專題13 全等模型-倍長中線與截長補短模型（解析版）

專題13全等模型-倍長中線與截長補短模型全等三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就全等三角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補短模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.倍長中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關知識來解決問題的方法．（注：一般都是原題已經有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長AD至點E，使得AD=DE.若連結BE，則；若連結EC，則；2、中點型:如圖2，為的中點.證明思路：若延長至點，使得，連結，則;若延長至點，使得，連結，則.3、中點+平行線型：如圖3,，點為線段的中點.證明思路：延長交于點(或交延長線于點)，則.例1．（2023·江蘇徐州·模擬預測）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點逆時針旋轉得到，在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是______；（2）問題解決：如圖②，在中，是邊上的中點，于點，交于點，交于點，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作一個的角，角的兩邊分別交、于、兩點，連接，探索線段，，之間的數量關系，并說明理由．【答案】（1）；（2）見詳解；（3），理由見詳解【分析】（1）根據旋轉的性質可證明，，在中根據三角形三邊關系即可得出答案；（2）延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，可得出，根據垂直平分線的性質可得出，利用三角形三邊關系即可得出結論；（3）延長AB至N，使BN=DF，連接CN，可得，證明，得出，利用角的和差關系可推出，再證明，得出，即可得出結論．【詳解】解：（1）∵∴∴在中根據三角形三邊關系可得出：，即∴故答案為：；（2）延長FD至M，使DF=DM，連接BM，EM，同（1）可得出，∵∴在中，∴；（3），理由如下：延長AB至N，使BN=DF，連接CN，∵∴∴∴∵∴∴（SAS）∴∴∴．【點睛】本題考查的知識點有旋轉的性質、全等三角形的判定及性質、線段垂直平分線的性質、三角形三邊關系、角的和差等，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出與圖①中結構相關的圖形．此題結構精巧，考查范圍廣，綜合性強．例2．（2023·貴州畢節(jié)·二模）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：(1)如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE=AD，請根據小明的方法思考幫小明完成解答過程．(2)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．請判昕AC與BF的數量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)AC=BF，理由見解析【解析】（1）解：如圖，延長AD到點E，使DE=AD，連接BE，在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．∵AB-BE<AE<AB+BE∵2<AE<8．∵AE=2AD∴1<AD<4．（2）AC=BF，理由如下：延長AD至點G，使GD=AD，連接BG，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE．∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．【點睛】本題考查全等三角形判定與性質，三角形三邊的關系，作輔助線：延長AD到點E，使DE=AD，構造全等三角形是解題的關鍵．例3．（2022·山東·安丘市一模）閱讀材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點，BE交AD于點F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖2，延長AD至點M，使，連接MC，……請根據小亮的思路完成證明過程．方法運用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動點（點D在點C的右側），連接AD．把線段CD繞點D逆時針旋轉120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點，連接DF、CF．請你判斷線段DF與AD的數量關系，并給出證明．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析【分析】(1)延長AD至M，使，連接MC，證明，結合等角對等邊證明即可．(2)延長DF至點M，使，連接BM、AM，證明，△ABM是等邊三角形，代換后得證．【詳解】（1）證明：延長AD至M，使，連接MC．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）線段DF與AD的數量關系為：．證明如下：延長DF至點M，使，連接BM、AM，如圖2所示：∵點F為BE的中點，∴在和中，∵，∴∴，，∴∵線段CD繞點D逆時針旋轉120°得到線段DE∴，，∴∵是等邊三角形∵，，∴∵，∴在和中，∵，∴∴，，∴∴是等邊三角形，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，熟練掌握等邊三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．例4．（2022·河南商丘·一模）閱讀材料如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點F，使EF＝DE，連接CF，證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．(1)類比遷移：如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于點F，且AE＝EF，求證：AC＝BF．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖2，延長AD至點M，使MD＝FD，連接MC，……請根據小明的思路完成證明過程．(2)方法運用：如圖3，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動點（點D在點C的右側），連接AD．把線段CD繞點D逆時針旋轉120°得到線段DE．F是線段BE的中點，連接DF，CF．請你判斷線段DF與AD的數量關系，并給出證明；【答案】(1)見解析(2)線段DF與AD的數量關系為：AD＝2DF，證明見解析；【分析】（1）類比材料，運用倍長中線輔助線作法，證得結論．（2）運用倍長中線輔助線作法，結合三角形全等證明及等邊三角形性質，得出結論．