2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試卷本試卷共4頁.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在軸與軸上截距分別為的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.一個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于8，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.3.已知直線與垂直，則實(shí)數(shù)a值是（）A0或3 B.3 C.0或 D.4.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓的位置不可能為（）A. B.C. D.5.已知圓，從點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)直線反射后，恰好經(jīng)過圓心，則入射光線的斜率為（）A. B. C. D.46.已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，則的取值范圍為（）A B. C. D.7.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.48.已知M、N分別是圓與圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.6 D.4二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上的任意一點(diǎn)，則（）A.C的離心率為 B.C.最大值為 D.使為直角的點(diǎn)P有4個(gè)10.設(shè)圓，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則下列說法中正確的有（）A.的取值范圍為B.四邊形面積的最小值為C.存在點(diǎn)使D.直線過定點(diǎn)11.已知曲線，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則（）A.曲線的圖象由兩個(gè)圓構(gòu)成B.的最大值為C.的取值范圍為D.直線與曲線有且僅有3個(gè)交點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是直線的一個(gè)法向量，則直線的斜率為__________，傾斜角的大小為______．13.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn).若，則橢圓的離心率為__________.14.設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是___________.四、解答題：共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓C中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其中左焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：與橢圓C交于不同兩點(diǎn)P、Q，求弦長(zhǎng)．16.已知圓分別與軸的正半軸交于兩點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于兩點(diǎn)）.（1）若線段上有一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，試證為定值.17.已知點(diǎn)和直線.點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn).（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足.若點(diǎn)P的軌跡與直線有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，以原點(diǎn)O為圓心的圓與線段相切．（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O相交于M，N兩點(diǎn)，且，求c的值；（3）在直線上是否存在異于A的定點(diǎn)Q，使得對(duì)圓O上任意一點(diǎn)P，都有（為常數(shù)）？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．19.已知初始光線從點(diǎn)出發(fā)，交替經(jīng)直線與軸發(fā)生一系列鏡面反射，設(shè)（不為原點(diǎn)）為該束光線在兩直線上第次的反射點(diǎn)，為第次反射后光線所在的直線（1）若初始光線在軸上，求最后一條反射光線的方程；（2）當(dāng)斜率為的反射光線經(jīng)直線反射后，得到斜率為的反射光線時(shí)，試探求兩條光線的斜率之間的關(guān)系，并說明理由；（3）是否存在初始光線，使其反射點(diǎn)集中有無窮多個(gè)元素？若存在，求出所有的方程；若不存在，求出點(diǎn)集元素個(gè)數(shù)的最大值，以及使得取到最大值時(shí)所有第一個(gè)反射點(diǎn)的軌跡方程.2024-2025學(xué)年福建省廈門市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試卷本試卷共4頁.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在軸與軸上截距分別為的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意得出直線經(jīng)過的點(diǎn)，利用直線斜率公式求得直線斜率，繼而得到直線的傾斜角.【詳解】依題意，直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的斜率為,故直線的傾斜角為.故選：D.2.一個(gè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于8，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用橢圓的定義求解即可.【詳解】橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于8，故，且，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B3.已知直線與垂直，則實(shí)數(shù)a的值是（）A.0或3 B.3 C.0或 D.【正確答案】D【分析】利用兩條直線垂直的性質(zhì)，即可求出的值【詳解】直線與直線互相垂直，，即，解得或不滿足直線，舍去)故選：D.4.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓的位置不可能為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由圓的位置和直線所過定點(diǎn)，判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線過圓內(nèi)定點(diǎn)，斜率可正可負(fù)可為0，ABD選項(xiàng)都有可能，C選項(xiàng)不可能.故選：C.5.已知圓，從點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)直線反射后，恰好經(jīng)過圓心，則入射光線的斜率為（）A. B. C. D.4【正確答案】A【分析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心坐標(biāo)與半徑，由關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在入射光線上，由兩點(diǎn)求斜率公式求解.【詳解】解：由，得，圓心為，由已知，反射光線經(jīng)過，故點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在入射光線上.且光源，入射光線的斜率.故選.本題考查圓的切線方程，考查直線、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，屬于基礎(chǔ)題.6.