江西省九江市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

九江市2024－2025學(xué)年度上學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題卷本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等項(xiàng)內(nèi)容填寫(xiě)在答題卡上．2．第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，第Ⅱ卷用黑色簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，在試題卷上作答，答案無(wú)效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線的斜率為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用過(guò)兩點(diǎn)斜率公式，即可求解.【詳解】依題意，得，解得，故選：C．2.若的二項(xiàng)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為160，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)等于零，進(jìn)而可得出答案.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，則，解得.故選：A．3.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，則（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義運(yùn)算求解即可.【詳解】根據(jù)拋物線的定義，可知，解得.故選：B．4.若隨機(jī)變量，則（）A.4 B.5 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布求期望公式得到，從而由得到答案.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)，得，.故選：B．5.圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外離 B.外切 C.內(nèi)切 D.相交【答案】D【解析】【分析】法一：求出圓心距，與半徑之和，半徑之差比較，得到兩圓相交；法二：求出圓心距，剛好等于的半徑，得到兩圓相交.【詳解】法一：，，，，，，，，圓與圓相交，法二：，，，，，故圓心在圓上，而,圓與圓相交.故選：D．6.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則三棱錐的體積為（）A.5 B.10 C.20 D.30【答案】A【解析】【分析】利用向量坐標(biāo)表示，求出，，進(jìn)而平面，再求出，利用錐體的體積公式即可求得結(jié)果.【詳解】，，，，，即，，平面,平面，又，，即，，故選：A．7.如圖所示，5顆串珠用一根竹簽串起．現(xiàn)將它們依次取出，一次取一顆，則在不剪斷珠子中間竹簽的條件下，兩顆☆☆串珠被連著取下的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法逐個(gè)情況都列出來(lái)即可求得結(jié)果.【詳解】列舉法：依次將標(biāo)識(shí)符號(hào)為：-1-2-3-4-5-，將它們依次取出，一次取一顆，則在不剪斷珠子中間竹簽的條件下，所有的可能結(jié)果如下：（1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3），（1，2，5，3，4），（1，5，2，3，4），（1，5，2，4，3），（1，5，4，2，3），（1，5，4，3，2），（5，4，1，2，3），（5，4，1，3，2），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1），（5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3），（5，1，4，2，3），（5，1，4，3，2）共16種可能．其中1，2連在一起有（1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3），（1，2，5，3，4），（5，4，1，2，3），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1），（5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3）9種可能．，故選：D．8.已知雙曲線左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)．若四邊形是正方形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】表達(dá)出，將其代入雙曲線上，整理得到，計(jì)算出.【詳解】由對(duì)稱性，知軸，，，四邊形是正方形，則，，則，，則在雙曲線上，，即，即，化簡(jiǎn)整理得，即，所以，即，又，故，解得或（舍去）.故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知隨機(jī)變量，，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】掌握正態(tài)分布中的含義，結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，故D正確．故選：AD.10.現(xiàn)有編號(hào)依次為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子裝有1個(gè)紅球和3個(gè)白球，2號(hào)盒子裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，3號(hào)盒子裝有4個(gè)紅球，這些球除顏色外完全相同．某人先從三個(gè)盒子中任取一盒，再?gòu)闹腥我饷鲆磺?，記事件表示“取得紅球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自號(hào)盒子”，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A：利用全概率求；對(duì)于B：利用對(duì)立事件概率公式求；對(duì)于CD：根據(jù)條件概率公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，，對(duì)于A：由全概率公式可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于CD：，故C正確；，故D正確．故選：BCD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和曲線上不同兩點(diǎn)，記，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若點(diǎn)和直線上不同兩點(diǎn)，則的最小值為0B.若點(diǎn)和橢圓上不同兩點(diǎn)，則的最大值為0C.若點(diǎn)和圓上不同兩點(diǎn)，，則的最大值為D.若點(diǎn)和雙曲線右支上不同兩點(diǎn)，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，可判斷AB的真假；結(jié)合基本不等式和余弦定理，可判斷C的真假；結(jié)合雙曲線的定義，可判斷D的真假.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖1，2，．故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，（三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）．故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，如圖3，可知圓，圓心，又，故為圓直徑，連接，則，因?yàn)椋?且,所以：，又，（時(shí)取等號(hào)）．．故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖4，可知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，設(shè)右焦點(diǎn)為．由雙曲線的定義，得，即（當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào)）．故D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)C選項(xiàng)，結(jié)合余弦定理，得到是判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.兩平行直線，之間的距離為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】先將變換直線為，再利用兩平行線間的距離即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，由兩平行線間的距離公式，得．