河南省TOP二十名校2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期四月沖刺考（一）理科數(shù)學(xué)試題 附答案

2022-2023下學(xué)年高三年級TOP二十名校四月沖刺考（一）高三理科數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁，考試時(shí)間120分鐘，卷面總分150分．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．3．全部答案寫在答題卡上，答在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則=（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A．x=0 B．y=0 C．x+y=0 D．x-y=03．下列直線中，可以作為曲線的對稱軸的是（）A． B． C． D．4．尿酸是鳥類和爬行類的主要代謝產(chǎn)物，正常情況下，人體內(nèi)的尿酸處于平衡的狀態(tài)，但如果體內(nèi)產(chǎn)生過多來不及排泄或者尿酸排泄機(jī)制退化，則體內(nèi)尿酸滯留過多，當(dāng)血液尿酸濃度大于，人體體液變酸，時(shí)間長會引發(fā)痛風(fēng)，而隨低食物（低嘌呤食物）對提高痛風(fēng)病人緩解率、降低血液尿酸濃度具有較好的療效．科研人員在對某類隨低食物的研究過程中發(fā)現(xiàn)，在每天定時(shí)、定量等特定條件下，可以用對數(shù)模型描述血液尿酸濃度（單位：）隨攝入隨低食物天數(shù)t的變化規(guī)律，其中為初始血液尿酸濃度，K為參數(shù)．已知，在按要求攝入隨低食物50天后，測得血液尿酸濃度為15，若使血液尿酸濃度達(dá)到正常值，則需將攝入隨低食物的天數(shù)至少提高到（）A．69 B．71 C．73 D．755．計(jì)劃安排甲、乙兩個(gè)課外興趣小組到5處水質(zhì)監(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行水樣采集，每個(gè)興趣小組采集3處水樣，每處水樣至少有1個(gè)興趣小組進(jìn)行采集，則不同的安排方法共有（）A．30種 B．32種 C．34種 D．36種6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)在C上，直線AF與l交于點(diǎn)B，則（）A．1 B． C． D．27．在正方體中，M，N，P分別為，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B．平面平面C． D．平面平面8．已知圓，圓是以圓上任意一點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)∠ACB最大時(shí)，（）A．1 B． C． D．29．32名業(yè)余棋手組隊(duì)與甲、乙2名專業(yè)棋手進(jìn)行車輪挑戰(zhàn)賽，每名業(yè)余棋手隨機(jī)選擇一名專業(yè)棋手進(jìn)行一盤比賽，每盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立，若獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)不少于10名，則業(yè)余棋手隊(duì)獲勝．已知每名業(yè)余棋手與甲比賽獲勝的概率均為，每名業(yè)余棋手與乙比賽獲勝的概率均為，若業(yè)余棋手隊(duì)獲勝，則選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)至少為（）A．24 B．25 C．26 D．2710．已知無窮數(shù)列滿足：如果，，那么，且，，，是與的等比中項(xiàng)．若的前n項(xiàng)和．存在最大值S，則S=（）A．0 B．1 C．2 D．311．已知圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，高為h，平面經(jīng)過圓臺的兩條母線，設(shè)截此圓臺所得的截面面積為S，則（）A．當(dāng)時(shí)，S的最大值為B．當(dāng)時(shí)，S的最大值為C．當(dāng)時(shí)，S的最大值為D．當(dāng)時(shí)，S的最大值為12．已知，，，則（）

A．． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，寫出一個(gè)與垂直的非零向量______．14．已知曲線過曲線上兩點(diǎn)A，B分別作曲線的切線交于點(diǎn)P，．記A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，則______．15．已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，P為C的一條漸近線上一點(diǎn)，AP與C的另一條漸近線交于點(diǎn)Q，若直線AP的斜率為1，且A為PQ的三等分點(diǎn)，則C的離心率為______．16．某種平面鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的示意圖如圖1所示，AC與BD的交點(diǎn)在四邊形ABCD的內(nèi)部．固定桿BC的長度為，旋轉(zhuǎn)桿AB的長度為1，AB可繞著連接點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，伸縮桿AD和CD同時(shí)進(jìn)行伸縮，使得AD和CD的夾角為45°，AD的長度是CD的長度的倍．