高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題29 求數(shù)列的通項(xiàng)公式10題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(cè)（解析版）

③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方、與有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列．題型1：觀察法1-1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，······，則第十層有（

）個(gè)球．

A．12 B．20 C．55 D．110【答案】C【分析】把每一層的球數(shù)看成數(shù)列的項(xiàng)，即可得一個(gè)數(shù)列，根據(jù)規(guī)律即可求解.【詳解】由題意知：，，，，所以.故選：C1-2．（2024·遼寧·三模）線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變換下具有不變性，通過(guò)不斷迭代生成無(wú)限精細(xì)的結(jié)構(gòu).一個(gè)正六邊形的線性分形圖如下圖所示，若圖1中正六邊形的邊長(zhǎng)為1，圖中正六邊形的個(gè)數(shù)記為，所有正六邊形的周長(zhǎng)之和?面積之和分別記為，其中圖中每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是圖中每個(gè)正六邊形邊長(zhǎng)的，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．存在正數(shù)，使得恒成立 D．【答案】D【分析】A選項(xiàng)，分析出為公比為7的等比數(shù)列，求出；B選項(xiàng)，從圖中求出；C選項(xiàng)，分析出為等比數(shù)列，公比為，求出通項(xiàng)公式，由數(shù)列的單調(diào)性分析出答案；D選項(xiàng)，分析出圖n中的小正六邊形的個(gè)數(shù)，每個(gè)小正六邊形的邊長(zhǎng)，從而求出面積.【詳解】A選項(xiàng)，圖1中正六邊形的個(gè)數(shù)為1，圖2中正六邊形的個(gè)數(shù)為7，由題意得為公比為7的等比數(shù)列，所以，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由題意知，，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為6，故，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，不存在正數(shù)，使得恒成立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，分析可得，圖n中的小正六邊形的個(gè)數(shù)為個(gè)，每個(gè)小正六邊形的邊長(zhǎng)為，故每個(gè)小正六邊形的面積為，則，D正確.故選：D1-3．（2024高二上·山東聊城·期中）若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用觀察歸納法求出通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前4項(xiàng)分別是，正負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn)，分子均為1，分母依次增加1，所以對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，正確.故選：D71．（2024高三上·河北唐山·期中）若數(shù)列的前6項(xiàng)為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】觀察每項(xiàng)的特點(diǎn)，分別確定項(xiàng)的符號(hào)以及分子分母的取值的規(guī)律，即可找出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】通過(guò)觀察數(shù)列的前6項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故用表示各項(xiàng)的正負(fù)；各項(xiàng)的絕對(duì)值為分?jǐn)?shù)，分子等于各自的序號(hào)數(shù)，而分母是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故第n項(xiàng)的絕對(duì)值是，所以數(shù)列的通項(xiàng)可為，故選：D（二）1.累加法：形如的解析式形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．2.累乘法：形如的解析式形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．題型2：累加法2-1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用遞推公式可得相鄰兩項(xiàng)前后項(xiàng)之差，再利用累加法可得通項(xiàng)，最后裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】因?yàn)椋士傻?，，…，，及累加可得，則，所以，則．故選：B．2-2．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A．55 B．56 C．45 D．46【答案】D【分析】在數(shù)列遞推式中依次取，得到個(gè)等式，累加后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出答案.【詳解】由，得，，，，，累加得，，當(dāng)時(shí)，上式成立，則，所以.故選：D2-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)為(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】先把，利用累加法和裂項(xiàng)相消法可求答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，，將個(gè)式子相加可得，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，符合題意，所以.故選：D.2-4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意的正整數(shù)n，都滿足：，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用累加法求得的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由累加法可得：，所以（），又因?yàn)?，所以（），?dāng)時(shí)，，符合，所以（），所以，所以．故選：A.題型3：累乘法3-1．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合遞推式特征，利用累乘法算出，進(jìn)而可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：A3-2．（2024高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，則（