（1）證明：如圖，延長AD至M，使MD＝FD，連接MC，在△BDF和△CDM中，∵，∴△BDF≌△CDM（SAS），∴MC＝BF，∠M＝∠BFM，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFM，∴∠M＝∠MAC，∴AC＝MC，∴AC＝BF；（2）解：線段DF與AD的數量關系為：AD＝2DF，證明如下：延長DF至點M，使DF＝FM，連接BM、AM，如圖所示：∵點F為BE的中點，∴BF＝EF，在△BFM和△EFD中，∵，∴△BFM≌△EFD（SAS），∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE，∵線段CD繞點D逆時針旋轉120°得到線段DE，∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，在△ABM和△ACD中，∵，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，∴△AMD是等邊三角形，∴AD＝DM＝2DF；【點睛】本題考查了倍長中線的輔助線作法，全等三角形的證明，在倍長中線構造全等三角形的基礎上，綜合運用相關知識是解題的關鍵．模型2.截長補短模型【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關鍵詞句，可以采用截長補短法構造全等三角形來完成證明過程，截長補短法（往往需證2次全等）。截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE（2）補短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點M處，使DM=AD，證CM=BE例1．（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．【答案】證明見解析【分析】如圖，在上截取證明再證明可得從而可得結論.【詳解】證明：如圖，在上截取平分平分【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，掌握“利用截長補短的方法證明兩條線段的和等于另一條線段”是解題的關鍵.例2．（2023·廣東肇慶·校考一模）課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構造全等三角形來證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段構造全等三角形進行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應的輔助線；(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學們提出了如下的問題：如圖3，點D在的內部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結論進行交換，得到的命題如下：如果在中，，點D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進行證明．【答案】(1)，證明見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）延長至F，使，連接，根據三角形的外角性質得到，則可利用證明，根據全等三角形的性質可證明結論；（2）在上截取，使，連接，則可利用證明，根據全等三角形的性質即可證明結論；（3）延長至G，使，連接，則可利用證明，根據全等三角形的性質、角平分線的定義即可證明結論．【詳解】（1）證明：（1）如圖1，延長至F，使，連接，則，∴，∵平分∴，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故答案為：．（2）證明：如圖3，在上截取，使，連接∵分別平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴．（3）證明：如圖4：延長至G，使，連接，則，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，在和中，，∴∴，即平分．【點睛】本題主要考查的是三角形全等的判定和性質、角平分線的定義等知識點，靈活運用全等三角形的判定定理和性質定理是解答本題的關鍵．例3．（2023·廣西·九年級專題練習）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點．(1)如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數量關系為；（直接寫出答案）；(2)如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數量關系？寫出結論并證明．【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，證明見解析．【分析】（1）在AE上取一點F，使AF=AB，由三角形全等的判定可證得△ACB≌△ACF，根據全等三角形的性質可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根據三角形全等的判定證得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由線段的和差可以得出結論；（2）在AE上取點F，使AF=AB，連接CF，在AE上取點G，使EG=ED，連接CG，根據全等三角形的判定證得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性質證得CF=CG，進而證得△CFG是等邊三角形，就有FG=CG=BD，從而可證得結論．【詳解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一點F，使AF=AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD邊的中點，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案為：AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．證明：在AE上取點F，使AF=AB，連結CF，在AE上取點G，使EG=ED，連結CG．∵C是BD邊的中點，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可證：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等邊三角形，∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD．【點睛】本題考查了角平分線的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，等邊三角形的性質的運用，能熟練應用三角形全等的判定和性質是解決問題的關鍵．例4．（2023·廣東·九年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當時，探究線段，，之間的數量關系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點D作，垂足為點E，請直接寫出線段、、之間的數量關系．【答案】（1）證明見解析；（2）；理由見解析；（3）．【分析】（1）方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題；（2）延長到點，使，連接，證明，可得，即（3）連接，過點作于，證明，，進而根據即可得出結論．【詳解】解：（1）方法1：在上截，連接，如圖．平分，．在和中，，，，．，．．，．方法2：延長到點，使得，連接，如圖．平分，．在和中，，．，．，．，，．（2）、、之間的數量關系為：．（或者：，）．延長到點，使，連接，如圖2所示．由（1）可知，．為等邊三角形．，．，．．，為等邊三角形．，．，，即．在和中，，．，，．（3），，之間的數量關系為：．（或者：，）解：連接，過點作于，如圖3所示．