第04講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（八大題型）（練習）（解析版）-【上好課】2025年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）

第04講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u模擬基礎(chǔ)練 2題型一：指數(shù)冪的運算 2題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 3題型三：指數(shù)函數(shù)過定點問題 5題型四：比較指數(shù)式的大小 6題型五：解指數(shù)方程或不等式 7題型六：指數(shù)函數(shù)的最值與值域問題 8題型七：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題 9題型八：指數(shù)函數(shù)的綜合問題 11重難創(chuàng)新練 15真題實戰(zhàn)練 24題型一：指數(shù)冪的運算1．已知，計算：.【解析】因為，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以.2．.【答案】【解析】.故答案為：.3．化簡求值:(1)；(2)．【解析】（1）；（2）=題型二：指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用4．若函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】由題意函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，解得，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且過定點，對比選項可知A符合題意.故選：A.5．要使的圖象不經(jīng)過第一象限，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象與軸的交點坐標為，且為減函數(shù)，要使圖象不經(jīng)過第一象限，則，解得.故選：B.6．當時，函數(shù)（，且）的圖象恒在函數(shù)的圖象下方，則a的取值范圍為.【答案】【解析】由題意，得當時不等式恒成立，即，令，，分類討論和兩種情況，并在同一平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖像，由圖像得到關(guān)于a的不等式，解不等式得解由題意，得當時不等式恒成立，即，令，，在同一平面直角坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，當時，如圖所示，由圖可知，，恒成立，故不滿足題意；當時，如圖所示，由圖可知，要，恒成立，需，即，解得，故綜上可知：a的取值范圍是.7．設(shè)、分別是方程與的根，則.【答案】【解析】如圖，分別作出函數(shù)，，的圖象，且函數(shù)與、分別相交于點，.由題意，．而與互為反函數(shù)，直線與直線互相垂直，所以點與關(guān)于直線對稱.所以.所以.故答案為：.題型三：指數(shù)函數(shù)過定點問題8．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點P，則點P的坐標是.【答案】【解析】在函數(shù)中，當，即時，，所以點P的坐標是.故答案為：9．對且的所有正實數(shù)，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過一定點，則該定點的坐標是．【答案】【解析】由函數(shù)，當時，可得，所以該函數(shù)恒經(jīng)過定點.故答案為：.10．已知函數(shù)（，）恒過定點，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過第象限.【答案】二【解析】由已知條件得當時，，則函數(shù)恒過點，即，此時，由于由向下平移五個單位得到，且過點，由此可知不過第二象限，故答案為：二.11．已知常數(shù)且，假設(shè)無論a取何值，函數(shù)的圖像恒過定點，且點的橫坐標為．又已知常數(shù)且，假設(shè)無論b取何值，函數(shù)的圖像恒過定點，則點的坐標為．【答案】【解析】由對數(shù)函數(shù)過定點可知：函數(shù)的圖像恒過定點，則有，又因為指數(shù)函數(shù)的圖像恒過定點，所以點的坐標為，故答案為：.題型四：比較指數(shù)式的大小12．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴，即.∵冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴，即，∴.故選：A.13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，求導得，當時，，則在上單調(diào)遞減，則，即，而，于是，所以.故選：D14．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，因為，故即，故.因為，所以，所以.故選：C.題型五：解指數(shù)方程或不等式15．方程的解為．【答案】【解析】因為，所以，即，所以.故答案為：.16．方程的解為．【答案】【解析】因為且，由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：當時，恒大于等于1，所以要使方程有解，則有解得：，，所以原方程的解為，故答案為：.17．不等式的解集是.【答案】【解析】．故答案為：．18．設(shè)，則關(guān)于x的不等式的解集是.【答案】【解析】因為，且，則根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，解得，所以不等式的解集為.故答案為：題型六：指數(shù)函數(shù)的最值與值域問題19．函數(shù)的最大值是．【答案】9【解析】由題可知：，所以又指數(shù)函數(shù)為R上的增函數(shù)，所以的最大值為故答案為：920．函數(shù)的最小值是.【答案】【解析】令t=2x，x∈[0，2]，則t∈[1，4]．原函數(shù)化為g（t）=t2-2t-3=（t-1）2-4，當t=1時，g（t）有最小值，即f（x）有最小值為-4．故答案為：-4．21．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的值域為．【答案】【解析】由題意可知時，，當且僅當時取得等號，時，，當且僅當時取得等號，故.故答案為：.22．設(shè)函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，是定義域為的奇函數(shù)，且.(1)求與的解析式；(2)若在上的最小值為，求的值.【解析】（1）為偶函數(shù)，，又為奇函數(shù)，，，①，即，②由得：，可得.