2022人教版數(shù)學六年級上冊知識點總結、梳理

人教版數(shù)學六年級上冊知識點總結、梳理

知識點總結

第一單元分數(shù)乘法

1.分數(shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)的和的

簡便運算。

2.分數(shù)乘整數(shù)的計算法則：分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作

分子，分母不變。

（為了計算簡便，能約分的要先約分，然后再乘。）

注意：當帶分數(shù)進行乘法計算時，要先把帶分數(shù)化成假分數(shù)再進行計算。

3.一個數(shù)與分數(shù)相乘，可以看作是求這個數(shù)的幾分之幾是多少。

4.分數(shù)乘分數(shù)的計算法則：分數(shù)乘分數(shù)，用分子相乘的積作分子，分母相

乘的積作分母。

（為了計算簡便，可以先約分再乘。）

注意：當帶分數(shù)進行乘法計算時，要先把帶分數(shù)化成假分數(shù)再進行

計導。

5.整數(shù)乘法的交換律、結合律和分配律，對分數(shù)乘法同樣適用。

乘法交換律：aXb=b義a

乘法結合律：（aXb）Xc=aX（bXc）

乘法分配律：（a+b）Xc=ac+bcac+bc=（a

+b）Xc

6.一個數(shù)（0除外）乘以一個真分數(shù)，所得的積小于它本身。

一個數(shù)（0除外）乘以一個假分數(shù)，所得的積等于或大于它本身。

一個數(shù)（0除外）乘以一個帶分數(shù)，所得的積大于它本

身。

7.分數(shù)應用題一般解題步驟。

（1）找出含有分率的關鍵句。

（2）找出單位“1”的量（以后稱為“標準量”）找單位“1”：在

分率句中分率的前面；或“是”、“占”、“比”、“相當于”的后面

（3）畫出線段圖，標準量與比較量是整體與部分的關系畫一條線段即可，

標準量與比較量不是整體與部分的關系畫兩條線段即可。

（4）根據(jù)線段圖寫出等量關系式：標準量X對應分率=比較量。求一個數(shù)

的幾倍：一個數(shù)X幾倍；求一個數(shù)的幾分之幾是多

少：一個數(shù)X。

寫數(shù)量關系式技巧:

(1)“的”相當于“X”“占”、“是"、“比”相

當于“=”

(2)分率前是“的”：單位“1”的量X分

率=分率對應量

(3)分率前是“多或少”的意思：單位“1”的量X(1分率)=分率對應

量

(5)根據(jù)已知條件和問題列式解答。

8.乘法應用題有關注意概念。

(1)乘法應用題的解題思路：已知一個數(shù)，求這個數(shù)的幾分之幾是多少？

單位“1”X對應分率=對應量

(2)找單位“1”的方法：從含有分率的關鍵句中找，注意“的”前“是、

比'相當于、占'等于"后的規(guī)則。

(3)甲比乙多幾分之幾表示甲比乙多的數(shù)占乙的幾分之幾，乙比甲少幾分

之幾表示乙比甲少的數(shù)占甲的幾分之幾。

(甲一乙)4■乙=甲4■乙

1(甲一乙)9甲=1

—乙?甲

(4)應用題如：

小湖村去年水稻的畝產(chǎn)量是750千克，今年水稻的畝產(chǎn)量是800千克，

增產(chǎn)幾分之幾？

題目中的“增產(chǎn)”是多的意思，那么誰比誰多，應該是“多比少多”，

“多”的是指800千克，“少”的是指750千克，即800千克比750千克

多幾分之幾，結合應用題的表達方式，可以補充為“今年水稻的畝產(chǎn)量比

去年水稻的畝產(chǎn)量多幾分之幾？”

(5)“增加”'“提高”'“增產(chǎn)”等蘊含“多”的意思，“減少”'"下

降"'“裁員”等蘊含“少”的意思，"相當于"'“占"、"是”、“等

于”意思相近。

(6)當關鍵句中的單位“1”不明顯時，要把關鍵句補充完整，補充成“誰

是誰的幾分之幾”或“甲比乙多幾分之幾”、“甲比乙少幾分之幾”的形

式。

(7)乘法應用題中，單位“1”是已知的。

(8)單位“1”不同的兩個分率不能相加減，加減屬相差比，始終遵循“凡

是比較，單位一致”的規(guī)則。

(9)分率與量要對應。

①多的比較量對多的分率；②少的比較量對少的分

率；③增加的比較量對增加的分率；

④減少的比較量對減少的分率；⑤提高的比較量對提高的分

率；⑥降低的比較量對降低的分率；

⑦工作總量的比較量對工作總量的分率；⑧工作效率的比較量對工

作效率的分率；

⑨部分的比較量對部分的分率；⑩總量的比較量

對總量的分率；

第二單元位置與方向（二）

一、確定物體位置的方法：

1、先找觀測點；

2、再定方向（看方向夾角的度數(shù)）；

3、最后確定距離（看比例尺）

二、描繪路線圖的關鍵是選好觀測點，建立方向標，確定方向和路程。

三、位置關系的相對性：

1、兩地的位置具有相對性。在敘述兩地的位置關系時，觀測點不同，敘述

的方向正好相反，而度數(shù)和距離正好相等。

四、相對位置：東一西；南一北；南偏東一北偏西

第三單元分數(shù)除法

1.乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

2.求一個數(shù)（0除外）的倒數(shù)，只要把這個數(shù)的分子、分母調(diào)換位置。1

的倒數(shù)是1。0沒有倒數(shù)。真分數(shù)的倒數(shù)大于1;假分數(shù)的倒數(shù)小于或等于

1;帶分數(shù)的倒數(shù)小于1。

注意：倒數(shù)必須是成對的兩個數(shù)，單獨的一個數(shù)不能稱做倒數(shù)。

3.分數(shù)除法的意義：分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，都是已知兩

個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。

4.分數(shù)除以整數(shù)（0除外），等于分數(shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)。整數(shù)除以分數(shù)

