；（3）若條件改為，，則。證明：（1）因為，則有單調(diào)遞減，且，又單調(diào)有界數(shù)列必有極限，則有為收斂數(shù)列。（2）因為在連續(xù)，且，則有；即（3）由，且，即時，又由新條件，當(dāng)時，，則

第四章導(dǎo)數(shù)、中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)1.定義★★設(shè)函數(shù)在點某鄰域有定義，若極限存在，則稱在點可導(dǎo)，此極限值為在點的導(dǎo)數(shù)，記為。2.還有其他的幾種表示3.左、右導(dǎo)數(shù)設(shè)在的某個右鄰域（或左鄰域）有定義，若右（或左）極限（或）存在，則稱此極限在點的右（或左）導(dǎo)數(shù)，記為（）。4.導(dǎo)函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間中每一點都可導(dǎo)，則稱此函數(shù)為這個區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)。記作或者是5.性質(zhì)性質(zhì)1若在點可導(dǎo)，則在點連續(xù)，反之不然。性質(zhì)2存在與都存在，且=。性質(zhì)3若函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且，，則。性質(zhì)4若在區(qū)間上與可導(dǎo)，且，則。6.幾何意義在曲線上，是此曲線在點處切線的斜率。二、求導(dǎo)法則★★★1.四則運算公式若在可導(dǎo)，令則特別的。2.基本初等函數(shù)求導(dǎo)法則★★★★①②；③，特別地，④；⑤；⑥⑦；；⑧；⑨3.反函數(shù)求導(dǎo)公式設(shè)為的反函數(shù)，若在點的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)且。則在點可導(dǎo)，且，也可記為。4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式若在可導(dǎo)，在可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在可導(dǎo)，且。簡記為：。5.參變量方程的求導(dǎo)公式設(shè)（）則三、高階導(dǎo)數(shù)★★1.定義如果存在，則稱二階可導(dǎo)，并稱此極限的值為的二階導(dǎo)數(shù)，記為。類似的可以定義，即。二階以及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)還可以記為2.若，則四、微分★★1.定義若函數(shù)在的增量可以表示為的線性函數(shù)與較高階的無窮小量之和，即，則稱在點可微，并稱為在點的微分。記為。函數(shù)在點可微和可導(dǎo)是等價的。2.可微函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間每一點都可微，則稱為區(qū)間上的可微函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上上任意一點可微記作。3.微分的運算法則①②③④4.可導(dǎo)與可微的關(guān)系函數(shù)在點可微存在，且這時。一般在的微分有。5.近似計算公式。6.二（高）階微分設(shè)，若二階可導(dǎo)，則二階微分為。一般的成為階微分。五、中值定理★★★★1.費馬定理設(shè)在點的某領(lǐng)域有定義，且在可導(dǎo)，若點為的極值點，則。費馬定理的幾何意義非常明確，若函數(shù)在極值點處可導(dǎo)，那么在該點的切線平行于軸。2.羅爾定理★★★設(shè)滿足如下條件①在閉區(qū)間上連續(xù)；②在內(nèi)可導(dǎo)；③且則至少，使得。3.拉格朗日中值定理★★★★（1）設(shè)滿足如下條件①在上連續(xù)；②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則至少，使得。（2）拉格朗日定理的一些等價形式（3）若函數(shù)和均在區(qū)間上可導(dǎo)，且；則在區(qū)間上和只相差一個常數(shù)。即（4）導(dǎo)數(shù)極限定理若函數(shù)在點的某個領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在點可導(dǎo)，且4.柯西定理★★★★設(shè)滿足①都在上連續(xù)；②與都在內(nèi)可導(dǎo)；③且與在內(nèi)不同時為零；④且；則使得六、泰勒公式及有限增量公式★★★1.泰勒公式（1）帶有佩亞諾余項的泰勒公式設(shè)在處存在直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，則，稱為在處的泰勒公式。