2024-2025學(xué)年江西省南昌市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省南昌市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角（）A. B. C. D.2.已知圓關(guān)于直線對稱，則（）A.0 B.1 C.2 D.43.兩條平行直線和間的距離為，則，分別為（）A.， B.，C.， D.，4.已知橢圓：的左，右焦點分別為，，若橢圓上一點Р到焦點的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.5.已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點F和上頂點A，則C的長軸長為（）A4 B. C.3 D.26.已知直線：，則點到直線距離的最大值為（）A. B. C.5 D.107.若直線與曲線恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.8.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：若動點與兩定點A，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若，，點滿足，則直線與點的軌跡的交點個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.1或2二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法錯誤的是（）A.過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為B.直線必過定點C.經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D.過兩點的所有直線的方程為10.已知直線，，則（）A.當(dāng)時，直線一個方向向量為B.若與相互平行，則或C若，則D.若不經(jīng)過第二象限，則11.已知直線：，圓C：，則下列結(jié)論正確的是（）A.與直線平行且與圓C相切的直線方程為B.點在直線上，過點作圓C的一條切線，切點為M，則的最小值為2C.點P在直線上，點Q在圓C上，則的最小值為D.若圓與圓C關(guān)于直線對稱，則圓的方程為：三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的頂點，則邊上的中線所在的直線方程是_______________．13.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點在軸上，焦距為，則__________．14.已知圓和圓，過動點分別作圓，圓的切線，（A，為切點），且，則的最大值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點的坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點；（2）經(jīng)過兩點，.16.已知圓的圓心為，一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓相切，求直線的方程.17.如圖，在三棱錐中，，分別是，的中點，，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.18.已知點，動點與點的距離是它與點距離的倍．（1）動點的軌跡為曲線，求的方程；（2）設(shè)直線，直線與曲線交于兩點，當(dāng)弦的長度取得最小值時，求弦的長度和直線的方程．19.在平面直角坐標(biāo)系中，給定直線：與直線：，定義點到這兩條直線“折線距離”為或.其中表示點P到直線的距離，是點關(guān)于直線的鏡像點（即過點作直線的垂線，垂足即為點），表示點到直線的距離.（1）求點到直線與直線的“折線距離”；（2）若動點滿足，，且點到直線與直線的“折線距離”，證明：動點在某定直線上，并求出該定直線的方程2024-2025學(xué)年江西省南昌市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將直線方程化成斜截式，再根據(jù)斜率得到傾斜角.【詳解】化成斜截式為，所以直線斜率，直線傾斜角，且，則.故選：D.2.已知圓關(guān)于直線對稱，則（）A.0 B.1 C.2 D.4【正確答案】C【分析】由題得圓心在直線上，列方程求解即可.【詳解】由題得圓的圓心坐標(biāo)為，因為圓關(guān)于直線對稱，所以圓心在直線上，所以，解得.故選：C3.兩條平行直線和間的距離為，則，分別為（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】B【分析】根據(jù)兩平行直線的公式計算即可.【詳解】因為直線和平行，所以，所以，所以兩平行直線分別為和，所以兩平行線間的距離為.故選：B.4.已知橢圓：左，右焦點分別為，，若橢圓上一點Р到焦點的最大距離為7，最小距離為3，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)點在橢圓上得，且，再利用兩點距離求得，從而可確定的最大值與最小值，即可求得的值，即可得離心率的值.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，若橢圓上一點，則，且，又，，則由于，所以，于是可得，，所以橢圓C的離心率.故選：B.5.已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點F和上頂點A，則C的長軸長為（）A.4 B. C.3 D.2【正確答案】A【分析】根據(jù)傾斜角，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】的斜率為，經(jīng)過點1,0，故其傾斜角為，因此,由于，所以，所以，故，故長軸長為,故選：A6.已知直線：，則點到直線距離的最大值為（）A. B. C.5 D.10【正確答案】B【分析】根據(jù)直線方程，可得直線過定點，即可求出結(jié)果.【詳解】直線：，即，由，得到，所以直線過定點，當(dāng)直線垂直于直線時，距離最大，此時最大值為，故選：B.7.若直線與曲線恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意得：為恒過定點的直線，曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意得為恒過定點的直線，由曲線，可得，所以曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因直線與曲線恰有兩個公共點，由圖可得，即的取值范圍是．故選：B．8.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：若動點與兩定點A，的距離之比為，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若，，點滿足，則直線與點的軌跡的交點個數(shù)是（）A0 B.1 C.2 D.1或2【正確答案】D【分析】根據(jù)題意求出M的軌跡方程，發(fā)現(xiàn)直線l恒過圓上一點，即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，化簡得點的軌跡方程為，表示的是以為圓心，2為半徑的圓，而直線恒經(jīng)過圓上的點，故直線與點的軌跡的交點個數(shù)是1或2.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法錯誤的是（）A.過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為B.直線必過定點C.