2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考專用)專題42向量法求距離、探索性及折疊問題(原卷版+解析)

專題42向量法求距離、探索性及折疊問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】利用向量法求距離 3【考點(diǎn)2】立體幾何中的探索性問題 6【考點(diǎn)3】折疊問題 8【分層檢測】 11【基礎(chǔ)篇】 11【能力篇】 15【培優(yōu)篇】 17真題自測真題自測一、解答題1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．2．（2023·全國·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．3．（2022·全國·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．4．（2024·全國·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】利用向量法求距離一、解答題1．（2024·海南·模擬預(yù)測）如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，.(1)證明：;(2)若直線AB與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)為線段BD上一點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.2．（2024·吉林·模擬預(yù)測）如圖所示，半圓柱與四棱錐拼接而成的組合體中，是半圓弧上（不含）的動點(diǎn)，為圓柱的一條母線，點(diǎn)在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，.(1)求證：；(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到直線距離的最大值.3．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，平面平面，．設(shè)中點(diǎn)為，過點(diǎn)的平面同時垂直于平面與平面．(1)求(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)求平面截四棱錐所得多邊形的周長．4．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．(1)求四棱錐的表面積(2)若點(diǎn)在棱上，且到平面的距離為，求點(diǎn)到直線的距離．5．（23-24高三下·湖南·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面，.

(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，M是直線上的一點(diǎn)，N是直線上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，N使得?請說明理由.6．（2024·天津和平·二模）如圖，三棱臺中，為等邊三角形，，平面ABC，點(diǎn)M，N，D分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)D到平面的距離．反思提升：(1)向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟①根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量v.②在直線上任取一點(diǎn)M(可選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn)).計(jì)算點(diǎn)M與直線外的點(diǎn)N的方向向量eq\o(MN,\s\up6(→)).③垂線段長度d＝eq\r(\o(MN,\s\up6(→))2－（\o(MN,\s\up6(→))·v）2).(2)求點(diǎn)到平面的距離的常用方法①直接法：過P點(diǎn)作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點(diǎn)P到平面α的距離.②轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)P所在的直線l平行于平面α，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點(diǎn)到平面α的距離來求.③等體積法.④向量法：設(shè)平面α的一個法向量為n，A是α內(nèi)任意點(diǎn)，則點(diǎn)P到α的距離為d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).【考點(diǎn)2】立體幾何中的探索性問題一、解答題1．（2024·貴州貴陽·二模）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺中，分別為的中點(diǎn)，，側(cè)面與底面所成角為.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，棱柱中，側(cè)棱底面，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)設(shè)，在平面上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，指出P點(diǎn)的位置：若不存，請說明理由.3．（2024·天津·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，，.(1)若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求異面直線，所成角的余弦值；(2)求平面和平面的夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值?若不存在，說明理由.4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在正四棱柱中，.(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線平面，若存在，求出長，若不存在，請說明理由；(2)已知點(diǎn)在線段上，且，求二面角的余弦值.5．（2024·湖南常德·一模）已知直三棱柱中，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成的角的余弦值為?6．（2024·湖南·三模）如圖，四棱錐的底面是梯形，平面.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.反思提升：第一步根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線線垂直第二步求兩平面的法向量第三步計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)第四步借助于函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式確定最值第五步反思解題思路，檢查易錯點(diǎn)【考點(diǎn)3】折疊問題一、解答題1．（2024·北京大興·三模）如圖（1），在中，，，將沿折起到的位置，E，F(xiàn)分別為，上的動點(diǎn)，過作平面，交于點(diǎn)Q，使得平面，如圖（2）.(1)證明：；(2)若，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值.條件①：平面平面；條件②：.2．（23-24高三上·河北·期末）如圖所示，直角梯形PABC中，，，D為PC上一點(diǎn)，且，將PAD沿AD折起到SAD位置．(1)若，M為SD的中點(diǎn)，求證：平面AMB⊥平面SAD；(2)若，求平面SAD與平面SBC夾角的余弦值．3．（21-22高二下·江蘇常州·期中）在中，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.

(1)求與平面所成角的大?。?2)在線段上是否存在點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使平面與平面垂直？若存在，求出與的比值；若不存在，請說明理由.4．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖（1）五邊形中，，將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且⊥平面.(1)求證：；(2)若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.5．（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，菱形的對角線與交于點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上，，交于點(diǎn)，將沿折到位置，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．6．（2023·江西·模擬預(yù)測）一年一度的創(chuàng)意設(shè)計(jì)大賽開幕了．今年小王從世界名畫《永恒的記憶》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1的《垂直時光》．已知《垂直時光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個標(biāo)準(zhǔn)的圓形鐘沿著直徑折成了直二面角（其中對應(yīng)鐘上數(shù)字3，對應(yīng)鐘上數(shù)字9）．設(shè)的中點(diǎn)為，若長度為2的時針指向了鐘上數(shù)字8，長度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12．現(xiàn)在小王準(zhǔn)備安裝長度為3的秒針（安裝完秒針后，不考慮時針與分針可能產(chǎn)生的偏移；不考慮三根北針的粗細(xì)）．

