專題檢測(cè)4 2025年高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)二輪專題數(shù)學(xué)A配基礎(chǔ)課后習(xí)題含答案

專題檢測(cè)42025年高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)二輪專題數(shù)學(xué)A配基礎(chǔ)課后習(xí)題含答案2025年高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)二輪專題數(shù)學(xué)A配基礎(chǔ)課后習(xí)題含答案專題檢測(cè)四(分值:150分)學(xué)生用書P179一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2024·湖南長沙模擬)某10人的射擊小組,在一次射擊訓(xùn)練中射擊成績(單位:環(huán))數(shù)據(jù)如下表所示,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()成績678910人數(shù)12241A.2 B.8 C.8.2 D.8.5答案D解析將射擊成績由小到大排列,得到6,7,7,8,8,9,9,9,9,10,第5個(gè)數(shù)為8,第6個(gè)數(shù)為9,因而中位數(shù)為8.5.2.(2024·福建龍巖一模)2xy-1(x+y)7的展開式中x5yA.-91 B.-21 C.14 D.49答案D解析(x+y)7的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C7rx7-ry則T4=C73x4y3=35x4y3,T3=C72x5y2=21x則展開式中x5y2的系數(shù)為2×35-1×21=49.3.(2024·甘肅酒泉三模)有甲、乙兩臺(tái)車床加工同一種零件,且甲、乙兩臺(tái)車床的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的70%,30%,甲、乙兩臺(tái)車床的正品率分別為94%,92%.現(xiàn)從一批零件中任取一件,則取到正品的概率為()A.0.93 B.0.934 C.0.94 D.0.945答案B解析設(shè)事件A表示“任選一件零件為甲車床生產(chǎn)的”,事件B表示“任選一件零件為乙車床生產(chǎn)的”,事件C表示“任選一件零件為正品”,則P(A)=70%,P(B)=30%,P(C|A)=94%,P(C|B)=92%,所以P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)=0.934.4.(2024·云南曲靖模擬)已知P(M)=0.4,P(N|M)=0.5,則P(MN)=()A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2答案D解析因?yàn)镻(N|M)=0.5,由對(duì)立事件的概率計(jì)算公式可得P(N|M)=1-0.5=0.5,則P(MN)=P(M)P(N|M)=0.4×0.5=0.2.5.(2024·廣東佛山二模)勞動(dòng)可以樹德,可以增智,可以健體,可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)實(shí)踐比賽,已知冠軍是甲、乙當(dāng)中的一人,丁和戊都不是最差的,則這5名同學(xué)的名次排列(無并列名次)共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種答案B解析依題意,排第1名,有C21種方法;排丁和戊,有A32種方法;排余下2人,有A22種方法,所以這5名同學(xué)的名次排列(無并列名次)共有C6.(2024·湖北武漢模擬)如圖所示,已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下,從原點(diǎn)O出發(fā),每次向左移動(dòng)的概率為23,向右移動(dòng)的概率為13.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長度,設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后,該質(zhì)點(diǎn)位于X的位置,則P(X>0)=A.50243 B.52243 C答案D解析依題意,當(dāng)X>0時(shí),X的可能取值為1,3,5,且X~B5,23,所以P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+P(X=17.(2024·廣東江門一模)已知9名女生的身高(單位:cm)平均值為162,方差為26,若增加一名身高172cm的女生,則這10名女生身高的方差為()A.32.4 B.32.8 C.31.4 D.31.8答案A解析令9名女生的身高為ai(i∈N*,i≤9),依題意,∑i=19ai=9×162,∑i=1因此增加一名女生后,身高的平均值為110(∑i=19ai+172)=110(9×所以這10名女生身高的方差為110[∑i=19(ai-163)2+(172-163)2]=110{∑i=19[(ai-162)-1]2+81}=110{∑i=19[(ai-162)2-2(8.(2024·廣東湛江一模)在一次考試中有一道4個(gè)選項(xiàng)的雙選題,其中B和C是正確選項(xiàng),A和D是錯(cuò)誤選項(xiàng),甲、乙兩名同學(xué)都完全不會(huì)這道題目,只能在4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選取兩個(gè)選項(xiàng).設(shè)事件M=“甲、乙兩人所選選項(xiàng)恰有一個(gè)相同”,事件N=“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全不同”,事件X=“甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全相同”,事件Y=“甲、乙兩人均未選擇B選項(xiàng)”,則()A.