《數(shù)學(xué)分析》課件

數(shù)學(xué)分析本課程介紹數(shù)學(xué)分析的基本概念、定理和方法，旨在為學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和開展科研工作提供必要的數(shù)學(xué)工具。課程簡介主要內(nèi)容微積分基礎(chǔ)，極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分的概念和性質(zhì)；函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性、最值、凹凸性、漸近線等；定積分的應(yīng)用，面積、體積、弧長等；教學(xué)目標(biāo)掌握數(shù)學(xué)分析的基本概念和理論；培養(yǎng)邏輯思維能力和抽象思維能力；提高運(yùn)用數(shù)學(xué)分析方法解決實(shí)際問題的能力。學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握基本概念理解極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等基本概念和定理。熟練計(jì)算熟練掌握各種極限、導(dǎo)數(shù)、積分的計(jì)算方法。運(yùn)用理論能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)分析方法解決實(shí)際問題。先修知識(shí)高等數(shù)學(xué)包括函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分等基本概念和方法。線性代數(shù)包括向量、矩陣、行列式等基本概念和運(yùn)算。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)包括隨機(jī)變量、概率分布、統(tǒng)計(jì)推斷等基本概念和方法。函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)定義定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等。函數(shù)圖像描繪函數(shù)圖像，了解函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)方程解函數(shù)方程，確定函數(shù)的解析表達(dá)式?；境醯群瘮?shù)1冪函數(shù)2指數(shù)函數(shù)3對數(shù)函數(shù)4三角函數(shù)5反三角函數(shù)極限的概念與性質(zhì)極限定義ε-δ語言定義，幾何意義。極限性質(zhì)唯一性、有界性、保號(hào)性、夾逼定理等。極限運(yùn)算極限的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限。極限計(jì)算方法1直接代入法簡單函數(shù)的極限。2等價(jià)無窮小替換利用等價(jià)無窮小化簡計(jì)算。3洛必達(dá)法則解決0/0或∞/∞型極限。4泰勒公式計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的極限。連續(xù)函數(shù)的概念與性質(zhì)1連續(xù)定義函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，ε-δ語言描述。2連續(xù)性質(zhì)中間值定理、介值定理、一致連續(xù)性等。3連續(xù)函數(shù)分類間斷點(diǎn)分類，可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、無窮間斷點(diǎn)。微分概念與性質(zhì)1微分定義函數(shù)在一點(diǎn)可微的定義。2微分性質(zhì)微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分與增量之間的關(guān)系。3微分應(yīng)用近似計(jì)算，曲線切線方程。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：d(x^n)/dx=nx^(n-1)指數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：d(a^x)/dx=a^x*ln(a)對數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式：d(log_a(x))/dx=1/(x*ln(a))基本導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)導(dǎo)數(shù)C0x^nnx^(n-1)a^xa^x*ln(a)log_a(x)1/(x*ln(a))sin(x)cos(x)cos(x)-sin(x)tan(x)sec^2(x)cot(x)-csc^2(x)sec(x)sec(x)*tan(x)csc(x)-csc(x)*cot(x)復(fù)合函數(shù)的微分鏈?zhǔn)椒▌td(f(g(x)))/dx=f'(g(x))*g'(x)計(jì)算步驟1.求內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2.求外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3.將內(nèi)層函數(shù)代入外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)的微分1隱函數(shù)定義不能顯式地寫成y=f(x)形式的函數(shù)。2求導(dǎo)方法對等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，利用鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算。高階導(dǎo)數(shù)1二階導(dǎo)數(shù)：f''(x)2三階導(dǎo)數(shù)：f'''(x)3n階導(dǎo)數(shù)：f^(n)(x)微分中值定理羅爾定理若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可微，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=0。拉格朗日中值定理若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可微，則存在ξ∈(a,b)使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。函數(shù)的單調(diào)性與最值單調(diào)性定義函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減。最值定義函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取得最大值或最小值。求解方法利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值。函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)凹凸性定義函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)凹向上或凹向下。拐點(diǎn)定義函數(shù)凹凸性改變的點(diǎn)。求解方法利用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性，求函數(shù)的拐點(diǎn)。函數(shù)的漸近線1水平漸近線2垂直漸近線3斜漸近線不定積分概念與性質(zhì)不定積分定義求導(dǎo)數(shù)為f(x)的函數(shù)F(x)的集合。不定積分性質(zhì)∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx；∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。基本積分公式函數(shù)積分CCx+Cx^nx^(n+1)/(n+1)+C(n≠-1)1/xln|x|+Ca^xa^x/ln(a)+Csin(x)-cos(x)+Ccos(x)sin(x)+Ctan(x)ln|sec(x)|+Ccot(x)ln|sin(x)|+Csec(x)ln|sec(x)+tan(x)|+Ccsc(x)-ln|csc(x)+cot(x)|+C換元積分法第一類換元法將被積函數(shù)的某些部分用一個(gè)新的變量替換。第二類換元法將自變量用一個(gè)新的變量替換。分部積分法公式∫udv=uv-∫vdu選擇u和dv根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇u和dv，使∫vdu比∫udv更容易積分。定積分概念與性質(zhì)定積分定義函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的積分值。定積分性質(zhì)線性性質(zhì)、積分區(qū)間可加性、積分不等式等。牛頓-萊布尼茨公式1公式∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)2應(yīng)用利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算定積分。定積分應(yīng)用面積計(jì)算求曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積。體積計(jì)算求旋轉(zhuǎn)體的體積?；￠L計(jì)算求曲線的弧長。廣義積分1無窮積分積分區(qū)間為無窮大。2瑕積分被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)。3計(jì)算方法利用極限計(jì)算廣義積分。極座標(biāo)系極坐標(biāo)定義用極徑