（2），所以，，令，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，則，設(shè)，，對稱軸，①當時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則，解得：或（舍）；②當時，在上單調(diào)遞增，，解得：，不符合題意.綜上：.題型七：指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題23．不等式對任意都成立，則實數(shù)的取值范圍．【答案】．【解析】原不等式可化為對恒成立，令，則，所以，當時，，所以.故答案為:.24．若實數(shù)，使得恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】要使在實數(shù)時恒成立等價于在實數(shù)時恒成立，則，令，為減函數(shù)，∴在上為減函數(shù)，故當時，，即實數(shù)a的取值范圍是．故答案為：.25．已知指數(shù)函數(shù)（且）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)函數(shù)，當時，函數(shù)恒成立，則x的取值范圍是．【答案】【解析】因為是指數(shù)函數(shù)，所以，解得或者，又因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，令，要使得即恒成立，則，所以，解得，故答案為：26．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對于任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，，當時，，，又因為是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，所以，即當時，.所以函數(shù)的解析式為；（2）因為對于任意實數(shù)，不等式恒成立，所以在R上恒成立，即在R上恒成立，整理得在R上恒成立，令，因為，所以，當且僅當即時，等號成立，從而在上恒成立，所以在上恒成立，令，，則，因為函數(shù)在單調(diào)遞減，可得的最大值為，所以，所以.題型八：指數(shù)函數(shù)的綜合問題27．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示．由，得，解得或．由圖象易知，直線與的圖象有3個交點，所以方程有3個不同的實數(shù)根，因為方程有7個不同的實數(shù)根，所以直線與的圖象有4個交點，故，解得，故實數(shù)的取值范圍是．故答案為：28．已知函數(shù)，.(1)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若不等式，對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）∵，，∴，即在有解，令，所以,當時；當趨向于0或時趨向于，即.（2），即，令，因為，所以為增函數(shù)，所以，則，所以，化為對任意的恒成立，在上單調(diào)遞減，當時，取得最大值為，所以，實數(shù)的取值范圍為.29．已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)求的值域；(3)當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由題意可得：，即.因為，則.因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.故不等式的解集為（2）由，得：函數(shù)定義域為.令則，.因為二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，，當時，.故的值域為.（3）由題意得：當時，不等式恒成立，即當時，不等式恒成立，即當時，不等式恒成立.令，.因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以當時，.所以，解得：故當時，不等式恒成立，的取值范圍為.30．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知為定義在上的偶函數(shù)，，且．(1)求函數(shù)，的解析式；(2)求不等式的解集．【解析】（1）由題意易知，，則，即，故為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，又①，則，故②，由①②解得，；（2）由，可得，所以，即，令，則，解得，所以，即，所以，解得，故不等式的解集為．31．設(shè)函數(shù)（且）是定義域為的奇函數(shù)．（1）若，試求不等式的解集；（2）若，且，求在上的最小值及取得最小值時的的值．【解析】（1）由得，則，若，則，所以在上是增函數(shù)，不等式可化為，所以有，即，所以或，所以不等式的解集為.（2）若，則，所以，令，則，所以當即時，取最小值-2．1．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）自“”橫空出世，全球科技企業(yè)掀起一場研發(fā)大模型的熱潮，隨著算力等硬件底座逐步搭建完善，大規(guī)模應(yīng)用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意、虛擬數(shù)字人以及工業(yè)軟件領(lǐng)域已出現(xiàn)較為成熟的落地應(yīng)用．函數(shù)和函數(shù)是研究人工智能被廣泛使用的2種用作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，函數(shù)的解析式為，經(jīng)過某次測試得知，則當把變量減半時，（

）A． B．3 C．1 D．或3【答案】A【解析】，，，（舍）．，．故選：A2．（2024·山東·二模）已知，，若是的充分不必要條件，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】命題，即，因為是的充分不必要條件，顯然當時滿足，所以當時恒成立，則在上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：A3．已知實數(shù)滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.令，由于均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，所以.故選：B.4．（2024·山東泰安·二模）已知函數(shù)且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，當時，，得，又，所以方程無解；當時，，得，即，解得，所以.故選：D5．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則時，的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，.即.故選：C6．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，又，所以當時，函數(shù)為增函數(shù)，當時，函數(shù)為減函數(shù)，因為，所以，故.故選：B7．（2024·福建南平·二模）對任意非零實數(shù)，當充分小時，.如：，用這個方法計算的近似值為（