事件M與事件N相互獨(dú)立B.事件X與事件Y相互獨(dú)立C.事件M與事件Y相互獨(dú)立D.事件N與事件Y相互獨(dú)立答案C解析依題意,甲、乙兩人所選選項(xiàng)有如下情形:①有一個(gè)選項(xiàng)相同,②兩個(gè)選項(xiàng)均不相同,③兩個(gè)選項(xiàng)均相同,所以P(M)=C41C31C21C42C42=23,P(N)=C42C22C42C42=又P(M)P(N)=19≠P(MN),所以事件M與事件N不相互獨(dú)立,故A錯(cuò)誤;P(XY)=C32C42C42=112≠P(X)P(Y)=124,故B錯(cuò)誤;由P(MY)=C31C21C11C42C42=16=P(M)P(Y),得事件M與事件Y相互獨(dú)立,故C正確;因?yàn)槭录﨨與事件Y互斥,所以二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.(2024·遼寧撫順一模)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)是國際上通用的監(jiān)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的指標(biāo)之一,具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)、預(yù)警作用.2023年12月31日,國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了中國制造業(yè)PMI指數(shù)(經(jīng)季節(jié)調(diào)整)圖,如下圖所示,則下列說法正確的是()A.圖中前三個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為49.9%B.2023年四個(gè)季度的PMI指數(shù)中,第一季度方差最大C.圖中PMI指數(shù)的極差為3.8%D.2023年P(guān)MI指數(shù)的第75百分位數(shù)為50.1%答案AB解析對(duì)于A,根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知圖中前三個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為13×(47.0+50.1+52.6)%=49.9%,A正確;對(duì)于B,從表中數(shù)據(jù)可以看出2023年四個(gè)季度的PMI指數(shù)中,第一季度的波動(dòng)性最大,穩(wěn)定性最差,所以方差最大,B正確;對(duì)于C,易知圖中PMI指數(shù)的極差為52.6%-47.0%=5.6%,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,易知12×75%=9,可知2023年P(guān)MI指數(shù)的第75百分位數(shù)為從小到大排列的第9項(xiàng)數(shù)據(jù)和第10項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù),即49.7%+50.1%2=10.(2024·云南保山模擬)若(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,則下列說法正確的是()A.a0=1B.a0+a1+…+a2024=32024C.a0-a1+a2-a3+…+a2024=1D.a1-2a2+3a3-…-2024a2024=-2024答案ABC解析令x=0,得a0=1,A正確;令x=1,得a0+a1+…+a2024=32024,B正確;令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2024=1,C正確;由(1+2x)2024=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024,兩邊同時(shí)求導(dǎo),得2024×2×(1+2x)2023=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2024x2023,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-2024a2024=-4048,D錯(cuò)誤.故選ABC.11.(2024·湖北襄陽模擬)甲袋中有20個(gè)紅球和10個(gè)白球,乙袋中有紅球、白球各10個(gè),兩袋中的球除顏色外完全相同.現(xiàn)從兩袋中各摸出1個(gè)球,下列結(jié)論正確的是()A.2個(gè)球都是紅球的概率為1B.2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為1C.不都是紅球的概率為2D.都不是紅球的概率為2答案ABC解析記事件A1:從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球,事件A2:從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球,則P(A1)=23,P(A2)=對(duì)于A選項(xiàng),“2個(gè)球都是紅球”即為事件A1A2,P(A1A2)=P(A1)P(A2)=13,A正確;對(duì)于B選項(xiàng),“2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球”即為事件A1A2+A1A2,P(A1A2+A1A2)=P(A1)·P(A2)+P(A1)P(A2)=23×1-12+1-23×12=12,B正確;對(duì)于C選項(xiàng),因?yàn)椤岸际羌t球”與“不都是紅球”互為對(duì)立事件,所以不都是紅球的概率為1-P(A1A2)=1-三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2024·山東濟(jì)南一模)已知隨機(jī)變量X~N(1,22),則D(2X+1)的值為.