（2）帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式★★①②③④⑤⑥（3）帶有拉格朗日余項的泰勒公式設(shè)在上存在直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，則，其中。（4）類似于帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式一樣，帶有拉格朗日余項的泰勒公式也有相應(yīng)的麥克勞林公式。2.有限增量公式若在點可導(dǎo)，則。七、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)★★★1.單調(diào)性（1）在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)遞增（或遞減）的充分條件是（或），。（2）在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)嚴(yán)格遞增（或嚴(yán)格遞減）的充要條件是（）且在內(nèi)的任何子區(qū)間上。2.極值★★（1）設(shè)在連續(xù)，在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)若，；，則在取極大值。若，則在取極小值。（2）分條件：設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)，在點二階可導(dǎo)，且。若，則在取極大值；若，則在取極小值。3.最大值與最小值設(shè)在上連續(xù)，在上幾乎處處可導(dǎo)，設(shè)在內(nèi)穩(wěn)定點為，導(dǎo)數(shù)不存在點為，和分別為在上的最大值和最小值，則4.凸性（1）設(shè)在區(qū)間上二階可導(dǎo)，則為上凸函數(shù)的充要條件是：。（ii）設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則為上凹函數(shù)的充要條件是。5.拐點（1）在點二階可導(dǎo)，則點為曲線的拐點的必要條件是。（2）在點二階可導(dǎo)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，若在和上的符號相反，則在點為曲線的拐點。6.漸近線設(shè)（1）水平漸近線若，則為曲線的水平漸近線。（2）垂直漸近線若，則為曲線的一條垂直漸近線。（3）斜漸近線若且，則是曲線的一條斜漸近線。7.函數(shù)作圖（略）八、典型例題與解析1.分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)例題1：研究函數(shù)在處的各階導(dǎo)數(shù)。解：函數(shù)①1階導(dǎo)數(shù)當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有，則有綜上所述：②2階導(dǎo)數(shù)當(dāng)時，有當(dāng)時，有當(dāng)時，有則有不存在。綜上所述：。③3階導(dǎo)數(shù)當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；不存在。綜上所述：。④當(dāng)時，有。2.對數(shù)求導(dǎo)法例題1：求的導(dǎo)函數(shù)解：用對數(shù)求導(dǎo)法，對兩邊同時求對數(shù)；則有；則即3.萊布尼茨公式的應(yīng)用例題1：設(shè)（1）證明滿足方程；（2）求。證明：（1）因為；。（2）因為；對方程，兩邊同時求階導(dǎo)，則有，由萊布尼茨公式有將代入，則有，即為的遞推公式，又；，故有4.在處不可導(dǎo)的函數(shù)（1），在處連續(xù)但是在處不可導(dǎo)；（2），只在處可導(dǎo)，在其他點處不連續(xù)，則也不可導(dǎo)；（3），只在處連續(xù)。5.拉格朗日定理證明不等式例題1：設(shè)為上的二階可導(dǎo)函數(shù)，，并且存在一點，使得，證明至少存在一點，使得。思路分析：在區(qū)間用拉格朗日中值定理，則存在一點，使得：在區(qū)間用拉格朗日中值定理，則存在一點，使得。則由為上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則有也滿足拉格朗日中值定理，即存在，使得：6.柯西中值定理與拉格朗日定理的應(yīng)用例題1設(shè)函數(shù)在點的某個領(lǐng)域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，證明：對充分小的，存在，，使得證明：令；，由柯西中值定理可以得到：存在，使得又令，對用拉格朗日中值定理可以得到：存在使得：綜上所述有：。令，則。例題2：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明存在，使得。思路分析：可以化為，即則令；，定理得證。在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理有