故答案為：13.“九江之夜”文旅街區(qū)是我市重點(diǎn)引進(jìn)的文旅項(xiàng)目，它坐落在我市濂溪區(qū)芳蘭湖畔，一經(jīng)開(kāi)業(yè)便引得廣大市民游客爭(zhēng)相打卡．為了更好的服務(wù)招親廣場(chǎng)、電音舞臺(tái)、篝火廣場(chǎng)、水系舞臺(tái)這四個(gè)網(wǎng)紅打卡點(diǎn)，主管單位向我市征集了5名志愿者，若要求每個(gè)網(wǎng)紅點(diǎn)至少安排一名志愿者，每名志愿者只服務(wù)一個(gè)網(wǎng)紅點(diǎn)，則電音舞臺(tái)恰好安排兩人的方法有______種．【答案】60【解析】【分析】根據(jù)題意，利用排列組合知識(shí)結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】第1步：電音舞臺(tái)先安排2人有種方法；第2步：將剩余3人分給其余的3個(gè)網(wǎng)紅點(diǎn)，有種方法．故電音舞臺(tái)恰好安排兩人的方法有種．故答案為：6014.在直四棱柱中，底面是平行四邊形，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】首先根據(jù)題意做出圖形，找出關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，再利用等量代換與兩點(diǎn)之間距離最短，即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，，，，由余弦定理得，，即．延長(zhǎng)至，使得，連接，則四邊形為正方形，，由直四棱柱知，平面，即為關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，．故的周長(zhǎng)．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：做出圖形，找出關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，利用等量代換與兩點(diǎn)之間距離最短即可.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，的外接圓為圓，直線與圓相交于兩點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的傾斜角分別為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法，求出圓的一般方程，再轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；（2）先求圓心到直線的距離，數(shù)形結(jié)合求得，再利用倍角公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的一般方程為，則解得所以圓的一般方程為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】如圖，點(diǎn)到直線的距離，又圓的半徑，所以，所以.16.“甲辰龍騰、盛世中華”．2024年5月25至26日，九江銀行?“廬山杯”長(zhǎng)江經(jīng)濟(jì)帶龍舟邀請(qǐng)賽在九江市潯陽(yáng)區(qū)南門湖隆重舉行，本次賽事共邀請(qǐng)了來(lái)自長(zhǎng)江經(jīng)濟(jì)帶11個(gè)沿江省市、江西省11個(gè)地市和九江市16個(gè)縣（市、區(qū)）共計(jì)37支代表隊(duì)參賽．賽后，某網(wǎng)絡(luò)直播平臺(tái)對(duì)我市市民發(fā)起了本次龍舟賽喜愛(ài)程度的調(diào)查，現(xiàn)隨機(jī)抽取100份進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表．喜愛(ài)不喜愛(ài)合計(jì)男2060女1540合計(jì)45（1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值，判斷我市市民對(duì)本次龍舟賽喜愛(ài)程度是否與性別有關(guān)；（2）已知在地方組500米直道賽比賽中，闖入決賽的有4支市區(qū)代表隊(duì)：潯陽(yáng)區(qū)，經(jīng)開(kāi)區(qū)、濂溪區(qū)、八里湖新區(qū)和4支縣區(qū)代表隊(duì)：共青城市、武寧縣、湖口縣、修水縣．假設(shè)決賽中各支隊(duì)伍的實(shí)力相當(dāng)，設(shè)隨機(jī)變量表示決賽后前3名中市區(qū)代表隊(duì)的隊(duì)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910828【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有關(guān)（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）補(bǔ)充列聯(lián)表，根據(jù)的計(jì)算公式判斷是否與性別有關(guān)即可；（2）依題意，得，利用古典概型的概率公式求出概率得到分布列，再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求出期望即可.【小問(wèn)1詳解】列聯(lián)表補(bǔ)充如下喜愛(ài)不喜愛(ài)合計(jì)男402060女152540合計(jì)5545100又，故可判斷該市市民對(duì)本次龍舟賽喜愛(ài)程度是與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】依題意，得，，，，，則的分布列如下：0123則.17.在四棱錐中，已知底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，．（1）求證：；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定性質(zhì)推理得證.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.【小問(wèn)1詳解】在四棱錐中，連接交于，連接，四邊形為正方形，由，，，得，則，由為的中點(diǎn)，得，又，又，平面，因此平面，又平面，所以.【小問(wèn)2詳解】由，為的中點(diǎn)，得，又，平面，即平面，以為原點(diǎn)直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.如圖，已知，，，，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意知，再由三角形面積得出，得出在橢圓上，代入即可求得結(jié)果.（2）根據(jù)題意延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，則，求為定值，即證為定值，再設(shè)直線利用韋達(dá)定理即可求得結(jié)果.小問(wèn)1詳解】依題可知當(dāng)時(shí)，由，得即點(diǎn)在橢圓上，代入得，解得故橢圓的方程為小問(wèn)2詳解】延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接．由圖形的對(duì)稱性可知，則設(shè)直線方程：，，，聯(lián)立消去，整理得，要證為定值，即證為定值，即證為定值為定值，即為定值19.“石頭、剪刀、布”是一個(gè)猜拳游戲，古老而簡(jiǎn)單．游戲規(guī)則中，石頭克剪刀，剪刀克布，布克石頭．現(xiàn)甲、乙、丙三人玩“石頭剪刀布”游戲，規(guī)定每局中：①三人出現(xiàn)同一種手勢(shì)，每人各得1分；②三人出現(xiàn)兩種手勢(shì)，贏者得4分，輸者得0分；③三人出現(xiàn)三種手勢(shì)均得0分．當(dāng)有人累計(jì)得3分以上（包含3分）或游戲進(jìn)行了3局時(shí)，游戲結(jié)束．三人之間及每局游戲互不影響，且每人每局出石頭、剪刀、布的概率都是．（1）求甲在一局比賽中得0分的概率；（2）已知游戲結(jié)束時(shí)有人得分為3分以上（包含3分），求第一局比賽中三人均得0分的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）完成一局比賽即為甲、乙、丙各出一次石頭剪刀布，再分析其中甲得0分的各種情況，即可得解；（2）利用條件概率公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】甲在一局比賽中得0分包含以下情況：①三人出現(xiàn)三種手勢(shì)：有種情況②三人出現(xiàn)兩種手勢(shì)且甲為輸者：有種情況故所求概率【小問(wèn)2詳解】在一局比賽中，設(shè)三人出現(xiàn)三種手勢(shì)，即每人各得0分為事件，可知；設(shè)三人出現(xiàn)同一種手勢(shì)，即每人各得1分為事件，可知；設(shè)三人出現(xiàn)兩種手勢(shì)，即有人得4分為事件，可知設(shè)游戲結(jié)束時(shí)有人得分為3分以上（