《計(jì)算方法》課件1第4章

第四章函數(shù)插值4.1多項(xiàng)式插值問(wèn)題4.2拉格朗日插值法4.3牛頓插值法4.4等距節(jié)點(diǎn)插值公式4.5埃爾米（Hermit）插值公式4.6分段低次插值4.7三次樣條插值方法習(xí)題44.1多項(xiàng)式插值問(wèn)題

多項(xiàng)式插值問(wèn)題(也稱代數(shù)插值問(wèn)題)從解決的難易方面可分為兩類：

(1)僅知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值，需要構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)p(x)，在x∈［a,b］內(nèi)用y=p(x)近似代替y=f(x)。

(2)不僅知道函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值，而且知道其導(dǎo)數(shù)值(也可為高階導(dǎo)數(shù)值)，要構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，在x∈［a,b］內(nèi)用近似代替y=f(x)。本節(jié)就第一類問(wèn)題給出多項(xiàng)式插值的定義及多項(xiàng)式插值函數(shù)y=p(x)的存在唯一性和誤差估計(jì)。第二類問(wèn)題將在4.5節(jié)中討論。4.1.1代數(shù)插值問(wèn)題

先給出代數(shù)插值定義。

定義4.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上有定義，且已知函數(shù)f(x)在［a,b］上的n+1個(gè)互異點(diǎn)a=x0<x1<…<xn=b處的函數(shù)值為y0,y1,…,yn，若存在一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式:

pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

其中,ai(i=0，1，2，…，n)為實(shí)數(shù)，使得滿足條件:

pn(xi)=f(xi)

(i=0，1，2，…，n)(4.1)則稱pn(x)為函數(shù)y=f(x)的n次代數(shù)插值多項(xiàng)式(或插值函數(shù))。點(diǎn)x0,x1,x2，…，xn稱為插值節(jié)點(diǎn)，f(x)稱為被插值函數(shù)，包含插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間［a,b］稱為插值區(qū)間，(4.1)式稱為插值條件，求pn(x)的方法稱為代數(shù)插值法。用pn(x)近似代替f(x)，當(dāng)x在插值節(jié)點(diǎn)形成的區(qū)間上時(shí)，稱該方法為內(nèi)插法；當(dāng)x不在插值節(jié)點(diǎn)形成的區(qū)間上時(shí)，則稱該方法為外插法。代數(shù)插值的幾何意義：過(guò)平面上n+1個(gè)互異點(diǎn)(xi,f(xi))(i=0，1，2，…，n)做一條不超過(guò)n次的代數(shù)曲線y=pn(x)，用y=pn(x)來(lái)近似表示曲線y=f(x)，如圖4-1所示。

由曲線易見(jiàn)，在區(qū)間［a,b］上用y=pn(x)近似y=f(x)時(shí)，在插值節(jié)點(diǎn)xi處，pn(xi)=f(xi)，但在其它x≠xi點(diǎn)處，pn(x)≈f(x)，即非節(jié)點(diǎn)處有誤差。

令

Rn(x)=f(x)－pn(x)

(x∈［a,b］)

則稱Rn(x)為被插值函數(shù)f(x)與插值函數(shù)pn(x)之間的誤差或插值余項(xiàng)。圖4-14.1.2代數(shù)插值多項(xiàng)式的存在性與唯一性

定理4.1滿足插值條件(4.1)式的不超過(guò)n次的插值多項(xiàng)式pn(x)存在且唯一。

證明設(shè)n次代數(shù)插值多項(xiàng)式為

pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

若能唯一確定pn(x)中n+1個(gè)系數(shù)a0,a1,…，an，則表明該插值多項(xiàng)式存在且唯一。由pn(x)應(yīng)滿足插值條件(4.1)式，可得關(guān)于系數(shù)a0,a1,…,an為n+1個(gè)未知元的線性代數(shù)方程組：

(4.2)方程組(4.2)中系數(shù)矩陣的行列式為范德蒙(Vandermonde)行列式，即因?yàn)楣?jié)點(diǎn)xi(i=0，1，2，…，n)互不相同，故V(x0,x1,…，xn)≠0。由線性代數(shù)方程組的克萊姆法則知，方程組(4.2)有唯一解a0,a1,…，an，即證得插值多項(xiàng)式pn(x)存在且唯一。

此定理表明，不論用何種方法來(lái)構(gòu)造n次代數(shù)插值多項(xiàng)式，只要其滿足插值條件(4.1)式則所得pn(x)都相同。4.1.3誤差估計(jì)

定理4.2設(shè)f(x)在［a,b］內(nèi)具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，pn(x)是滿足插值條件(4.1)式的次數(shù)不超過(guò)n的插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意x∈［a,b］，存在ζ=ζ(x)∈［a,b］，使得誤差

(4.3)

成立，其中，若當(dāng)x∈［a,b］時(shí)有|f(n+1)(x)|≤Mn+1，則有

(4.4)

證明由(4.1)式可知:

Rn(xi)=f(xi)－pn(xi)=0

(i=0,1,2,…，n)

設(shè)插值余項(xiàng)

Rn(x)=k(x)ωn+1(x)

(4.5)