）A．506 B．1011 C．2022 D．4044【答案】D【分析】根據(jù)累乘法得，再根據(jù)通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解：，，，，，，顯然，當(dāng)時(shí)，滿足，∴，.故選：D.3-3．（2024高一下·青海西寧·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)數(shù)列的關(guān)系式，利用累乘法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．【詳解】數(shù)列滿足，且，∴，，∴，，，，累乘可得：，可得：．故選：D﹒（三）待定系數(shù)法（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：求出，再可求出（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再求出．（3）當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在通過(guò)累加法，求出之后得．題型4：待定系數(shù)法4-1．（2024·四川樂(lè)山·三模）已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【分析】湊配法得出數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論．【詳解】由得，又，所以，即是等比數(shù)列，所以，即．故答案為：．4-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】解法一：利用待定系數(shù)法可得，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；解法二：整理得，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；解法三：整理得，根據(jù)累加法結(jié)合等比數(shù)列求和分析運(yùn)算.【詳解】解法一：設(shè)，整理得，可得，即，且，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法二：(兩邊同除以)兩邊同時(shí)除以得：，整理得，且，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法三：(兩邊同除以)兩邊同時(shí)除以得：，即，當(dāng)時(shí)，則，故，顯然當(dāng)時(shí)，符合上式，故.故答案為：.4-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知：，時(shí)，，求的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】構(gòu)造等比數(shù)列，即可由等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】設(shè)，所以，∴，解得：，又，∴是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴．（四）同除法對(duì)于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數(shù))型方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn),將遞推關(guān)系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn)解得x＝eq\f(c,p－q),則由原遞推公式構(gòu)造出了an＋1＋eq\f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋eq\f(c,p－q)·qn)，而數(shù)列{an＋eq\f(c,p－q)·qn}是以a1＋eq\f(c,p－q)·q為首相以為公比的等比數(shù)列。（注：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求pq，否則待定系數(shù)法會(huì)失效）方法二：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以,則有eq\f(an+1,pn+1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。方法三：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以qn+1，則有，然后利用待定系數(shù)法求解。題型5：同除法5-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】構(gòu)造新數(shù)列，并求得其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】將兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．5-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】先將條件變形為，再利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】?jī)蛇叧?，得，則，故，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（五）取倒數(shù)法對(duì)于，取倒數(shù)得．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，令，則，可用待定系數(shù)法求解．題型6：取倒數(shù)法6-1．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）數(shù)列中，，，則．【答案】【分析】先兩邊取倒數(shù)，再構(gòu)造等差數(shù)列即可求解．【詳解】由，，可得，所以，即(定值)，故數(shù)列以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以．故答案為：．6-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求通項(xiàng).【答案】【分析】取倒數(shù)后得到是等差數(shù)列，求出，得到通項(xiàng)公式.【詳解】取倒數(shù)：，故是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為2，，∴.6-3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】將遞推得到兩邊取倒數(shù)得到，令，則，當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)公式進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式．【詳解】，，兩邊取倒數(shù)得到，令，則，當(dāng)時(shí)，，，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．，，．當(dāng)時(shí)，，則，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．，，，，，（六）取對(duì)數(shù)法形如的遞推公式，則常常兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．題型7：取對(duì)數(shù)法7-1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】在等式兩邊取對(duì)數(shù)可得，可得出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】對(duì)任意的，，因?yàn)椋瑒t，所以，，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，解得.7-2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有．【答案】證明見解析【分析】變換得到，考慮和兩種情況，確定是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，計(jì)算通項(xiàng)公式得到證明.【詳解】恒成立，，則，則，，當(dāng)時(shí)，，故，即，取，滿足；當(dāng)且時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，即，故，故，取，得到恒成立.綜上所述：存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有．（七）已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題對(duì)于給出關(guān)于與的關(guān)系式的問(wèn)題，解決方法包括兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時(shí)要合理選擇．一個(gè)方向是轉(zhuǎn)化為的形式，手段是使用類比作差法，使=（，），故得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前項(xiàng)的和的形式相對(duì)獨(dú)立的情形；另一個(gè)方向是將轉(zhuǎn)化為（，），先考慮與的關(guān)系式，繼而得到數(shù)列的相關(guān)結(jié)論，然后使用代入法或者其他方法求解的問(wèn)題，這種情形的解決方法稱為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前項(xiàng)和的形式不夠獨(dú)立的情況．簡(jiǎn)而言之，求解與的問(wèn)題，方法有二，其一稱為類比作差法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式獨(dú)立的情形，其二稱為轉(zhuǎn)化法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化的形式為的形式，適用于的形式不夠獨(dú)立的情形；不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過(guò)程中對(duì)的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步驟后及時(shí)加注的范圍．題型8：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題8-1．（2024·青海西寧·二模）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2024【答案】C【分析】利用化簡(jiǎn)可得出，則可求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減可得，即，所以，可得，所以.故選：C.8-2．（2024高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，則的值為A．－8 B．6 C．－5 D．4【答案】C【分析】利用，可得，通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列，求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可以求出的值.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)有，即，，兩式相減得：，由可得即從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，所以，即，則，故，由可得，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查遞推式求通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是要通過(guò)觀察遞推式構(gòu)造出等比數(shù)列，利用等比數(shù)列來(lái)解決問(wèn)題，本題難度較大，對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求較高.8-3．（2024·陜西渭南·二模）已知數(shù)列中，，前n項(xiàng)和為.若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.【答案】【分析】先由，求得，進(jìn)而得出，再按照裂項(xiàng)相消求和.【詳解】在數(shù)列中，又，且，兩式相除得，，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，則，∴，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.故答案為：8-4．（2024高三下·湖南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，將替換，然后兩式相減作差即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由分組求和法，分別求出奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，，上述兩式作差可得，因?yàn)闈M足，所以的通項(xiàng)公式為.（2），，所以，.所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為.（八）周期數(shù)列（1）周期數(shù)列型一：分式型（2）周期數(shù)列型二：三階遞推型（3）周期數(shù)列型三：乘積型（4）周期數(shù)列型四：反解型題型9：周期數(shù)列9-1．（2024高二上·黑龍江·期中）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)遞推關(guān)系逐步代入可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列，即可得出答案．【詳解】，，，，，，，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列．又，．故選：B．9-2．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)首項(xiàng)和遞推公式，，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，然后逐項(xiàng)分析各選項(xiàng)；【詳解】∵，，∴，故A錯(cuò)誤；，，∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，∴，故B錯(cuò)誤；∵，，∴，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：C．9-3．（2024高二上·河南周口·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)遞推公式得到為周期為3的數(shù)列，從而得到.【詳解】，則，，，……，故為周期為3的數(shù)列，因?yàn)椋?故選：D9-4．（2024高二上·吉林·期末）已知數(shù)列滿足：，，，，則（