等于整數(shù)乘以這個分數(shù)的倒數(shù)。

5.一個數(shù)除以分數(shù)的計算法則：一個數(shù)除以分數(shù)，等于這個數(shù)乘以分數(shù)的

倒數(shù)。

6.分數(shù)除法的計算法則：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒

數(shù)。

7.一個數(shù)（0除外）除以一個真分數(shù)，所得的商大于它本身。

一個數(shù)（0除外）除以一個假分數(shù)，所得的商小于或等于它本身。

一個數(shù)（0除外）除以一個帶分數(shù)，所得的商小于它本身。

8.已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)，用除法計算；

對應量+對應分率=單位“1”

分數(shù)應用題：關鍵是找標準量，即單位“1”。

若單位“1”已知，用乘法計算；若單位“1”未知，用除法計算。

求甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）的解題規(guī)律：（甲一乙）4?乙

已知甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾），求甲的解題規(guī)律：

乙義（1十幾分之幾）乙義（1一幾分之幾）

已知甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾），求乙的解題規(guī)律：

甲9（1+幾分之幾）甲+（1—幾分之幾）

四則混合運算

1.分數(shù)四則混合運算的順序與整數(shù)四則混合運算的運算順序相同。在有一

級運算和二級運算的計算中，要先算二級運算再算一級運算，即：先乘除

后加減。在同級運算中，應按從左到右的順序依次計算。

2.在分數(shù)四則混合運算中，可以應用運算定律使計算簡便。運算定律包括：

加法的交換律、加法的結合律、乘法的交換律、乘法的結合律、乘法的分

配律。

第四單元比

1.兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。比式中，比號（：）前面的數(shù)叫前項，

比號后面的項叫做后項，比號相當于除號，比的前項除以后項所得的商，

叫做比值。從應用的角度理解，比可以分為同類量比和不同類量比；同類

量比表示倍數(shù)關系，比的前項和后項必須單位一致；不同類量比的結果產(chǎn)

生新的量，比的前項和后項的單位不相同。

注：連比如：3：4：5讀作：3比4比5

2.比表示的是兩個數(shù)的關系，可以用分數(shù)表示，寫成分數(shù)的形式，讀作

幾比幾。

例：12:20==12+20==0.612：20讀作：12比20

注：區(qū)分比和比值：比值是一個數(shù)，通常用分數(shù)表示，也可以是整數(shù)、小

數(shù)。

比是一個式子，表示兩個數(shù)的關系，可以寫成比，也可以寫成

分數(shù)的形式。

3、比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），

比值不變。

4、化簡比：化簡之后結果還是一個比，不是一個數(shù)。

1）、兩個整數(shù)的比，用比的前項和后項同時除以它們的最大公約數(shù)。

2）、兩個分數(shù)的比，用前項后項同時乘分母的最小公倍數(shù)，再按化簡整數(shù)

比的方法來化簡。也可以求出比值再寫成比的形式。

3）兩個小數(shù)的比，前后項同時向右移動小數(shù)點的位置，先化成整數(shù)比，再

按化簡整數(shù)比的方法來化簡。

5、求比值：把比號寫成除號再計算，結果是一個數(shù)（或分數(shù)），相當于商，

不是比。

6、比和除法、分數(shù)的區(qū)別:

除法被除數(shù)除號（9）除數(shù)（不能為

0）商商不變性質(zhì)除法是一種運算

分數(shù)分子分數(shù)線（一一）分母（不能為0）分數(shù)值分

數(shù)的基本性質(zhì)分數(shù)是一個數(shù)

比前項比號（：）后項（不能為0）比

值比的基本性質(zhì)比表示兩個數(shù)的關系

附：商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。

分數(shù)的基本性質(zhì)：分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大

小不變。

比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不

變。

7.比的后項不能為0。

8.在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中和日常生活中，常常需要把一個數(shù)量按照一定的比來進