(1)若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖2．連接、，若平面．求半圓形鐘組件的半徑；(2)若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖3．設(shè)四面體的外接球球心為，求二面角的余弦值．反思提升：1.折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，尤其是隱含的垂直關(guān)系.一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.2.由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心展開，這是解決空間垂直問題的技巧.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·山西·三模）正方體的棱長為2，分別為的中點(diǎn)，為底面的中心，則三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．2．（2024·山東臨沂·二模）已知正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．直線MN與所成角的余弦值為 B．平面與平面夾角的余弦值為C．在上存在點(diǎn)Q，使得 D．在上存在點(diǎn)P，使得平面3．（23-24高二上·北京豐臺·期中）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個正八面體的棱長為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（

）A． B．C． D．4．（2024·北京順義·二模）如圖，正方體中，P是線段上的動點(diǎn)，有下列四個說法：①存在點(diǎn)P，使得平面；②對于任意點(diǎn)P，四棱錐體積為定值；③存在點(diǎn)P，使得平面；④對于任意點(diǎn)P，都是銳角三角形.其中，不正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④二、多選題5．（2024·山東濱州·二模）圖，在邊長為4的正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．若分別沿，把這個正方形折成一個四面體，使、兩點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，則在四面體中，下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．到直線的距離為C．三棱錐外接球的半徑為D．直線與所成角的余弦值為6．（2024·貴州六盤水·三模）（多選）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，則（

）A．的面積為B．三棱錐的體積為C．存在點(diǎn)P，使得⊥D．存在點(diǎn)P，使得⊥平面7．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，，分別為的中點(diǎn)，沿將折起到的位置（不在平面上），在折起過程中，下列說法不正確的是（

）A．若是的中點(diǎn)，則平面B．存在某位置，使C．當(dāng)二面角為直二面角時，三棱錐外接球的表面積為D．直線和平面所成的角的最大值為三、填空題8．（22-23高二下·安徽·階段練習(xí)）已知是平面的法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為.9．（2024·北京房山·一模）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P是對角線上的動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，不重合）．給出下列結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得平面平面；②對任意點(diǎn)P，都有；③面積的最小值為；④若是平面與平面的夾角，是平面與平面的夾角，則對任意點(diǎn)P，都有．其中所有正確結(jié)論的序號是．10．（2024·北京西城·一模）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動．設(shè)，給出下列四個結(jié)論：①存在點(diǎn)，使；②存在點(diǎn)，使；③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個；④若，則四面體體積的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號是．四、解答題11．（2024·天津北辰·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，∥，，，為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值；(3)求A點(diǎn)到直線的距離.12．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測）箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對角線交點(diǎn)為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；(2)當(dāng)時，在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【能力篇】一、單選題1．（2023·湖南邵陽·二模）如圖所示，在矩形中，，，平面，且，點(diǎn)為線段（除端點(diǎn)外）上的動點(diǎn)，沿直線將翻折到，則下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為球面B．存在點(diǎn)，使平面C．點(diǎn)到平面的距離為D．異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是二、多選題2．（2024·山西晉城·二模）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時，存在點(diǎn)E，使得平面B．當(dāng)點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)時，過點(diǎn)A，E，的平面截該正方體所得的截面的面積為C．點(diǎn)E到直線的距離的最小值為D．當(dāng)點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)且時，則點(diǎn)P的軌跡長度為三、填空題3．（2023·江西宜春·一模）如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)為的中點(diǎn)時，平面；②存在點(diǎn)，使得；③直線與所成角的余弦值的最小值為；④三棱錐的外接球的表面積為.其中正確的結(jié)論序號為.（填寫所有正確結(jié)論的序號）四、解答題4．（2024·北京·三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，為中點(diǎn)，．(1)設(shè)平面平面，求證：；(2)從條件①，條件②，條件③中選擇兩個作為已知，使四棱錐存在且唯一確定．（ⅰ）求平面與平面所成角的余弦值；（ⅱ）平面交直線于點(diǎn)，求線段的長度．條件①：平面平面；條件②：；條件③：四棱錐的體積為．【培優(yōu)篇】一、解答題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在梯形中，，，.將沿對角線折到的位置，點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影H恰好落在直線上.(1)求二面角的正切值；(2)點(diǎn)F為棱上一點(diǎn)，滿足，在棱上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線與平面所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.2．（23-24高二上·浙江湖州·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，且，，，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對角線交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，.

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由專題42向量法求距離、探索性及折疊問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 9【考點(diǎn)1】利用向量法求距離 9【考點(diǎn)2】立體幾何中的探索性問題 21【考點(diǎn)3】折疊問題 32【分層檢測】 43【基礎(chǔ)篇】 43【能力篇】 64【培優(yōu)篇】 72真題自測真題自測一、解答題1．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．2．（2023·全國·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．3．（2022·全國·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．4．（2024·全國·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．參考答案：1．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，故，且，由是的中點(diǎn)，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有A0,0,0、、、、C1,1,0、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；（3）由，平面的法向量為，則有，即點(diǎn)到平面的距離為.2．(1)證明見解析；(2)1【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡可得，，解得或，或，.3．(1)證明過程見解析(2)與平面所成的角的正弦值為【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)椋裕?，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋允堑冗吶切?，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，又因?yàn)椋裕?，設(shè)與平面所成的角為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.4．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.【詳解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點(diǎn)，得，所以，設(shè)平面和平面的一個法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】利用向量法求距離一、解答題1．（2024·海南·模擬預(yù)測）如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，.(1)證明：;(2)若直線AB與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)為線段BD上一點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.2．（2024·吉林·模擬預(yù)測）如圖所示，半圓柱與四棱錐拼接而成的組合體中，是半圓弧上（不含）的動點(diǎn)，為圓柱的一條母線，點(diǎn)在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，.(1)求證：；(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到直線距離的最大值.3．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，平面平面，．設(shè)中點(diǎn)為，過點(diǎn)的平面同時垂直于平面與平面．(1)求(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)求平面截四棱錐所得多邊形的周長．4．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．(1)求四棱錐的表面積(2)若點(diǎn)在棱上，且到平面的距離為，求點(diǎn)到直線的距離．5．（23-24高三下·湖南·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面，.