答案16解析由X~N(1,22)可得D(X)=22=4,則D(2X+1)=4D(X)=16.13.(2024·山東棗莊一模)盒子內(nèi)裝有編號(hào)為1,2,3,…,10的10個(gè)除編號(hào)外完全相同的玻璃球.從中抽取三個(gè)球,其編號(hào)之和能被3整除的概率為.

答案7解析依題意,問題相當(dāng)于求從1,2,3,…,10的10個(gè)數(shù)中任取3個(gè),這3個(gè)數(shù)的和能被3整除的概率,顯然試驗(yàn)包含的基本事件總數(shù)為C103=120,且它們是等可能事件,10個(gè)數(shù)中能被3整除的有3,6,9;被3除后余數(shù)是1的有1,4,7,10;被3除后余數(shù)是2的有2,5,8.取出的3個(gè)數(shù)的和能被3整除的事件A含有的基本事件數(shù)有C33+C43+C33+C3114.(2024·貴州遵義模擬)高爾頓釘板是英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的,如圖,每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子,上一層的每個(gè)釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間,從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球,白色圓玻璃球向下降落的過程中,首先碰到最上面的釘子,碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下,于是又碰到下一層釘子,如此繼續(xù)下去,直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止.現(xiàn)從入口處放進(jìn)一個(gè)白色圓玻璃球,記白色圓玻璃球落入格子的編號(hào)為X,則隨機(jī)變量X的期望與方差分別為,.

答案31解析由題意可知,白色圓玻璃球從起點(diǎn)到進(jìn)入格子一共跳了4次,向左或向右的概率均為12,則向左的次數(shù)ξ~B4,12,可知E(ξ)=4×12=2,D(ξ)又因?yàn)閄=5-ξ,所以E(X)=5-E(ξ)=3,D(X)=D(ξ)=1.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2024·山東濟(jì)寧二模)為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查.從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取男女學(xué)生各100名,經(jīng)統(tǒng)計(jì),抽查數(shù)據(jù)如下表所示.性別鍛煉合計(jì)經(jīng)常不經(jīng)常男生8020100女生6040100合計(jì)14060200(1)依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析性別與體育鍛煉的經(jīng)常性是否有關(guān);(2)為提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,學(xué)校決定從上述經(jīng)常參加體育鍛煉的學(xué)生中,采用樣本量按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法,隨機(jī)抽取7名同學(xué)組成體育鍛煉宣傳小組,并從中選出3人擔(dān)任宣傳小組組長.記女生擔(dān)任宣傳小組組長的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:χ2=nα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解(1)零假設(shè)為H0:性別與體育鍛煉的經(jīng)常性之間無關(guān)聯(lián),根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到χ2=200×(80×40-20×60)2100根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為性別與體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.(2)由分層隨機(jī)抽樣可知,在抽取的7名同學(xué)中,男生有7×80140=4人,女生有7×60140隨機(jī)變量X服從超幾何分布,且N=7,M=3,n=3,P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=CX的分布列為X0123P418121E(X)=nMN=316.(15分)(2023·全國乙,理17)某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng),進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn),每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品,隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理,另一個(gè)用乙工藝處理,測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗(yàn)結(jié)果如下:試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi=xi-yi(i=1,2,…,10),記z1,z2,…,z10的樣本平均數(shù)為z,樣本方差為s2.