行分配。這種方法通常叫做按比例分配。

比的應用

1、已知兩個或幾個數(shù)量的和，這兩個或幾個數(shù)量的比，求這兩個或這幾個

數(shù)量是多少？

例如：六年級有60人，男女生的人數(shù)比是5：7,男女生各有多少人？

題目解析：60人就是男女生人數(shù)的和。

解題思路：第一步求每份：604-（5+7）=5人

第二步求男女生：男生：5X5=25人女生：5X

7=35人。

2、已知一個數(shù)量是多少，兩個或幾個數(shù)的比，求另外幾個數(shù)量是多少？

例如：六年級有男生25人，男女生的比是5：7,求女生有多少人？全班共

有多少人？

題目解析：“男生25人”就是其中的一個數(shù)量。

解題思路：第一步求每份：25+5=5人

第二步求女生：女生：5X7=35人。全班：25+35=60

人

3、已知兩個數(shù)量的差，兩個或幾個數(shù)的比，求這兩個或這幾個數(shù)量是多

少？

例如：六年級的男生比女生多20人(或女生比男生少20人)，男女生的

比是7：5,男女生各有多少人？全班共有多少人？

題目解析：“男生比女生多20人(或女生比男生少20人)”就是其中的

一個數(shù)量。

解題思路：第一步求每份：204-(7-5)=10人

第二步求女生：女生：5X10=50人。男生：50+20=70

人

4、要求量=已知量X

5、比在幾何里的運用：

(1)已知長方形的周長，長和寬的比是a：bo求長和寬、面積。

長=周長+2X寬=周長+2X面積=長又寬

(2)已知已知長方體的棱長和，長、寬、高的比是a：b：co求長、寬、

高、體積

長二周長94義寬=周長94義

高二周長94義體積=長義寬又高

(3)已知三角形三個角的比是a：b：c,求三個內(nèi)角的度數(shù)。

三個角分別為：

180X180X180X

(4)已知三角形的周長，三條邊的長度比是a：b：c,求三條邊的長

度。

三條邊分別為：

周長X周長X周長X

分數(shù)除法和比的應用

1、已知單位“1”的量用乘法；

2、未知單位“1”的量用除法；

3、分數(shù)應用題基本數(shù)量關系：

（1）甲是乙的幾分之幾？甲=乙＞＜幾分之幾，乙=甲?幾分之幾，幾

分之幾=甲?乙。

（例：9是15的幾分之幾？9?15）（“是”字相當“+”號，乙是單

位“1”）

（2）甲數(shù)比乙數(shù)多（少）幾分之幾？單位“1”是乙數(shù)。

乙數(shù)二甲數(shù)+（1+幾分之幾）乙數(shù)=甲數(shù)+（1—幾分

之幾）

甲數(shù)二乙數(shù)土乙數(shù)X幾分之幾甲數(shù):乙數(shù)X（1±幾分之幾）。

A例：9比15少幾分之幾？（15-9）4-15

B例：15比9多幾分之幾？（15+9）+9；

（3）、按比例分配：把一個量按一定的比進行分配的方法叫做按比例分

配。

例如：已知甲乙的和是56,甲、乙的比3：5,求甲、乙分別是多少？

方法一：564-（3+5）=7甲：3X7=21乙：5X7=35

方法二：甲：56X533=21乙：56X535=35

5、畫線段圖:

（1）找出單位“1”的量，先畫出單位“1”，標出已知和未知。

（2）分析數(shù)量關系。

（3）找等量關系。

（4）列方程。

注：兩個量的關系畫兩條線段圖，部分和整體的關系畫一條線段圖。

6、解方程的一般步驟：

（1）審題：弄清題意；

（2）設未知數(shù)：一般是問什么設什么（直接設），也有時間接設；

（3）找相等關系（文字等式）；

（4）列方程；（5）解方程；

（6）答；不要忘記單位。

第五單元圓

1.圓的定義：平面上的一種曲線圖形。

2.將一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心的一點，這一點叫做圓心。

圓心一般用字母0表示。它到圓上任意一點的距離都相等。

3.半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。

半徑一般用字母r表示。把圓規(guī)兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的

半徑。

4.圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。

5.直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。直徑一般用字母d

表ZFo

6.在同一個圓內(nèi)，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

7.在同一個圓內(nèi)，有無數(shù)條半徑，有無數(shù)條直徑。

8.在同一個圓內(nèi)，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的一

半。

用字母表示為：d=2r或r=

9.圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。

10.圓的周長總是直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數(shù)。圓的周

長和直徑的比值叫做圓周率，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)，用字母n表示。

在計算時，取TT、3.140世界上第一個把圓周率精確到小數(shù)點后面第七位

的人是我國的數(shù)學家祖沖之。n小于3.14。

11.圓的周長公式：C=nd或C=2nr

12、圓的面積：圓所占平面的大小叫圓的面積。

13.把圓平均分成若干份，然后把它們剪開，可以拼成一個近似長方形的

圖形，這個長方形的長相當于圓的周長的一半（=nr）,長方形的寬相當

于圓的半徑（r）,因為長方形的面積等于圓的面積，所以圓的面積是nr

Xr=nr2

14.圓的面積公式：S=nr2或者S=n。2或者S=n（C+n+2）

2

15.如右圖：在一個正方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊

長。（外方內(nèi)圓）

S小正：S圓：S大正=2：n:4

在圓里面畫一個最大的正方形，正方形的對角線等于圓的直徑。（外圓內(nèi)