分兩種情況證明：

(1)當(dāng)x=xi∈［a,b］時(shí)，顯然，對(duì)任意ζ∈［a,b］有(4.3)式成立。

(2)當(dāng)x≠xi(i=0,1,…，n)，但x∈［a,b］時(shí)，作輔助函數(shù):

g(t)=f(t)－pn(t)－k(x)ωn+1(t)

易證

g(x)=g(x0)=g(x1)=…=g(xn)=0

即g(t)在區(qū)間［a,b］內(nèi)有n+2個(gè)互異零點(diǎn)x,x0,x1，…，xn，且它們形成n+1個(gè)子區(qū)間，在這n+1個(gè)子區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件。由羅爾定理可得g′(t)在［a,b］內(nèi)至少有n+1個(gè)互異零點(diǎn)，且形成n個(gè)子區(qū)間。對(duì)g′(t)在這n個(gè)子區(qū)間上再應(yīng)用羅爾定理，可得g″(t)在［a,b］內(nèi)至少有n－1個(gè)互異零點(diǎn)，且形成n－1個(gè)子區(qū)間。再次應(yīng)用羅爾定理，依次類推，可得g(n+1)(t)在區(qū)間［a,b］內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)ζ=ζ(x，x0，x1，…，xn)，即

g(n+1)(ζ)=0而

由于pn(t)是t的n次多項(xiàng)式，因此pn(n+1)(t)=0，故由g(n+1)(ζ)=0，

得

把此式代入(4.5)式可得(4.3)式，由(4.3)式可直接得(4.4)式。

由定理4.2可看出，插值誤差與節(jié)點(diǎn)xi和x的距離有關(guān)。x離節(jié)點(diǎn)越近，一般誤差越小，因此，內(nèi)插比外插效果好。另外，若f(x)本身就是不超過(guò)n次的代數(shù)多項(xiàng)式，pn(x)=f(x)。

求插值函數(shù)的方法比較多，下面主要介紹拉格朗日(Lagrange)插值法和牛頓(Newton)插值法。

4.2拉格朗日插值法

由線性代數(shù)方程組(4.2)可見(jiàn)，尋找插值函數(shù)pn(x)需要解線性代數(shù)方程組，這極不方便。下面介紹簡(jiǎn)便實(shí)用的拉格朗日插值法。

滿足插值條件：

Ln(xi)=f(xi)

(i=0,1,2,…，n)

的n次插值多項(xiàng)式函數(shù)Ln(x)稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式。4.2.1拉格朗日插值基函數(shù)

下面我們從一次、二次插值多項(xiàng)式類推給出拉格朗日插值基函數(shù)的概念。

先看最簡(jiǎn)單的一次插值多項(xiàng)式(也稱線性插值函數(shù))。

條件：已知函數(shù)y=f(x)在兩個(gè)互異點(diǎn)x0，x1上的函數(shù)值分別為y0=f(x0)，y1=f(x1)。

問(wèn)題：作一個(gè)一次插值多項(xiàng)式L1(x)，使其滿足插值條件：

L1(xi)=f(xi)

(i=0，1)

(4.6)

求解：由一次插值多項(xiàng)式的幾何意義可知，它是用過(guò)平面上兩點(diǎn)A(x0，f(x0))、B(x1，f(x1))的直線y=L1(x)來(lái)近似代替曲線y=f(x)，如圖4-2所示。圖4-2由兩點(diǎn)式直線方程可得插值函數(shù)為

(4.7)

令y0、y1系數(shù)為顯見(jiàn)l0(x)、l1(x)是x的一次函數(shù)，且有如下性質(zhì)：

統(tǒng)一寫(xiě)為稱具備這種性質(zhì)的函數(shù)l0(x)，l1(x)為線性插值基函數(shù)。由此可得結(jié)論：任何一個(gè)滿足插值條件(4.6)式的線性插值函數(shù)都可用線性插值基函數(shù)l0(x)、l1(x)表示為

L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1

再看二次插值多項(xiàng)式。

條件：已知函數(shù)y=f(x)在三相異點(diǎn)x0，x1，x2的函數(shù)值為y0，y1，y2。

問(wèn)題：作一個(gè)二次插值多項(xiàng)式(拋物線插值)L2(x),使其滿足插值條件：

L2(xi)=yi

(i=0，1，2)

(4.8)求解：利用類似于線性插值基函數(shù)的方法求L2(x)。設(shè)

L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2

(x0≤x≤x2)

(4.9)

其中，li(x)(i=0，1，2)都是二次多項(xiàng)式，當(dāng)li(x)(i=0，1，2)滿足：

(4.10)

時(shí)，L2(x)必能滿足插值條件(4.8)式，下面的問(wèn)題是如何求插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,2)。先求l0(x)：由(4.10)式可知l0(x1)=l0(x2)=0，即x1,x2為l0(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，從而l0(x)必含有兩個(gè)因式(x－x1)和(x－x2)，而l0(x)是二次多項(xiàng)式，故設(shè)l0(x)=C(x－x1)(x－x2)，C為待定常數(shù)。又因?yàn)閘0(x0)=1，從而

故同理可求得

把l0(x)，l1(x)，l2(x)代入(4.9)式即得二次插值多項(xiàng)式。其中，l0(x)，l1(x)，l2(x)為二次拉格朗日插值基函數(shù)。