，．．在和中，，，，．在和中，，．，，．【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，正確的添加輔助線是解題的關鍵．課后專項訓練：1．（2023秋·福建福州·九年級校考階段練習）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D為BC的中點，則AD的長可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．證△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三邊關系求出AE的范圍即可解決問題．【詳解】解：延長AD到E，使DE＝AD，連接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故選：B．【點睛】本題考查三角形的全等判定和性質，三角形三邊關系定理，熟練證明三角形的全等是解題的關鍵．2．（2022·浙江湖州·二模）如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．3【答案】C【分析】延長BE交CD延長線于P，可證△AEB≌△CEP，求出DP，根據勾股定理求出BP的長，從而求出BM的長．【詳解】解：延長BE交CD延長線于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故選：C．【點睛】考查了全等三角形的判定和性質和勾股定理，解題的關鍵是得恰當作輔助線構造全等，依據勾股定理求出BP．3．（2022·廣東湛江·校考二模）已知：如圖，中，E在上，D在上，過E作于F，，，，則的長為___________．【答案】/【分析】在上取一點T，使得，連接，在上取一點K，使得，連接．想辦法證明，推出，推出即可解決問題．【詳解】解：在上取一點T，使得，連接，在上取一點K，使得，連接．∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．4．（2023秋·江西九江·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點D是BC的中點，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，則BC的長為．【答案】【分析】延長AD到E，使DE=AD，連接BE．先運用SAS證明△ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定理證明出∠BAE=90°，然后在△ABD中運用勾股定理求出BD的長，從而得出BC=2BD．【詳解】解：延長AD到E，使DE=AD，連接BE．在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=13．在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，∴BD=，∴BC=．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理及其逆定理，綜合性較強，難度中等．題中延長中線的一倍是常用的輔助線的作法．5．（2023秋·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學是這樣思考的：延長至，使，連接．利用全等將邊轉化到，在中利用三角形三邊關系即可求出中線的取值范圍，在這個過程中小聰同學證三角形全等用到的判定方法是___________，中線的取值范圍是___________；（2）問題解決：如圖2，在中，點是的中點，．交于點，交于點．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點是的中點，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請你探索與的數量與位置關系．

【答案】（1），；（2）見解析；（3），【分析】（1）通過證明，得到，在中，根據三角形三邊關系可得：，即，從而可得到中線的取值范圍；（2）延長至點，使，連接，通過證明，得到，由，，得到，在中，由三角形的三邊關系得：；（3）延長于，使得，連接，延長交于，證明得到，證明得到，，在通過三角形內角和進行角度的轉化即可得到．【詳解】（1）解：如圖1，延長至，使，連接，為邊上的中線，，在和中，，，，在中，根據三角形三邊關系可得：，即，，，，故答案為：，；（2）證明：如圖2中，延長至點，使，連接，

點是的中點，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三邊關系得：，∴；（3）解：結論：，，如圖3，延長于，使得，連接，延長交于，點是的中點，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，，

，，即．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的三邊關系，三角形的內角和定理，熟練掌握全等三家形的判定與性質，三角形的三邊關系以及三角形內角和定理，作出恰當的輔助線是解題的關鍵．6．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形中，°，為邊上一點，連接，，為的中點，延長交的延長線于點，交于點，連接交于點．

(1)求證；(2)若，，求證：四邊形為矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明，則，然后根據直角三角形斜邊上的中線性質即可得到；（2）由和都是等腰直角三角形得到，則可得到，，進而可得，，于是可判斷四邊形為平行四邊形，加上，則可判斷四邊形為矩形．【詳解】（1）證明：∵∴∴，∵為的中點，∴，在和中，，∴∴，∴為斜邊上的中線∴（2）由（1）知，又，，∴，∴為等腰直角三角形．又由（1）知，∴，，又和都是等腰直角三角形．∴，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∵∴平行四邊形為矩形，【點睛】本題考查了全等三角形的判斷和性質、直角三角形斜邊中線定理、矩形的判斷，掌握矩形的證明步驟-先證明是平行四邊形，再證明有直角是解題關鍵．7．（2023·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期中）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點D逆時針旋轉得到，在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是_______；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點，于點D，交于點E，DF交于點F，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點作一個的角，角的兩邊分別交于E、F兩點，連接EF，探索線段之間的數量關系，并說明理由．【答案】（1）；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）如圖①：將繞著點D逆時針旋轉得到可得，得出，然后根據三角形的三邊關系求出的取值范圍，進而求得的取值范圍；（2）如圖②：繞著點D旋轉得到可得，得出，由線段垂直平分線的性質得出，在中，由三角形的三邊關系得出即可得出結論；（3）將繞著點C按逆時針方向旋轉得到可得，得出，證出，再由證明，得出，進而證明結論．