(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，M是直線上的一點(diǎn)，N是直線上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，N使得?請說明理由.6．（2024·天津和平·二模）如圖，三棱臺中，為等邊三角形，，平面ABC，點(diǎn)M，N，D分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)D到平面的距離．參考答案：1．(1)證明見解析(2)【分析】（1）因?yàn)?，因此只需證明平面，只需證明（由題可證），，由勾股定理易證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先由直線AB與平面所成角的正弦值為，求出，再證明平面，由此得點(diǎn)M到平面的距離等價于點(diǎn)到平面的距離，再由點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所?因?yàn)闉橹彼睦庵?，所?因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?）由（1）及題意知，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因?yàn)椋?設(shè)，所以所以,設(shè)平面的一個法向量為則，令，則，所以設(shè)直線AB與平面所成的角為，則，解得，所以所以點(diǎn)到平面的距離為因?yàn)?，所以因?yàn)椴辉谄矫妫云矫?，因?yàn)镸在線段上，所以點(diǎn)M到平面的距離等價于點(diǎn)到平面的距離，為故點(diǎn)M到平面的距離.2．(1)證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）取弧中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由數(shù)據(jù)求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面FOD與平面的法向量，利用面面角的向量求法求解.（3）利用空間向量求出點(diǎn)到直線距離的函數(shù)關(guān)系，再求出最大值即可.【詳解】（1）取弧中點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，連接，在中，，，則，于是，設(shè)，則，其中，，因此，即，所以.（2）由平面平面，得，又，則，而平面，則平面，即為平面的一個法向量，，由平面，得，又，解得，此時，設(shè)是平面的法向量，則，取，得，設(shè)是平面的法向量，則，取，得，則平面FOD與平面夾角的余弦值為.（3），則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)時，即的坐標(biāo)為時，點(diǎn)到直線的距離取最大值為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分別求出兩個半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結(jié)合圖形得到二面角的大小；②找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點(diǎn)的直線的方向向量，則這兩個向量的夾角就是二面角的平面角．3．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，由題意和余弦定理可得，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角；（3）先根據(jù)空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系找出截面，然后求周長即可．【詳解】（1）設(shè)，，，則，在中，，整理得，由題意得，則，即，解得，因此，即．（2）作中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，而，，平面，故，，，因?yàn)?，，所以四邊形、四邊形都是平行四邊形，故，，而，所以，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，在平面中也有，由于，故，，，，由勾股定理得：，，故以為原點(diǎn)，，，為，，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面，平面，平面，平面的法向量分別為，，，則，即，取，則，同理可得，因?yàn)槠矫嫱瑫r垂直于平面，平面，所以，，即，取，則，平面的法向量是，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故，因此平面與平面夾角的正弦值為．（3）設(shè)是平面上一點(diǎn)，因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)，則可以設(shè)，這是因?yàn)榇藭r，因此可設(shè)，因?yàn)楫?dāng)平面與平面相交時，其交線必為直線且唯一，故只需討論平面與四棱錐的公共部分，當(dāng)時，在直線上，因此平面過直線，故平面與平面，平面交于直線，與棱，分別交于，，故只需討論平面與棱，的交點(diǎn)：設(shè)平面與棱，的交點(diǎn)分別為，，則設(shè)，，令，則，解得，即，同理可得，故平面與平面交于，平面交于，因此平面截四棱錐所得截面多邊形為四邊形，故周長為．4．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形以及梯形面積公式即可求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量法求解即可.【詳解】（1）由，,所以,,所以,,故四棱錐的表面積為（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,4,，,4,，，其中，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則平面的法向量，設(shè)到平面的距離為，，由于，解得，故，點(diǎn)到直線的距離為．5．(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而可得線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定即可求解（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線的距離，即可求解.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)O，因?yàn)?，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，平面，，所以平?