同樣方法，我們可定義n次插值基函數(shù)。

定義4.2

n次插值基函數(shù)li(x)(i=0，1，2，…，n)，就是在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0<x1<…<xn上滿足條件：的n次多項(xiàng)式。仿二次插值的推導(dǎo)方法可求得4.2.2拉格朗日插值多項(xiàng)式

由n+1個(gè)n次插值基函數(shù)可以得到滿足插值條件(4.1)式的n次代數(shù)插值多項(xiàng)式。

定理4.3滿足插值條件(4.1)式的拉格朗日插值多項(xiàng)式為

(4.11)

證明因li(x)都是n次多項(xiàng)式，所以它們的線性組合：

是次數(shù)不超過(guò)n次的多項(xiàng)式。由于插值基函數(shù)li(x)(i=0，1，2，…，n)滿足條件：必有：

特別地，當(dāng)n=1時(shí)，(4.11)式為線性插值，可寫(xiě)為

當(dāng)n=2時(shí)，(4.11)式為二次插值或拋物線插值，其幾何意義如圖4-3所示。圖4-3

例4.1已知函數(shù)值f(0)=1，f(1)=9，f(2)=23，f(4)=3，試求不超過(guò)三次的拉格朗日插值多項(xiàng)式。

解要求拉格朗日插值多項(xiàng)式，先求插值基函數(shù)。由公式可得代入插值公式(4.11)可得

例4.2已知由數(shù)據(jù)(0，0)，(0.5，y)，(1，3)和(2，2)構(gòu)造出的三次插值多項(xiàng)式p3(x)的x3系數(shù)是6，試確定數(shù)據(jù)y。

解利用拉格朗日插值多項(xiàng)式：

及插值基函數(shù)的表達(dá)形式可知x3的系數(shù)為將已知數(shù)據(jù)代入上式得

解得y=4.25。4.2.3拉格朗日插值法截?cái)嗾`差及其實(shí)用估計(jì)

在拉格朗日插值法中，若函數(shù)y=f(x)滿足定理4.2的條件，則有截?cái)嗾`差

(4.12)

(4.13)在實(shí)際應(yīng)用中，由于f(n+1)(ζ)的值較難估計(jì)，故(4.12)、(4.13)式難以應(yīng)用。下面介紹截?cái)嗾`差的一種估計(jì)方法。

假設(shè)Ln(x)和L*n(x)分別是以x0，x1，…，xn和x1，x2，…，xn+1為節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，則有因Ln(x)與L*n(x)只差一個(gè)節(jié)點(diǎn)，故可近似認(rèn)為f(n+1)(ζ)

≈f(n+1)(ζ*)，于是有

進(jìn)而有誤差估計(jì)式：

例4.3已知sinx在30°，45°，60°的值分別為

求sinx在50°的近似值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。

解把30°,45°,60°,50°化為弧度應(yīng)為

(1)取為插值節(jié)點(diǎn)，作拉格朗日一次插值有誤差估計(jì)為

(2)取為插值節(jié)點(diǎn)，作拉格朗日一次插值有誤差估計(jì)為

(3)取為插值節(jié)點(diǎn)，作拉格朗日二次插值有誤差估計(jì)為

sin50°的真值為0.766044…，以上三種插值方法所得sin50°的近似值與真值的誤差分別為0.0101，0.0059，0.0006，它們與估計(jì)出的誤差相差不大。

(1)為線性外插法，誤差最大；(2)為線性內(nèi)插法，誤差較小；(3)為二次內(nèi)插法，誤差最小。因此，外插不如內(nèi)插好。4.2.4拉格朗日反插值方法

拉格朗日反插值方法是求非線性方程f(x)=0的根的基本方法之一。

定義4.3(反插值問(wèn)題)設(shè)函數(shù)y=f(x)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)，且已知f(x)在節(jié)點(diǎn)xi(i=0，1，2，…，n)處的函數(shù)值f(xi)(i=0，1，2，…，n)，求一點(diǎn)x*，使得f(x*)=0的問(wèn)題，就是反插值問(wèn)題。

由于我們已知如表4.1所示的關(guān)系,又因f(x)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，所以反函數(shù)x=f－1(y)存在，并且有如表4.2所示的關(guān)系，現(xiàn)將反插值問(wèn)題分兩步進(jìn)行求解。

(1)先求反函數(shù)x=f－1(y)的近似函數(shù)。

以f(x0)，f(x1)，…，f(xn)為插值節(jié)點(diǎn)，x0，x1，…，xn為其節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，為了方便起見(jiàn)，記f(xi)=yi(i=0，1，2，…，n)，應(yīng)用拉格朗日插值公式有

(4.14)其中，若f－1(y)具有相當(dāng)?shù)墓饣裕瑒t有誤差表示式：

其中，；ξ在y0，y1，…，yn之間。

(2)在(4.14)式中令y=0，求得x*的近似值。

例4.4已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值如表4.3所示，試求方程f(x)=0在［1,2］內(nèi)根x*的近似值，并使誤差盡可能得小。

解由于函數(shù)y=f(x)單調(diào)連續(xù)，對(duì)它的反函數(shù)x=f－1(y)應(yīng)用公式(4.14)進(jìn)行三次插值，則拉格朗日插值多項(xiàng)式為所以x*≈L3(0)=1.675

