運(yùn)動控制系統(tǒng)安裝與調(diào)試（第2版）課件 2.3.6拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法 b2

運(yùn)動控制系統(tǒng)安裝與調(diào)試主講：南工機(jī)電教學(xué)團(tuán)隊(duì)高等教育出版社2.3.6拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法拉普拉斯變換的產(chǎn)生與地位119世紀(jì)末，英國工程師赫維賽德（O.Heaviside,1850-1925）發(fā)明“運(yùn)算法”（算子法）解決電工程計(jì)算中的一些基本問題。后人在法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（P.S.Laplace,1749-1825）著作中找到可靠數(shù)學(xué)依據(jù)，重新給予嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，為之取名為拉普拉斯變換，簡稱為拉氏變換（LT）。其地位如下：（1）在電路理論研究中，拉普拉斯變換是強(qiáng)有力的工具；（2）在連續(xù)、線性、時(shí)不變系統(tǒng)分析中，拉氏變換是不可缺少的工具；（3）線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域模型是常系數(shù)線性微分方程，拉氏變換能方便求解微分方程的解。（4）具體的講，拉氏變換能將“微分”變換成“乘法”，“積分”變換成“除法”。即將微分方程變成代數(shù)方程。復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)2（1）復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)s=σ+jω，其中σ、ω均為實(shí)數(shù)，分別稱為s的實(shí)部和虛部。j為虛單位，表達(dá)式為：

兩個(gè)復(fù)數(shù)相等時(shí)，必須且只須它們的實(shí)部和虛部都分別相等。一個(gè)復(fù)數(shù)為零，必須它的實(shí)部和虛部均為零。（2）復(fù)數(shù)的表示法1）點(diǎn)表示法

對任一復(fù)數(shù)s=σ+jω與實(shí)數(shù)σ、ω成一一對應(yīng)關(guān)系，故在平面直角坐標(biāo)系中，以σ為橫坐標(biāo)（實(shí)軸），以jω為縱坐標(biāo)（虛軸），復(fù)數(shù)s=σ+jω可用坐標(biāo)為（σ，ω）的點(diǎn)來表達(dá)。實(shí)軸和虛軸所在的平而稱為復(fù)平而或s平面。,這樣，一個(gè)復(fù)數(shù)就對應(yīng)于復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)。2.3.6拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法2）向量表示法復(fù)數(shù)s還可用從原點(diǎn)指向點(diǎn)（σ，ω）的向量來表示，見圖2-56，向量的長度稱為復(fù)數(shù)s的?；蚪^對值，向量σ與軸的夾角θ為復(fù)數(shù)s的幅角。如式2.40所示。2.3.6拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法3）三角表示法和指數(shù)表示法

由圖，可以得到公式：因此，復(fù)數(shù)的三角表示法為：利用歐拉公式，復(fù)數(shù)s也可用指數(shù)表示2.3.6拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法利用歐拉公式是什么含義呢？？？2.3.6拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法復(fù)變函數(shù)中稱為歐拉公式，e是自然對數(shù)的底，j是虛數(shù)單位。它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。三維空間的螺旋線可以分解為二維空間的正弦曲線和余弦曲線。根據(jù)歐拉公式，還可以表達(dá)為（3）復(fù)變函數(shù)、極點(diǎn)與零點(diǎn)的概念1）概念有復(fù)數(shù)s=σ+jω，以s為自變量，按某一確定法則構(gòu)成的函數(shù)G(s)稱為復(fù)變函數(shù)，G(s)可寫成u和v別為復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部。在線性控制系統(tǒng)中，通常遇到的復(fù)變函數(shù)G(s)是s的單值函數(shù)，對應(yīng)于s的一個(gè)給定值，G(s)唯一地被確定。例2-5:有復(fù)變函數(shù)G(s)=s2+1，已知s=σ+jω，求其實(shí)部u和虛部v。解：把s=σ+jω帶入G(s)=s2+1得：所以2.3.6拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法2）零點(diǎn)和極點(diǎn)概念若有復(fù)變函數(shù)：當(dāng)s=z1、z2時(shí)，G(s)=0，則稱z1、z2為G(s)的零點(diǎn)；當(dāng)s=0、p1、p2時(shí)，G(s)=∞，則稱0、p1、P2為G(s)的極點(diǎn)。2.3.6拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法拉氏變換與拉氏反變換的定義3（1）拉普拉斯變換定義有時(shí)間函數(shù)f(t)，t≥0，則f(t)的拉氏變換記作L[f(t)]或F(s)，并定義為：s為復(fù)數(shù)，f(t)為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)。若式2.43的積分收斂于一確定的函數(shù)值，則f(t)的拉氏變換F(s)存在，這時(shí)f(t)必須滿足：1）在任一有限區(qū)間上，f(t)分段連續(xù)，只有有限個(gè)問斷點(diǎn)。2）當(dāng)t→∞時(shí)，f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即滿足式中M、a均為實(shí)數(shù)2.3.6拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法（2）拉普拉斯變換的物理意義拉氏變換是將時(shí)間函數(shù)f(t)變換為復(fù)變函數(shù)F(s)，或作相反變換。時(shí)域f(t)變量t是實(shí)數(shù)，復(fù)頻域F(s)變量s是復(fù)數(shù)。變量s又稱“復(fù)頻率”。拉氏變換建立了時(shí)域與復(fù)頻域之間的聯(lián)系。因?yàn)椋核钥梢钥闯觯簩?/p>

頻率變換為復(fù)頻率s，且

只能描述振蕩的重復(fù)頻率，而s不僅能給出重復(fù)頻率，還給出振蕩幅度的增長速率或衰減速率。2.3.6拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法（3）拉氏反變換當(dāng)已知f(t)的拉氏變換F(S)，欲求原函數(shù)f(t)時(shí)，稱作拉氏反變換，記作L-1[F(s)]并定義為如下積分：

式2.44是求拉氏反變換的一般公式

因F(s)是一復(fù)變函數(shù)，計(jì)算式2.44的積分需借助復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理來求。通常對于簡單的象函數(shù)，可直接查拉氏變換表求得原函數(shù)。2.3.6拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法典型時(shí)間函數(shù)的拉