）.A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】把遞推關(guān)系式里的換成，結(jié)合得到，然后把上式的的換成得到周期.【詳解】即又是以為周期的周期數(shù)列.故選：C（九）前n項(xiàng)積型類比前項(xiàng)和求通項(xiàng)過(guò)程：（1），得（2）時(shí)，題型10：前n項(xiàng)積型10-1．（2024·福建南平·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積．已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合前n項(xiàng)積的意義求解作答.（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用裂項(xiàng)相消法求解作答.【詳解】（1）依題意，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時(shí)，有，兩式相除得，，顯然，即，因此當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，由（1）得，，于是，因此，則，所以數(shù)列前項(xiàng)和為.10-2．（2024高二上·山東威?！て谀┰O(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．(1)求，；(2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)；(2)證明見解析(3)【分析】（1）直接令中的，可得答案；（2）通過(guò)得到，兩式相除整理后可證明數(shù)列為等差數(shù)列；（3）當(dāng)時(shí)，通過(guò)可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證時(shí)是否符合.【詳解】（1）由，且，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得；（2）對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，②，①②得，即，，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；（3）由（2）得，，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，不符合，.10-3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,數(shù)列的前項(xiàng)積.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1),(2)【分析】（1）對(duì)于數(shù)列,根據(jù),利用和的關(guān)系求解;對(duì)于數(shù)列,因?yàn)槠淝绊?xiàng)積,根據(jù)即可求解;（2）由（1）知,利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,∴,當(dāng)時(shí),,化簡(jiǎn)得,∵,∴,∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,∴.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)也滿足，所以.（2）,設(shè)①,則②,①-②得,∴.一、單選題1．（2024高二上·浙江嘉興·期中）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來(lái)華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”．“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．17 B．37 C．107 D．128【答案】C【分析】根據(jù)題意可得既是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，即是21的倍數(shù)，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，即可得解．【詳解】∵能被3除余2且被7除余2，∴既是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，即是21的倍數(shù)，且，∴，即，∴．故選：C．2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，其各項(xiàng)規(guī)律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數(shù)列為，則（