第五章不定積分一、不定積分1.原函數(shù)的定義★★★★在某個區(qū)間內(nèi)，若有，則稱是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，稱（是任意常數(shù)）是的不定積分，記作，于是。2.性質(zhì)（1）（2）（3）（，為常數(shù)）3.基本積分公式★★★★（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）二、不定積分的求法有一下幾種1.直接積分法（一般是用基本積分公式）2.換元積分法★★★（1）第一換元積分法（即“湊微分法”）如何“湊微分”方法靈活多樣，常見的可歸類如下等等。（2）第二換元積分法第二換元積分法較多地用于無理函數(shù)的積分，通過變換去掉被積函數(shù)中的根號，簡化積分。對于同一個積分，可能存在著不同的代換法，究竟選用什么樣的變換才能湊效，完全由被積函數(shù)的特點所決定，可以靈活考慮。3.分部積分法★★★★若與可導(dǎo)，不定積分存在，則也存在，并且有，也常常寫作。分部積分法主要用于被積式中含有對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)因子的情形，按“對反冪三指”的優(yōu)先順序選擇而使用分部積分法。4.有理函數(shù)的積分★★這種類型積分的處理，一般來說，是把真分式（若是假分式，可化為多項式與真分式之和）分解為若干簡單的部分分式之和，再分別求出每一部分的積分。5.三角函數(shù)有理式的積分★★★此類積分，一般通過萬能代換，可把它化為有理函數(shù)的不定積分。但并不一定簡便，所以再具體計算時，應(yīng)該視被積函數(shù)的特點采用更為靈活簡便的代換。6.某些無理根式的不定積分★★★（1）型不定積分。用代換可化為有理函數(shù)的不定積分。（2）型不定積分，可先通過配方、換元化為一下兩種類型之一：，再分別令后，可化為三角有理式的不定積分。三、典型例題與解析1、原函數(shù)存在性問題結(jié)論：每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒有原函數(shù)。2、不定積分求法例題1：直接法求。解：例題2：第一換元法求解：由令，，則得到例題3：求解：例題4：分部積分法（常用）求。解：

第六章定積分一、定積分的相關(guān)知識點1.定義★設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，在內(nèi)插入個分點，令，若對，總，使得對上的任意分割，以及任取的，只要它的細(xì)度時，都存在實數(shù)，使得：成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，數(shù)稱為在在區(qū)間上的定積分，或者稱黎曼積分，記作。2.幾何意義設(shè)為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，定積分的值是由曲線在軸上方部分所有曲邊梯形的正面積與下方部分所有曲邊梯形的負(fù)面積的代數(shù)和。3.函數(shù)在區(qū)間上可積的條件★★（1）若在上連續(xù)，則在上可積；（2）若是上只有有限個間斷點的有界函數(shù)，則在上可積；（3）若是上的單調(diào)函數(shù)，則在上可積；在上可積的必要條件是在上有界，但是有界函數(shù)不一定可積；（4）在上可積的充要條件是在上幾乎處處連續(xù)。4.定積分的基本性質(zhì)★★（1）；（2）；（3）若，都在上可積，則在上也可積；（4）在上可積的充要條件上都可積，且（5），特別地；（6）如果在上可積，且，則；（7）若，都在上可積，且，則有；（8）若在上可積，則在上也可積，且；（9）估值定理：設(shè)分別是可積函數(shù)在上的最大值和最小值，則（10）積分第一中值定理：若在上連續(xù)，則至少存在一點，使得。（11）推廣的積分第一中值定理：若，都在上連續(xù)，且在上不變號，則至少存在一點，使得（12）積分第二中值定理：是上的單調(diào)函數(shù)，為可積函數(shù)，則存在一點，使得二、定積分的計算1.牛頓萊布尼茨公式★★★若在上連續(xù)，為的一個原函數(shù)，即，，且2.