滬教版初中數(shù)學知識點

第九章整式

第一節(jié)整式的概念

9.1.2.3、字母表示數(shù)

代數(shù)式：用括號和運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代數(shù)式。單獨的數(shù)或字母也是代數(shù)式。

代數(shù)式的書寫：1、代數(shù)式中出現(xiàn)乘號通常寫作或省略不寫，但數(shù)與數(shù)相乘不遵循此原那么。

2、數(shù)字與字母相乘，數(shù)字寫在字母前面，而有理數(shù)要寫在無理數(shù)的前面。

3、帶分數(shù)應寫成假分數(shù)的形式，除法運算寫成分數(shù)形式。

4、相同字母相乘通常不把每個因式寫出來，而寫成轅的形式。

5、代數(shù)式不能含有“二、/、＜、＞、2、符號。

代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式的運算關系計算出的結果，叫代數(shù)式的值。

注意：1、代數(shù)式中省略了乘號，帶入數(shù)值后應添加X。

2、假設帶入的值是負數(shù)時，應添上括號。

3、注意解題格式標準，應寫”當…時，原式=.....

4、在實際問題中代數(shù)式所取的值應使實際問題有意義。

9.4整式

1、由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式稱為單項式。單獨一個數(shù)或字母

也是單項式。

2、系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。

3、單項式的次數(shù)：一個單項式中所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項

式的次數(shù)。

4、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)

項。

5、多項式的次數(shù)：多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)

6、整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

9.5合并同類項

1、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做

同類項。

2、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。

一個多項式合并后含有幾項，這個多項式就叫做幾項式。

3、合并同類項的法那么是：把同類項的系數(shù)相加的結果作為合并后

的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

第二節(jié)9.6整式的加減：

去括號法那么：

(1)括號前面是"+〃號，去掉〃+”號和括號，括號里各項的不變號；

[2)括號前面是"一〃號，去掉“一〃號和括號，括號里的各項都變號。

添括號法那么

(1)所添括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號：

(2)所添括號前面是“一”號，括到括號里的各項都改變符號。

第三節(jié)整式的乘法9.7同底數(shù)哥的乘法、9?8幕的乘方、9.9積的乘方：

①同底數(shù)暴的乘法

aB?an=anfn(m,n都是正整數(shù))。

同底數(shù)顯相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

②箱的乘方與積的乘方

(aB)WGn、n都是正整數(shù))

箱的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

(ab)(n都是正整數(shù))

積的乘方等于各因式乘方的積。

③同底數(shù)幕的除法

an4-an=ann(a^0,mn都是正整數(shù)，且m>n)

同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

a°=l(a^O)任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)轅都等于1。

ap=5.#0,p是正整數(shù))任何一個不等零的數(shù)

的-p(p是正整數(shù))指數(shù)幕，等這個數(shù)的p指數(shù)幕的倒數(shù)。

9.10整式的乘法：

⑴單項式與單項式相乘：

單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，那么

連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

⑵單項式與多項式相乘：

單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配率用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即。

注意：單項式乘多項式實際上是用分配率向單項式相乘轉化。

⑶多項式與多項式相乘：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，

即(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn。

第四節(jié)、乘法公式

9.11平方差公式

①內容：

(a4-b),(a-b)=a2—b2

②意義：

兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘枳，等于這兩個數(shù)的平方差。

③特征：

I.左邊是兩個二項式相乘，這兩項中有一項相同，另一項互

為相反數(shù)；

H.右邊是乘式中兩項的平方差；

III.公式中的a和b可以使有理數(shù)，也可以是單項式或多項式。

④幾何意義：

平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過程中面積相等

的表達式。

⑤拓展：

33

I.立方和公式：(a+n)(az-ab+b?)=a-b;

2233

II.立方差公式：(a—b)(a+ab+b)=a-bo

(a—b)(a+ab+ab2H-----ka2b+ab+b)=a-b<>

9.12完全平方公式：

①內容：

(a+b)2=a2+b24-2ab；

(a—b)2=a2+b2—2ab。

②意義：

兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的2倍。

兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的2倍。

③特征：

I.左邊是一個二項式的完全平方，右邊是一個二次三項式，其中有兩項是公式左邊二項式中每一項的

平方，另一項為哪一項左邊二項式中兩項乘積的2倍，可簡記為“首平方，尾平方，積的2倍在

中央。”