4.3牛頓插值法

拉格朗日插值多項(xiàng)式的特點(diǎn)是易于構(gòu)造，形式對(duì)稱，便于記憶，但它的不足之處是，當(dāng)需增加插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，已計(jì)算過(guò)的插值基函數(shù)及插值多項(xiàng)式將不能使用，必須重新構(gòu)造插值多項(xiàng)式。這給計(jì)算帶來(lái)了很多不便，為克服這一缺點(diǎn)，本節(jié)將介紹一種能靈活增加節(jié)點(diǎn)的牛頓插值法，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，只需在原有的基礎(chǔ)上增加部分計(jì)算量，而實(shí)際的計(jì)算量大大減少。在討論牛頓插值公式之前，先介紹與之相關(guān)的差商概念和性質(zhì)。4.3.1差商的概念與性質(zhì)

給定函數(shù)y=f(x)，在［a,b］上n+1個(gè)相異點(diǎn)x0，x1，

…，xn處的函數(shù)值如表4.4所示。

f(x)在xi點(diǎn)的零階差商f［xi］記為

f［xi］=f(xi)

f(x)在xi，xj兩點(diǎn)的一階差商f［xi，xj］記為

f(x)在xi,xj,xk三點(diǎn)處的二階差商f［xi,xj,xk］記為(i≠j≠k)依次類推，一般地，如有n－1階差商，可以定義n階差商為n－1階差商的差商。如f(x)在相異點(diǎn)x0,x1,…，xn點(diǎn)處的n階差商f［x0，x1，…，xn］記為

利用差商的遞推定義，差商的計(jì)算可用差商表來(lái)計(jì)算，如表4.5所示。若要計(jì)算五階差商，則再增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算一行即可，如此下去，即可求出各階差商的值。

差商具有如下性質(zhì)：

(1)(差商與函數(shù)的關(guān)系)函數(shù)f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0，x1,…,xk的k階差商f［x0，x1，…，xk］可以表示為函數(shù)值f(x0)，f(x1)，…，f(xk)的線性組合，即

(2)(差商的對(duì)稱性)差商與所含節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān)。

如f［x0，x1，x2］=f［x1，x0，x2］=f［x2，x1，x0］等，一般地，在k階差商中任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)次序，其值不變。

(3)(差商的線性組合性質(zhì))函數(shù)線性組合的差商等于差商的線性組合。如f(x)=αg(x)+βh(x)，其中，α，β為常數(shù)，則有

(4)(差商的導(dǎo)數(shù))若f(x)具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

其中，ζ*位于x0，x1，…，xn－1，x之間。

證明由導(dǎo)數(shù)定義有

(5)(差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系)若f(x)具有k階導(dǎo)數(shù)，則有

(ζ在x0，x1，…，xk之間)

性質(zhì)(1)~(3)在學(xué)習(xí)了牛頓插值多項(xiàng)式后易于證明。4.3.2牛頓插值公式

利用差商，來(lái)構(gòu)造n次代數(shù)插值的另一種表示形式——牛頓插值公式。

f(x)在x，x0兩點(diǎn)的一階差商為,

變形可得

f(x)=f［x］=f(x0)+(x－x0)f［x，x0］(4.15)

f(x)在x，x0，x1三點(diǎn)處的二階差商為f［x，x0，x1］

，變形可得

f［x，x0］=f［x0，x1］+(x－x1)f［x，x0，x1］(4.16)依次類推，有

(4.17)從而當(dāng)k=1，2，…，n時(shí)，由(4.17)式有

(4.18)將(4.18)式中后一式代入前一式便有

(4.19)記

Nn(x)=f［x0］+(x－x0)f［x0，x1］+…

+(x－x0)(x－x1)…(x－xn－1)f［x0，x1，…，xn］

(4.20)

En(x)=(x－x0)(x－x1)…(x－xn)f［x，x0，x1，…，xn］

(4.21)

于是有

f(x)=Nn(x)+En(x)容易證明多項(xiàng)式Nn(x)滿足插值條件Nn(xi)=f(xi)(i=0，1，2，…,n)，又Nn(x)是次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式，故Nn(x)是n次代數(shù)插值多項(xiàng)式的另一種表達(dá)形式，并稱它為牛頓插值公式，而(4.21)式稱為牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。

由代數(shù)插值多項(xiàng)式的存在唯一性可知，Nn(x)=Ln(x)，

從而Rn(x)=En(x)。因此，牛頓插值公式只是拉格朗日插值公式的另一種書(shū)寫(xiě)形式而已。

順便指出，由于Nn(x)=Ln(x)，比較兩邊xn的系數(shù)容易得到差商性質(zhì)(1)，由(1)易證(2)成立，由Rn(x)=En(x)，易知性質(zhì)(5)成立。由牛頓插值公式(4.19)容易得到遞推關(guān)系式：

Nk+1(x)=Nk(x)+(x-x0)(x-x1)…(x-xk)f［x0，x1，…，xk+1］

上式說(shuō)明增加一個(gè)新節(jié)點(diǎn)xk+1

只是在Nk的基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)

(x-x0)(x-x1)…(x-xk)f［x0，x1，…，xk+1］即可，這就是牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)越性。

例4.5已知當(dāng)x=-1，0，1，2，3時(shí)對(duì)應(yīng)函數(shù)值為f(-1)=-2，f(0)=1，f(1)=3，f(2)=4，f(3)=8，求四次牛頓插值多項(xiàng)式。