【詳解】解：（1）如圖①：將繞著點D逆時針旋轉得到∴（），∴，,即∵是邊上的中線，∴，在中，由三角形的三邊關系得：，∴，即，∴；故答案為；（2）證明：如圖②：繞著點D旋轉得到∴（），∴，∵∴，在中，由三角形的三邊關系得：，∴；（3），理由如下：如圖③，將繞著點C按逆時針方向旋轉∴△DCF≌△BCH，∴∴∵∴，∴點A、B、H三點共線∵，∴∴，在和中，，∴（）∴，∵∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查對全等三角形的性質和判定、三角形的三邊關系定理、旋轉的性質等知識點，通過旋轉得到構造全等三角形是解答本題的關鍵.8．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED=AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設AD＝x，可得x的取值范圍是_______；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF．【答案】（1）①見解析；②1＜x＜4；（2）見解析【分析】（1）由AD是△ABC的中線推出CD＝BD，再用SAS證明即可；（2）由△ABD≌△ECD推出AB＝EC=5，由ED=AD推出AE=2x，由△ACE三邊關系將已求代入解不等式即可；（3）延長FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．用SAS證明△CDF≌△BDG，△EDF≌△EDG，從而得到CF＝BG，EF＝EG，最后利用在△BEG的三邊關系BE+BG＞EG得證．【詳解】（1）①∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BD，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）②1＜x＜4，理由如下：∵△ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5，∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．由△ACE三邊關系得：，又∵AC＝3，∴，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4．（2）延長FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG．∵D是BC邊上的中點，∴CD＝DB．在△CDF與△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG，∵DE⊥DF，∴．

在△EDF與△EDG中，，∴△EDF≌△EDG．∴EF＝EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系和全等三角形的性質與判定，根據題意畫輔助線是解題的關鍵．9．（2022秋·北京昌平·九年級校聯(lián)考期中）如圖，O為四邊形ABCD內一點，E為AB的中點，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的長；（2）用等式表示線段OE和CD之間的關系，并證明．【答案】（1）2；（2），理由見解析【分析】（1）由已知條件∠BOE＝∠BAO，且公共角，證明△OBE∽△ABO，進而列出比例式，代入數值即可求得；（2）延長OE到點F，使得，連接AF，F(xiàn)B，證明△AOF≌△DOC，進而可得，即【詳解】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，，∴△OBE∽△ABO，∴，∵AB＝，E為AB的中點，∴∴，∴（舍負）.（2）線段OE和CD的數量關系是：，理由如下，證明：如圖，延長OE到點F，使得，連接AF，F(xiàn)B.∵∴四邊形AFBO是平行四邊形，∴，，∴，∵∠AOB+∠COD＝，∴，∵OB＝OC，∴，在△AOF和△DOC中，，∴△AOF≌△ODC，∴∴.【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，第（2）小問中，根據題意正確的添加輔助線是解題的關鍵．10．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考階段練習）安安利用兩張正三角形紙片，進行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，和均為等邊三角形，連接交延長線于點，求證：；【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片的邊上取一點，作交外角平分線于點，探究，和的數量關系，并證明；【思維提升】（3）如圖3，和均為正三角形，當，，三點共線時，連接，若，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個進行證明：①；②．【答案】（1）見解析；（2），證明見解析；（3）是定值，①；②．【分析】（1）證明，推出，再根據角度的和差可得結論；（2）如圖2，在上取一點，使得，證明是等邊三角形，然后證明，可得，利用線段的和差即可解決問題；（3）如圖3，在上取一點，使得，證明，，，證明是等邊三角形，所以，過點作，，垂足分別為，，根據，可得的面積的面積，根據，可得，根據，可得，所以，，進而可以解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1，設與交于點，

，都是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，在上取一點，使得，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，是外角平分線，，，，，，，，，，，，；（3）解：①，②都是定值，證明如下：如圖3，在上取一點，使得，

和均為正三角形，，，三點共線，，，由（1）知：，，，，，，是等邊三角形，，過點作，，垂足分別為，，，的面積的面積，，，，，，，①；②，，，．綜上所述：①，②都是定值．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確的作出圖形尋找全等三角形．11．（2023秋·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當時，探究線段，，之間的數量關系，并說明理由；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點作，垂足為點，請寫出線段、、之間的數量關系并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3），見解析【分析】（1）方法1：在上截取，連接，證明，得出，，進而得出，則，等量代換即可得證；方法：延長到，使，連接，證明，得出，，進而得出，則，等量代換即可得證（2），，之間的數量關系為．方法1：在上截取，連接，由知，得出，為等邊三角形，證明，得出，進而即可得證；方法：延長到，使，連接，由知，則，是等邊三角形，證明，得出，進而即可得證；（3）線段、、之間的數量關系為，連接，過點作于點，證明，和，得出，進而即可得證．【詳解】解：（1）方法1：在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；方法：延長到，使，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；（2），，之間的數量關系為．方法1：理由如下：如圖，在上截取，連接，由知，，，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，．方法：理由：延長到，使，連接，由知，，是等邊三角形，，，，，，，為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，；（3）線段、、之間的數量關系為．