變限積分★★★★設(shè)在上可積，對于任給的，在和上均可積，分別稱和為變上限的積分和變下限的積分，統(tǒng)稱為變限積分，若在上連續(xù)，則其變限積分作為關(guān)于的函數(shù)在上處處可導(dǎo)，且更一般的有三、兩類反常積分1.兩類反常積分的定義★★★（1）設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，且在任何有限區(qū)間上可積，如果存在極限則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的無窮限反常積分（無窮積分），記作并稱收斂。如果上式的極限不存在，則稱發(fā)散。（2）設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，在點的任何一個右領(lǐng)域內(nèi)無界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間上有界且可積如果存在極限則稱此極限為無界函數(shù)在區(qū)間上的反常積分（瑕積分），記作并稱反常積分收斂。如果上式的極限不存在，則稱發(fā)散。反常積分也稱為瑕積分，點稱為瑕點。2.無窮積分的性質(zhì)★★（1）無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則無窮積分收斂只要，便有（2）線性性設(shè)為任意常數(shù)，與都收斂，則也收斂且（3）（4）若在任何有限區(qū)間上可積，且有也收斂，則也收斂，并且有：當(dāng)收斂時，稱絕對收斂，稱收斂而不絕對收斂的為條件收斂。3.無窮積分的一個典型例題★★★★討論無窮積分的收斂性解析：當(dāng)時，當(dāng)時，則結(jié)論：4.無窮積分的收斂判別法★★★★（1）絕對收斂判別法收斂的充要條件是存在上界；（2）比較判別法定義在無窮區(qū)間上的兩個函數(shù)，都在任何有限區(qū)間上可積，且滿足，，則當(dāng)收斂時，必收斂；發(fā)散時，也發(fā)散。比較判別法還可以表示成極限形式，當(dāng)選取，可以得到柯西判別法。（3）狄利克雷判別法若在上有界，在上當(dāng)時單調(diào)趨于0，則收斂。（4）阿貝爾判別法若收斂，在上單調(diào)郵件，則收斂。5.瑕積分的性質(zhì)★★（1）瑕積分（瑕點為a）收斂只要，總有（2）設(shè)函數(shù)和的瑕點同時為，為常數(shù)，則當(dāng)瑕積分與都收斂時，瑕積分必定收斂，并且有=。（3）設(shè)函數(shù)的瑕點為，在的任意一個內(nèi)閉區(qū)間上可積，則當(dāng)收斂時，則也收斂，并且有6.瑕積分的一個典型例題★★★★討論瑕積分的收斂性解析：被積函數(shù)在連續(xù)，且為其瑕點，由于當(dāng)時，當(dāng)時，則結(jié)論：在7.瑕積分的收斂判別法★★★★（1）比較判別法定義在無窮區(qū)間上的兩個函數(shù)，，瑕點同時為，在任何上都可積，且滿足，，則當(dāng)收斂時，必定收斂；當(dāng)發(fā)散時，也必定發(fā)散。比較判別法還可以表示成極限形式，當(dāng)選取，可以得到柯西判別法。設(shè)定義在無窮區(qū)間且為其瑕點，在任何上可積，如果則有①當(dāng)時，且時，收斂；②當(dāng)時，時，發(fā)散。（2）又若，且，則有：①當(dāng)時，與同斂態(tài)；②當(dāng)時，由收斂可推知也收斂；③當(dāng)時，由發(fā)散可推知也發(fā)散。8.反常積分的計算由于反常積分都是通過變限定積分的極限來定義的，所以依然可以利用牛頓萊布尼茨公式，換元積分法，分部積分法來計算反常積分，此外，還可以根據(jù)具體的情況靈活的運用其他一些方法，如待定系數(shù)法，方程法，級數(shù)法等。9.歐拉積分（1）歐拉積分包括兩種類型①函數(shù)：。②函數(shù)：。（2）函數(shù)的性質(zhì)①；特別地，；②；③，特別地，；④特別地，（3）函數(shù)的性質(zhì)①；②；③當(dāng)時，有余元公式；④四、含參量積分★★★1.含參量正常積分（1）設(shè)是定義在矩形區(qū)域上的二元函數(shù)，當(dāng)取上某定值，是定義在上的一元函數(shù)，若在上可積，則其積分稱為含參變量積分，其中，為積分參數(shù)，。（2）含參量正常積分的性質(zhì)①若在上連續(xù)，則在上連續(xù)；②若在上可積，則在上可積，③若與都在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，且；④若在上連續(xù)，在上連續(xù)，且當(dāng)時，則在上連續(xù)。⑤若與都在上連續(xù)，為定義在上其值域含于上的兩個可微函數(shù)，則函數(shù)在上可導(dǎo)，且⑥若每個在上連續(xù)，且時，，于上，則可以積分號下取極限，即⑦若在上連續(xù)，則可在積分號下取極限，2.