（2）因?yàn)椋琌為的中點(diǎn)，，所以，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，則由平面,平面,可得，則以O(shè)為原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0，，，，，所以，，，設(shè)與，都重直的向量為，則得令，則，設(shè)直線與直線的距離為d，則，則不存在點(diǎn)M和N使得.6．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用，結(jié)合平面，得出平面；（2）利用向量的夾角公式即可求解；（3）利用點(diǎn)到平面的距離的向量法公式，即可求解．【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)棱底面，為等邊三角形，所以過點(diǎn)作，則以為點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)長為，則，，因?yàn)?，所以，則有，．所以，，，，，，．證明：因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫妫?）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則，有，又，設(shè)直線與平面所成角為，，則直線與平面所成角的正弦值為．（3）因?yàn)椋矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以，點(diǎn)D到平面的距離為．反思提升：(1)向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟①根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量v.②在直線上任取一點(diǎn)M(可選擇特殊便于計(jì)算的點(diǎn)).計(jì)算點(diǎn)M與直線外的點(diǎn)N的方向向量eq\o(MN,\s\up6(→)).③垂線段長度d＝eq\r(\o(MN,\s\up6(→))2－（\o(MN,\s\up6(→))·v）2).(2)求點(diǎn)到平面的距離的常用方法①直接法：過P點(diǎn)作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點(diǎn)P到平面α的距離.②轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)P所在的直線l平行于平面α，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點(diǎn)到平面α的距離來求.③等體積法.④向量法：設(shè)平面α的一個法向量為n，A是α內(nèi)任意點(diǎn)，則點(diǎn)P到α的距離為d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|).【考點(diǎn)2】立體幾何中的探索性問題一、解答題1．（2024·貴州貴陽·二模）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺中，分別為的中點(diǎn)，，側(cè)面與底面所成角為.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，棱柱中，側(cè)棱底面，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)設(shè)，在平面上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，指出P點(diǎn)的位置：若不存，請說明理由.3．（2024·天津·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，，.(1)若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求異面直線，所成角的余弦值；(2)求平面和平面的夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值?若不存在，說明理由.4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在正四棱柱中，.(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線平面，若存在，求出長，若不存在，請說明理由；(2)已知點(diǎn)在線段上，且，求二面角的余弦值.5．（2024·湖南常德·一模）已知直三棱柱中，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成的角的余弦值為?6．（2024·湖南·三模）如圖，四棱錐的底面是梯形，平面.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.參考答案：1．(1)證明見解析(2)存在，且【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)可得線線平行，即可得線面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可用未知數(shù)表示出直線與平面所成的角的正弦值，計(jì)算即可得解.【詳解】（1）連接、，由分別為的中點(diǎn)，則，又平面，平面，故平面，正四棱臺中，且，則四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面，又，且平面，平面，故平面平面，又平面，故平面；

（2）正四棱臺中，上下底面中心的連線底面，底面為正方形，故，故可以為原點(diǎn)，、、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，側(cè)面與底面所成角為，則，則，，，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)滿足題設(shè)，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，，即，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，故，解得或（舍），故，故線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為，此時線段的長為.

2．(1)證明見解析；(2)當(dāng)時，為棱的中點(diǎn).【分析】（1）利用三角形中位線性質(zhì)、線面平行的判定推理即得.（2）取AB中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間位置關(guān)系的向量證明求解即得．【詳解】（1）由E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，得，而平面，平面，所以平面.（2）棱柱中，側(cè)棱底面，取AB中點(diǎn)O，中點(diǎn)M，連接，則，平面，而平面，則有，又，則，即直線兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，假設(shè)在平面上存在點(diǎn)P，使，設(shè)，，，即，顯然，由，得，因此，即，此時，所以當(dāng)時，存在唯一的點(diǎn)，即棱的中點(diǎn)，使.3．(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）取中點(diǎn)，證得平面，進(jìn)而得到，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）由（1），求得平面和平面的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（3）設(shè)，求得，求得平面的一個法向量，結(jié)合平面，列出方程組，即可求解.【詳解】（1）解：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，因?yàn)?，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則O0,0,0，A1,0,0，，，，P0,0,1，，，可得，，設(shè)異面直線，所成角為，則.所以異面直線，所成角的余弦值為.（2）解：由（1）得，.設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值為.（3）解：設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得，設(shè)，則，，所以.所以，，，所以.所以，因?yàn)?，，且，平面，所以平面，所以是平面的一個法向量.若平面，則，所以，此時方程組無解，所以在棱上不存在點(diǎn)，使得平面.4．(1)存在，(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直得線線垂直，再利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；（2）求出兩個平面的法向量，利用向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】（1）存在.由題意，正四棱柱中，，以所在直線為軸，軸，軸建立坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，，，若直線平面，則且，所以，解得，此時，所以存在點(diǎn)使得直線平面；（2），，則，設(shè)平面與平面法向量分別為，，由，即，令，則，由，即，令，則，設(shè)二面角平面角為，則，所以二面角的余弦值為.5．(1)證明見解析；(2)存在.【分析】（1）先用線面垂直的判定定理證明平面，再使用面面垂直的判定定理即可；（2）使用空間向量法直接求解兩平面的夾角（用表示），再根據(jù)夾角條件，解關(guān)于的方程即可.【詳解】（1）由于在直三棱柱中，有平面，而在平面內(nèi)，故.同時有，且，故.由于，，且和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面.由于在平面內(nèi)，故.取的中點(diǎn)，由于分別是和的中點(diǎn)，故，而，故，即.由于分別是和的中點(diǎn)，可以得到，所以有平行四邊形，故.設(shè)和交于點(diǎn)，由于，，，從而得到全等于，故.這就得到，從而，即.而，故.由于，即，而，和在平面內(nèi)交于點(diǎn)，故平面.由于平面，在平面內(nèi)，故平面平面.（2）有，又因?yàn)槠矫妫驮谄矫鎯?nèi)，故，.由于兩兩垂直，故我們能夠以為原點(diǎn)，分別作為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由于題設(shè)條件和需要求證的結(jié)論均只依賴于線段間的比值，不妨設(shè)，這就得到A0,0,0，，，，，，，.據(jù)題設(shè)有，顯然，此時.從而有，，，.設(shè)和分別是平面和平面的法向量，則，.即，，從而可取，.此時平面與平面所成的角的余弦值為，故條件等價于，即，解得，所以存在，使得平面與平面所成的角的余弦值為.6．(1)證明過程見解析(2)存在，.【分析】（1）只需結(jié)合已知證明平面，由面面垂直的判定定理即可進(jìn)一步得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)，進(jìn)一步表示兩個平面的法向量，由向量夾角公式建立方程即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫妫?，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）因?yàn)槠矫?，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又，所以兩兩互相垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為n1=x則，即，取，滿足條件，所以可取，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，解得，所以，由題意，化簡并整理得，解得或（舍去），所以，綜上所述，棱上是否存在一點(diǎn)E，且，使得二面角的余弦值為.反思提升：第一步根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線線垂直第二步求兩平面的法向量第三步計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)第四步借助于函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式確定最值第五步反思解題思路，檢查易錯點(diǎn)【考點(diǎn)3】折疊問題一、解答題1．（2024·北京大興·三模）如圖（1），在中，，，將沿折起到的位置，E，F(xiàn)分別為，上的動點(diǎn)，過作平面，交于點(diǎn)Q，使得平面，如圖（2）.(1)證明：；(2)若，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值.條件①：平面平面；條件②：.2．（23-24高三上·河北·期末）如圖所示，直角梯形PABC中，，，D為PC上一點(diǎn)，且，將PAD沿AD折起到SAD位置．(1)若，M為SD的中點(diǎn)，求證：平面AMB⊥平面SAD；(2)若，求平面SAD與平面SBC夾角的余弦值．3．（21-22高二下·江蘇常州·期中）在中，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.

