2021北京重點校高一(上)期末數(shù)學(xué)匯編：集合的基本運算

1/12021北京重點校高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編集合的基本運算一、單選題1．（2021·北京八中高一期中）對于集合A，定義了一種運算“”，使得集合A中的元素間滿足條件：如果存在元素，使得對任意，都有，則稱元素e是集合A對運算“”的單位元素.例如：，運算“”為普通乘法：存在，使得對任意都有，所以元素1是集合R對普通乘法的單位元素.下面給出三個集合及相應(yīng)的運算“”：①，運算“”為普通減法；②，運算“”為普通加法；③（其中M是任意非空集合，運算“”為求兩個集合的交集.（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③2．（2021·北京·人大附中高一期中）已知全集，，，則（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）若集合，則（

）A． B．C． D．4．（2021·北京·北師大實驗中學(xué)高一期中）已知集合，，則（

）A． B．C． D．5．（2021·北京八十中高一期中）如圖中陰影部分所表示的集合是（）A． B．（A∪B）∪（B∪C）C．（A∪C）∩（?UB） D．6．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）已知集合，則（

）A．{1} B．{-1}C．{1，2} D．{1，2，3，4}7．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知集合，集合，那么（

）A． B． C． D．8．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知集合，那么等于（

）A． B． C． D．9．（2021·北京八中高一期中）若集合，，則集合（

）A． B． C． D．10．（2021·北京八十中高一期中）設(shè)集合，，則A． B． C． D．11．（2021·北京師大附中高一期中）已知集合，那么A．（-1,2） B．（0，1） C．（-1,0） D．（1,2）12．（2021·北京四中高一期中）設(shè)集合M={-1,0,1}，N={|=}，則M∩N=A．{-1，0，1} B．{0,1} C．{1} D．{0}二、填空題13．（2021·北京八中高一期中）稱有限集S的所有元素的乘積為S的“積數(shù)”，給定數(shù)集，則集合M的所有偶數(shù)個元素的子集的“積數(shù)”之和為___________.14．（2021·北京八中高一期中）設(shè)集合，若，則實數(shù)a的值為___________.15．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）設(shè)集合A是集合的一個子集，對于，定義如下的三個結(jié)論中：①存在的兩個不同子集A，B，，都有且；②任取的兩個不同子集A，B，，都有；③設(shè)，則，都有.正確結(jié)論的序號是：______________.16．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）設(shè)集合，則________.17．（2021·北京·人大附中高一期中）設(shè)集合，其中為實數(shù)，令，，若中的所有元素之和為6，中的所有元素之積為_________．18．（2021·北京·北師大二附中高一期中）設(shè)，集合，，若，則__________．三、解答題19．（2021·北京師大附中高一期中）設(shè)，已知集合，．(1)當(dāng)時，求；(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍．20．（2021·北京市十一學(xué)校高一期中）對于任何給定集合S，用表示集合S的元素個數(shù)，用表示集合S的子集個數(shù).已知集合A，B，C滿足下列兩個條件：①，②，求的最小值.21．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知集合(1)若，全集，求；(2)從條件①和條件②選擇一個作為已知，求實數(shù)的取值范圍.條件①∶若；條件②∶若22．（2021·北京·人大附中高一期中）已知集合，對于A的一個子集S，若存在不大于n的正整數(shù)m，使得對S中的任意一對元素，，都有，則稱S具有性質(zhì)P.(1)當(dāng)時，試判斷集合和是否具有性質(zhì)P？并說明理由.(2)當(dāng)時，若集合S具有性質(zhì)P.①集合是否一定具有性質(zhì)P？并說明理由；②求集合S中元素個數(shù)的最大值.23．（2021·北京·清華附中高一期中）設(shè)，集合，若個互不相同的非空集合，同時滿足下面兩個條件，則稱是集合的“規(guī)范子集組”①；②對任意的，要么，要么中的一個是另一個的子集．(1)直接寫出集合的一個“規(guī)范子集組”(2)若是集合的“規(guī)范子集組”，（?。┣笞C：中至多有1個集合對，滿足且；（ⅱ）求的最大值24．（2021·北京·清華附中高一期中）已知集合，集合(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．25．（2021·北京·北師大實驗中學(xué)高一期中）對于一個所有元素均為整數(shù)的非空集合，和一個給定的整數(shù)，定義集合.(1)若，直接寫出集合，和；(2)若，其中，，求的值，使得集合中元素的個數(shù)最少；(3)寫出所有滿足的整數(shù)和，使得當(dāng)集合時，有，并說明理由.26．（2021·北京八十中高一期中）已知集合，集合，集合，且集合滿足，.（1）求實數(shù)的值.（2）對集合，其中.定義由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合，，其中是有序?qū)崝?shù)對，集合和中的元素的個數(shù)分別為和，若對任意的總有，則稱集合具有性質(zhì).①請檢驗集合與是否具有性質(zhì)，并對其中具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和.②試判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.27．（2021·北京八十中高一期中）已知集合，.（1）當(dāng)時，求，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，求實數(shù)的取值范圍.28．（2021·北京市第五中學(xué)高一期中）已知集合…，…，，對于…，，B＝（…，，定義A與B的差為…，A與B之間的距離為.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）證明：對任意，有（i），且；（ii）三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；（Ⅲ）對于……，再定義一種A與B之間的運算，并寫出兩條該運算滿足的性質(zhì)（不需證明）