II.公式中的a、b可以是單項式，也可以是多項式。

④推廣：

I.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

II.(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2；

33322

III.(a-b)=a-b-3ab+3abo

第五節(jié)因式分解

⑴因式分解的意義：

把一個多項式化為幾個整式積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項

式分解因式，即多項式化為幾個整式的枳。

注意：①因式分解的要求：

I.結果一定是積的形式，分解的對象是多項式；

II.每個因式必須是整式；

III.各因式要分解到不能分解為止。

②因式分解與整式乘法的關系：

是兩種不同的變形過程，即互逆關系。

9.13提取公因式法：

①提公因式法分解因式：

ma+mb+mc=m(a+b+c),這個變形就是提公因式法分解因式。

這里的m可以代表單項式，也可以代表多項式，m稱為公因式。

確定公因式方法：

系數(shù)：取多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)。

字母(或多項式因式)：取各項都含有的字母(或多項式因式)的最低次暴。

9.14公式法

②利用公式法分解因式：

I.平方差公式：a2-b2=(a+b)?(a-b)o

II.完全平方公式：a2+b2+2ab=(a+b)2；

a2+b2—2ab=(a—b)2?

川.立方和與立方差公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab-b2)；

3322

a—b=(a—b)(a+ab+b)o

注意：(1)公式中的字母a、b可代表一個數(shù)、一個單項式或一個多項式。

(2)選擇使用公式的方法：主要從項數(shù)上看，假設多項式是二項式

應考慮平方差或立方和、立方差公式：假設多項式是三項式，可

考慮用完全平方公式。

9.15.十字相乘法：利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解

因式的方法叫做十字相乘法。

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。

9.16分組分解法：

I.將多項式的項適當?shù)姆纸M后，組與組之間能提公因式或運用公式分解。

H.適用范圍：適合四項以上的多項式的分解。

分組的標準為：分組后能提公因式或分組后能運用公式。

④其他方法：

.求根公式法：假設ax2+bx+c=0(aWO)的兩根是xl、x2,

2

ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)o

⑶因式分解的一般步驟及注意問題：

①對多項式各項有公因式時，應先提供因式。

②多項式各項沒有公因式時，如果是二項式就考慮是否符合平方差

公式；如果是三項式就考慮是否符合完全平方公式或二次三項式的

因式分解；如果是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法。

分解因式，必須進行到每一個多項式都不能再分解為止。

第六節(jié)整式除法：

9.17同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)哥相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

任何不等于零的數(shù)的零次制為I，既：

9.18單項式除以單項式：

單項式與單項式相除的法那么：

單項式與單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)塞分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，那

么連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

注意；①兩個單項式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)昂分別相除即可。

②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。

9.19多項式與單項式相除：

多項式與單項式相除的法那么：

一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加，

即(ma+mb+mc+dm)4-rr^arn-rrrH-brn-z-rrH-crn4-rrH-drn4-rrL

注意：這個法那么的使用范圍必須是多項式除以單項式，反之，單項式除以多項式是不能這樣計算的。

⑶整式的混合運算：

關鍵是注意運算順序，先乘方，在乘除，后加減，有括號時，先去小括號，再去中括號，最后去大括

號，先做括號里的。

派內容整理

做分式的分子，B叫做分式的分母。

如果一個分式的分母為零，那么這個分式無意義。

10.2(2)、分式的根本性質整式r

整式和分式統(tǒng)稱為有理式:：即有理式\

分式I

分式的分子和分母同時乘以(或除以)同一個不為0的整式，

分式的值不變。用式子表示為：A/B=A*C/B*CA/B=A^C/B-C

l：A,BC為整式，且B、C#O)

①約分:把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式

的約分.

②分式的約分步驟：

(1)如果分式的分子和分母都是或者是幾個乘枳的形式，將它們的

公因式約去

(2)分式的分子和分母都是將分子和分母分別，再將公因式約去.

注:公因式的提取方法:取分子和分母系數(shù)的，字母取分子和分

母共有的字母，指數(shù)取公共字母的最小指數(shù),即為它們的公因式.

③一個分式的分子和分母沒有公因式時，這個分式稱為最簡分式.約分

時，一般將一個分式化為最簡分式。

④通分：把幾個異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式，

叫做分式的通分。

⑤分式的通分步驟:先求出所有分式分母的最簡公分母，再將所有分式的分母變?yōu)樽詈喒帜?同時各分

式按照分母所擴大的倍數(shù)，相應擴大各自的分子.