連接，過點作于點，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．12．（2023·浙江衢州·?？家荒＃┤鐖D1，在中，，平分，連接，，．(1)求的度數；(2)如圖2，連接，交于E，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點G為的中點，連接交于點F，若，求線段的長．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）設．則，，由平分，得到，由三角形內角和定理，求得，進一步即可得到答案；（2）先證明，則，則，又由得，即可得到結論；（3）由O是的中點及得到，再證明，得到，則，又由，即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖1中，設．∵，，∴，，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴．（2）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（3）解：如圖3中，連接，取O是的中點，∵，∴或（舍去），由（1）、（2）及根據G是的中點可知：，，，，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、三角形內角和定理、角直角三角形的性質，熟練掌握三角形的全等和相似是解題的關鍵．13．（2023春·廣東·九年級專題練習）課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構造全等三角形來證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段構造全等三角形進行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應的輔助線；(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學們提出了如下的問題：如圖3，點D在的內部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結論進行交換，得到的命題如下：如果在中，，點D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進行證明．【答案】(1)，證明見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）延長至F，使，連接，根據三角形的外角性質得到，則可利用證明，根據全等三角形的性質可證明結論；（2）在上截取，使，連接，則可利用證明，根據全等三角形的性質即可證明結論；（3）延長至G，使，連接，則可利用證明，根據全等三角形的性質、角平分線的定義即可證明結論．【詳解】（1）證明：（1）如圖1，延長至F，使，連接，則，∴，∵平分∴，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故答案為：．（2）證明：如圖3，在上截取，使，連接∵分別平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴．（3）證明：如圖4：延長至G，使，連接，則，∴，∵，∴，∵，

∴∴，∴，∴，在和中，，∴∴，即平分．【點睛】本題主要考查的是三角形全等的判定和性質、角平分線的定義等知識點，靈活運用全等三角形的判定定理和性質定理是解答本題的關鍵．14．（2023春·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，△ABC為等邊三角形，直線l過點C，在l上位于C點右側的點D滿足∠BDC＝60°。（1）如圖1，在l上位于C點左側取一點E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；（2）如圖2，點F、G在直線l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：HG+BD＝CF；（3）在（2）的條件下，當A、B位于直線l兩側，其余條件不變時（如圖3），線段HG、CF、BD的數量關系為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CF=EF-BD．【分析】（1）先證明∠ACE=∠CBD，即可利用AAS證明△AEC≌△CDB；（2）在直線l上位于C點左側取一點E，使得∠AEC=60°，連接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，CE=BD，然后證明△FAE≌△HFG得到GH=EF，則CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）在直線l上位于C點右側取一點E使得∠AED=60°，連接AE，在直線l上位于D點左側取一點M使得BM=BD，設AB與直線l交于N，先證明△BDM是等邊三角形，得到∠DBM=∠DMB=60°，然后證明∠ACE=∠ABD=∠CBM，即可利用AAS證明△AEC≌△CMB得到CE=BM=BD；最后證明△AEF≌△FGH得到HG=EF，則EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）（2）如圖所示，在直線l上位于C點左側取一點E，使得∠AEC=60°，連接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD，∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°，∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG，在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）如圖所示，在直線l上位于C點右側取一點E使得∠AED=60°，連接AE，在直線l上位于D點左側取一點M使得BM=BD，設AB與直線l交于N∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等邊三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°，∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM，∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠CBM，∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC，在△AEC和△CMB中，，∴△AEC≌△CMB（AAS），∴CE=BM=BD；∵∠AFH=120°，∴∠AFC+∠GFH=60°，∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，∴∠AFC=∠FHG，在△AEF和△FGH中，，∴△AEF≌△FGH（AAS），∴HG=EF，∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．故答案為：CF=EF-BD．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，三角形內角和定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質與判定條件．15．（2022·河南·模擬預測）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數量關系．