參考答案1．D【解析】根據(jù)單位元素的定義，對三個集合及相應(yīng)的運算“”進行檢驗即可．【詳解】解：①若，運算“”為普通減法，而普通減法不滿足交換律，故沒有單位元素；②，運算“”為普通加法，其單位元素為0；③（其中是任意非空集合），運算“”為求兩個集合的交集，其單位元素為集合．故選：D．2．C【解析】根據(jù)補集、并集的定義可求解.【詳解】，，，，.故選：C.3．D【解析】利用集合的并集運算求解.【詳解】因為集合，所以，故選：D4．A【解析】根據(jù)交集的定義，即得解【詳解】由題意，根據(jù)交集的定義故選：A5．A【解析】根據(jù)韋恩圖的意義，結(jié)合集合交并補運算的表示，即可容易求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)韋恩圖的意義，陰影部分表示的集合為：集合與在集合中的補集的交集.故可表示為：.故選：A.6．A【解析】直接根據(jù)集合的交集運算求解即可.【詳解】解：因為，所以故選：A7．A【解析】求得集合，集合交集的運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，所以.故選：A.8．C【解析】直接利用交集的定義求解即可【詳解】解：因為集合，所以=，故選：C9．D【解析】直接利用集合交集的定義求解.【詳解】因為，，所以.故選：D.【點睛】本題主要考查集合的運算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題..10．C【解析】由集合間的交運算求解即可.【詳解】∵集合，，∴．故選．【點睛】本題考查集合間的交運算;屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】利用數(shù)軸，取所有元素，得．【名師點睛】對于集合的交、并、補運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖處理．12．B【解析】M="{-1,0,1}"M∩N={0,1}【點評】本題考查了集合的基本運算，較簡單，易得分.先求出，再利用交集定義得出M∩N13．【解析】令，設(shè)的所有偶數(shù)個元素子集的“積數(shù)”之和為，所有奇數(shù)個元素的子集“積數(shù)”之和為，進而根據(jù)，求解即可.【詳解】解：數(shù)集中共有99個不同的元素，設(shè)的所有偶數(shù)個元素子集的“積數(shù)”之和為，所有奇數(shù)個元素的子集“積數(shù)”之和為，令，所以，所以，，所以故答案為：14．1【解析】由已知得，即有，解得或，分別代入檢驗可得答案.【詳解】解：因為，所以，所以，解得或，當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，不滿足集合的元素的互異性，故舍去，綜上得，故答案為：1.15．①③【解析】對題目中給的新定義要充分理解，對于，或，可逐一對命題進行判斷，舉實例例證明存在性命題是真命題，舉反例可證明全稱命題是假命題．【詳解】∵對于,定義,∴①例如正奇數(shù),正偶數(shù),∴,∴且,故①正確；②例如：,當(dāng)時,；,；∴；故②錯誤；對于③，若，則，則且，或且，或且，∴；若，則，則且，∴；∴任取的兩個不同子集，對任意都有，故③正確．∴所有正確結(jié)論的序號是：①③．故答案為：①③．16．【解析】先求得，由此求得正確答案.【詳解】，，，所以.故答案為：17．【解析】根據(jù)中的元素的和為6可得的元素，從而可求中的元素，從而可得各元素的積，注意分類討論.【詳解】因為，而，故，所以，若，則或（舍），此時，故中的所有元素之積為.若，則，這與或，這與中的所有元素之和為6矛盾.