湖南省衡陽市2025屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省衡陽市2025屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=x?3≤x≤2，B=xx=2n+1,n∈Z，則A.?3,?1,1,3 B.?3,?1,1 C.?1,1 D.12.已知復(fù)數(shù)z=4+3i3?4i，則|z|=(

)A.2 B.3 C.53.已知非零向量a，b滿足(a?b)?(a?3b)=0，且|A.垂直 B.共線 C.夾角為π3 D.夾角為4.已知函數(shù)f(x)=x+4a,x≥0?x2+ax+a2,x<0A.[0,4] B.(0,4) C.(0,4] D.[0,4)5.設(shè)F1、F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2作x軸的垂線交C于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，且A.0 B.2 C.4 D.66.正三棱臺ABC?A1B1C1的上、下底邊長分別為6，18，該正三棱臺內(nèi)部有一個內(nèi)切球(A.3 B.4 C.5 D.67.已知數(shù)列an滿足an+1=aA.若an>0，則an所有項恒大于等于2

B.若a1=1，則an是單調(diào)遞增數(shù)列

C.若an是常數(shù)列，則8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(1,0)，P(?1,p)，Q(1,q)，其中p>0，q>0，∠AOQ=∠POQ，則當(dāng)△OPQ面積最小時，pq=(

)A.5+12 B.3+12二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設(shè)樣本空間Ω=1,2,3,4含有等可能的樣本點(diǎn)，且A=1,2，B=1,3，C=1,4A.PAB=PAPB B.PA|C10.斜率為2的直線l與雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線交于A(x1,y1A.x2a2?y2b2=0是雙曲線兩條漸近線所構(gòu)成的“X”形圖象的方程

B.P也是線段CD的中點(diǎn)

C.若l過雙曲線的焦點(diǎn)，則直線OP的斜率是?b11.已知f(x)的定義域為非零有理數(shù)集，且滿足下面三個性質(zhì)：①f(xy)=f(x)+f(y)；②f(x+y)≥min③當(dāng)f(x)≠f(y)時，f(x+y)=minf(x),f(y)下列說法正確的是(

)A.若f(x)>r，f(y)>r，則f(x?y)>r

B.f(x)=0恰有兩個整數(shù)解

C.若x+y+z=0，xyz≠0，則f(x)，f(y)，f(z)中至少有兩個相等

D.若f(2)=1，則f(240)=3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知cosα+π2=3cos13.用紅、橙、黃、綠四種顏色給一些大小相同的正四面體模具上色，要求每個正四面體四個面顏色各不相同.我們規(guī)定：如果兩個已上色的四面體，可以通過旋轉(zhuǎn)將其中一個變得與另一個完全相同，則認(rèn)為它們用了同一種上色模式.那么不同的上色模式共有

種.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線l1:y=x(x≥0)，l2:y=0(x≥0)，半圓C：y=1?(x?4)2.現(xiàn)從點(diǎn)A(1,0)向上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線l1、l2時會發(fā)生鏡面反射.四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c=1，asinA?sin(1)求?ABC的外接圓半徑；(2)若?ABC為銳角三角形，求?ABC周長的取值范圍．16.(本小題12分)如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)M，N分別在線段(1)若λ=μ=12，證明：(2)若λμ=12，點(diǎn)P，Q分別在直線DD1，MN上，且PQ⊥DD117.(本小題12分)箱子里有四張卡片，分別寫有數(shù)字1，2，3，4，每次從箱子中隨機(jī)抽取一張卡片，各卡片被抽到的概率均為14，記錄卡片上的數(shù)字，然后將卡片放回箱子.(a)第一次抽取的卡片上寫的數(shù)字是4；(b)設(shè)n為大于等于2的整數(shù)，第n次抽取的卡片上寫的數(shù)字大于第n?1次抽取的卡片上寫的數(shù)字.例如，當(dāng)記錄的數(shù)字依次為3，2，2，4時，這個操作在第4次結(jié)束．(1)若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，求前四次抽取的情況總數(shù)；(2)求操作在第n次結(jié)束的概率．18.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=ea+2(1)設(shè)直線x=4與曲線y=f(x)交于點(diǎn)P，求P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值；(2)a取遍全體正實(shí)數(shù)時，曲線y=f(x)在坐標(biāo)平面上掃過一片區(qū)域，該區(qū)域的下邊界為函數(shù)g(x)，求g(x)的解析式；(3)證明：當(dāng)x≥1時，對任意正實(shí)數(shù)a，f(x)≥2lnx+2.(19.(本小題12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(?23,1)，短半軸長為5.過點(diǎn)S(0,5)作直線l交C于A，B兩點(diǎn)，直線PA交y軸于點(diǎn)M(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明1k(3)設(shè)點(diǎn)R(0,1)，證明C上存在異于其上下頂點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得∠MQR=∠NQR恒成立，并求出所有滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)．