含參變量的非正常積分★★★★（1）定義設(shè)是定義在無界區(qū)域上的二元函數(shù)，若對每一個固定的，非正常積分都收斂，則它的值是在上取值的函數(shù)，記為：稱為定義在上的含參變量的無窮限非正常積分，簡稱為含參變量非正常積分。（2）含參變量的非正常積分的一致收斂含參變量的非正常積分與函數(shù)對任給的正數(shù)，總存在某一個實數(shù)，使得當(dāng)時，對一切的，都有即稱含參變量的非正常積分在上一致收斂于，或者稱含參量積分在上一致收斂。（2）一致收斂的判別方法★★★★①柯西準(zhǔn)則含參量積分在上一致收斂的充要條件是對任給的正數(shù)，總存在某一個實數(shù)，使得當(dāng)時，對一切的，都有。②判別法設(shè)有函數(shù)，使得若收斂，則，在上一致收斂。③阿貝爾判別法設(shè)A在上一致收斂；B若對每一個固定的，函數(shù)為的單調(diào)函數(shù)，且對參量，在上一致有界，則含參量非正常積分在上一致收斂。④狄利克雷判別法設(shè)A、對一切實數(shù)，含參量的正常積分對參量在上一致有界；B、對每一個，函數(shù)為的單調(diào)函數(shù)，且當(dāng)時，對參量，一致收斂于0。則含參量非正常積分在上一致收斂。（3）含參變量的非正常積分的性質(zhì)★★①連續(xù)性設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，若含參量非正常積分在上一致收斂，則在上連續(xù)。②可微性設(shè)均為與上的連續(xù)函數(shù)，若含參量非正常積分在上收斂，在上一致收斂，則在上可微，且③可積性設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，若在上一致收斂，則在上可積，且。五、典型例題與解析1.牛頓萊布尼茨公式的應(yīng)用證明例題1：若在上可積，在上連續(xù)，且除去有限個點之外，都有，則有思路分析：考慮怎么樣將這有限個點去掉；證明：因為在上可積，則存在分割，使得分割正好不含這有限個點，也就是將這有限個點看做是分點。對在每個小區(qū)間上采用拉格朗日中值定理，有又因為令，又在上可積，故對上式兩邊同時取極限故2.利用連續(xù)性構(gòu)造鄰域設(shè)法證明結(jié)論例題1：證明：若在上連續(xù)，且，，則。證明：反證法：假設(shè)存在，在一個微小的鄰域內(nèi)使得，則有，則有利用函數(shù)的連續(xù)性，則可以得到在上可分為：則有這與假設(shè)相矛盾，所以假設(shè)不成立，即。例題2：證明：設(shè)在上連續(xù)，且不恒等于0，。證明：假設(shè)存在，在一個微小的鄰域內(nèi)使得，則有，由設(shè)的連續(xù)性，在微小的鄰域內(nèi)應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的局部保號性，有：利用函數(shù)的連續(xù)性，則可以得到在上可分為則有即3.凸函數(shù)的性質(zhì)★★例題1：設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，證明：（1）（2）又若，，則有思路分析：（1）有已知有，可知為凸函數(shù)，故對任意的，有，兩邊同時關(guān)于積分，有取則結(jié)論得證。（2）思路分析：有已知有，可知為凸函數(shù)，故對任意的，有兩邊同時關(guān)于積分，有。因為，故，則結(jié)論得證。4.分段函數(shù)單調(diào)性證明例題1：若在上連續(xù)增，且；則在上增函數(shù)。證明：因為，又因為在上連續(xù)，則，即在右連續(xù)。則有在為連續(xù)函數(shù)。當(dāng)，又；又因為在上連續(xù)，則由積分中值定理，存在，使得，則，故，則在為增函數(shù)。又在為連續(xù)函數(shù)，故有在為單調(diào)增函數(shù)。5.一個重要結(jié)論★★★例題1：關(guān)于收斂與的關(guān)系。解：首先①不是收斂的充分條件。例如：，但是發(fā)散。②收斂并不一定有。例如：，根據(jù)狄利克雷判別法有收斂，但是不存在。6、收斂與，設(shè)收斂。（1）若極限存在，則；（2）若在單調(diào)函數(shù)，則，且；（3）若在一致連續(xù)，則；（4）若在上可導(dǎo)，且收斂，則。證明：（1）設(shè)，設(shè)，則由極限的保號性，存在，當(dāng)，時，滿足于是對于因為所以發(fā)散，與已知矛盾。故（2）若在單調(diào)函數(shù)而無界，（設(shè)為遞增且無上界），則，存在。當(dāng)，時，滿足。類似于（1）中的證明有，矛盾。所以在單調(diào)函數(shù)而有界。則存在極限。歸結(jié)到（1）的情形，得到。利用柯西準(zhǔn)則，由收斂，則，存在，。