(1)求z,s2;(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果z≥2s210解(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,則z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=110×(4+25+9+361+16+0+64+49(2)∵2s210=26.1<11,∴可判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.17.(15分)(2024·新疆烏魯木齊一模)地區(qū)生產(chǎn)總值(地區(qū)GDP)是衡量一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要指標(biāo),在過去五年(2019年—2023年)中,某地區(qū)的地區(qū)生產(chǎn)總值實(shí)現(xiàn)了“翻一番”的飛躍,從1464億元增長到了3008億元.經(jīng)統(tǒng)計(jì),這五年的年份編號(hào)x(2019年對(duì)應(yīng)的x值為1,2020年對(duì)應(yīng)的x值為2,以此類推)與地區(qū)生產(chǎn)總值y(單位:百億元)的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示.年份編號(hào)x12345地區(qū)生產(chǎn)總值y/百億元14.6417.4220.7225.2030.08(1)如果2023年該地區(qū)人均生產(chǎn)總值為9.39萬元,全國人均生產(chǎn)總值X(單位:萬元)服從正態(tài)分布X~N(8.94,0.452),那么在全國其他地區(qū)中隨機(jī)挑選2個(gè),記隨機(jī)變量Y為“2023年人均生產(chǎn)總值高于該地區(qū)的地區(qū)數(shù)量”,求Y=1的概率;(2)該地區(qū)的人口總數(shù)t(單位:百萬人)與年份編號(hào)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程可以近似為t^=0.2x+2.2,根據(jù)上述回歸方程,估算該地區(qū)年份編號(hào)x與人均生產(chǎn)總值u(單位:萬元)之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程u^參考公式與數(shù)據(jù):人均生產(chǎn)總值=地區(qū)生產(chǎn)總值÷人口總數(shù);一元線性回歸方程y^=b^x+a^中,斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別是b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^x,若X~N解(1)易知9.39=8.94+0.45,由正態(tài)分布區(qū)間公式,得P(X>9.39)=P(X>μ+σ)=1-P(μ-即隨機(jī)挑選一個(gè)地區(qū),人均生產(chǎn)總值高于該地區(qū)的概率為0.16,則Y~B(2,0.16),所以P(Y=1)=C21×0.16×(1-0.16)=0.268(2)因?yàn)閠^=0.2x+2.2,所以可估計(jì)該地區(qū)過去五年的人均生產(chǎn)總值依次為u1=14.640.2×1+2.2=6.1,u2=17.420.2×2+2.2=6.7,u3=20.720.所以x=15×(1+2+3+4+5)=3,u=15×(6.1+6.7+7.4+8.4+9則∑i=15(xi-x)(ui-u)=8.3,∑i=15(xi-由公式可知b^=∑i=15(xi-x)(ui-u)∑i=15即所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為u^=0.83x+5.1118.(17分)(2024·四川南充二診)已知某芯片生產(chǎn)商生產(chǎn)的某型號(hào)芯片各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過全面檢測(cè)后,分為Ⅰ級(jí)和Ⅱ級(jí),兩種品級(jí)的芯片某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示.Ⅰ級(jí)品Ⅱ級(jí)品若只利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值K,按規(guī)定須將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A型手機(jī),小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī).若將Ⅰ級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于A型手機(jī),會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元;若將Ⅱ級(jí)品中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于B型手機(jī),會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.