）A．650 B．1050 C．2550 D．5050【答案】A【分析】觀察數(shù)列各項(xiàng)得出是等差數(shù)列，計(jì)算求和即可.【詳解】由條件觀察可得：，即，所以是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.故，故選：A3．（2024·吉林·三模）大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項(xiàng)與第24項(xiàng)的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】B【分析】根據(jù)觀察歸納出為奇數(shù)，為偶數(shù)數(shù)，即可求解.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以為奇數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，所以為偶數(shù)數(shù)；所以，故選:B.4．（2024·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起，每一行的第三個(gè)數(shù)1，，，，構(gòu)成數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，歸納出數(shù)列的通項(xiàng)，即可用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和為，即可得的值.【詳解】由題意可知，則，所以其前n項(xiàng)和為：，則.故選：B.5．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）數(shù)列1，3，7，15，……的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由前4項(xiàng)得到，再利用累加法求解．【詳解】依題意得，，，所以依此類推得，所以．又也符合上式，所以符合題意的一個(gè)通項(xiàng)公式是．故選：C．6．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由得到，結(jié)合，得到，從而得到，再利用累加法得到，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出的值.【詳解】，，∴，，∴，又，故，所以，所以，故，則，所以.故選：C．7．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．4045 D．4047【答案】C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系化簡(jiǎn)后，由累乘法直接求.【詳解】，，即，可得，.故選：C.8．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（

）A． B． C． D．n【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，再利用累乘法計(jì)算可得；【詳解】由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故選：D．9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，得到，再利用累乘法求解.【詳解】解：由①②，①②得：，即：，所以，所以故選：．10．（2024高二下·河南·期中）已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項(xiàng)（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用累乘法的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】解：數(shù)列滿足，，整理得，，，，所有的項(xiàng)相乘得：，整理得：，故選：．11．（2024高三下·安徽·階段練習(xí)）在數(shù)列中，且，則它的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得的值.【詳解】，，，因此，.故選：A.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常見的裂項(xiàng)公式：（1）；（2）；（3）；（4）.12．（2024高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2022年是壬寅年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2122年為（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】A【分析】將天干和地支分別看作等差數(shù)列，結(jié)合，，分別求出100年后天干為壬，地支為午，得到答案.【詳解】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于，余數(shù)為0，故100年后天干為壬，由于，余數(shù)為4，故100年后地支為午，綜上：100年后的2122年為壬午年.故選：A13．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B．1 C．4043 D．4044【答案】A【分析】由遞推式得到，從而得到，由此再結(jié)合即可求得的值.【詳解】由得，兩式相加得，即，故，所以.故選：A．14．（2024·云南玉溪·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)遞推公式逐項(xiàng)求值發(fā)現(xiàn)周期性，結(jié)合周期性求值.【詳解】由得，所以數(shù)列的周期為3，所以．故選：B15．（2024高三上·福建龍巖·期末）數(shù)列滿足，，且其前項(xiàng)和為.若，則正整數(shù)（