參考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.C

6.D

7.C

8.C

9.ABD

10.ABD

11.AC

12.313.2

14.?1515.【小問1詳解】由asinA?sin故a2+b2由余弦定理得cos由于C∈0,π，所以C=sinC=32，根據(jù)所以?ABC的外接圓半徑為3【小問2詳解】由(1)知，C=π3，B+A=2π由正弦定理有csin所以b+a==2因為?ABC為銳角三角形，所以0<B<π20<2π所以B+π6∈所以3<b+a<2，則所以?ABC周長的取值范圍為1+

16.【小問1詳解】連接B1C，AC，當(dāng)λ=μ=12，則M是AB所以MN//AC，因為AC?面ABCD，D1D⊥面ABCD，所以所以D1

【小問2詳解】以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA，DC，DD1方向為x，y，A(1,0,0)，B11,1,1，C10,1,1，AB1=0,1,1，C1所以M1,λ,λ，Nμ,1,1?μ，所以MN又DD1=0,0,1，設(shè)直線則由n?D取n=1?λ,1?μ,0，又所以PQ=由0≤λ≤10≤12λ易知y=λ+12λ?1在1所以y∈2?1,

17.【小問1詳解】由題意可得若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，則前四次抽取的卡片數(shù)字可能為：1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333，共有15種情況．【小問2詳解】設(shè)操作在第n次結(jié)束的概率為Pn，操作在第n次未結(jié)束的概率為Q則當(dāng)n=1時，P1=14，Q1接下來我們討論操作進(jìn)行了n次，但是并沒有結(jié)束的情形，抽取的數(shù)字結(jié)構(gòu)如下所示：3,?,3,2,?,2,1,?,1分別設(shè)序列中的3，2，1的個數(shù)為x，y，z，可知x+y+z=nx≥0,y≥0,z≥0利用隔板法，可以知道對應(yīng)情形的數(shù)量，操作如下：令X=x+1，Y=y+1，Z=z+1，即X+Y+Z=n+3X≥1,Y≥1,Z≥1一共有Cn+2各情形概率均為14n，所以有當(dāng)n≥2時，Pn經(jīng)檢驗，其對n=1依然成立，所以Pn

18.【小問1詳解】x=4時，fx令?a=5所以P點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為30【小問2詳解】fx=令?a則?′a①當(dāng)2?x?1x+1≤1，即0<x≤3時，?′a≥0?a②當(dāng)2?x?1x+1>1，即x>3?a在0,ln2??a綜上所述，gx【小問3詳解】由第(2)問可知fx≥gx①若x∈1,3，構(gòu)造u′因為x≥1，所以u′x≥0在1,3上恒成立，ux在1,3即3x?②若x∈因為x≥3，所以2構(gòu)造tx=2令φx=2x?2x?而φ3=3tx在3,+∞單調(diào)遞增，t因為3<e54gx=2而fx≥gx，即證f

19.【小問1詳解】由已知得?232a2【小問2詳解】將橢圓向右平移23個單位，再向下平移1個單位得即x2運(yùn)用齊次化方法，構(gòu)造AB平移后的直線A′B′，設(shè)lA′B′:mx+ny=1，則lA′B′過點(diǎn)2x2整理得6n+3y顯然k1和k2是∴k1+∴1【小