）A．1.906 B．1.908 C．1.917 D．1.919【答案】C【解析】.故選：C.8．（2024·廣東廣州·二模）若是方程的實數(shù)解，則稱是函數(shù)與的“復合穩(wěn)定點”．若函數(shù)且與有且僅有兩個不同的“復合穩(wěn)定點”，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】且與有且僅有兩個不同的“復合穩(wěn)定點”，，即有兩個不同實根，令，則在上有兩個不同實根，，則的取值范圍為．故選：D．9．（2024·山東濰坊·二模）已知函數(shù)則圖象上關(guān)于原點對稱的點有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】C【解析】作出的圖象，再作出函數(shù)關(guān)于原點對稱的圖象如圖所示.因為函數(shù)關(guān)于原點對稱的圖象與圖象有三個交點，故圖象上關(guān)于原點對稱的點有3對.故選：C10．（多選題）（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增B．函數(shù)值域為C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱【答案】ABD【解析】，函數(shù)，，則，又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；因為，所以，則，所以函數(shù)的值域為，故B正確；，，所以函數(shù)關(guān)于點對稱，故C錯誤，D正確.故選：ABD11．（多選題）（2024·福建廈門·三模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】對A：由，則，故A正確；對B：由，則，故B錯誤；對C：由在上單調(diào)遞增，故，故C錯誤；對D：由，則，故，當且僅當時等號成立，故D正確.故選：AD.12．（多選題）（2024·云南曲靖·二模）已知集合，定義，則下列命題正確的是（

）A．若，則與的全部元素之和等于3874B．若表示實數(shù)集，表示正實數(shù)集，則C．若表示實數(shù)集，則D．若表示正實數(shù)集，函數(shù)，則2049屬于函數(shù)的值域【答案】BD【解析】對于選項A：因為，根據(jù)所給定義可得，，則與的全部元素之和等于3872，故選項A錯誤；對于選項B：，故選項B正確；對于選項C：，表示冪函數(shù)的值域，可知冪函數(shù)的值域為，即，故選項C錯誤；對于選項D：因為，當時，則，可得，故選項D正確.故選：BD.13．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足下列等式，則.【答案】1【解析】因為，即，得，而化簡得，即，構(gòu)造函數(shù)，由于在都為增函數(shù)，所以在為單調(diào)遞增函數(shù)，又知，所以，解得，，所以.故答案為：.14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為均不等于1且不相等的正實數(shù)．若函數(shù)是奇函數(shù)，則．【答案】【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，即，則．當時，，所以，則，所以；當時，恒成立．故答案為：．15．（2024·北京房山·一模）若對任意，函數(shù)滿足，且當時，都有，則函數(shù)的一個解析式是．【答案】（答案不唯一）【解析】由題意，可取，函數(shù)是減函數(shù)，滿足時，都有，因為，所以函數(shù)滿足題意.故答案為：.（答案不唯一）16．（2024·上海黃浦·二模）設(shè)，函數(shù).(1)求的值，使得為奇函數(shù)；(2)若，求滿足的實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由為奇函數(shù)，可知，即，解得，當時，對一切非零實數(shù)恒成立，故時，為奇函數(shù).（2）由，可得，解得，所以解得：，所以滿足的實數(shù)的取值范圍是.17．已知函數(shù)，且.(1)求a的值；(2)當時，恒成立，求m的取值范圍.【解析】（1）因為，所以,因為，所以，則.（2）由（1）可知，等價于.令，則，原不等式等價于在上恒成立，則，解得，故m的取值范圍為.18．已知關(guān)于x的不等式的解集為．(1)求集合；(2)若，且，，，求的最小值．【解析】（1）∵，∴，即，即，解之得，∵，當且僅當取得等號，∴，解得，由在R上單調(diào)遞增可得，故．（2）∵，且，，則，由，兩邊平方得，，所以，不妨令，則，當且僅當時等號成立，所以，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當時取得等號，綜上，當時取到最小值．19．已知函數(shù)，.(1)若，求的值；(2)若方程在上有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，∵，∴，∴（2）∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，方程在上有解，即，∴在區(qū)間上有解，即有解，由于，所以所以，∴的取值范圍為1．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.3．（2022年新高考北京數(shù)學高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A錯誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯誤；故選：C．4．（2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（四川卷））函數(shù)的圖像可能是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴函數(shù)需向下平移個單位，不過（0,1）點，所以排除A，當時，∴，所以排除B，當時，∴，所以排除C，故選D.考點：函數(shù)圖象的平移.5．（2016年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學（新課標3卷精編版））已知，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，，，因為冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，因為指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即b<a<c.故選：A.6．（2020年山東省春季高考數(shù)學真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)