方）

r2X2:nr2:（2r）2=2r2:nr2:4r2

16.在一個長方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。

17.一個環(huán)形，外圓的半徑是R,內(nèi)圓的半徑是r（其中R=r+環(huán)的寬度）

圓環(huán)的面積（鋪小路的面積）=大圓的面積一小圓的面積=nR?—n

r2=n（R2—r2）

18.環(huán)形的周長=外圓周長+內(nèi)圓周長

19.半圓的周長等于圓的周長的一半加直徑。半圓的周長公式：C

=nd-r2+d或C=nr+2r

20.半圓面積=圓的面積4-2公式為：S=nr2-r2

21.在同一個圓里，半徑擴大或縮小幾倍，直徑和周長也擴大或縮小相同

的倍數(shù)；面積則擴大或縮小對應數(shù)的平方倍。

例如：在同一個圓里，半徑擴大4倍，那么直徑和周長就都擴大4倍，而

面積擴大16倍。

22.兩個圓的半徑比等于直徑比等于周長比，而面積比等于以上比的平方。

例如：兩個圓的半徑比是2：3,那么這兩個圓的直徑比和周長比都是2：

3,而面積比是2”：32=4：9o

23.當一個圓的半徑增加a,它的周長就增加2na；當一個圓的直徑增

加a,它的周長就增加na。

24.在同一個圓中，圓心角占圓周角的幾分之幾，它所在扇形面積占圓面

積的幾分之幾；所對的弧占圓周長的幾分之幾。

25.周長相等的三角形、平行四邊形'長方形、正方形和圓，它們的面積

依次增大。（圓面積最大）

面積相等的三角形、平行四邊形、長方形、正方形和圓，它們的周

長依次減少。（圓周長最?。?/p>

26.扇形弧長公式：L.=nd-?360Xn扇形的面積公式：S=n

r2-?360Xn（n為扇形的圓心角度數(shù)）

27.軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能夠完全

重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。

28.只有1條對稱軸的圖形有：角'等腰三角形、等腰梯形'扇形、半圓。

只有2條對稱軸的圖形是：長方形

只有3條對稱軸的圖形是：等邊三角形

只有4條對稱軸的圖形是：正方形

只有5條對稱軸的圖形是：正五邊形、五角星

有無數(shù)條對稱軸的圖形是：圓、圓環(huán)。

29.直徑所在的直線是圓的對稱軸。

第六單元百分數(shù)（一）

1、百分數(shù)的意義：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。百分數(shù)也叫做百分

率或百分比。

如：25%的意義：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的25%。

百分數(shù)表示兩個數(shù)之間的倍數(shù)關系，不表示具體的數(shù)量，所以百分數(shù)不能

帶單位。

2、百分數(shù)與分數(shù)的區(qū)別

（1）意義不同。百分數(shù)是“表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。”它

只能表示兩數(shù)之間的倍數(shù)關系，不能表示某一具體數(shù)量。因此，百分數(shù)后

面不能帶單位名稱。分數(shù)是“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份

或幾份的數(shù)”。分數(shù)還可以表示兩數(shù)之間的倍數(shù)關系.

（2）應用范圍不同。百分數(shù)在生產(chǎn)、工作和生活中，常用于調(diào)查、統(tǒng)計、

分析與比較。而分數(shù)常常是在測量、計算中，得不到整數(shù)結果時使用。

（3）書寫形式不同。百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而采用百分號“％”來

表示。因此，不論百分數(shù)的分子、分母之間有多少個公因數(shù)，都不約分；

百分數(shù)的分子可以是自然數(shù)，也可以是小數(shù)。

而分數(shù)的分子只能是自然數(shù)，它的表示形式有：真分數(shù)、假分數(shù)'帶分數(shù)，

計算結果不是最簡分數(shù)的一般要通過約分化成最簡分數(shù)，是假分數(shù)的要化

成帶分數(shù)。任何一個百分數(shù)都可以寫成分母是100的分數(shù)，而分母是100

的分數(shù)并不都具有百分數(shù)的意義.

（4）百分數(shù)不能帶單位名稱；當分數(shù)表示具體數(shù)時可帶單位名稱。

3、百分數(shù)一般有三種情況：①100%以上，如：增長率、增產(chǎn)率等。②100%

以下，如：發(fā)芽率、成長率等。③剛好100%,如：正確率，合格率等。

4.小數(shù)與百分數(shù)互化的規(guī)則：

把小數(shù)化成百分數(shù)，只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百

分號；

把百分數(shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，同時把小數(shù)點向左移動兩位。

5.百分數(shù)與分數(shù)互化的規(guī)則：

把分數(shù)化成百分數(shù)，通常先把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡的保留三位小

數(shù)），再把小數(shù)化成百分數(shù)；

把百分數(shù)化成分數(shù)，先把百分數(shù)改寫成分數(shù)，能約分的要約成最簡

分數(shù)。

6.百分率公式：

合格率=X100%發(fā)芽率=X

100%出勤率=X100%

達標率=X100%成活率=X100%含

鹽率=X100%

小麥出粉率=X100%出油率=X

100%.......

百分數(shù)應用題知識點歸納（有時單位“1”的量也叫標準量）

1、a是b的百分之幾？a+b（把結果化成百分數(shù)）方法：標準量（單

位"1”）是除數(shù)。注意：把“是”改為“除號”

2、求一個數(shù)的百分之幾是多少一個數(shù)（單位“1”）X百分率注

意：把“的”改為“乘號”

3、已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)部分量。百分率=一個

數(shù)（單位“1”）

方法：標準量已知用乘法；標準量未知用除法。

4、求常見的百分率如：達標率、及格率、成活率、發(fā)芽率、出勤率等

2率=2的數(shù)量4■總量（再化成百分數(shù)）

5、比多比少的第一種類型：求一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）百分之幾（未

知數(shù)）實際生活中，人們常用增加了百分之幾、減少了百分之幾、節(jié)

約了百分之幾等來表示增加、或減少的幅度。

口訣：“一減一除”（大的減小的除以比后面的）

求甲比乙多百分之幾（甲一乙）。乙X100%

求乙比甲少百分之幾（甲一乙）+甲X100%

方法：1、找準單位“1”，作除數(shù)；2、求出比較量與標準量間的差，作被

除數(shù)；3、結果要化成百分數(shù)。

6、a增加x%后是多少？aX（1+x%）；a減少x%后

是多少？aX（1-x%）

某數(shù)增加x%后是a,求這個數(shù)？a+（1+x%）；某數(shù)減少x%后是a,

求這個數(shù)？a-r（1-x%）

方法：1、找準單位“1”，2、找好“量”與“率”對應關系，3、單位

“1”已知時用乘法，未知時用除法。注意：比多（或提高、增加……）

括號內(nèi)就“+”，比少（降低、減少....）括號內(nèi)就“一”