(1)求與平面所成角的大??；(2)在線段上是否存在點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），使平面與平面垂直？若存在，求出與的比值；若不存在，請說明理由.4．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖（1）五邊形中，，將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且⊥平面.(1)求證：；(2)若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.5．（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，菱形的對角線與交于點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上，，交于點(diǎn)，將沿折到位置，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．6．（2023·江西·模擬預(yù)測）一年一度的創(chuàng)意設(shè)計(jì)大賽開幕了．今年小王從世界名畫《永恒的記憶》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1的《垂直時光》．已知《垂直時光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個標(biāo)準(zhǔn)的圓形鐘沿著直徑折成了直二面角（其中對應(yīng)鐘上數(shù)字3，對應(yīng)鐘上數(shù)字9）．設(shè)的中點(diǎn)為，若長度為2的時針指向了鐘上數(shù)字8，長度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12．現(xiàn)在小王準(zhǔn)備安裝長度為3的秒針（安裝完秒針后，不考慮時針與分針可能產(chǎn)生的偏移；不考慮三根北針的粗細(xì)）．

(1)若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖2．連接、，若平面．求半圓形鐘組件的半徑；(2)若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖3．設(shè)四面體的外接球球心為，求二面角的余弦值．參考答案：1．(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理求解；（2）選擇條件①：選擇條件②：都是建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?、平面，，所以平面，而平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以．?）選擇條件①：平面平面，因?yàn)?，，所以為二面角的平面角，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系，又，所以E，F(xiàn)，Q分別是PC，BC，CD的中點(diǎn)，，，，，，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則得，令，則，，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，由題可知，二面角為鈍二面角則，二面角的余弦值為，選擇條件②：，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，BC，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，所以，因?yàn)?，，所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系，又，所以E，F(xiàn)，Q分別是，，的中點(diǎn)，，，，，，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則得，令，則，，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，由題可知，二面角為鈍二面角，則，二面角的余弦值為．2．(1)證明見解析(2)．【分析】（1）由線面垂直和面面垂直的判定定理證明即可；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）梯形中，，，易知，所以，而，所以為等邊三角形，∴，又∵，，∴，面，，∴面，∵面，∴平面平面；（2）由（1）知△為等邊三角形，∴為等邊三角形，取AD的中點(diǎn)O，得，，，∵，∴，因?yàn)槊?，，∴面．以O(shè)為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，得，，，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z∴得，令，則，則．取平面的法向量為，．∴平面與平面夾角的余弦值為．3．(1)(2)存在，【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的法向量后可求線面角的大小.（2）設(shè)，用表示平面和平面的法向量后可求的值，從而可求兩條線段的比值.【詳解】（1）在中，因?yàn)椋?，故在四棱錐中，有，而，故平面，因平面，所以，而，故，而，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

