2024-2025學(xué)年河南省周口市高二上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省周口市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.圖中4條直線中斜率最小的是（）A. B. C. D.2已知向量與平行，則（）A. B. C. D.3.已知直線一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若∥，則（）A.1 B.2 C.3 D.44.將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得直線的方程為（）A. B.C. D.5.已知平面均以為法向量，平面經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，平面經(jīng)過點(diǎn)，則平面與的距離為（）A.2 B. C.3 D.6.已知直線與平行，且、之間的距離與點(diǎn)到的距離均為，則在軸上的截距為（）A. B. C. D.7.如圖，在長方體中，，為棱的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列式子的值為定值的是（）A. B.C. D.8.如圖，在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若直線不經(jīng)過第四象限，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A. B. C.3 D.410.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，其中，若四邊形為菱形，則（）A B.C. D.11.已知點(diǎn)和，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.存在，使最小 B.存在，使最小C.存，使最大 D.存在，使最小三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，若，則________．13.已知，平面內(nèi)三點(diǎn)共線，則________．14.已知正四棱柱的體積為4，側(cè)面積為8，動(dòng)點(diǎn)分別在線段上，則線段長度的最小值是________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知空間中三點(diǎn)，設(shè)向量，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與共線，且，求的坐標(biāo)．16.已知直線的方程為，直線經(jīng)過點(diǎn)和．（1）若，求的值；（2）若當(dāng)變化時(shí)，總過定點(diǎn)，求．17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，且，為棱中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．18.如圖，將一塊三角形的玉石置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)，圖中陰影三角形部分為玉石上的瑕疵，為了將這塊玉石雕刻成工藝品，要先將瑕疵部分切割掉，可沿經(jīng)過點(diǎn)的直線進(jìn)行切割．（1）求直線的傾斜角的取值范圍．（2）是否存在直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在線段上？（3）設(shè)玉石經(jīng)切割后剩余部分的面積為，求的取值范圍．19.在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且以為方向向量的直線方程可表示為，過點(diǎn)且以為法向量的平面方程可表示為．（1）若直線與都在平面內(nèi)，求平面的方程；（2）在三棱柱中，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在平面內(nèi)，平面以為法向量，平面的方程為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若集合中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體的各個(gè)面，求的體積和相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值．2024-2025學(xué)年河南省周口市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段檢測試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.圖中4條直線中斜率最小的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題圖確定直線斜率的大小關(guān)系即可得.【詳解】由圖易得，故的斜率最小.故選：C.2.已知向量與平行，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示求出、的值，即可得出的值.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c平行，則，解得，，因此，.故選：D.3.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若∥，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)，知直線的方向向量與平面的法向量垂直，從而，代入求解即可.【詳解】∥，，，得.故選.4.將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得直線的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】分析可知，所得直線與直線垂直，可得出所求直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知，所得直線與直線垂直，即所求直線的斜率為，因此，所求直線的方程為，即.故選：C.5.已知平面均以為法向量，平面經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，平面經(jīng)過點(diǎn)，則平面與的距離為（）A.2 B. C.3 D.【正確答案】A【分析】平面與的距離即點(diǎn)到平面的距離,利用向量法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】平面均以為法向量，則，平面經(jīng)過點(diǎn)，則平面與的距離等于點(diǎn)到平面的距離，平面經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)到平面的距離，所以平面與的距離為2.故選：A.6.已知直線與平行，且、之間距離與點(diǎn)到的距離均為，則在軸上的截距為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，化簡直線的方程，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，設(shè)直線的方程為，因?yàn)?、之間的距離與點(diǎn)到的距離均為，則，解得，所以，直線的方程為，即，故直線在軸上的截距為.故選：B.7.如圖，在長方體中，，為棱的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列式子的值為定值的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先計(jì)算的長度，得到，接著利用向量數(shù)量積的幾何意義：等于在上的投影向量與的數(shù)量積，逐一分析選項(xiàng)ABCD即可得解.【詳解】由題意得，，∴，∴.A.如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，對(duì)于A，由向量數(shù)量積的幾何意義得，由于點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，所以不是定值，所以不是定值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，由于點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，所以不是定值，所以不是定值，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由于不是定值，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于向量在向量上的投影向量為，所以為定值.故選：D.8.如圖，在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，可結(jié)合正四面體性質(zhì)得到各點(diǎn)坐標(biāo)，即可得直線與的方向向量，再利用空間向量夾角公式求解即可得.【詳解】取中點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四面體邊長為，則，，，由正四面體性質(zhì)可得，則，即，則，，，，則，則，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若直線不經(jīng)過第四象限，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A. B. C.3 D.4【正確答案】BC【分析】由直線過定點(diǎn)，討論直線斜率范圍即可.【詳解】直線方程可化為，由，解得，即直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)在第二象限，直線不經(jīng)過第四象限，則直線斜率不存在或斜率大于等于0，時(shí)，直線斜率不存；斜率大于等于0，即，解得.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為，BC選項(xiàng)符合.故選：BC.10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，其中，若四邊形為菱形，則（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】由菱形的對(duì)角線互相垂直且互相平分，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求的值.