百分數(shù)應用題（一）

求增加百分之幾？減少百分之幾？

公式：增加百分之幾;增加的部分+單位1

減少百分之幾=減少的部分9單位1

例如：1、45立方厘米的水結成冰后，冰的體積為50立方厘米，冰的體積

比原來水的體積增加百分之幾？

解題思路：根據(jù)公式增加百分之幾=增加的部分+單位1,先確定單位1是

水，已經(jīng)知道是45：增加的部分不知道，可以利用50減45求得5；最后

用增加的部分5+單位1水的45就等于增加百分之幾。

計算步驟：第一步：單位1：水：45立方厘米

第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米

第三步：增加百分之幾：54-45%11.1%

2、45立方厘米的水結成冰后，體積增加了5立方厘米，冰的體積比原來水

的體積增加百分之幾？

解題思路：根據(jù)公式增加百分之幾=增加的部分:單位1,先確定單位1是

水，已經(jīng)知道是45：增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分54■單

位1水的45就等于增加百分之幾。

計算步驟：第一步：單位1：水：45立方厘米

第二步：增加的部分：5立方厘米

第三步：增加百分之幾：5+45t11.1%

3、水結成冰后，體積增加了5立方厘米，冰的體積為50立方厘米，冰的

體積比原來水的體積增加百分之幾？

解題思路：根據(jù)公式增加百分之幾=增加的部分+單位1,先確定單位1是

水，不知道但可以根據(jù)題目“水結成冰后，體積增加了5立方厘米”知道

水是少的，冰是多的，所以可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分

是5立方厘米；；最后用增加的部分5:單位1水的45就等于增加百分之

幾。

計算步驟：第一步：單位1：水：50—5=45立方厘米

第二步：增加的部分：5立方厘米

第三步：增加百分之幾：54-45=11.1%

4、“減少百分之幾與增加百分之幾”的解題方法完全相同。

5、與增加百分之幾相同的還有“多百分之幾”“提高百分之幾”