）A．99 B．103 C．107 D．198【答案】B【分析】根據(jù)遞推公式，構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列，求出數(shù)列通項(xiàng)，再并項(xiàng)求和，將用表示，再結(jié)合通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由得，∴為等比數(shù)列，∴，∴，，∴，①為奇數(shù)時(shí)，，；②為偶數(shù)時(shí)，，，∵，只能為奇數(shù)，∴為偶數(shù)時(shí)，無(wú)解，綜上所述，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式求通項(xiàng)，合理應(yīng)用條件構(gòu)造數(shù)列時(shí)解題的關(guān)鍵，考查并項(xiàng)求和，考查分類討論思想，屬于較難題.二、填空題16．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】依題意可得，即可得到是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，即，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等則，解得，故，所以是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即.故答案為：17．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】利用構(gòu)造法及等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由，得，即由所以，于是數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，當(dāng)時(shí)，,此式滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.18．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，則的通項(xiàng)公式是．【答案】【分析】由題意可證得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求出，再由與的關(guān)系求出的通項(xiàng)公式【詳解】，，且，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．，．時(shí)，，且不滿足上式，所以．故答案為：.19．（2024高二上·河南·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足（為常數(shù)），則稱數(shù)列為等比和數(shù)列，稱為公比和，已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中，，則.【答案】【分析】由n＝1，2，3，4，5，6，分別求出a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，然后總結(jié)規(guī)律，求出a2014．【詳解】由得a3＝2，a2＝a3＝2，由，得a4＝4，由，得a5＝4，a4＝a5＝4，由，得a6＝8，由，得a7＝8．a(chǎn)6＝a7＝8…由此可知a2018＝a2019故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推式，解答此題的關(guān)鍵在于分析出數(shù)列的項(xiàng)規(guī)律出現(xiàn)，是中檔題．20．（2024高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，則.【答案】【分析】先對(duì)化簡(jiǎn)得，從而可求得【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：21．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則．【答案】-2【分析】分為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況，分別求得前16項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，再根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)與的關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，，，，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，，，，，，，故，，，，，，，因?yàn)榍?6項(xiàng)和為540，所以，所以，解得．故答案為：．22．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為508，則．【答案】3【分析】根據(jù),討論n的奇偶性，可分別得到當(dāng)為奇數(shù)時(shí)有，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，從而結(jié)合前16項(xiàng)和為508，可得，結(jié)合列出等式，即可求得答案.【詳解】由，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，可得，，累加可得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，可得，，，．可得．,，，即．故答案為：3．23．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，則的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】根據(jù)遞推公式構(gòu)造得到數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求通項(xiàng)公式.【詳解】，①．②由得．又因?yàn)?，所以是公比為，首?xiàng)為的等比數(shù)列，從而，即．故答案為：24．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【分析】由遞推公式找到對(duì)應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)方程，巧用“不動(dòng)點(diǎn)法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)，令得：，解得：；，化簡(jiǎn)得，，所以，從而，故，又，所以是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，從而，故．故答案為：25．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【分析】首先求不動(dòng)點(diǎn)，將已知等式兩側(cè)與不動(dòng)點(diǎn)作差，再化簡(jiǎn)得到為等差數(shù)列，進(jìn)而求通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)，令得：，解得：；，化簡(jiǎn)得：，所以，從而，又，所以是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，故，所以．故答案為：三、解答題26．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列，，且對(duì)于時(shí)恒有，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】．【分析】將遞推關(guān)系變形為，結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是常數(shù)列0，所以，所以．27．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求.【答案】【分析】等號(hào)兩邊同時(shí)加上，構(gòu)造等比數(shù)列求解即可.【詳解】因?yàn)樗詢蛇呁瑫r(shí)加上得：，所以，當(dāng)時(shí)，故，故，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.于是28．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為.(1)求通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，解得，得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式.（2）確定，再利用分組求和結(jié)合等差等比數(shù)列求和公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），設(shè)，即，即，解得，，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.，故.（2），則.29．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，，，求{an}的通項(xiàng).【答案】an=1+【分析】利用特征方程法求數(shù)列通項(xiàng)，計(jì)算即可.【詳解】∵{an}的特征函數(shù)為：，由，∴∴數(shù)列{an-1}是公比為的等比數(shù)列，∴an-1=an=1+.30．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法求出，依題意可得對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，參變分離可得，令，求出，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．（2）因?yàn)?，所以，若?duì)于恒成立，即，可得即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，所以，令，則，所以，可得，所以，所以的取值范圍為．31．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列{}中，求通項(xiàng)公式．【答案】【分析】構(gòu)造新數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列{}通項(xiàng)公式.【詳解】可化為：．又則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比是2的等比數(shù)列．