(1)當(dāng)臨界值K=70時(shí),將2個(gè)不作該指標(biāo)檢測(cè)的Ⅰ級(jí)品芯片直接應(yīng)用于A型手機(jī),求芯片生產(chǎn)商的損失費(fèi)用ξ(單位:元)的分布列及期望;(2)設(shè)K=x且x∈[50,55],現(xiàn)有足夠多的Ⅰ級(jí)品和Ⅱ級(jí)品芯片,分別應(yīng)用于1萬部A型手機(jī)和1萬部B型手機(jī)的生產(chǎn):方案一:芯片不作該指標(biāo)檢測(cè),Ⅰ級(jí)品直接應(yīng)用于A型手機(jī),Ⅱ級(jí)品直接應(yīng)用于B型手機(jī);方案二:重新檢測(cè)各芯片的該項(xiàng)指標(biāo),并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號(hào).該方案能避免方案一中的損失費(fèi)用,但會(huì)增加130萬元的檢測(cè)費(fèi)用.請(qǐng)求出方案一中損失費(fèi)用的估計(jì)值f(x)(單位:萬元)的表達(dá)式,并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮,選擇合理的方案.解(1)當(dāng)臨界值K=70時(shí),Ⅰ級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于70的頻率為(0.002+0.005+0.023)×10=0.3,所以將一個(gè)不作該指標(biāo)檢測(cè)的Ⅰ級(jí)品芯片直接應(yīng)用于一部A型手機(jī),該手機(jī)損失800元的概率為310由題意知,芯片生產(chǎn)商的損失費(fèi)用ξ的可能取值為0,800,1600,P(ξ=0)=C20×3100×7102=49P(ξ=800)=C21×3101×7101=42P(ξ=1600)=C22×3102×7100=9所以ξ的分布列為ξ08001600P49429所以E(ξ)=0×49100+800×42100+1600(2)當(dāng)臨界值K=x且x∈[50,55]時(shí),若采用方案一:Ⅰ級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K的頻率為0.002×10+0.005×(x-50)=0.005x-0.23,所以可以估計(jì)一萬部A型手機(jī)中有10000×(0.005x-0.23)=50x-2300部手機(jī)的芯片應(yīng)用錯(cuò)誤;Ⅱ級(jí)品中該指標(biāo)大于或等于臨界值K的頻率為0.01×10+0.03×(60-x)=-0.03x+1.9,所以可以估計(jì)一萬部B型手機(jī)中有10000×(-0.03x+1.9)=19000-300x部手機(jī)的芯片應(yīng)用錯(cuò)誤;所以可以估計(jì)芯片生產(chǎn)商的損失費(fèi)用f(x)=0.08×(50x-2300)+0.04×(19000-300x)=576-8x(萬元),即f(x)=576-8x,x∈[50,55].因?yàn)閒(x)min=f(55)=136>130,所以芯片生產(chǎn)商從成本考慮,應(yīng)選擇方案二.19.(17分)(2024·福建漳州模擬)甲、乙、丙三人為響應(yīng)“綠色出行,低碳環(huán)?！钡奶?hào)召,計(jì)劃每天選擇“共享單車”或“地鐵”兩種方式中的一種出行,三人之間的出行互不影響.其中,甲每天選擇“共享單車”出行的概率為12;乙每天選擇“共享單車”出行的概率為23;丙在每月的第一天選擇“共享單車”出行的概率為34,從第二天起,若前一天選擇“共享單車”出行,則后一天繼續(xù)選擇“共享單車”出行的概率為14,若前一天選擇“地鐵”出行,則后一天繼續(xù)選擇“地鐵”(1)若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行,求其中一人是丙的概率;(2)記甲、乙、丙三人中3月1日選擇“共享單車”出行的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)求丙在3月份的第n(n=1,2,…,31)天選擇“共享單車”出行的概率Pn,并幫丙確定在3月份中選擇“共享單車”出行的概率大于選擇“地鐵”出行的概率的天數(shù).解(1)記甲、乙、丙三人3月1日選擇“共享單車”出行分別為事件A,B,C,三人中有兩人選擇“共享單車”出行為事件D,則P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=1-12×23×34+12×1-23×3又P(CD)=P(ABC)+P(ABC)=1-12×23×34+12所以P(C|D)=P(即若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行,則其中一人是丙的概率為9(2)由題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=P(ABC)=1-12×1-23×1-34=124,P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=12×1-23×1-34+1-12×23×1-34+1-12×1-2P(X=2)=P(D)=1124P(X=3)=P(ABC)=12所以X的分布列為X0123P11111E(X)=0×124+1×14+2(3)由題意得P1=34,Pn=14Pn-1+23(1-Pn-1)=-512Pn-1+23,n=2,3所以Pn-817=-512(Pn-1-817),n=2,3,…又P1-817=所以數(shù)列Pn-817是以1968為首項(xiàng)所以Pn=817+1968·-512n-1,n=2,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí),上式也成立,所以Pn=817+1968·-512n-1,n=1,2,由題意知,3月份中選擇“共享單車”出行的概率大于選擇“地鐵”出行的概率需滿足Pn>1-Pn,即Pn>12則817+1968·-512n-即(-512)n-1>219,n=1,2,…,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),-512n-1>219顯然不成立;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),不等式可變?yōu)?12n-1>219,當(dāng)n=1時(shí),1>219成立當(dāng)n=3時(shí),5122=25144>24當(dāng)n=5時(shí),5124<6124=116<2又因?yàn)楹瘮?shù)y=512n-1單調(diào)遞減,所以當(dāng)n≥5時(shí),512n-1>219不成立,所以只有第1天和第3天Pn>12即丙在3月份中選擇“共享單車”出行的概率大于選擇“地鐵”出行的概率的天數(shù)只有2天.專題檢測(cè)六(分值:150分)學(xué)生用書P203一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2024·河南鄭州三模)已知直線Ax+By+C=0與直線y=2x-3垂直,則下列結(jié)論正確的是()A.A=-2B≠0 B.A=2B≠0C.B=-2A≠0 D.B=2A≠0答案D解析直線y=2x-3的斜率為2,又兩直線互相垂直,所以直線Ax+By+C=0的斜率為-12,即-AB=-12且A≠0,B≠0,所以B=2A≠0.2.(2024·江西臨川二模)若拋物線y2=2mx的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=2的右焦點(diǎn),則m的值為()A.4 B.-4 C.2 D.-2答案B解析雙曲線x2-y2=2的右焦點(diǎn)為(2,0),所以拋物線的準(zhǔn)線為x=2,∴-m2=2,解得m=-4.故選B3.(2024·甘肅蘭州三模)已知雙曲線C:y23m+2-x2mA.y=±12x B.y=±2C.y=±2x D.y=±2x答案C解析由題意得3m+2=2m,解得m=2,則雙曲線C:y28-x22=4.(2024·河北唐山三模)下列可以作為方程x3+y3=3xy的曲線的是()A.B.C.D.答案B解析當(dāng)x<0時(shí),x3=3xy-y3=y(3x-y2)<0,若y<0,則3x-y2>0,即y2<3x<0,不符,故x<0與y<0不可能同時(shí)成立,故A,C,D錯(cuò)誤.故選B.5.(2024·山東泰安二模)設(shè)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F,過拋物線上點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線,設(shè)垂足為Q,若∠PQF=30°,則|PQ|=()A.43 B.433 答案A解析如圖所示,設(shè)M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),因?yàn)椤螾QF=30°,且|PF|=|PQ|,所以∠PFQ=30°,∠QPF=120°.因?yàn)镕M∥PQ,所以∠QFM=30°,而在Rt△QMF中,|QF|=|FM|cos30°=232=4336.(2024·江西九江三模)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過點(diǎn)F1且傾斜角為π6的直線交橢圓C于第一象限內(nèi)一點(diǎn)A.若線段AF1的中點(diǎn)在y軸上,△AF1A.x23+y2=1 BC.x29+y23答案D解析如圖,∵O為線段F1F2的中點(diǎn),B為線段AF1的中點(diǎn),∴OB∥AF2.又OB⊥x軸,∴AF2⊥x軸.在Rt△AF1F2中,∠AF1F2=π6,設(shè)|AF2|=t,則|AF1|=2t,|F1F2|=3t.∵△AF1F2的面積為23,∴12×3t×t=23,t=2.∴2a=|AF1|+|AF2|=3t=6,a=3,橢圓C的焦距2c=|F1F2|=3t=23,c=3,b2=a2-c2=6,則橢圓C的方程為x27.(2024·廣東佛山模擬)已知P為拋物線y2=8x上一點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C:(x-5)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,則cos∠MPN的最小值為()A.52 B.23 C答案D解析設(shè)點(diǎn)P(t,s),則s2=8t,由PM,PN切圓C于點(diǎn)M,N,得∠MPN=2∠CPM,且CM⊥PM,因此cos∠MPN=1-2sin2∠CPM=1-2·(|CM||CP|)2=1-2|CP|2.而|CP|2=(t-5)2+s2=t2-2t+25=(t-1)2+24≥24,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)t=1時(shí)8.(2024·浙江紹興模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直線l:y=x-a2-b2與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),且OA+A.12 B.22 C答案B解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),記c=a2-b2,設(shè)AB的中點(diǎn)為M,所以由題意可知,AB的中點(diǎn)M是直線l與直線y=-12x的交點(diǎn),聯(lián)立y=x-a2-b2=x-c,y=-12x,解得M(23c,-13c).