解分析牛頓插值多項(xiàng)式(4.20)，按表4.5做如表4.6所示的差商表。相應(yīng)的牛頓插值多項(xiàng)式只須將表中劃線的數(shù)值依次帶入(4.20)式即得

4.4等距節(jié)點(diǎn)插值公式

上面討論的牛頓插值公式中插值節(jié)點(diǎn)可以任意分布，但在工程技術(shù)等實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到等距分布節(jié)點(diǎn)的情形，此時(shí)牛頓插值公式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得到一些常用的等距節(jié)點(diǎn)插值公式。本節(jié)將先給出差分定義，然后導(dǎo)出等距節(jié)點(diǎn)插值公式。4.4.1差分的定義及運(yùn)算

設(shè)有等距節(jié)點(diǎn)xi=x0+ih(i=0，1，2，…，n)，h>0為步長(zhǎng)，并記

定義4.4函數(shù)f(x)在xi處以h為步長(zhǎng)的一階差分為

Δfi=f(xi+h)-f(xi)=fi+1-fi

一階差分的差分

Δ2fi=Δ(Δfi)=Δfi+1-Δfi=fi+2-2fi+1+fi

稱為函數(shù)f(x)在xi處的二階差分。

一般地，n-1階差分的差分定義為n階差分，記為

Δnfi=Δn-1fi+1-Δn-1fi

(n=2,3,…)

規(guī)定：Δ0fi=fi即為f(x)在xi處的零階差分。

以上定義的差分也稱為向前差分，符號(hào)Δ稱為向前差分算子。函數(shù)f(x)在xi處以h為步長(zhǎng)的一階向后差分為

二階向后差分為

一般地，n階向后差分為

(n=2，3，…)

同理，δ稱為向后差分算子。

函數(shù)f(x)在xi處的中心差分為

二階中心差分為

一般地，n階中心差分為

同理，δ稱為中心差分算子。這些差分算子之間有一定關(guān)系，特別是向前差分算子與向后差分算子之間存在關(guān)系：

事實(shí)上，差分是函數(shù)f(x)在一些點(diǎn)處函數(shù)值的某些組合，具體有

等。

差分的計(jì)算可以像差商一樣列成一個(gè)表，稱為差分表。表4.7是向前差分表。(k≥1)4.4.2差分與差商的關(guān)系

為了給出等距節(jié)點(diǎn)插值公式，下面討論差分與差商的關(guān)系。

根據(jù)差商的定義以及xj=x0+jh(j=0，1，2，…)，有一般地，k階差商與k

階向前差分的關(guān)系為

(k=0，1，2，…，n)

同樣，k階差商與k階向后差分的關(guān)系為

(k=0，1，2，…，n)4.4.3等距節(jié)點(diǎn)插值公式

在等距節(jié)點(diǎn)條件下，根據(jù)差商與向前差分、向后差分的關(guān)系式，可以得到牛頓插值多項(xiàng)式的幾種形式。

1.牛頓向前插值公式

設(shè)xi=x0+ih(i=0，1，2，…，n)為等距插值節(jié)點(diǎn)，則牛頓插值公式可寫(xiě)成若x0≤x≤x1，令x=x0+th(0≤t≤1)，則有

(4.22)

此公式稱為牛頓向前插值公式，式中有關(guān)差分可用差分表中的有關(guān)數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。

插值余項(xiàng)為此式稱為牛頓向前插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。

例4.6利用表4.8所示的數(shù)據(jù)及牛頓向前插值公式，求f(0.05)的近似值。

解建立向前差分表,如表4.9所示。牛頓向前插值公式中，取x0=0，x=x0+th，h=0.2，并應(yīng)用表4.6中的劃線數(shù)據(jù)，由牛頓向前插值公式(4.22)可得

當(dāng)x=0.05時(shí)，

這樣可得

2.牛頓向后插值公式

若xn-1≤x≤xn時(shí)，令x=xn+th(－1≤t≤0)，對(duì)牛頓插值公式(將節(jié)點(diǎn)按xn,xn+1,…，x0的順序排列)，有

由向后差分公式可得

(4.23)此公式稱為牛頓向后插值公式,而

(ζ在x0，x1，…，xn之間)

稱為牛頓向后插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。

注：向后差分與向前差分存在關(guān)系式

(k≥1)，向后差分的值可從向前差分表中獲取。

例4.7已知函數(shù)y=sinx的函數(shù)值如下：

sin(0.4)=0.38942,

sin(0.5)=0.47943,

sin(0.6)=0.56464

利用牛頓插值法計(jì)算sin(0.43251)的近似值。

解由于節(jié)點(diǎn)等距分布，可用等距節(jié)點(diǎn)插值公式計(jì)算，先建立向前差分表,如表4.10所示。

(1)用牛頓向前插值公式

x=x0+th,

h=0.1,x0=0.4對(duì)x=0.43251，有，即

(2)用牛頓向后插值公式。

因Δkfi=Δkfi-k(k≥1)，故可使用上面已建立的表4.7中的數(shù)據(jù)(即表中最后一行劃線數(shù)據(jù))。對(duì)x=0.43251,有,這樣得到