【詳解】四邊形為菱形，則有對(duì)角線和互相平分，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有，得，，，AB選項(xiàng)正確；可得，四邊形為菱形，對(duì)角線和互相垂直，，，，解得，D選項(xiàng)正確；時(shí)，時(shí)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.11.已知點(diǎn)和，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.存在，使最小 B.存在，使最小C.存在，使最大 D.存在，使最小【正確答案】ACD【分析】A：先求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷；B：為線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)；C：根據(jù)絕對(duì)值的特點(diǎn)得出為直線與直線的交點(diǎn)；D：設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解出取最小值時(shí)點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)和直線，由圖可知，點(diǎn)和在直線同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得，得，，當(dāng)且僅當(dāng)為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)有最小值，直線的斜率為，方程為，由，解得，存在，使最小，A選項(xiàng)正確；最小值為0，當(dāng)且僅當(dāng)，即為線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，則線段的垂直平分線方程為，即，，解得，存在，使最小，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)有最大值，直線的方程為，即，，解得，存在，使最大，C選項(xiàng)正確；設(shè)，，當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)，所以存在，使最小，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，若，則________．【正確答案】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式及夾角公式可得方程，解方程即可.【詳解】由，，則，，，，則，解得，故答案為.13.已知，平面內(nèi)三點(diǎn)共線，則________．【正確答案】【分析】由求解即可.【詳解】解：因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，又因?yàn)?，所以，整理得：，即，又因?yàn)?，解?故14.已知正四棱柱的體積為4，側(cè)面積為8，動(dòng)點(diǎn)分別在線段上，則線段長度的最小值是________．【正確答案】##【分析】由題意可計(jì)算出該正四棱錐底面邊長及高，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后可表示出的方向向量及的坐標(biāo)，即可表示的方向向量，要使線段的長度最小，則為的公垂線，通過空間向量計(jì)算即可得解.【詳解】設(shè)該正四棱錐底面邊長為，高為，則由題意可得，解得，以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、A2,0,0、、，則，，則可設(shè)，，，，則，要使線段的長度最小，則為的公垂線，即有，解得，符合題意，此時(shí)，則.即線段長度的最小值.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知空間中三點(diǎn)，設(shè)向量，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與共線，且，求的坐標(biāo)．【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）求出、后，借助向量坐標(biāo)形式的線性運(yùn)算與數(shù)量積公式計(jì)算即可得；（2）借助向量共線定理可得，借助模長公式計(jì)算即可得.【小問1詳解】，，則，由，故，解得；【小問2詳解】，，向量與共線，且，則，即或.16.已知直線的方程為，直線經(jīng)過點(diǎn)和．（1）若，求的值；（2）若當(dāng)變化時(shí)，總過定點(diǎn)，求．【正確答案】（1）或；（2）.【分析】（1）表示出直線和的斜率，利用斜率乘積為求解即可；（2）將直線方程變形，解方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求長度.【小問1詳解】由題意得，，的斜率為，的斜率為.∵，∴，即，解得或.【小問2詳解】方程可改寫為：，由，得，∴過定點(diǎn)，∴.17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，且，為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）取中點(diǎn)，利用等邊三角形證明，利用勾股定理證明，通過線面垂直證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面法向量，結(jié)合公式求直線與平面夾角的正弦值.【小問1詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接.∵為等邊三角形，∴.設(shè)，則，，，∴，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，由（1）可知兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，∴，，.設(shè)平面的法向量為，則，可得，取，則，，可取.設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.如圖，將一塊三角形的玉石置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)，圖中陰影三角形部分為玉石上的瑕疵，為了將這塊玉石雕刻成工藝品，要先將瑕疵部分切割掉，可沿經(jīng)過點(diǎn)的直線進(jìn)行切割．（1）求直線的傾斜角的取值范圍．（2）是否存在直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)在線段上？（3）設(shè)玉石經(jīng)切割后剩余部分的面積為，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）不存在，理由見解析（3）【分析】（1）觀察點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與線段（不包括端點(diǎn)）有無公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出直線的傾斜角的取值范圍；（2）假設(shè)存在直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在線段上，求出直線的斜率，由題意可知，求出直線的斜率，結(jié)合（1）中的結(jié)論判斷即可；（3）對(duì)直線斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)軸時(shí)，直接求出的值；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求出面積的取值范圍，進(jìn)而可得出的取值范圍，綜合可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由圖可知，點(diǎn)在第一象限，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，則，所以，，解得，即點(diǎn)，由題圖可知，當(dāng)點(diǎn)從原點(diǎn)沿著軸的正方向移動(dòng)時(shí)，直線的傾斜角在逐漸增大，當(dāng)直線與直線重合時(shí)，設(shè)直線交軸的交點(diǎn)為，如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與線段（不包括端點(diǎn)）沒有公共點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段（不包括點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與線段（不包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，且直線的斜率為，直線的傾斜角為，綜上所述，直線傾斜角的取值范圍是.【小問2詳解】解：由（1）可知，、，則直線的斜率為，假設(shè)存在直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在線段上，此時(shí)，，則，此時(shí)，直線的傾斜角滿足，不合乎題意，因此，不存在直線，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在線段上.【小問3詳解】解：當(dāng)軸時(shí)，此時(shí)，為線段的垂直平分線，此時(shí)，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，其中，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，，所以，，因?yàn)?，則，所以，，綜上所述，的取值范圍是.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（3）問在求解三角形面積的取值范圍時(shí)，要注意對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在設(shè)出直線的方程后，關(guān)鍵要求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式以及函數(shù)思想求范圍.19.在空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且以為方向向量的直線方程可表示為，過點(diǎn)且以為法向量的平面方程可表示為．（1）若直線與都在平面內(nèi)，求平面的方程；（2）在三棱柱中，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在平面內(nèi)，平面以為法向量，平面的方程為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若集合中所有點(diǎn)構(gòu)成了多面體的各個(gè)面，求的體積和相鄰兩個(gè)面所