另一方面,聯(lián)立x2a2+y2b2=1,y=x-c,得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.(2024·江蘇蘇州三模)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l:y=x-1與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有()A.p=2 B.OA⊥OBC.|AB|=8 D.FA·答案ACD解析對(duì)于A,因?yàn)橹本€l:y=x-1經(jīng)過點(diǎn)F,可得F(1,0),即p2=1,所以p=2,故A正確;對(duì)于B,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=4x,y=x-1,得y2-4y-4=0,所以y1+y2=4,y1y2=-4,所以x1+x2=y1+y2+2=6,x1x2=(y1y2)216=1,所以O(shè)A·OB=x1x2+y1y2=1-4=-3≠0,所以O(shè)A與OB不垂直,故B不正確;對(duì)于C,|AB|=x1+x2+p=6+2=8,故C正確;對(duì)于D,FA·FB=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2)10.(2024·湖南邵陽模擬)已知點(diǎn)P(4m+3,-3m-4),點(diǎn)Q在圓C:(x-1)2+y2=1上,則下列結(jié)論正確的有()A.點(diǎn)P在直線3x+4y+7=0上B.點(diǎn)P可能在圓C上C.|PQ|的最小值為1D.圓C上有2個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為1答案AC解析由題意可知,圓C:(x-1)2+y2=1的圓心為C(1,0),半徑為r=1.對(duì)于A,將點(diǎn)P(4m+3,-3m-4)代入3x+4y+7=0,成立,所以點(diǎn)P在直線3x+4y+7=0上,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)閳A心C到直線3x+4y+7=0的距離d=|3+7|32+42=2>r,可知直線3x+4y+7=0與圓C相離,結(jié)合選項(xiàng)A可知,點(diǎn)P不可能在圓C上,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,結(jié)合選項(xiàng)B可知|PQ|的最小值為d-r=1,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)閐=r+1,可知圓C上有且僅有1個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為11.(2024·湖北武漢模擬)已知雙曲線x2-y22=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于P,Q兩點(diǎn),則下列結(jié)論正確的有(A.若∠F1PF2=π3,則△PF1F2的面積為2B.存在弦PQ的中點(diǎn)為(1,1),此時(shí)直線l的方程為2x-y-1=0C.若PA1的斜率的取值范圍為[-8,-4],則PA2的斜率的取值范圍為-12,-14D.直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于M,N兩點(diǎn),則|PM|=|NQ|答案ACD解析在雙曲線x2-y22=1中,a=1,b=2,c=3,且A1(-1,0),A2(1,0),F1(-3,0),F2(3對(duì)于A,設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由雙曲線定義得n-m=2,兩邊平方得m2+n2-2mn=4.①在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-2mncosπ3=(23)2?m2+n2-mn=12.②①②聯(lián)立解得mn=8,所以△PF1F2的面積為12mnsinπ3=12×8×32對(duì)于B,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x12-y122=1,x22-y222=1,兩式相減得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)2.因?yàn)橄襊Q的中點(diǎn)為(1,1),所以x1+x2=此時(shí)Δ=-8<0,所以直線與雙曲線無公共點(diǎn),說明此時(shí)直線不存在,故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,設(shè)P(x0,y0),則x02-y022=1,即y02=2(x02-1),又直線PA1與PA2的斜率的乘積kPA1kPA2=y0x0+1·y對(duì)于D,設(shè)方程x2-y22=λ,當(dāng)λ=1時(shí),方程表示雙曲線,當(dāng)λ=0時(shí),方程表示該雙曲線的兩條漸近線.設(shè)直線l:y=kx+m,其與x2-y22=λ的交點(diǎn)為(x3,y3),(x4,y4),聯(lián)立x2-y22=λ,y=kx+m,得(k2-2)x2+2kmx+m2+2λ=0,應(yīng)滿足k2-2≠0,且Δ>0,由根與系數(shù)的關(guān)系可得x3+x4=2km2-k2,y3+y4=k(x3+x4)+2m=2k2m2-k2三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.(2024·安徽馬鞍山模擬)直線3x+4y+2=0在x軸上的截距是.