“增長百分之幾“等。

口與減少百分之幾相同的還有“少百分之幾”“降低百分之幾”“節(jié)約百

分之幾”等。

百分數(shù)應用題（二）

比一個數(shù)增加百分之幾的數(shù)，比一個數(shù)減少百分之幾的數(shù)。

例如1、光明小學去年有80名學生，今年的學生人數(shù)比去年增加了25%,

今年有多少名學生？

解題思路：單位1去年已經(jīng)知道用乘法，增加用（1+25%）

算式：80X（1+25%）

2、光明小學去年有80名學生，今年的學生人數(shù)比去年減少了25%,今年有

多少名學生？

解題思路：單位1去年已經(jīng)知道用乘法，減少用（1-25%）

算式：80X（1-25%）

3、光明小學今年有100名學生，比去年增加了25%,去年有多少名學生？

解題思路：單位1去年不知道用除法，增加用（1+25%）

算式：100+（1+25%）

4、光明小學今年有100名學生，比去年減少了25%,去年有多少名學生？

解題思路：單位1去年不知道用除法，增加用（1-25%）

算式：1004-（1-25%）

百分數(shù)應用題（三）列方程解百分數(shù)應用題

1、小明看一本書，第一天看了全書的25%,第二天看了全書的20%,第一

天比第二天多看20頁，這本書一共有多少頁？

解題思路：單位1一本書不知道，可以選用方程或除法來解答。

根據(jù)“第一天比第二天多看20頁”可以知道第一天是多的，第二天是

少的，第一天減去第二天等于多出的20頁。

等量關系式：第一天一第二天=20頁

方法1：解：設這本書一共有X頁。

由“第一天看了全書的25%”可以知道第一天等于全書乘以25%,可以表示

為25%X,由“第二天看了全書的20%”可以知道第二天等于全書乘以20%,

可以表示為20%X.依據(jù)等量關系式“第一天一第二天=20頁”可以列方程為：

25%X—20%X=20

方法2：“第一天比第二天多看20頁”可以知道20頁是第一天和第二天的

差。要求單位1只要用20頁除以20頁的對應分率。

列算式為：204-（25%—20%）

2、小明看一本書，第一天看了全書的25%,第二天看了全書的20%,兩天

共看了20頁，這本書一共有多少頁？

等量關系式：由“兩天共看了20頁”可以知道第一天+等二天=20頁。

方程法：解：設這本書共有X頁，則第一天為25%X,第二天為20%X。

方程列為：25%X+20%X=20

算術法：由“兩天共看了20頁”可以知道20頁是第一天和第二天的和，

要求單位1只要用20頁除以20頁的對于分率。

列算式為：204-（25%+20%）

3、小明看一本書，第一天看了全書的25%,第二天看了全書的20%,還剩

20頁，這本書一共有多少頁？

等量關系式：一本書一第一天一第二天=20頁

方程法：解設這本書一共有X頁，則第一天為25%X,第二天為20%X。

列方程為：X—25%X—20%X=20

算術法：204-（1-25%X-20%）

百分數(shù)應用題概括：

1、求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。

一個數(shù)?另一個數(shù)X100%

2、求一個數(shù)比另一個數(shù)多百分之幾。

（一個數(shù)一另一個數(shù)）?另一個數(shù)X100%可概括為：（大數(shù)一小

數(shù)）小小數(shù)X100%

3、求一個數(shù)比另一個數(shù)少百分之幾。

（另一個數(shù)一一個數(shù)）4■另一個數(shù)X100%可概括為：（大數(shù)一小

數(shù)）4■大數(shù)X100%

4、求一個數(shù)的百分之幾是多少。

單位“1”的量X百分之幾;百分之幾對應量

5、求比一個數(shù)多百分之幾的數(shù)是多少。

單位“1”的量義（1+百分之幾）=（1+百分之幾）對應量

6、求比一個數(shù)少百分之幾的數(shù)是多少。

單位“1”的量X（1-百分之幾）=（1-百分之幾）對應量

7、已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。

百分之幾對應量+百分之幾=單位“1”的量

8、“已知比一個數(shù)多（少）百分之幾的數(shù)是多少，求這個數(shù)”。

多（少）百分之幾對應量《多（少）百分之幾=單位“1”的量

第七單元扇形統(tǒng)計圖

一、扇形統(tǒng)計圖的意義：

用整個圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個扇形面積表示各部分數(shù)量與總

數(shù)之間的關系。

也就是各部分數(shù)量占總數(shù)的百分比（因此也叫百分比圖）。

二、常用統(tǒng)計圖的優(yōu)點：

1、條形統(tǒng)計圖：可以清楚的看出各種數(shù)量的多少。

2、折線統(tǒng)計圖：不僅可以看出各種數(shù)量的多少，還可以清晰看出數(shù)量的

增減變化情況。

3、扇形統(tǒng)計圖：能夠清楚的反映出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關系。

三、扇形的面積大?。涸谕粋€圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角

的大小有關，圓心角越大，扇形越大。（因此扇形面積占圓面積的百分

比，同時也是該扇形圓心角度數(shù)占圓周角度數(shù)的百分比。）

附1、常用單位換算

長度單位換算

1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米

=10毫米

面積單位換算

1平方千米=100公頃1公頃=10000平方米1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米

體（容）積單位換算

1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分

米=1升

1立方厘米=1毫升1立方米=1000升

重量單位換算

1噸=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤

人民幣單位換算

1元=10角1角=10分1元=100分

時間單位換算

1世紀=100年1年=12月大月（31天）有：18

月小月（30天）的有：49月

平年2月28天，閏年2月29天平年全年365天，閏年全年366天1

日=24小時

1時=60分1分=60秒1時=3600秒

附2、n%3.14

1n=3.142n=6.283n=9.424n

=12.565n=15.76n=18.847n=21.98

8n=25.129n=28.2610[=31.415n

=47.125n=78.516n=50.2436n=113.04

附3、常見的分數(shù)與小數(shù)、百分數(shù)之間的互化

0.5=50%=0.2=

20%0.62562.5%

0.2525%=0.4=

40%0.12512.5%

0.7575%=0.6=

60%1.37537.5%

0.06256.25%=0.8=

80%0.87587.5%

0.04=4%=0.08=8%=0.12=12

%=0.16=16%

知識點梳理

1.分數(shù)乘整數(shù)：分數(shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)

和得簡便運算。

5.5,R

例如：逅X6,表示：6個石相加是多少，還表示冠的6倍是多少。

2.一個數(shù)（小數(shù)、分數(shù)、整數(shù)）乘分數(shù)：一個數(shù)乘分數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義

不相同，是表示這個數(shù)的幾分之幾是多少。

例如：64,表示：6的得是多少。,X得，表示：,的得是多少。

，乙JL乙I，乙IXu

工^分數(shù)乘法的計算法則

1.整數(shù)和分數(shù)相乘：整數(shù)和分子相乘的積作分子，分母不變。

2.分數(shù)和分數(shù)相乘：分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

注意：能約分的先約分，然后再乘，得數(shù)必須是最簡分數(shù)。當帶分數(shù)進行乘法計

算時，要先把帶分數(shù)化成假分數(shù)再進行計算。

分數(shù)大小的比較

1.一個數(shù)（0除外）乘以一個真分數(shù)，所得的積小于它本身。一個數(shù)（0除外）

乘以一個假分數(shù)，所得的積等于或大于它本身。一個數(shù)（0除外）乘以一個帶分

數(shù)，所得的積大于它本身。

2.如果幾個不為0的數(shù)與不同分數(shù)相乘的積相等，那么與大分數(shù)相乘的因數(shù)反而

小，與小分數(shù)相乘的因數(shù)反而大。

1.分數(shù)應用題一般解題步行驟。

（1）找出含有分率的關鍵句。

（2）找出單位"1"的量

（3）根據(jù)線段圖寫出等量關系式：單位"1"的量x對應分率=對應量。

（4）根據(jù)已知條件和問題列式解答。

乘法應用題有關注意概念

1.乘法應用題的解題思路：已知一個數(shù)，求這個數(shù)的幾分之幾是多少？

2.找單位"1”的方法：從含有分數(shù)的關鍵句中找，注意"的"前"比"后的規(guī)則。當句

子中的單位“1”不明顯時，把原來的量看做單位“1”。

3.甲比乙多幾分之幾表示甲比乙多的數(shù)占乙的幾分之幾，甲比乙少幾分之幾表示

甲比乙少數(shù)占乙的幾分之幾。

4."增加"、"提高"、"增產(chǎn)"等蘊含"多"的意思，"減少"、"下降"、"裁員"等蘊含"少"