某同學做了如下探究，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應該是______．（2）如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結論是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成立，寫出正確的結論，并說明理由．（3）如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/時的速度前進1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）結論EF=BE+DF仍然成立；理由見解析；（3）此時兩艦艇之間的距離是210海里【分析】（1）根據題意證明△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，可得EF=FG，根據FG=DG+DF=BE+DF，可得EF=BE+DF；（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，同（1）的方法證明即可；（3）連接EF，延長AE、BF相交于點C，應用（2）的結論可得EF=AE+BF進而氣得的長，即兩艦艇之間的距離【詳解】（1）EF=BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案為EF=BE+DF．（2）結論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，如圖②，∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）如圖③，連接EF，延長AE、BF相交于點C，∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結論EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．【點睛】本題考查全等三角形的性質與判定，方位角的計算，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．16．（2022·河南·九年級期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)中點、中線字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．【解決問題】受到（1）的啟發(fā)，請你證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．（1）求證：BE＋CF＞EF，（2）若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明．、【答案】（1）見解析；（2），見解析【分析】（1）延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點D逆時針旋轉180°得到△BGD），利用三角形的三邊關系即可解決問題；（2）若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，在Rt△EBG中，根據BE2+BG2=EG2，即可解決問題；【詳解】解：（1）延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點D逆時針旋轉180°得到△BGD），∴CF=BG，DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．（2）若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，∴BE2+CF2=EF2；【點睛】本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、三角形的三邊關系、勾股定理、三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．17．（2022·山東東營·中考真題）已知點O是線段AB的中點，點P是直線l上的任意一點，分別過點A和點B作直線l的垂線，垂足分別為點C和點D．我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗證]如圖1，當點P與點O重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數量關系是________．（2）[探究證明]如圖2，當點P是線段AB上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，當點P是線段BA延長線上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和OD的數量關系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；【答案】（1）；（2）仍然成立，證明見解析；（3）①仍然成立，證明見解析；②【分析】（1）根據三角形全等可得；（2）方法一：過點O作直線，交BD于點F，延長AC交EF于點E，證明即可，方法二：延長CO交BD于點E，證明即可；（3）方法一：過點O作直線，交BD于點F，延長CA交EF于點E，證明，方法二：延長CO交DB的延長線于點E，證明；【詳解】（1）O是線段AB的中點在和中（2）數量關系依然成立．證明（方法一）：過點O作直線，交BD于點F，延長AC交EF于點E．∵∴∴四邊形CEFD為矩形∴，由（1）知，∴，∴．證明（方法二）：延長CO交BD于點E，∵，，∴，∴，∵點O為AB的中點∴，又∵，∴，∴，∵，∴．（3）數量關系依然成立．證明（方法一）：過點O作直線，交BD于點F，延長CA交EF于點E．∵∴∴四邊形CEFD為矩形．∴，由（1）知，∴，∴．10分證明（方法二）：延長CO交DB的延長線于點E，∵，，∴，∴，∴點O為AB的中點，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】此題主要考查了三角形全等的性質與判定，直角三角形的性質，根據題意找到全等的三角形，證明線段相等，是解題的關鍵．18．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內一點，連接，，延長到點，使得(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2，若，用等式表示線段與的數量關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)；證明見解析【分析】（1）先利用已知條件證明，得出，推出，再由即可證明；（2）延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，先證，推出，通過等量代換得到，利用平行線的性質得出，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到．(1)證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．(2)解：補全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，垂直平分線的性質，平行線的判定與性質，勾股定理的逆用，直角三角形斜邊中線的性質等，第二問有一定難度，正確作輔助線，證明是解題的關鍵．19．（2022·內蒙古·中考真題）下面圖片是八年級教科書中的一道題：如圖，四邊形是正方形，點是邊的中