答案-2解析直線方程為3x+4y+2=0,令y=0,得x=-23,所以直線3x+4y+2=0在x軸上的截距是-13.(2024·北京東城模擬)已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x29+y2b2=1與拋物線y2=4x,橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)均為F,A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),橢圓與拋物線的準(zhǔn)線交于P,Q答案32解析拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),由題意可得9-b2=1,可得b2=8,所以,橢圓的方程為x29+拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,由x=-1,x29+y28=1,可得x=-1,y=±83,則|PQ|=2×8314.(2024·山西呂梁三模)設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)T(2,0)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C,已知S△BCF∶S△ACF=1∶2,則|BF|=.

答案2+1解析設(shè)點(diǎn)F到直線AC的距離為d,A(xA,yA),B(xB,yB).因?yàn)镾△BCF∶S△ACF=1∶2,可得12|BC|·d12|AC|·d=12,所以|BC|∶|AC|=1∶2,所以xBxA=12,即xA=2xB且xA,xB>0.設(shè)直線AB的方程為x=ty+2,聯(lián)立x=ty+2,y2=4x,整理得y2-4ty-8=0,則Δ=16t2+32>0,yA2=4xA,yB2=4xB,四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)(2024·浙江余姚期末)已知拋物線C的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O,而焦點(diǎn)是雙曲線4x2-y2=1的右頂點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)若直線l:y=x-2與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求直線OA與OB的斜率之積.解(1)雙曲線方程4x2-y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x214-y2=1,所以a2=14,a=12,設(shè)拋物線的方程為y2=2px,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(p2,0),由于拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn),所以p2=12,p=1,所以拋物線C的方程為(2)聯(lián)立y2=2x,y=x-2,整理得y2-2y-4=0,Δ=(-2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2=-4,y1+y2=2.又x1=y1+2,x2=y2+2,所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=-4+2×2+4=4.所以直線OA與OB的斜率之積kOA·kOB=y1x1故直線OA與OB的斜率之積為-1.16.(15分)(2024·遼寧大連期中)已知圓M的圓心與點(diǎn)N(-1,4)關(guān)于直線x-y+1=0對(duì)稱,且圓M與y軸相切于原點(diǎn)O.(1)求圓M的方程;(2)若在圓M中存在弦AB,|AB|=4,且弦AB的中點(diǎn)P在直線2x+y+k=0上,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解(1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,b),則b解得a=3,b=0,∵圓M與y軸相切于原點(diǎn)O,∴圓M的方程為(x-3)2+y2=9.(2)∵|AB|=4,圓M的半徑為3,∴|PM|=5,∴點(diǎn)P的軌跡是以M為圓心,5為半徑的圓,則其軌跡方程為(x-3)2+y2=5.又點(diǎn)P在直線2x+y+k=0上,∴直線與圓有公共點(diǎn),即|6+∴-11≤k≤-1.故實(shí)數(shù)k的取值范圍為[-11,-1].17.(15分)(2024·山東濰坊模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,已知拋物線E:y2