的意思，"相當于"、"占"、"是"、"等于"意思相近。

5.單位"1"不同的兩個分率不能相加減，加減屬相差比，始終遵循“凡是比較，單

位一致”的規(guī)則。

6.找到單位"1"后，分析問題，已知單位"1"用乘法，未知單位"1"用除法（注意:

求單位"1"是最后一步用除法，其余計算應在前）。單位"l"x分率=比較量；比

較量十分率=單位"1"

7.單位"1"不同的兩個分率不能相加減，解應用題時應把題中的不變量做為單位

"1",統(tǒng)一分率的單位"1",然后再相加減。

8.單位"1"的特點：

①單位"甘為分母；

②單位"1"為不變量。

9.分率與量要對應。

①多的對應量對多的分率；

國少的對應量對少的分率；

⑥增加的對應量對增加的分率；

④減少的對應量對減少的分率；

⑥提高的對應量對提高的分率；

⑥降低的對應量對降低的分率；

⑦工作總量的對應量對工作總量的分率；

⑧工作效率的對應量對工作效率的分率；

⑨部分的對應量對部分的分率;

?總量的對應量對總量的分率;

L倒數(shù)：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。

2.求倒數(shù)的方法：把這個數(shù)寫成分數(shù)形式，然后將分子和分母交換位置。

3.0沒有倒數(shù)，1的倒數(shù)是它本身。

4.真分數(shù)的倒數(shù)都大于它本身，假分數(shù)的倒數(shù)等于或小于它本身。

注意：倒數(shù)必須是成對的兩個數(shù)，單獨的一個數(shù)不能稱做倒數(shù)。

工^只與因數(shù)的關系

1.一個數(shù)（0除外）乘大于1的數(shù)，積大于這個數(shù)。axb=c，當b>l時，c>a。

2.一個數(shù)（0除外）乘小于1的數(shù)，積小于這個數(shù)。axb=c，當b<l時，c<a（bx0）。

3.一個數(shù)（0除外）乘等于1的數(shù)，積等于這個數(shù)。axb=c，當b=l時，c=a。

在進行因數(shù)與積的大小比較時，要注意因數(shù)為0時的特殊情況。

■■■分數(shù)混合運算

1.分數(shù)合運算順序：（與整數(shù)相同），先乘、除后加、減，有括號的先算括號里面

的。

2.整數(shù)乘法運算定律對分數(shù)乘法同樣適用；運算定律可以使一些計算簡便。

乘法交換律：axb=bxa

乘法結合律：（axb）xc=ax（bxc）

乘法分配律：ax（b±c）=axb±axc

第二部分《位置與方向》

復習內(nèi)容

L確定物體位置的方法

①先找觀測點；

6）再定方向（看方向夾角的度數(shù)）；

⑥最后確定距離（看比例尺）

2.描繪路線圖的關鍵是選好觀測點，建立方向標，確定方向和路程。

先按路線確定每一個觀測點，然后以每一個觀測點建立（方向標），描述到下一

個目的地的（方向）和（距離）。

3.位置關系的相對性：

兩地的位置具有相對性在敘述兩地的位置關系時，觀測點不同，敘述的方向正好

相反，而度數(shù)和距離正好相等。

4.相對位置：

東一西；南一北；南偏東一北偏西。

（1）描述物體的位置與（觀測點）有關系，觀測點不同，物體位置的描述（不

同）。

（2）兩地的位置具有（相對性），觀測點不同，敘述的（方向）正好相反，（角

度）和（距離）不變。

第三部分《分數(shù)除法》

復習內(nèi)容

?分數(shù)除法的意義

分數(shù)除法的意義：分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，都是已知兩個因數(shù)的

積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。

例如：表示：已知兩個數(shù)的積是金，與其中一個因數(shù)］,求另一個因數(shù)是多少。

5454

4表示已知兩個數(shù)的積是］，與其中一個因數(shù)4,求另一個因數(shù)是多少。還表示把］平;

成4份,每份是多少。

^^^分數(shù)除法的計算

分數(shù)除法的計算法則：甲數(shù)除以乙數(shù)(0除外)，等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

比和比的應用

1.比的意義：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。比的后項不能為0。

2.比值的意義：比的前項除以后項所得的商，叫做比值。

3.比值的表示方式：通常用分數(shù)、小數(shù)和整數(shù)表示。

4.比同除法的關系：比的前項相當于被除數(shù)，后項相當于除數(shù)，比值相當于商.

5.比同分數(shù)的關系：比的前項相當于分子，比的后項相當于分母，比值相當于分

數(shù)的值。

6.比的基本性質(zhì)：比的前項和后項同時乘上或者同時除以相同的數(shù)(0除外)，

比值不變。

7.化簡比的方法：根據(jù)比的基本性質(zhì)，把兩個數(shù)的比化成最簡單的整數(shù)比，叫做

化簡比，比的前項和后項必須是互質(zhì)的整數(shù)。

例如:16：20=(16+4)：(204-4)=4：5

8.在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中和日常生活中，常常需要把一個數(shù)量按照一定的比來進行分

配。這種方法通常叫做按比例分配。

9.按比例分配的解題方法:

（1）先求出總的份數(shù)，再求出各部分數(shù)量占總數(shù)的幾分之幾。

（2）用總數(shù)乘各部分的分率求出各部分的數(shù)量。

10.分數(shù)除法中，被除數(shù)與商的大小關系：

一個數(shù)（0除外）除以一個真分數(shù)，所得的商大于它本身。

一個數(shù)（0除外）除以一個假分數(shù)，所得的商小于或等于它本身。

一個數(shù)（0除外）除以一個帶分數(shù)，所得的商小于它本身。

分數(shù)除法應用題

1.分數(shù)乘除法應用題的對比

①已知單位“1”的量用乘法。例：甲是乙的3,乙是25,求甲是多少？

5

即：甲=乙乂士一->25義3=15

55

②未知單位“1”的量用除法（或方程）。例：甲是乙的3,甲是15,求乙是多少？

5

即：甲=乙乂自一-15-1=25（建議列方程答）|x=25

555

2、分數(shù)應用題基本數(shù)量關系

（1）甲是乙的幾分之幾？

甲=乙又幾分之幾（例：甲是15的2,求甲是多少？15x2=9）

55

乙=甲小幾分之幾（例：9是乙的2,求乙是多少？9+2=15）

55

幾分之幾=甲+乙（例：9是15的幾分之幾？9+15=3）

5

（2）甲比乙多（少）幾分之幾？

A.方法1：差+乙=琴（例：9比15少幾分之幾？（15-9）+15=2=9=2）

乙15155

B.方法2：先求甲是乙的幾分之幾，再與1相比。，

①多幾分之幾是：￡一1（例：15比9多幾分之幾？15+9=?-1=2-1=2）

乙933

②少幾分之幾是：1-營（例：9比15少幾分之幾？1-9+15=1-2=1-3=2）

乙1555

（3）甲比乙多（少）幾分之幾，求乙是多少？

乙呻+(1土4)

/L

例：9比乙少g，求乙是多少？9+(1-2)=94-2=15

例：15比乙芟"求乙是多少？15+(1+2)=15+2=9

333

1.找單位"1”的方法：從含有分率的句子中找，"的"前或"比"后的規(guī)則。當句子中

的單位"1"不明顯時，把原來的量看做單位"1"。

2.找到單位"1"后，分析問題，已知單位"1"用乘法，未知單位"1"用除法(注意:

求單位"1"是最后一步用除法，其余計算應在前)。

數(shù)量關系：

單位"l"x對應分率=對應數(shù)量

對應量+對應分率=單位"1"的量

3.單位"1"不同的兩個分率不能相加減，解應用題時應把題中的不變量做為單位

"1",統(tǒng)一分率的單位"1",然后再相加減。

4.單位"1"的特點：①單位"1"為分母；②單位"1"為不變量。

5."已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)"的解題方法：

(1)設單位"1"的量為X,列方程解答。

(2)對應數(shù)量+對應分率=單位"1"的總數(shù)量。

6.工程問題：把工作總量看作單位"1”,

工作效率=工作時間=1+工作效率

合作時間=工作總量+工作效率之和

第四部分《比》

復習內(nèi)容

比的意義

1.兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。在兩個數(shù)的比中，比號前面的數(shù)叫做比的前項,

比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。比的后項

不能為0。（比值通常用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示）

2.比可以表示兩個相同量的關系，即倍數(shù)關系。也可以表示兩個不同量的比，得

到一個新量。例：路程+速度=時間。

3.比表示的是兩個數(shù)的關系，可以用分數(shù)表示，寫成分數(shù)的形式，讀作幾比幾。

12：20讀作：12比20

3：4：5讀作：3比4比5

4.區(qū)分比和比值

比：表示兩個數(shù)的關系，可以寫成比的形式，也可以用分數(shù)表示。

比值：相當于商，是一個數(shù)，可以是整數(shù)，分數(shù)，也可以是小數(shù)。

5.比和除法、分數(shù)的區(qū)別:

除法被除數(shù)除號除數(shù)（不能為0）商不變性質(zhì)是一種運算

分數(shù)分子分數(shù)線分母（不能為0）基本性質(zhì)是一個數(shù)

比前項比號后項（不能為0）基本性質(zhì)兩個數(shù)的關系

注意：體育比賽中出現(xiàn)兩隊的分是2：。等，這只是一種記分的形式，不表示兩

個數(shù)相除的關系。

比的基本性質(zhì)

比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。

化簡比化簡之后結果還是一個比，不是一個數(shù)。

L根據(jù)比的基本性質(zhì)，可以把比化成最簡單的整數(shù)比。

2.方法：

（1）整數(shù)比：用比的前項和后項同時除以它們的最大公約數(shù)。

（2）分數(shù)比：用前項后項同時乘分母的最小公倍數(shù)，再按化簡整數(shù)比的方法來

化簡。

（3）小數(shù)比：向右移動小數(shù)點的位置，把小數(shù)比先化成整數(shù)比，再化簡。

?也可以先求出比的比值，再將結果寫成比的形式。

1^^按比例分配

把一個量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。

例如：已知甲乙的和是56,甲、乙的比3:5,求甲、乙分別是多少？

方法一：564-（3+5）=7甲：3X7=21乙：5X7=

方法二：甲：56X2_=21乙：56X2=35

3+53+5

例如：已知甲是21,甲、乙的比3：5,求乙是多少？

方法一：21+3=7乙：5X7=35

方法二：甲乙的和21+3=56乙：56XJ_=35

3+53+5

方法三：甲+乙乙=甲+之=21+