已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用，計(jì)算可得結(jié)論.詳解】由圓，可得圓心，半徑，又A?2,0，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：A.7.已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.4【正確答案】D【分析】轉(zhuǎn)化為直線過圓心即，再利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線過圓心，即，則因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，則的最小值是4.故選：D.8.已知M、N分別是圓與圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C.6 D.4【正確答案】D【分析】求出圓關(guān)于直線對(duì)稱圓的方程，N點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，，，而要取最小，則三點(diǎn)共線即可．的最小值可通過求解．【詳解】圓關(guān)于直線對(duì)稱的曲線N點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，則有，故當(dāng)M，P，三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最?。畯亩D(zhuǎn)化成求M，兩點(diǎn)距離的最小值．而，故選：D本題主要考查兩圓上點(diǎn)的距離最值問題．由于一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在直線上，兩圓在直線的一側(cè)，因此把其中一圓關(guān)于直線對(duì)稱，由對(duì)稱圓來求解最小值．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上的任意一點(diǎn)，則（）A.C的離心率為 B.C.的最大值為 D.使為直角的點(diǎn)P有4個(gè)【正確答案】BCD【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，由離心率定義判斷A，由橢圓定義判斷B，由橢圓的幾何性質(zhì)判斷C，根據(jù)以線段為直徑的圓與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷D.【詳解】由原方程可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義可知，故B正確；由橢圓的性質(zhì)知，故C正確；易知以線段為直徑的圓（因?yàn)椋┡cC有4個(gè)交點(diǎn)，故滿足為直角的點(diǎn)有4個(gè)，故D正確.故選：BCD10.設(shè)圓，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，則下列說法中正確的有（）A.的取值范圍為B.四邊形面積的最小值為C.存在點(diǎn)使D.直線過定點(diǎn)【正確答案】ABD【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)公式即可求解A，B，C，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出以PC為直徑的圓的方程，利用兩圓的方程相減得到公共弦的方程，將代入直線的方程恒成立，可得答案.【詳解】圓心到直線的距離為，所以，因?yàn)閳A的半徑為，根據(jù)切線長(zhǎng)公式可得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍為，所以A正確；因?yàn)椋运倪呅蚊娣e等于，四邊形面積的最小值為，故B正確；因?yàn)椋?，在直角三角形中，，所以，設(shè)，因?yàn)?，整理得，方程無解，所以不存在點(diǎn)使，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)，則，，以PC為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以PC為直徑的圓的方程為，化簡(jiǎn)得，所以為圓與以PC為直徑的圓的公共弦，聯(lián)立可得，兩式相減可得：，即直線的方程為，即，故直線過定點(diǎn)，故D正確；故選：ABD11.已知曲線，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則（）A.曲線的圖象由兩個(gè)圓構(gòu)成B.的最大值為C.的取值范圍為D.直線與曲線有且僅有3個(gè)交點(diǎn)【正確答案】AC【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)方程為，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可判定A正確；由表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，可判定B錯(cuò)誤；設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，以及直線與圓的位置關(guān)系，可判定C正確；由直線與圓均相切，可判定D錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于A中，由，得，即，即，所以或，即或，所以曲線表示以為圓心，為半徑的兩個(gè)圓，所以A正確；對(duì)于B中，由表示點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，最大值為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，如圖所示，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，則點(diǎn)到該直線的距離，解得，即圖中直線的斜率為1，可得直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則直線與圓相切，設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為，則點(diǎn)到該直線的距離，解得，又由表示是點(diǎn)到點(diǎn)的斜率，故的取值范圍為，所以C正確；對(duì)于D中，由C項(xiàng)可知直線與圓均相切，所以直線與曲線有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤．故選：AC．方法點(diǎn)睛：有關(guān)與圓有關(guān)的最值問題的求解策略：1、借助幾何性質(zhì)與圓的有關(guān)最值問題，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想求解：①形如：形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；②形如：形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；③形如：的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問題；2、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；3、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是直線的一個(gè)法向量，則直線的斜率為__________，傾斜角的大小為______．【正確答案】①②.【分析】由直線的法向量得到直線斜率，進(jìn)而得到傾斜角.【詳解】由題意知，向量是直線的一個(gè)法向量，可得斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，可得，可得則直線的傾斜角的大小為.故；.13.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn).若，則橢圓的離心率為__________.