4.5埃爾米(Hermit)插值公式

在前面討論的插值問(wèn)題中，插值條件僅要求被插值函數(shù)y=f(x)及插值函數(shù)y=φ(x)在互異的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處滿足f(xi)=φ(xi)(i=0,1,…，n)，而實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)不僅要求節(jié)

點(diǎn)處函數(shù)值相同，而且還要求它們?cè)诠?jié)點(diǎn)處某些階的導(dǎo)數(shù)值相同，如f′(xi)=φ′(xi)等。此類含有導(dǎo)數(shù)條件的插值稱為埃爾米(Hermit)插值，它是代數(shù)插值問(wèn)題的推廣。4.5.1一般情形的埃爾米插值問(wèn)題

已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn處的函數(shù)值為yi=f(xi)(i=0,1,2,…，n)，導(dǎo)數(shù)值為f′(xi)(注意：函數(shù)值個(gè)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)相同)，現(xiàn)要求做一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式H2n+1(x)，使其滿足下述2n+2個(gè)插值條件:

(4.24)

這個(gè)多項(xiàng)式H2n+1(x)稱為埃爾米插值多項(xiàng)式。注：(4.24)式給出了(2n+2)個(gè)條件，可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式，形式為H2n+1(x)=a0+a1x+…

+a2n+1x2n+1。但若直接用條件(4.24)式來(lái)求H2n+1(x)中2n+2個(gè)系數(shù)a0，a1，…，a2n+1，計(jì)算將非常復(fù)雜，所以我們用類似于拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法來(lái)構(gòu)造埃爾米插值多項(xiàng)式。設(shè)ai(x)，βi(x)(i=0，1，…，n)為次數(shù)不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式，且滿足：

(4.25)

(4.26)記

(4.27)

由條件(4.25)、(4.26)式顯然可知，(4.27)式滿足插值條件H2n+1(xk)=f(xk)，H′2n+1(xk)=f′(xk)(k=0,1,…，n)，且為次數(shù)不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式，由此說(shuō)明H2n+1(x)是滿足插值條件(4.24)式的埃爾米插值多項(xiàng)式的。其中，ai(x)、βi(x)稱為埃爾米插值基函數(shù)。下面利用拉格朗日插值基函數(shù)li(x)(i=0，1，…，n)來(lái)構(gòu)造ai(x)和βi(x)。

因關(guān)于節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn的拉格朗日基函數(shù)li(x)滿足：

(j≠i,j=0,1,…，n)

且l2i(x)是2n次多項(xiàng)式，由條件(4.25)式，可設(shè)ai(x)為其中，a，b為待定常數(shù)。，由條件(4.25)式得

由此得解之得

而，故同理可得βi(x)=(x－xi)l2i(x)，將ai(x)，βi(x)代入(4.27)式，得

(4.28)

(4.28)式稱為埃爾米插值多項(xiàng)式。

定理4.4滿足插值條件(4.24)式的埃爾米插值多項(xiàng)式是唯一的。

證明設(shè)H2n+1(x)和都是滿足條件(4.24)式的埃爾米插值多項(xiàng)式，令

則每個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0，1，…，n)均為φ(x)的二重根，即φ(x)有2n+2個(gè)根，但φ(x)是個(gè)不高于2n+1次的多項(xiàng)式，所以φ(x)≡0，即

，唯一性得證。

仿照拉格朗日插值余項(xiàng)的討論方法，可得出埃爾米插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)。

定理4.5若f(x)在區(qū)間［a,b］上存在2n+2階導(dǎo)數(shù)，則2n+1次埃爾米插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為

(ξ∈(a,b))

其中,ωn+1(x)=(x－x0)(x－x1)…(x－xn)。

埃爾米插值多項(xiàng)式的幾何意義是：曲線y=f(x)與曲線y=H2n+1(x)在插值節(jié)點(diǎn)處有公共切線。

例4.8已知f(x)在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值如表4.11所示，求f(x)的三次埃爾米插值多項(xiàng)式。

解方法一把x0=1，x1=2代入ai(x)，βi(x)(i=0，1)中，再將其代入(4.28)式,得

方法二令所求三次埃爾米插值多項(xiàng)式為

由插值條件知解得故

H3(x)=－3x3+13x2－17x+9

注：埃爾米插值多項(xiàng)式求解方法很多，不要簡(jiǎn)單套用公式(4.28)，應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題建立埃爾米求解公式。

在含導(dǎo)數(shù)的插值問(wèn)題中，當(dāng)函數(shù)值個(gè)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)不相等時(shí)，可在牛頓插值多項(xiàng)式或一般埃爾米插值多項(xiàng)式基礎(chǔ)上，用待定系數(shù)法求滿足條件的插值多項(xiàng)式。4.5.2特殊情況的埃爾米插值問(wèn)題

下面以特例說(shuō)明此種方法。

已知f(x)在三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值如表4.12所示，求次數(shù)不高于4的多項(xiàng)式H4(x)，使之滿足條件：方法一以牛頓插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ)。設(shè)

其中，a，b為待定常數(shù)。顯然，有

H4(xi)=f(xi)

(i=0，1，2)

由條件H′4(xi)=f′(xi)(i=0,1)，可求得a，b，即可得H4(x)。方法二以埃爾米插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ)。設(shè)