經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D.過兩點所有直線的方程為【正確答案】AC【分析】根據(jù)直線過原點時，滿足題意，可判定A錯誤；根據(jù)直線系方程過定點，可判定B正確；根據(jù)時，此時直線的斜率不存在，可判定C錯誤；根據(jù)直線的方程，分類討論，可判定D正確.【詳解】對于A中：當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且等于時，直線過原點，可設(shè)直線方程為，又直線過點，則，即，此時直線方程為，滿足題意，所以A錯誤；對于B中：直線可化為，由方程組，解得，即直線必過定點，所以B正確；對于C中，當(dāng)傾斜角時，此時直線的斜率不存在，無意義，所以C錯誤；對于D中，由兩點，當(dāng)時，此時過兩點的所有直線的方程為，即，當(dāng)時，此時過兩點的所有直線的方程為或，適合上式，所以過兩點的所有直線的方程為，所以D正確.故選：AC.10.已知直線，，則（）A.當(dāng)時，直線的一個方向向量為B.若與相互平行，則或C.若，則D.若不經(jīng)過第二象限，則【正確答案】CD【分析】代入，根據(jù)方向向量定義即可判斷A，根據(jù)直線平行和垂直與斜率的關(guān)系即可判斷B,C，將直線方程化簡可得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對A，當(dāng)時，，斜率為，則其一個方向向量為，，A錯誤；對B，若與相互平行，則，解得或，當(dāng)時，與重合，B錯誤；對C，若，則，解得，故C正確；對D，若不經(jīng)過第二象限，，即，則，解得，D正確.故選：CD11.已知直線：，圓C：，則下列結(jié)論正確的是（）A.與直線平行且與圓C相切的直線方程為B.點在直線上，過點作圓C的一條切線，切點為M，則的最小值為2C.點P在直線上，點Q在圓C上，則的最小值為D.若圓與圓C關(guān)于直線對稱，則圓的方程為：【正確答案】BD【分析】運(yùn)用直線與圓相切的條件即可判斷選項A；根據(jù)切線長，將所求問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，進(jìn)而利用點到直線的距離公式，即可判斷選項B；要使PQ最小，只需最小即可，利用選項B即可判斷選項C；利用點關(guān)于點的對稱即可判斷選項D.【詳解】對于選項A，因為直線：，設(shè)與直線平行的直線為：，圓：，圓心，因為直線圓C相切，則圓心到直線的距離，解得，所以與直線平行且與圓C相切的直線方程為，所以A錯誤；對于選項B，因為點在直線上，過點作圓的一條切線，切點為，則，所以在中，，要使最小，只需最小，因為點在直線上，圓心，則的最小值即為點到直線的距離，即，，所以B正確；對于選項C，點P在直線上，點Q在圓C上，圓心，要使PQ最小，只需直線過圓心，則，只需最小，由選項B知，，則，所以C錯誤；對于選項D，圓與圓關(guān)于直線對稱，則點與點關(guān)于對稱，設(shè)，因為直線斜率為，直線與直線垂直，則，又的中點在直線上，所以，解得，所以，則圓的方程為：，所以D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的頂點，則邊上的中線所在的直線方程是_______________．【正確答案】【分析】求出線段的中點坐標(biāo)，用兩點式求出直線方程，化為一般方程；【詳解】中點坐標(biāo)為，即，所以邊上的中線所在的直線方程是：，整理得.故13.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點在軸上，焦距為，則__________．【正確答案】16【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦距的定義即可求解.【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，焦點在軸上，，，故16．14.已知圓和圓，過動點分別作圓，圓的切線，（A，為切點），且，則的最大值為______.【正確答案】【分析】根據(jù)題意得出P的軌跡方程，結(jié)合圖像即可求解.【詳解】如圖，連接，因為，與圓相切，所以，設(shè)，所以，整理得，所以在以為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動，，當(dāng)且僅當(dāng)在時等號成立，所以答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點的坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過點；（2）經(jīng)過兩點，.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意求出即可；（2）設(shè)橢圓的方程為，再利用待定系數(shù)法求解即可.【小問1詳解】設(shè)橢圓的焦距為，長軸長為，短軸長為，則，且焦點在軸上，，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】設(shè)橢圓的方程為，則，解得，所以橢圓方程為.16.已知圓的圓心為，一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓相切，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）或者【分析】（1）由中點坐標(biāo)公式得出兩端點坐標(biāo)，得到半徑，寫出圓的方程.（2）切線方程先討論直線斜率是否存在，斜率存在即可設(shè)出直線，用圓心到直線距離等于半徑得到等量關(guān)系，從而計算出直線方程.【小問1詳解】設(shè)圓的直徑的兩個端點分別為，，∴為中點，則，則，∴直徑，∴，故圓.【小問2詳解】當(dāng)斜率不存在時，直線：，顯然不是切線，舍去；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線：，整理得：圓心到直線距離，∵直線時切線，∴∴，解得：∴直線：或者.17.如圖，在三棱錐中，，分別是，的中點，，.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）通過已知條件證明、，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；（2）取的中點，通過平行關(guān)系可知異面直線所成角為或其補(bǔ)角，根據(jù)余弦定理求解出的值，則異面直線所成角的余弦值可求.【詳解】（1）證明：連接，∵，，∴.∵，，∴.在中，由已知可得：，，而，∴，∴，即.∵，∴平面；（2）解：取的中點，連接，，，由為的中點知，，∴直線與直線所成的銳角就是異面直線與所成的角.在中，，，∵是斜邊上的中線，∴，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.18.已知點，動點與點的距離是它與點距離的倍．（1）動點的軌跡為曲線，求的方程；（2）設(shè)直線，直線與曲線交于兩點，當(dāng)弦的長度取得最小值時，求弦的長度和直線的方程．【正確答案】（1）（2），【分析】（1）設(shè)動點的坐標(biāo)為，根據(jù)題意列出方程，化簡可得答案；（2）分離參數(shù)，求出直線所過定點E，確定當(dāng)直線l和直線垂直時，的長度取得最小值，結(jié)合圓的弦長的求解，即可求得弦的長度，結(jié)合直線的垂直關(guān)系即可求得直線的方程．【小問1詳解】設(shè)動點的坐標(biāo)為，則由,得，即，即，即的方程為；【小問2詳解】直線，即，由于，故令，解得，即直線l過定點，設(shè)為，由于，故定點在圓內(nèi)，即直線l和圓相交，當(dāng)直線l和直線垂直時，的長度取得最小值，由于，故，圓半徑為，故的長度的最小值為.又的斜率為，故此時直線l的斜率為3，則直線l的方程為，即.19.在