∴，則．所以數(shù)列{}通項(xiàng)公式為32．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】構(gòu)造新數(shù)列，并利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】由，可得又，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，故．則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.33．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】解法一：利用待定系數(shù)法可得，即可得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而求出其通項(xiàng)公式；解法二：兩邊同時(shí)除以得，再利用構(gòu)造法計(jì)算可得；【詳解】解法一：因?yàn)?，設(shè)，所以，則，解得，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；解法二：因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以得，所以，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則，所以.34．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，求．【答案】【分析】將已知關(guān)系式變形為，兩邊同除以可得，記，則，再構(gòu)造等比數(shù)列可求解.【詳解】由已知關(guān)系式得,所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3得等比數(shù)列，故，所以35．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，求的通項(xiàng)公式．【答案】．【分析】將已知式子變形為，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義求得答案．【詳解】，，則，則，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．于是，．36．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可得答案.【詳解】為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為，.37．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）兩邊同時(shí)取到數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列求解即可；（2）放縮法證明不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，故，所以，整理得?/p>

又，，，所以為定值，

故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，得.（2）因?yàn)椋?/p>

所以．38．（2024·廣東潮州·二模）已知數(shù)列滿足，.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明為定值，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列得通項(xiàng)即可得解；（2）由，得，則，則，再利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，即可得證.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，所以；（2）由，得，則，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?39．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由結(jié)合可以得到，從而由等比數(shù)列的定義直接寫出通項(xiàng)公式即可.（2）由題意，直接由錯(cuò)位相減法結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和的公式計(jì)算即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.（2）由（1）得，所以由題意，故，則，故，則.40．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．(1)寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，，(2)．【分析】（1）由遞推關(guān)系即可求解，（2）由的關(guān)系，即可得到，進(jìn)而可證明為等比數(shù)列，即可求解.【詳解】（1）由，得．由，得，，得．（2）當(dāng)時(shí)，有，即①令，則，與①比較得，，是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．，故．41．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系化簡(jiǎn)，可得，由等差數(shù)列的定義得證；（2）由（1）求出，再由累乘法求解.【詳解】（1）由，得．所以，即，整理得，上式兩邊同時(shí)除以，得．又，所以，即，所以是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．（2）由（1）知，．所以．所以．42．（2024·海南?？凇ひ荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)任意，且當(dāng)時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）由與的關(guān)系式即可證得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出，再由裂項(xiàng)相消法可證明，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，即，∵，∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴.（2）因?yàn)椋浴喈?dāng)時(shí)，，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.43．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.證明：是等比數(shù)列.【答案】證明見解析【分析】記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)，可得，從而可得結(jié)果.【詳解】由，當(dāng)n1時(shí)，可得14；當(dāng)時(shí)，anSnSn15an5an11，即，即，記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)，故，又115≠0，∴數(shù)列{an1}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．44．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，且，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）法一，利用，結(jié)合完全平方公式求得，進(jìn)而得到是等差數(shù)列，從而求得，由此得解；法二：利用，結(jié)合完全平方公式與構(gòu)造法得到，進(jìn)而求得，再利用求根公式即可得解；（2）利用放縮法與裂項(xiàng)求和法即可得解.【詳解】（1）法一：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，，兩式相減可得，又，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，即，故當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.法二：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，故，等號(hào)兩邊平方得，設(shè)，則，又，，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，即，則，故，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，而，矛盾，舍去，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，故.（2）由法一易知，由法二易得，故由（1）得，，所以，命題得證.45．（2024高三下·河北石家莊·階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為且當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系作差可得，進(jìn)而由遞推法可得，（2）根據(jù)等比中項(xiàng)，結(jié)合等差中項(xiàng)，即可得矛盾求解.【詳解】（1）由題意，，在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，所以，即，所以時(shí)，，又由知時(shí)，成立，即對(duì)任意正整數(shù)均有，所以，從而，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，，所以.假設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以，化簡(jiǎn)得，又，所以，即，所以，所以，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.46．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系及等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴是以、公比為2的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，①∴，②①-②得，，∴，當(dāng)時(shí)，也適合，∴.47．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由可得出，兩式作差推導(dǎo)出，然后利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證法一：利用放縮法推導(dǎo)出，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得結(jié)論成立；證法二：利用放縮法推導(dǎo)出，再結(jié)合裂項(xiàng)法可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，，兩式相減．整理得，當(dāng)時(shí)，，也滿足，從而．（2）證明：證法一：因?yàn)?，所以，．從而；證法二：因?yàn)?，所以，，證畢.48．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得，由可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）根據(jù)的周期性，利用分組求和的方法即可求解.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，兩式子作差可得，又，所以，可得數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和.49．（2024·江西·三模）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用與間的關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求出結(jié)果.【詳解】（1），兩式相減得：，由于，則，當(dāng)時(shí)，，得，，則，所以是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列，故．（2）①所以②由得：，所以．50．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．證明：是等差數(shù)列；【答案】證明見解析【分析】根據(jù)和的關(guān)系化簡(jiǎn)遞推關(guān)系即可證明.【詳解】證明：因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．51．（2024高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）為數(shù)列的前n項(xiàng)積，且．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由與的關(guān)系，把已知式中換成的關(guān)系式，然后可配出等比數(shù)列的比值；（2）由（1）求得后，代入已知可得或由與的關(guān)系求解．【詳解】（1）證明：由已知條件知