又因為在單調(diào)函數(shù)而有界，無放設(shè)單調(diào)遞減，且，則有則即（3）因為在一致連續(xù)，則，當(dāng)時，且時，。又因為收斂，故對上述的，存在，時，有現(xiàn)在對任何的，取，且使得，，此時由則有故（4）因為收斂，則由收斂的柯西準(zhǔn)則，，存在，當(dāng)時，，由函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則有存在，設(shè)，歸結(jié)為情形（1）則有7.舉反例題目（1）瑕積分收斂時，不一定收斂。例如：，其中收斂，但是發(fā)散；或者。（2）若絕對收斂，且存在，則必定絕對收斂。但是若把條件改為條件收斂，則不一定收斂。例如：，為條件收斂；，但是中是發(fā)散的。故也發(fā)散。（3）從（2）中可以得到兩個特殊形式①收斂時，不一定收斂例如：在②為絕對收斂時，不一定收斂例如：在但是對上述情形，若加一個限制條件，，則一定收斂。8.判別反常積分?jǐn)可⑿圆⑶笾道}1：判斷的收斂性，并求值。解：因為均為瑕點

第七章級數(shù)一、數(shù)項級數(shù)1.數(shù)項級數(shù)定義給定一個數(shù)列，對它的各項依次用“+”連接起來的表達(dá)式①稱為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)（常常稱作級數(shù)），其中稱為數(shù)項級數(shù)eq\o\ac(○,1)的通項，數(shù)項級數(shù)eq\o\ac(○,1)記作或者。2.部分和數(shù)項級數(shù)eq\o\ac(○,1)的前項和，記為，②它稱為數(shù)項級數(shù)的部分和，部分和數(shù)列記為。3.數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散★★若數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于，，則稱數(shù)項級數(shù)eq\o\ac(○,1)收斂，稱為數(shù)項級數(shù)①的和，記作若數(shù)列為發(fā)散數(shù)列，則稱數(shù)項級數(shù)eq\o\ac(○,1)發(fā)散。其中通項為。4.級數(shù)收斂和發(fā)散的柯西準(zhǔn)則★★（1）級數(shù)收斂的充要條件是任給，總存在自然數(shù)，使得當(dāng)和任意的自然數(shù)，都有（2）級數(shù)發(fā)散的充要條件是存在某個正數(shù)，對任意的自然數(shù)，都存在和任意的自然數(shù)，有（3）若級數(shù)收斂，則，他的逆否命題常常用來判定一個級數(shù)發(fā)散。★★若，則級數(shù)發(fā)散。但是若一個級數(shù)發(fā)散，不一定有。而且這個理論還常常用來求數(shù)列的極限，通過構(gòu)造，利用級數(shù)理論證明收斂，然后在利用來得到結(jié)論。5.級數(shù)的性質(zhì)（1）若級數(shù)和都收斂，則對任意的常數(shù)，級數(shù)也收斂，且=。（2）去掉，增加或者改變級數(shù)的有限個項并不改變級數(shù)的斂散性。（3）記級數(shù)為的第個余項，即，若收斂等價于。（4）在收斂級數(shù)的項中任意加括號，既不改變級數(shù)的收斂性，也不改變它的和。6.注意事項★★★★（1）級數(shù)加括號的收斂，不能推測它在未加括號前也收斂。例如：級數(shù)（1-1）+（1-1）+……+（1-1）+……=0是收斂的，但是級數(shù)1，-1，1，-1，……是發(fā)散的。（2）若對原級數(shù)的項加括號后所得的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)也一定發(fā)散。7.兩類常用的級數(shù)★★★（1）等比（幾何）級數(shù)當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；（2）柯西準(zhǔn)則的運用①調(diào)和函數(shù)，是發(fā)散的；②是收斂的。二、正項級數(shù)★★★★1.正項級數(shù)定義各項均為正數(shù)組成的級數(shù)稱為正項級數(shù)。2.正項級數(shù)收斂判別★★★（1）正項級數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列，即存在某正數(shù)，對一切的自然數(shù)，都有。（2）比較判別法設(shè)和是兩個正項級數(shù)，如果存在某個正整數(shù)，對一切的都有。則①若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂；②若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散。