H4(x)=H3(x)+c(x－x0)2(x－x1)2(c為待定常數(shù))

H3(x)為滿足條件H3(xi)=f(xi)，H3′(xi)=f′(xi)(i=0，1)

的次數(shù)不高于3的埃爾米插值多項(xiàng)式，具體表達(dá)如(4.28)式中n=1的情形。顯然，有

H4(xi)=f(xi)，H4′

(xi)=f(xi)

(i=0，1)

通過(guò)條件H4(x2)=f(x2)，求得c后，即可得H4(x)。

例4.9確定一個(gè)次數(shù)不高于4的多項(xiàng)式p(x)，使得p(x)滿足條件p(0)=p′(0)=0,p(1)=p′(1)=1,p(2)=1。

解方法一設(shè)

p(x)=H3(x)+c(x－0)2(x－1)2

H3(x)=a0(x)p(0)+a1(x)p(1)+β0(x)p′(0)+β1(x)p′(1)已知p(0)=0,p(1)=1,p′(0)=0,p′(1)=1，所以由此

由1=p(2)=c·4·1可解得，于是

方法二先做差商表，如表4.13所示。以牛頓插值為基礎(chǔ)。設(shè)

4.6分段低次插值

在代數(shù)插值過(guò)程中，為了獲得較好的近似效果，通常情況下會(huì)增加插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。換句話說(shuō)，適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度，但并不表示插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好。當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多，即代數(shù)插值的次數(shù)較高時(shí)，不能保證非節(jié)點(diǎn)處的插值精度得到改善，有時(shí)反而誤差更大，出現(xiàn)插值多項(xiàng)式振蕩和數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。

1901年，德國(guó)數(shù)學(xué)家龍格(Runge)給出了一個(gè)等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式Ln(x)不收斂于f(x)的例子。取,在［－5,5］上的n次等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式Ln(x)，當(dāng)n→∞時(shí)，Ln(x)是發(fā)散的，此種現(xiàn)象稱為龍格(Rugh)現(xiàn)象(見(jiàn)圖

4-4)。圖4-4因此，對(duì)一般連續(xù)函數(shù)，不能認(rèn)為插值節(jié)點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，逼近效果就越好，同時(shí)在節(jié)點(diǎn)多的情況下，相應(yīng)插值多項(xiàng)式也會(huì)發(fā)生振蕩。另外，從舍入誤差來(lái)看，高次插值多項(xiàng)式誤差的傳播較為嚴(yán)重，誤差積累會(huì)加大。因而從穩(wěn)定性和收斂性兩方面來(lái)考慮，應(yīng)該采用分段低次插值的思想方法。

下面介紹最簡(jiǎn)單的分段線性插值方法。

定義4.5分段線性插值就是將插值區(qū)間分成若干個(gè)以節(jié)點(diǎn)為端點(diǎn)的小區(qū)間［xi-1，xi］(i=1，2，…，n)，在每個(gè)小區(qū)間段上用前邊已學(xué)過(guò)的線性插值多項(xiàng)式做近似逼近，

最后合并成一個(gè)分段函數(shù)p(x)來(lái)近似代替f(x)。

分段線性插值的幾何意義是：用連接相鄰節(jié)點(diǎn)的折線段代替曲線。設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<…<xn-1<xn=b處的函數(shù)值為f(x0),f(x1),

…，f(xn)，我們只需在每個(gè)小區(qū)間f(x0),f(x1),…，f(xn)上做線性插值，得

分段線性插值也可用基函數(shù)表示，若令顯然，li(x)是分段線性連續(xù)函數(shù)，且滿足

，則有

p(x)滿足插值條件p(xi)=f(xi)(i=0，1，…，n)，故f(x)≈p(x)。由線性插值余項(xiàng)估計(jì)式知，f(x)在每個(gè)子區(qū)間

［xi，xi+1］上有誤差估計(jì)式：

其中，hi=xi+1－xi。

例4.10已知函數(shù)f(x)在3個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為f(30)=0.500，f(45)=0.707，f(60)=0.816，求f(x)在區(qū)間［30,60］上的分段連續(xù)線性插值函數(shù)p(x)。

解將插值區(qū)間［30,60］分為連續(xù)的兩個(gè)小區(qū)間［30,45］,［45,60］,則p(x)在區(qū)間［30,45］上的線性插值為

p(x)在區(qū)間［45,60］上的線性插值為

將每個(gè)小區(qū)間的線性插值函數(shù)合并起來(lái)，得

注：分段插值法方法中，也可分段進(jìn)行二次、三次插值等，有興趣的讀者可查閱相關(guān)資料。

4.7三次樣條插值方法

給定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值可作高次(n次)插值多項(xiàng)式，當(dāng)n較大時(shí)，高次插值計(jì)算復(fù)雜，而且會(huì)出現(xiàn)振蕩和數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象；采用分段低次插值，雖計(jì)算簡(jiǎn)單，也有一致收斂性，但不能保證整條曲線在插值節(jié)點(diǎn)處的光滑性，這在實(shí)際問(wèn)題中，往往不能滿足某些工程技術(shù)的高精度要求。如飛機(jī)的機(jī)翼，一般要求盡可能使用流線形設(shè)計(jì)，使空氣沿機(jī)翼表面形成光滑的流線，減少空氣阻力，否則，表面若有微小凹凸，在飛機(jī)高速飛行中，氣流不能沿機(jī)翼表面平滑流動(dòng)而產(chǎn)生漩渦，造成飛機(jī)阻力增大，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重問(wèn)題，因此，有必要引進(jìn)新的插值方法，這就是樣條函數(shù)插值法。4.7.1三次樣條插值的基本概念