若，則或（舍），此時，這與中的所有元素之和為6矛盾.若，則，則，即，無解.故答案為：.【點睛】思路點睛：對于集合中元素的確定問題，注意利用元素的互異性、確定性和無序性來分類討論.18．1或2【解析】，解方程可得因為，所以，當(dāng)m=1時，滿足題意；當(dāng)，即m=2時，滿足題意，故m=1或2.19．(1)或；(2).【解析】（1）根據(jù)并集和補集的概念即可求出結(jié)果；（2）由題意可得，解不等式組即可求出結(jié)果.(1)當(dāng)時，，且，則，所以或；(2)因為，且，所以需滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.20．97【解析】由題知即，再利用容斥原理可得，，進而可得，即求.【詳解】∵，∴，又∴，即，∴，又，∴，但，∴，同理，∴，當(dāng)時，，綜上，的最小值為97.21．(1)(2)條件①：；條件②：或【解析】（1），集合已知，根據(jù)并集和補集的定義即可求解（2）條件①∶若，說明；條件②∶若，則的范圍與的范圍沒有公共部分，從而可以求解實數(shù)的取值范圍(1)由題得：集合，因為，所以集合，全集，所以(2)選擇條件①因為，所以，因為，所以，由（1）得：，若，則，解得：選擇條件②因為，，且，則或22．(1)集合B不具有性質(zhì)P，集合C具有性質(zhì)P，理由見解析；(2)①T具有性質(zhì)P，理由見解析；②1346【解析】(1)當(dāng)時,，結(jié)合新定義的性質(zhì)P可知集合不具有性質(zhì)；集合具有性質(zhì).(2)當(dāng)時,,①根據(jù)，任取，其中，可得，利用性質(zhì)的定義加以驗證即可說明集合具有性質(zhì)；②設(shè)集合S有個元素，由①可知，任給，，則與中必有個不超過，從而得到集合S與中必有一個集合中至少存在一半元素不超過，然后利用性質(zhì)的定義進行分析即可求得，即，解此不等式得.(1)當(dāng)時，集合，不具有性質(zhì)P.因為對任意不大于5的正整數(shù)m，都可以找到該集合的兩個元素與，使得成立.集合具有性質(zhì)P.因為可取，對于該集合中任意的兩個元素，使得；(2)當(dāng)時，集合，，①若集合S具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì).首先因為，任取，其中.因為，所以.從而，即，所以.由S具有性質(zhì)，可知存在不大于的正整數(shù)，使得對S中的任意一對元素、，都有.對于上述正整數(shù)，從集合中任取一對元素，，其中、，則有.所以，集合具有性質(zhì)；②設(shè)集合S有個元素，由①可知，若集合S具有性質(zhì)，那么集合一定具有性質(zhì).任給，，則與中必有一個不超過.所以集合S與中必有一個集合中至少存在一半元素不超過.不妨設(shè)S中有個元素、、、不超過.由集合S具有性質(zhì)，可知存在正整數(shù).使得對S中任意兩個元素、，都有.所以一定有、、、.又，故、、、.即集合A中至少有個元素不在子集S中，因此，所以，得.當(dāng)時，取，則易知對集合S中的任意兩個元素、，都有，即集合S具有性質(zhì).而此時集合S中有個元素，因此，集合S元素個數(shù)的最大值為.點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.23．(1)(2)（?。┮娊馕?；（ⅱ）【解析】（1）根據(jù)題意寫出答案即可；（2）（?。├梅醋C法證明即可；（ⅱ）設(shè)，當(dāng)時，令，當(dāng)時，令，這樣取出的個集合滿足題意，用數(shù)學(xué)歸納法證明，將分為三類：①全集；②不為全集，且與的交集不為空集；③與的交集為空集，討論從而可得出答案.