在中，因?yàn)榻?jīng)過的重心G（如圖），連接并延長，交于H，則，故，因?yàn)?，故，在中，，則，故，故，又，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故，故，故與平面所成角的正弦值為，因?yàn)榕c平面所成角為銳角，故該角為.（2）設(shè)，則，故，又，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故，因?yàn)槠矫嫫矫妫剩?，故，所?4．(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，故，得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，由三線合一得到結(jié)論；（2）證明出⊥，由正切值求出余弦值，結(jié)合余弦定理求出，由勾股定理逆定理得到⊥，得到線面垂直，進(jìn)而證明出⊥平面，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量求解線面角的正弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)?，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椤推矫妫浴推矫?，因?yàn)槠矫妫浴?，由三線合一得；（2）由（1）得，又因?yàn)椋詾榈冗吶切?，故，因?yàn)?，，即⊥，因?yàn)?，所以直線與所成角的正切值為，即，故，又，解得，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，即，解得，故，由勾股定理逆定理得⊥，因?yàn)椋矫?，所以⊥平面，取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則⊥，因?yàn)槠矫?，所以⊥，由三線合一得⊥,因?yàn)槠矫妫?，所以⊥平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令得，，故，設(shè)直線與平面所成角大小為，則.5．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先利用平行轉(zhuǎn)化得垂直關(guān)系，再利用勾股定理計(jì)算證明線線垂直，然后利用線面垂直判定定理證明線面垂直，（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量方法求二面角的余弦值.【詳解】（1）由已知得，，又由得，故，因此，從而.由，得.由得.所以,.又已知，于是，故.又，且，平面.所以平面.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，令,可得.設(shè)n=x2則，即，令,可得，設(shè)平面與平面的夾角為，于是，平面與平面的夾角的余弦值是.6．(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得出線線平行，再應(yīng)用正弦定理計(jì)算可得半徑；（2）空間向量法計(jì)算二面角余弦值即可.【詳解】（1）由平面，平面，平面平面，可得，故，又由，知為等腰三角形，，，由正弦定理得．故半圓形鐘組件的半徑等于．（2）依題意，二面角為直二面角，為交線，，故平面．又，故、、兩兩垂直．以為原點(diǎn)，、、為軸、軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．如圖，，，，．將四面體補(bǔ)成長方體，知即為長方體的中心，得．則，，．

設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得．設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得．則．故二面角的余弦值為．反思提升：1.折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，尤其是隱含的垂直關(guān)系.一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.2.由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心展開，這是解決空間垂直問題的技巧.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·山西·三模）正方體的棱長為2，分別為的中點(diǎn)，為底面的中心，則三棱錐的體積是（

）A． B． C． D．2．（2024·山東臨沂·二模）已知正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．直線MN與所成角的余弦值為 B．平面與平面夾角的余弦值為C．在上存在點(diǎn)Q，使得 D．在上存在點(diǎn)P，使得平面3．（23-24高二上·北京豐臺·期中）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個正八面體的棱長為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（

）A． B．C． D．4．（2024·北京順義·二模）如圖，正方體中，P是線段上的動點(diǎn)，有下列四個說法：①存在點(diǎn)P，使得平面；②對于任意點(diǎn)P，四棱錐體積為定值；③存在點(diǎn)P，使得平面；④對于任意點(diǎn)P，都是銳角三角形.其中，不正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④二、多選題5．（2024·山東濱州·二模）圖，在邊長為4的正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．若分別沿，把這個正方形折成一個四面體，使、兩點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，則在四面體中，下列結(jié)論正確的是（

）

A．B．到直線的距離為C．三棱錐外接球的半徑為D．直線與所成角的余弦值為6．（2024·貴州六盤水·三模）（多選）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，則（

）A．的面積為B．三棱錐的體積為C．存在點(diǎn)P，使得⊥D．存在點(diǎn)P，使得⊥平面7．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，，分別為的中點(diǎn)，沿將折起到的位置（不在平面上），在折起過程中，下列說法不正確的是（

）A．若是的中點(diǎn)，則平面B．存在某位置，使C．當(dāng)二面角為直二面角時，三棱錐外接球的表面積為D．直線和平面所成的角的最大值為三、填空題8．（22-23高二下·安徽·階段練習(xí)）已知是平面的法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為.9．（2024·北京房山·一模）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P是對角線上的動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，不重合）．給出下列結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得平面平面；②對任意點(diǎn)P，都有；③面積的最小值為；④若是平面與平面的夾角，是平面與平面的夾角，則對任意點(diǎn)P，都有．其中所有正確結(jié)論的序號是．10．（2024·北京西城·一模）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動．設(shè)，給出下列四個結(jié)論：①存在點(diǎn)，使；②存在點(diǎn)，使；③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個；④若，則四面體體積的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號是．四、解答題11．（2024·天津北辰·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，∥，，，為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值；(3)求A點(diǎn)到直線的距離.12．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測）箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對角線交點(diǎn)為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；(2)當(dāng)時，在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．參考答案：1．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，利用向量法求解點(diǎn)面距離，即可根據(jù)體積公式求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,,設(shè)平面法向量為m=x,y,z則，取，則m=1,1,?2，故到平面的距離為，而,故,故，故選：B2．C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，由空間向量計(jì)算異面直線所成角，二面角和線線垂直可判斷ABC；由四點(diǎn)共面，而平面可判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，所以，，，對于A，，，直線MN與所成角的余弦值為，故A錯誤；對于B，，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，可得，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，平面與平面夾角的余弦值為：，故B錯誤；對于C，因?yàn)镼在上，設(shè)，所以，，則，所以，所以，，所以，解得：.故上存在點(diǎn)，使得，故C正確；對于D，因?yàn)椋运狞c(diǎn)共面，而平面，所以上不存在點(diǎn)P，使得平面，故D錯誤.故選：C..3．D【分析】根據(jù)題意得到，，然后由向量的數(shù)量積公式分別求出，結(jié)合向量的夾角運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】如圖所示：