樣條是指工程技術(shù)上為將一些指定點(diǎn)(樣點(diǎn))連成一條光滑曲線，而使用的一種繪圖工具，它是一種富有彈性的細(xì)長(zhǎng)條，把壓鐵的兩端固定在樣點(diǎn)上，讓其它地方自由彎曲，然后依樣畫(huà)下光滑的曲線，此曲線稱為樣條曲線。彈性力學(xué)理論指出，樣條曲線不僅具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而且還有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。樣條曲線由于光滑度非常好，在數(shù)學(xué)上加以概括，就得到樣條函數(shù)概念。樣條函數(shù)內(nèi)容豐富，應(yīng)用非常廣泛，本節(jié)我們只介紹最簡(jiǎn)單，也是最常用的三次樣條插值方法。

定義4.6已知函數(shù)y=f(x)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<…<xn=b的函數(shù)值f(x0),f(x1),…，f(xn)，S(x)是定義在區(qū)間［a,b］上的一個(gè)函數(shù)，若函數(shù)S(x)滿足以下三點(diǎn)，則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。

(1)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0，1，…，n)處滿足S(xi)=f(xi)；

(2)在每個(gè)小區(qū)間［xi-1，xi］(i=1，2，…，n)上是一個(gè)三次多項(xiàng)式；

(3)在區(qū)間［a,b］上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。下面介紹三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造。

由三次樣條插值函數(shù)定義中的條件(2)可知，要求出S(x)，在每個(gè)小區(qū)間［xi-1，xi］(i=1，2，…，n)上要確定4個(gè)待定系數(shù)，記

si(x)=aix3+bix2+cix+di

(i=0，1，…，n)

在整個(gè)插值區(qū)間［a,b］上共有4n個(gè)待定系數(shù)，即另一方面，由三次樣條插值函數(shù)定義中的條件(1)和(3)可知，S(x)，S′(x),S″(x)，需滿足在節(jié)點(diǎn)xi處：

在邊界節(jié)點(diǎn)處：這樣共計(jì)給出了S(x)的4n－2個(gè)條件，而待定系數(shù)有4n個(gè)，因此，還需要兩個(gè)條件才能完全確定S(x)。這兩個(gè)附加條件通常在區(qū)間兩端點(diǎn)x0=a和xn=b上各附加一個(gè)，稱為邊界條件。邊界條件類型較多，常見(jiàn)的有如下三類：

第一類，轉(zhuǎn)角邊界條件，即給定端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值：

S′(x0+0)=f′(x0),

S′(xn－0)=f′(xn)

第二類,彎矩邊界條件，即給定端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值：

S″(x0+0)=f″(x0)，S″(xn－0)=f″(xn)

作為特例，S″(xn+0)=S″(xn－0)=0稱為自然邊界條件。滿足自然邊界條件的樣條函數(shù)稱做自然樣條插值函數(shù)。第三類,周期性邊界條件，即當(dāng)f(x)是以b－a為周期的周期函數(shù)時(shí)，則要求S(x)也是周期函數(shù)，這時(shí)邊界條件應(yīng)滿足f(b)=f(a),即f(x0)=f(xn)時(shí)，

S′(xn+0)=S′(xn－0),

S″(xn+0)=S″(xn－0)

這樣，附加某類邊界條件后，就得到關(guān)于{ai,bi,ci,di}

(i=1，2，…，n)為未知量的4n個(gè)方程，從而唯一確定三次樣條插值函數(shù)S(x)。當(dāng)n較大時(shí)，一般不去直接求解線性方程組，因工作量太大。我們將給出一種簡(jiǎn)單、切實(shí)可行的方法——三彎矩插值方法。4.7.2三彎矩插值法

記

S″(xi)=Mi

(i=0，1，…，n)

hj=xj－xj－1

(j=1，2，…，n)

由于在子區(qū)間［xi-1，xi］上，S(x)=si(x)是三次多項(xiàng)式，于是si″

(x)是線性函數(shù)。由于si″

(xi-1)=Mi-1，si″

(xi)=Mi，對(duì)函數(shù)si″

(x)在兩點(diǎn)(xi-1,Mi-1),(xi,Mi)上用線性插值，即得對(duì)si″

(x)積分兩次得

(x∈［xi-1,xi］)

其中,Ai-1,Bi-1為積分常數(shù)。由插值條件可得

從而得到

(4.29)此時(shí)si(x)在xi-1和xi處連續(xù)。對(duì)(4.29)式求導(dǎo)可得

(x∈［xi-1,xi］)

在右端點(diǎn)xi上,有

(4.30)在左端點(diǎn)xi-1上,有

(4.31)

類似地,在［xi,xi+1］區(qū)間上也可得到

(4.32)利用S′(x)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性，即si′

(xi－0)=si′(xi+0),得到關(guān)于Mi-1,Mi,Mi+1的一個(gè)方程

兩邊同乘以，并令，，有

(i=1，2，