【正確答案】【分析】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，分析可知為平行四邊形，根據(jù)橢圓定義可得，利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知：，則為平行四邊形，則，即，因?yàn)?，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為.14.設(shè)，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】可得直線分別過定點(diǎn)和且垂直，可得設(shè)，則，,,則，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域即可．【詳解】由題意可知，動(dòng)直線，經(jīng)過定點(diǎn)，動(dòng)直線即，經(jīng)過定點(diǎn)，時(shí)，動(dòng)直線和動(dòng)直線的斜率之積為，時(shí)，也垂直，所以兩直線始終垂直，又P是兩條直線的交點(diǎn)，，．設(shè)，則，，由且，可得，，，，，，故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：因?yàn)?，設(shè)，則，，則，即可求得的取值范圍.四、解答題：共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其中左焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：與橢圓C交于不同兩點(diǎn)P、Q，求弦長(zhǎng)．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，由題意可得，，即可和橢圓方程；（2）把直線與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解即可.【小問1詳解】由題意可設(shè)C:x則，即，且，可得，所以橢圓方程為.【小問2詳解】設(shè)，將直線與橢圓聯(lián)立，得，解得或所以弦長(zhǎng).16.已知圓分別與軸的正半軸交于兩點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于兩點(diǎn)）.（1）若線段上有一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，試證為定值.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)，求出，代入圓的方程，可得解；（2）設(shè)，求出直線，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)，得證.【小問1詳解】根據(jù)題意，，，設(shè)，則，由于，所以，則，得，將其代入，得，故點(diǎn)的軌跡方程為；【小問2詳解】設(shè)，則，直線方程是，代入，得，直線方程是，代入，得，所以，即為定值．方法點(diǎn)睛：求軌跡方程的常用方法：（1）直譯法：若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件是一些已知（或通過分析得出）幾何量的等量關(guān)系，可轉(zhuǎn)化成含的等式，就得到軌跡方程。（2）相關(guān)點(diǎn)法：若軌跡點(diǎn)Px,y與已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)聯(lián)，則可先列出關(guān)于的方程組，利用表示出，把代入已知曲線方程便得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。（3）定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義（圓錐曲線的定義），再從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程。（4）參數(shù)法（交軌法）：如果不易直接找出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，可考慮借助中間變量（參數(shù)），把聯(lián)系起來．其實(shí)某種意來說，交軌法也可看作參數(shù)法。（5）點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題一般可用點(diǎn)差法，17.已知點(diǎn)和直線.點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn).（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足.若點(diǎn)P的軌跡與直線有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱，則直線直線，且線段AB的中點(diǎn)在直線上，兩個(gè)方程聯(lián)立可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用關(guān)系式可以得出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)點(diǎn)的軌跡與直線有公共點(diǎn)，知圓心到直線的距離小于等于半徑，解不等式即可.【小問1詳解】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱，則有線段AB的中點(diǎn)在直線上，即①，又直線直線，且直線的斜率為，則①，聯(lián)立①①式子解得，故點(diǎn)B的坐標(biāo)【小問2詳解】設(shè)，由，則，故，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡是圓，其方程為，圓心坐標(biāo)，半徑.又因直線與圓有公共點(diǎn)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑，則，解得故的取值范圍為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，以原點(diǎn)O為圓心的圓與線段相切．（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O相交于M，N兩點(diǎn)，且，求c的值；（3）在直線上是否存在異于A的定點(diǎn)Q，使得對(duì)圓O上任意一點(diǎn)P，都有（為常數(shù)）？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【正確答案】（1）（2）（3）存在，且【分析】（1）根據(jù)圓和直線的位置關(guān)系求得圓的方程.（2）根據(jù)圓心到直線的距離列方程，化簡(jiǎn)求得的值.（3）設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)列方程，利用特殊值求得的值，同時(shí)求得點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】由于，，則線段與軸平行，且與圓相切.所以圓的圓心為，半徑為，所以圓的方程為.【小問2詳解】由于，所以，由于三角形是等腰直角三角形，所以到直線的距離為，所以.【小問3詳解】直線的方程為，假設(shè)存在符合題意的點(diǎn)，設(shè)，則①，由于的任意性，不妨設(shè)或，帶入①得，，解得或（舍去），所以（負(fù)根舍去），將帶入①得，整理得，則在圓上.所以，這樣的點(diǎn)是存在的，坐標(biāo)為，此時(shí).關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解圓的方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于求得圓心和半徑.求解直線和圓的位置關(guān)系有關(guān)問題，可以利用圓心到直線的位置關(guān)系來進(jìn)行求解.求解存在性問題，可先假設(shè)存在，然后根據(jù)需要滿足的條件列式，再結(jié)合已知條件來進(jìn)行判斷.19.已知初始光線從點(diǎn)出發(fā)，交替經(jīng)直線與軸發(fā)生一系列鏡面反射，設(shè)（不為原點(diǎn)）為該束光線在兩直線上第次的反射點(diǎn)，為第次反射后光線所在的