如圖2，若在連接點(diǎn)B，D之間加裝一根伸縮桿BD，則伸縮桿BD的長度的最大值為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）已知數(shù)列，等差數(shù)列滿足，，．（1）證明：；（2）若為等差數(shù)列，求的前n項(xiàng)和．18．（本小題滿分12分）太平洋是地球上島嶼最多的大洋，有大小島嶼2萬多個(gè)，島嶼面積約占世界島嶼總面積的45%，蘊(yùn)藏著豐富的動(dòng)植物資源．為了解太平洋某海域的島嶼上植物種數(shù)的生態(tài)學(xué)規(guī)律，隨機(jī)選擇了6個(gè)島嶼，搜集并記錄了每個(gè)島嶼的植物種數(shù)（單位：個(gè)）和島嶼面積（單位：平方千米），整理得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i123456島嶼面積x61525344454植物種數(shù)y51015192431并計(jì)算得，．（1）由數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．根據(jù)表中前4號樣本數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）根據(jù)所求的線性回歸方程計(jì)算第5，6號樣本植物種數(shù)的預(yù)報(bào)值，并與相應(yīng)植物種數(shù)的真實(shí)值y，進(jìn)行比較．若滿足，則可用此回歸方程估計(jì)該海域其他島嶼的植物種數(shù)，并估計(jì)面積為100平方千米的島嶼上的植物種數(shù)；若不滿足，請說明理由．參考公式：，．19．（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐A-BCD中，∠BCD=90°，AB=AC=AD．（1）證明：平面平面BCD；（2）若BD=2，BC=1，當(dāng)直線AB與平面ACD所成的角最大時(shí)，求三棱錐的體積．20．（本小題滿分12分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，P為C上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，，∠APO=90°，的面積為1．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)B為C的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，證明：．21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求，的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與交于A，B兩點(diǎn)，與交于C，D兩點(diǎn)，若，且，求．23．【選修4-5：不等式選講】（10分）已知a，b均不為零，且滿足．證明：（1）；（2）．2022-2023下學(xué)年高三年級TOP二十名校四月沖刺考（一）高三理科數(shù)學(xué)參考答案1．【答案】 B【解析】，則．故選B．2．【答案】 B【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，則的幾何意義是Z到A的距離和Z到B的距離相等，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)滿足y=0．故選B．3．【答案】 A【解析】．令，則，即，故對稱軸可以是直線．故選A．4．【答案】 D【解析】由函數(shù)模型，當(dāng)t=50時(shí)，，可得，即．設(shè)血液尿酸濃度達(dá)到正常值7時(shí)，攝入天數(shù)為，則，即，②-①可得，即，則，．故選D．5．【答案】 A【解析】依題意，每個(gè)興趣小組采集3處水樣，每處水樣至少有1個(gè)興趣小組進(jìn)行采集，可分為兩步．第一步，甲組進(jìn)行采樣，有種方法；第二步，乙組進(jìn)行采樣，有種方法，所以共有10×3=30種方法．故選A．6．【答案】 A【解析】由在上，得12=2p×3，解得p=2，則，直線AF的斜率，傾斜角為60°．如圖，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為H．由拋物線的定義可知．在中，∠BAH=60°，，．故選A．7．【答案】 D【解析】在，中，因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，所以，又，所以，故A選項(xiàng)正確；同理，，則平面，平面，所以平面平面，故B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，，所以，故C選項(xiàng)正確；取BD的中點(diǎn)E，則即為二面角的平面角，易知，則平面與平面不垂直，又平面平面，故平面MNP與平面不垂直，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D．8．【答案】 D【解析】在中，．如圖，當(dāng)公共弦AB最大，即AB為圓的直徑時(shí)，∠ACB最大．此時(shí)在中，，，．故選D．9．【答案】 A【解析】設(shè)選擇與甲進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為X，選擇與乙進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為Y；設(shè)選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為n，則選擇與乙進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為32-n．