(1)解：設(shè)，令，則滿足且，所以的一個“規(guī)范子集組”為；(2)（?。┳C明：利用反證法證明：解：假設(shè)“存在兩個不同的集合對；”依題意即互補，不妨設(shè)對“規(guī)范k-子集組”來講：一方面，時，，另一方面，其中存在兩個不同的集合對；滿足，不妨設(shè)，即，再由“”，得，此時，要么，要么是的真子集，若，則，故，這與與矛盾；若是的真子集，則是的真子集，此時，且彼此都不是對方的子集，綜上，假設(shè)“存在兩個不同的集合對；”不成立，所以原結(jié)論成立，證畢.（ⅱ）解：設(shè)，當(dāng)時，令，當(dāng)時，令，這樣取出的個集合滿足題意，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，當(dāng)時，考慮中不為全集且元素個數(shù)最多的集合（記為，并設(shè)中有個元素），則，將分為三類：①全集；②不為全集，且與的交集不為空集；③與的交集為空集.由的選取，知②中的集合均為的子集，且依然滿足條件，由歸納假設(shè)可知②中的集合的個數(shù)不超過，而③中的集合均為的子集，有歸納假設(shè)可知集合的個數(shù)不超過，所以，即當(dāng)時，結(jié)論成立，所以均有，即的最大值為.【點睛】本題考查了集合新定義問題，考查了分類討論思想，和數(shù)據(jù)分析能力，對邏輯推理能力要求比較高，難度較大.24．(1)或(2)【解析】（1）由題意可得，解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)集合的交集運算即可求出結(jié)果;（2）因為，所以，所以，由此即可求出結(jié)果.(1)解：當(dāng)時，集合集合或；所以或.(2)解：因為，所以，所以，即.25．(1)，，.(2)答案見解析.(3)，或，.【解析】（1）根據(jù)題意，集合，利用列舉法，即可求得；（2）由，得到，得到時，此時中的元素個數(shù)最少，分類討論，即可求解；（3）根據(jù)題意，分、和三種情況分類討論，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解.(1)解：由題意，集合，且，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得.(2)解：由題意，集合，對于，其中，當(dāng)時，此時中的元素個數(shù)最少，若為奇數(shù)，則時，中的元素個數(shù)最少；若為偶數(shù)，則或時，中的元素個數(shù)最少.(3)解：若時，可得，此時，且，所以；若時，可得，要使得且，則，即.若時，此時，顯然中有很多整數(shù)空缺，所以不成立.綜上可得：，或，.26．（1）（2）①具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)；，；②，證明見解析.【解析】（1）由，，可得，從而可求得的值，驗證即可得結(jié)論；（2）①由（1）求得，，檢驗性質(zhì)，即可得到結(jié)論；②分別證得和，從而可得．【詳解】（1）由，，，，可得，則，則或，時，，不滿足，時，，滿足題意，綜上，.（2）①，具有性質(zhì)，，，，，但，則不具有性質(zhì).②，證明如下：對任意，有，，，則，則，若，則，，則不同對應(yīng)的不同，則中每個元素在中都能找到不同元素與之對應(yīng)，則中元素個數(shù)不少于中元素個數(shù)，對任意，有，，，則，則，若，則，，則不同對應(yīng)的不同，則中每個元素在中都能找到不同元素與之對應(yīng)，則中元素個數(shù)不少于中元素個數(shù)，綜上.27．（1）或，；（2）；