由題意，可得，，又由正八面體的棱長都是2，且各個面都是等邊三角形，在中，由，可得，所以，所以；；；所以，即直線和夾角的余弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選取適當(dāng)?shù)幕紫蛄浚梢阎獥l件可以求出它們的模以及兩兩之間的夾角，所以只需把分解，然后由向量的夾角公式即可求解.4．C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由直線的方向向量與平面的法向量的位置關(guān)系判斷說法①；由棱錐的底面積和高為定值得體積為定值判斷說法②；利用向量數(shù)量積驗(yàn)證垂直關(guān)系判斷說法③；利用向量的模和向量夾角的計(jì)算，驗(yàn)證說法④.【詳解】以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體棱長為1，則，，設(shè)，，，，平面的一個法向量為，，令，則，即，若，得，則時，，又平面，所以平面，即點(diǎn)P為中點(diǎn)時，平面，說法①正確；正方體中，平面平面，平面，則點(diǎn)到平面的距離為定值，又正方形面積為定值，所以對于任意點(diǎn)P，四棱錐體積為定值，說法②正確；，，,若平面，則有，方程組無解，所以不存在點(diǎn)P，使得平面，說法③錯誤；，，，，，則中，，都是銳角，，也是銳角，所以對于任意點(diǎn)P，都是銳角三角形，說法④正確.只有說法③不正確.故選：C.5．AC【分析】首先證明平面，即可判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算B、D，求出外接圓的半徑，再由勾股定理求出三棱錐外接球的半徑，即可判斷C.【詳解】對于A：翻折前，，翻折后則有PB⊥PA，，因?yàn)?，、平面，所以平面，平面，所以，故A正確；

對于B：又，即為等邊三角形，所以，在平面中過點(diǎn)作，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，令，，所以到直線的距離為，故B錯誤；對于C：所以的外接圓的半徑，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，因?yàn)槠矫?，所以，所以，即三棱錐外接球的半徑為，故C正確；對于D：由，設(shè)直線與直線所成角為，，則所以直線與直線所成角的余弦值為，故D錯誤.故選：AC.6．BD【分析】選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)P與重合，為邊長是的等邊三角形，求出三角形面積，即可判斷；選項(xiàng)B：利用等體積轉(zhuǎn)化法求解即可；選項(xiàng)C：以為直徑的球面與直線沒有公共點(diǎn)，即可判斷；選項(xiàng)D：當(dāng)P為的中點(diǎn)時，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證．【詳解】A選項(xiàng)，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與重合時，為等邊三角形，邊長為，故的面積為，故A錯誤；B選項(xiàng)，因?yàn)椋渲?，表示點(diǎn)P到平面的距離，故，所以三棱錐的體積為，故B正確；C選項(xiàng)：在正方體中，以為直徑的球面，半徑，則直線與該球面沒有公共點(diǎn)，故不存在點(diǎn)P，故C錯誤；D選項(xiàng)：取的中點(diǎn)M，連接PM，當(dāng)P為的中點(diǎn)時，即為的交點(diǎn)時，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，故，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椤推矫?，易知⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以PM⊥，又因?yàn)樵谡襟w中，⊥，而，所以⊥平面，故D正確．故選：BD．7．ABD【分析】對于A，利用反證法，假設(shè)結(jié)論成立，再利用面面平行推出線面平行，得到矛盾，故A錯；對于B，同樣采用反證法，假設(shè)結(jié)論成立，利用線線垂直推線面垂直，再結(jié)合空間向量，能得到矛盾，故B錯誤；對于C，主要根據(jù)題目，判斷得到該四面體各個面都是直角三角形，根據(jù)外接球性質(zhì)，即可知道球心位置，從而求解；對于D，利用線面角，可以判斷出當(dāng)平面平面時，直線和平面所成的角的最大，從而求出該角的正切值，即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，連接.若A正確，平面，且為三角形中位線，則，面，則面，因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?，因?yàn)槊嫫矫婷嫫矫嫠?，顯然，為三角形中位線，，矛盾，故假設(shè)不成立，A錯誤；以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為y軸正半軸，在平面中作與AD垂直方向?yàn)閤軸正半軸，z軸垂直平面，建立空間坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，即，又因?yàn)?，則，若B正確，則有，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫瑒t必定成立.則根據(jù)題意，可得、、、.，，則，即不成立，故矛盾，所以B不成立；當(dāng)二面角為直二面角時，即平面平面.根據(jù)上面可知，所以，又，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故四面體為所有面都是直角三角形的四面體，根據(jù)外接球性質(zhì)可知，球心必為中點(diǎn)，即為外接球半徑.，，由勾股定理可知，則，外接球面積為，故C正確.當(dāng)平面平面時，直線和平面所成的角的最大，記此時角為.由上圖可知，在中，，由余弦定理可解得.此時.此時，故D錯.故選：ABD8．/【分析】求出的坐標(biāo)，根據(jù)空間點(diǎn)到平面的距離的向量求法，即可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】由題意可得，又是平面的法向量，則點(diǎn)到平面的距離為，故答案為：9．①②③【分析】①可通過線面垂直的判定定理找到點(diǎn)P；②③④都可以通過建立空間直角坐標(biāo)系解決，其中通過向量的長度可以對②進(jìn)行判斷；利用兩條直線所成的角和三角形面積公式可以判斷③；求出三個面的法向量，并求出和，即可對④進(jìn)行判斷.【詳解】①因?yàn)?，在上取點(diǎn)使，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故①正確；②以為原點(diǎn)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，，，則，，設(shè)，則，,從而，，所以，故②正確；③由②，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積的最小值為，故③正確；④平面的法向量，平面的法向量，設(shè)平面的法向量，由即得，令得，則，，令得或，而，故，從而對存在點(diǎn)P，使得，而不大于直角，故，故④錯誤；故答案為：①②③.10．①③④【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量研究位置關(guān)系，結(jié)合距離公式、三棱錐體積公式逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有A0,0,0、、、、、，設(shè)，，其中，，對①：，則，當(dāng)，，時，有，故存在點(diǎn)，使，故①正確；對②：，，若，則有，由，，故當(dāng)時，，，此時有，即，即，此時與重合，與重合，故不存在點(diǎn)，使，故②錯誤；對③：點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，即有，即，由，故其軌跡為雙曲線的一部分，即點(diǎn)有無數(shù)個，故③正確；對④：，，由，故有，則，又，故，故④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第④個結(jié)論的關(guān)鍵點(diǎn)在于借助四面體的體積公式，分別求出高與底面三角形的最大值.11．(1)證明見詳解(2)(3)【分析】（1）取中點(diǎn)，可得四邊形為平行四邊形，從而，利用線面平行的判定定理即可得證；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，求出平面BDM的法向量，易知為平面PDM的一個法向量，利用向量夾角公式求解可得答案.（3）利用空間向量求得，即可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，．在中，，分別為，的中點(diǎn)，則，，因?yàn)?，，則，，可知四邊形為平行四邊形，則，且平面，平面，所以平面PAD．（2）因?yàn)槠矫?，，平面ABCD，則，，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，取CD的中點(diǎn)，連接BE，因?yàn)?，，則，，又因?yàn)椋运倪呅蜛BED為矩形，且，可知四邊形ABED是以邊長為2的正方形，則，，，，，，可得，，，設(shè)平面BDM的法向量為，所以，令，則，．所以平面BDM的一個法向量為，易知為平面PDM的一個法向量，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為.（3）由（2）可知：，則，即，可知為銳角，則，所以A點(diǎn)到直線的距離為.12．(1)1(2)存在；或【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定可得平面，進(jìn)而可得到平面的距離.（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)，根據(jù)線面角的空間向量求法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以不可能為四邊形的對稱軸，則為四邊形的對稱軸，所以垂直平分，所以．平面平面所以平面．所以到平面的距離．（2）存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為．過作平面，所以兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系