X所有可能的取值為0，1，2，，n，則，；Y所有可能的取值為0，1，2，，32-n，則，，獲勝的業(yè)余棋手總?cè)藬?shù)的期望，解得．故選A．10．【答案】 B【解析】由，，是與，的等比中項(xiàng)，可知．若，由，可知，由，可知，則，則數(shù)列：1，2，，4，1，2，，4，，是以4為周期的數(shù)列，易知前n項(xiàng)和無最大值．若，同理可得數(shù)列{：1，，，4，1，，，4，，則數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，且，，，，所以的最大值S=1．故選B．11．【答案】 D【解析】如圖，將圓臺補(bǔ)成圓錐PO．設(shè)圓臺的母線長為l，則，等腰梯形ABCD為過兩母線的截面．設(shè)PC=x，，由，則有，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)最大時(shí)，即截面為軸截面時(shí)，面積最大，則S的最大值為．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，截面面積最大，則S的最大值為．故選D．12．【答案】 C【解析】，，，則．因?yàn)?，所以，則有．故選C．13．【答案】（答案不唯一，橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)即可）【解析】由題意可知，設(shè)，則，取x=1，則y=-1，則與垂直的非零向量可以為．14．【答案】 【解析】當(dāng)x>0時(shí)，．當(dāng)x<0時(shí)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象，不妨設(shè)，．因?yàn)榍€在點(diǎn)A，B處的兩條切線互相垂直，所以，整理得，所以是．15．【答案】【解析】不妨設(shè)點(diǎn)P在第二象限，直線AP的方程為y=x+a，聯(lián)立得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；聯(lián)立得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)．由A為PQ的三等分點(diǎn)，可知，則有，整理，得a=3b，則，故C的離心率．16．【答案】 3【解析】設(shè)，．在中，由余弦定理得，由正弦定理得，則．在中，，，則，CD=AC．在中，由余弦定理得當(dāng)時(shí)，取最大值1，則的最大值為9，故BD的最大值為3．17．【答案】見解析【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由，得，由，得d=-2，故，即．①遞推，得，②，得，故得證．（2）法一：若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由可得，，．又，即，所以．又，的前n項(xiàng)和法二：由，可知．又，所以．又為等差數(shù)列，所以，即，解得，則有，的前n項(xiàng)和．18．【答案】見解析【解析】（1），，所以，所以．所以所求線性回歸方程為．（2）當(dāng)x=44時(shí)，，．當(dāng)x=54時(shí)，，．故不能用此回歸方程估計(jì)該海域其他島嶼的植物種數(shù)．19．【答案】見解析【解析】（1）如圖，取BD的中點(diǎn)G，連接AG，CG．因?yàn)椤螧CD=90°，BG=DG，所以BG=CG．又因?yàn)锳B=AC，AG為公共邊，所以，所以∠AGB=∠AGC．同理可得∠AGC=∠AGD，所以∠AGB=∠AGD．因?yàn)椤螦GB+∠AGD=180°，所以∠AGB=∠AGC=∠AGD=90°，所以，．又因?yàn)椋云矫鍮CD．又因?yàn)槠矫鍭BD，所以平面平面BCD．（2）過點(diǎn)C作直線平面BCD，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則有，，．設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為，由得可?。O(shè)直線AB與平面ACD所成的角為，則．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．因?yàn)锽D=2，BC=1，∠BCD=90°，所以CD=3，此時(shí)三棱錐體積，故當(dāng)直線AB與平面ACD所成的角最大時(shí)，三棱錐的體積為．20．【答案】見解析【解析】（1）不妨設(shè)點(diǎn)P在x軸的上方，由橢圓的性質(zhì)可知．因?yàn)槭且訮為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，所以，代入，得，整理，得．因?yàn)榈拿娣e為1，所以，所以，．故橢圓C的方程為．（2）設(shè)直線AM的斜率為，直線BN的斜率為，，直線MN的方程為x=my+1．不妨設(shè)，則，．聯(lián)立可得，，則，，所以，即，則，所以，故得證．21．【答案】見解析【解析】（1）設(shè)，的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)a>0時(shí)，令，得，若，，單調(diào)遞增；若，，單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程有兩個(gè)解，整理方程，得．令，其中，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．由，，得0<x<1時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．則．當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于0，即當(dāng)時(shí)，