①,于是．

②,由①②得．

③

，又

④，由③④得，所以，令，由，得，，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可得數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．，法1：時(shí)，，又符合上式，所以；法2：將代回得：．52．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用即項(xiàng)與和的關(guān)系方法求得，再利用求得；（2）再由定義求得，并利用作差法得出是遞減的，從而易得最大值．【詳解】（1）∵①，∴②，由①②可得，由①也滿足上式，∴③，∴④，由③④可得，即，∴，∴．（2）由（1）可知，則，記，∴，∴，∴，即單調(diào)遞減，∴的最大值為．53．（2024高三下·陜西西安·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)積.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前n項(xiàng)為，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)積為，可知，結(jié)合遞推公式，即可求出結(jié)果.（2）由（1）求出，證明數(shù)列為等差數(shù)列，求和后配方求最小值即可.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，也符合.故的通項(xiàng)公式為.（2），，是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，的最小值為.54．（2024高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)的積，且，為數(shù)列的前n項(xiàng)的和，若（，）.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由及可得，由等差數(shù)列的定義即可證得數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由（1）可得，從而有，從而由已知可得時(shí)，，進(jìn)而可得時(shí)，，檢驗(yàn)即可得答案.【詳解】解：（1）證明：，.，是等差數(shù)列.（2）由（1）可得，.時(shí)，；時(shí)，.而，，，均不滿足上式.（）.55．（2024高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)由題意可得，結(jié)合即可得到是公差等差數(shù)列；(2)由（1）得，進(jìn)而得到，結(jié)合和即可得出結(jié)果.【詳解】解析：（1）將代入，得，整理得．當(dāng)時(shí)，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差等差數(shù)列．所以．（2）由（1）得，代入，可得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以．56．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列滿足：，求通項(xiàng).【答案】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得當(dāng)時(shí)，，分奇偶項(xiàng)進(jìn)行討論即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，構(gòu)成以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；構(gòu)成以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，，57．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】.【分析】根據(jù)給定的遞推公式，按奇偶分類討論，借助等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解作答.【詳解】在數(shù)列中，由，得，當(dāng)時(shí)，，兩式相除得：，因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.58．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求的最小值．【答案】(1)(2)95【分析】（1）先利用數(shù)列的遞推公式求得與的關(guān)系，然后用構(gòu)造法構(gòu)造等比數(shù)列可解；（2）利用（1）中通項(xiàng)公式可表示出相鄰奇數(shù)項(xiàng)，并項(xiàng)求和可得，解不等式可知，再由求出即可得答案.【詳解】（1）由題意知當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則，所以，即．又．所以是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．所以．即．（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即，令．則可解得．即．又因?yàn)楣实淖钚≈禐?5．59．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，且(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得不等式成立的n的最小值．【答案】(1)(2)20【分析】（1）通過(guò)構(gòu)造得，則可得到的通項(xiàng)；（2）利用等比數(shù)列求和公式得，通過(guò)作差得，，則得到是一個(gè)增數(shù)列，計(jì)算即可得到答案.【詳解】（1）因?yàn)樗?，，，所以．又因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．（2）由（1）可知，所以，所以，又因?yàn)?，所以，即，?/p>