由（1）得平面平面，因?yàn)樗裕O(shè)，，，設(shè)平面的法向量，，所以令，則，所以平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，，．所以或，所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為或．【能力篇】一、單選題1．（2023·湖南邵陽·二模）如圖所示，在矩形中，，，平面，且，點(diǎn)為線段（除端點(diǎn)外）上的動點(diǎn)，沿直線將翻折到，則下列說法中正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為球面B．存在點(diǎn)，使平面C．點(diǎn)到平面的距離為D．異面直線與所成角的余弦值的取值范圍是二、多選題2．（2024·山西晉城·二模）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時，存在點(diǎn)E，使得平面B．當(dāng)點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)時，過點(diǎn)A，E，的平面截該正方體所得的截面的面積為C．點(diǎn)E到直線的距離的最小值為D．當(dāng)點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)且時，則點(diǎn)P的軌跡長度為三、填空題3．（2023·江西宜春·一模）如圖，多面體中，面為正方形，平面，且為棱的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)為的中點(diǎn)時，平面；②存在點(diǎn)，使得；③直線與所成角的余弦值的最小值為；④三棱錐的外接球的表面積為.其中正確的結(jié)論序號為.（填寫所有正確結(jié)論的序號）四、解答題4．（2024·北京·三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，為中點(diǎn)，．(1)設(shè)平面平面，求證：；(2)從條件①，條件②，條件③中選擇兩個作為已知，使四棱錐存在且唯一確定．（?。┣笃矫媾c平面所成角的余弦值；（ⅱ）平面交直線于點(diǎn)，求線段的長度．條件①：平面平面；條件②：；條件③：四棱錐的體積為．參考答案：1．D【分析】當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時，線段的長度為定值，，過作于點(diǎn)，為定點(diǎn)，的長度為定值，由此可判斷A；無論在（端點(diǎn)除外）的哪個位置，均不與垂直，即可判斷B；以，，為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，由點(diǎn)到平面的距離公式求解，即可判斷C；設(shè)，，利用向量夾角公式求解，即可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)固定在線段的某位置時，線段的長度為定值，，過作于點(diǎn)，為定點(diǎn)，的長度為定值，且在過點(diǎn)與垂直的平面內(nèi)，故的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故A錯；選項(xiàng)B：無論在（端點(diǎn)除外）的哪個位置，均不與垂直，故不與平面垂直，故B錯；選項(xiàng)C：以，，為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．，設(shè)平面的法向量為，取，則點(diǎn)到平面的距離為，故C錯；選項(xiàng)D