《高等應用數(shù)學》課件-第4章

第四章不定積分第一節(jié)原函數(shù)與不定積分第二節(jié)不定積分基本公式及直接積分法第三節(jié)不定積分的換元積分法與分部積分法

第一節(jié)原函數(shù)與不定積分

一、原函數(shù)的概念定義1設f(x)是定義在區(qū)間I上的已知函數(shù),若存在一個函數(shù)F(x),對于區(qū)間I上的每一點x都滿足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,則稱函數(shù)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù).

性質(zhì)若函數(shù)f(x)有原函數(shù),則它有無數(shù)多個原函數(shù),且任意兩個原函數(shù)的差是一個常數(shù).此性質(zhì)表明,若F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則f(x)就有無數(shù)多個原函數(shù),并且任意一個原函數(shù)都可以表示為F(x)+C(其中C是任意常數(shù)).

二、不定積分的定義

定義2函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的任意原函數(shù)叫作f(x)的不定積分,記作∫f(x)dx,其中“∫”稱為積分號,f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達式,x稱為積分變量.易知,若F(x)是f(x)的一個原函數(shù),即F'(x)=f(x),則有∫f(x)dx=F(x)+C,其中C是任意常數(shù),稱為積分常數(shù).

為簡便起見,在不致發(fā)生混淆的情況下,不定積分也簡稱為積分.我們把求不定積分的運算稱為積分運算,求不定積分的方法稱為積分法.

三、不定積分的幾何意義

例3已知某曲線經(jīng)過點A(0,1),且其上任意一點處的切線的斜率等于4x,求此曲線方程.

解設所求曲線方程為y=f(x),則f'(x)=4x,從而f(x)是4x的一個原函數(shù).又因為(2x2)'=4x,所以2x2是4x的一個原函數(shù).故f(x)=2x2+C.因為曲線過點A(0,1),即令x=0,所以f(x)=1,得C=1.于是所求的曲線方程是f(x)=2x2+1.

若F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則稱y=F(x)的圖像為f(x)的一條積分曲線.f(x)的不定積分在幾何上表示f(x)的某一積分曲線沿縱軸方向任意平移所得一切積分曲線組成的曲線簇.顯然,若在每一條積分曲線上橫坐標相同的點作切線,則這些切線互相平行,如圖4.1所示.

圖4.1積分曲線圖

第二節(jié)不定積分基本公式及直接積分法

一、不定積分基本公式因為積分與微分是互逆運算,所以由微分基本公式易得積分基本公式.

二、不定積分基本運算法則

不定積分最簡單的運算法則就是由導數(shù)的線性運算法則得到不定積分基本運算法則.

法則1兩個函數(shù)和(差)的不定積分等于各個函數(shù)不定積分的和(差).

即:若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間I上都可積,則f(x)±g(x)在I上也可積,且

法則2被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分符號外面.即

三、直接積分法

直接用積分基本公式與運算法則求不定積分,或者對被積函數(shù)進行適當?shù)暮愕茸冃?轉(zhuǎn)化為利用積分基本公式求出不定積分的計算方法稱為直接積分法.

第三節(jié)不定積分的換元積分法與分部積分法

一、第一換元積分法

二、第二換元積分法

三、分部積分法

由兩個函數(shù)乘積的求導法則(uv)'=u'v+uv',兩邊積分得∫(uv)'dx=∫u'vdx+∫uv'dx,從而∫uv'dx=∫(uv)'dx-∫u'vdx,即∫uv'dx=uv-∫vu'dx,可改寫成∫udv=uv-∫vdu.

以上兩個公式稱為分