（3）比較判別法的極限形式設(shè)和是兩個正項級數(shù)，若，則①當(dāng)時，和同時收斂或者同時發(fā)散；②當(dāng)且級數(shù)收斂時，也收斂；③當(dāng)且級數(shù)發(fā)散時，也發(fā)散。（4）比式判別法（達(dá)朗貝爾判別法）設(shè)是正項級數(shù)，且存在某個自然數(shù)及常數(shù)，。①若對一切的，成立不等式，則級數(shù)收斂；②若對一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散；（5）比式判別法的極限形式若是正項級數(shù)，且，則①當(dāng)時，級數(shù)收斂；②當(dāng)時，或者時，級數(shù)發(fā)散；（6）柯西判別法（根式判別法）設(shè)是正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)及正常數(shù)，①若對一切，成立不等式，則級數(shù)收斂；②若對一切，成立不等式，則級數(shù)發(fā)散。（7）根式判別法的極限形式若是正項級數(shù)，且，則①當(dāng)時，級數(shù)收斂；②當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。（8）積分判別法設(shè)為上的非負(fù)遞減函數(shù)，那么正項級數(shù)與非正常積分同時收斂或者同時發(fā)散。三、一般項級數(shù)收斂性判別法1.交錯級數(shù)（1）定義各項符號正負(fù)相間，即形如的級數(shù)稱為交錯級數(shù)。（2）萊布尼茨判別法★★★★若交錯級數(shù)滿足下列兩個條件：①數(shù)列單調(diào)遞減；②則稱此級數(shù)收斂。若級數(shù)滿足萊布尼茨判別法，則收斂級數(shù)的余項估式。2.一般項級數(shù)的收斂判別★★★★★（1）阿貝爾判別法若為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂。（2）狄利克雷判別法若為單調(diào)遞減，且，又級數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級數(shù)收斂。3.絕對收斂級數(shù)及其性質(zhì)（1）如果級數(shù)收斂，則級數(shù)絕對收斂；如果級數(shù)收斂，發(fā)散，則稱級數(shù)為條件收斂。四、對于一般項級數(shù)，判別其收斂性的步驟★★★★（1）通項是否趨于0；（2）是否為萊布尼次級數(shù)；（3）是否絕對收斂，對按照正項級數(shù)各種判別法判別其是否收斂，若否，則接著往下判斷：（4）是否可將級數(shù)通項表示為兩項之積，并且滿足阿貝爾或狄利克雷判別法的條件；（5）考慮用柯西準(zhǔn)則判別其收斂性；（6）通過求部分和的極限判別其收斂性。五、函數(shù)列及其一致收斂性★★★1.函數(shù)列收斂與一致收斂設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集上，（1）對，，當(dāng)時，總有，稱函數(shù)列收斂于，記為。（2）若對任給的正數(shù)，總存在某一自然數(shù)，使得當(dāng)時，對一切的，都有，稱函數(shù)列在上一致收斂于，記為。2.函數(shù)列收斂性的判別準(zhǔn)則★★（1）一致收斂的柯西準(zhǔn)則在上一致收斂，對，，都有；，存在，，都有。（2）余項準(zhǔn)則在上一致收斂。六、函數(shù)項級數(shù)1.函數(shù)項級數(shù)的收斂與一致收斂函數(shù)項級數(shù)，稱為函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列，若，則稱級數(shù)收斂，且稱為此級數(shù)的和函數(shù)。類似地，若在上一致收斂于，則稱此函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂于，或者稱在上一致收斂。2.函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別準(zhǔn)則（1）一致收斂的柯西準(zhǔn)則★★★函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂，存在，當(dāng)，都有（即）。（2）一致收斂的必要條件（3）余和準(zhǔn)則★★★★函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂于，其中，稱為函數(shù)項級數(shù)的余項。3.函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法★★★★（1