注:最簡公分母確實定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的及單獨字母的箱的乘積。

注:(1)約分和通分的依據(jù)都是分式的根本性質。

(2)分式的約分和通分都是互逆運算過程。

10.3、分式的運算：

①分式的乘法法那么:兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.用字

母表示為：a/b*c/d=ac/bd

②分式的除法法那么：

I.兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘

：a/b-^c/d=ad/bc

II.除以一個分式，等于乘以這個分式的倒數(shù):a/b：c/d=a/b*d/c異分母分式通分時，關鍵是確定公分母，

通常取各分母所有因式的最高次第的枳作為公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。

10.4分式的加減

③同分母分式加減法那么:同分母的分式相加減，分母不變,把分子相加減.用字母表示為：a/cib/c=a±b/c

④異分母分式加減法那么:異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減

法法那么進行計算.用字母表示為：

a/b±c/d=ad±cb/bd

10.5分式方程：

①分式方程的意義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

②分式方程的解法：

I.去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方

程)；

II.按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值；

川.驗根(求出未知數(shù)的值后必須驗根，因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數(shù)的取值

范圍，可能產(chǎn)生增根).

10.6整數(shù)指數(shù)幕及其運算

約分

派內容整理

/1分式的性質

第十一章圖形的運動通分

、平移定義和規(guī)律

1分

(1)平移的定義：在平面內,二4分式運算乘除法,這樣的圖形運動稱為平移

(Translation)平移后各對1之I可的■呵叫做■圖形4

o式加減法

關鍵：平移不改變圖形的開溷形j改變圖形的位置)。

a.分式方程

b.圖形平移三要素：原位置、平移為TTV

(2)平移的規(guī)律(性質)：經(jīng)過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等、對應角相等。

注意：平移后，原圖形與平移后的圖形全等。

(3)簡單的平移作圖：

平移作圖要注意：①方向；②距離。整個平移作圖，就是把整個圖案的每一個特征點按一定方向和

一定的距離平行移動。

2、旋轉的定義和規(guī)律

(1)旋轉的定義：在平面內，將一個圖形饒一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形

的旋轉(Circumrotate)。這個定點稱為旋轉中心；轉動的角稱為旋轉角。

關鍵：a.旋轉不改變圖形的形狀和大小(但會改變圖形的方向，也改變圖形的位置)。

b.圖形旋轉四要素：原位置、旋轉中心、旋轉方向、旋轉角，

(2)旋轉的規(guī)律(性質)：

經(jīng)過旋轉，圖形上的每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉

中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。(旋轉前后兩個圖形的對應線段相等、

對應角相等。)

注意：旋轉后，原圖形與旋轉后的圖形全等。

(3)簡單的旋轉作圖：

旋轉作圖要注意：①旋轉方向；②旋轉角度。整個旋轉作圖，就是把整個圖案的每一個特征點繞

旋轉中心按一定的旋轉方向和一定的旋轉角度旋轉移動。

3、圖案的分析與設計

①首先找到根本圖案，然后分析其他圖案與它的關系，即由它作何種運動變換而形成。

②圖案設計的根本手段主要有：軸對稱、平移、旋轉三種方法。

4、旋轉對稱圖形：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度a后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉

對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角(旋轉角a滿足Ova<360)

5、中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著一個定點旋轉180后，與初始圖形重合，那么這個圖形叫做中

心對稱圖形，這個點叫做對稱中心。

6、把一個圖形繞著一個定點旋轉180后，與另一個圖形重合，那么叫做這兩個圖形關于這點對稱，也

口i|做這兩個圖形成中興對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。

7、軸對稱知識回憶

(1)軸對稱圖形定義：如果一個圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的局部能夠互相重合，那么這個

圖形叫做軸對稱圖形(AxiallySymmetricFigure)1,折痕所在的直線叫做對稱軸。

(2)兩個圖形關于這條直線成軸對稱：如果把一個圖形沿某一條直線翻，能與另一個圖形重合，那么

叫做這兩個圖形關「這條直線成軸對稱，這條宜線就是對稱軸，兩個圖形中的時應點叫做關于這條直線

的對稱點。

(3)注意:

①軸對稱是說兩個圖形的位置關系：而軸對稱圖形是說一個具有特殊形狀的圖形。

②成軸對稱的兩個圖形，必定是全等圖形。

(4)軸對稱的性質：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；對應線段相等：對應角相等。

(3)簡單的軸對稱作圖：

求作一個幾何圖形關于某條直線對稱的圖形，可以轉化為求作3個圖形上的特征點關于這條直線對稱的

點。后依次連結各4存征點即可。

’圖形的平移

旋轉對稱圖形中心對稱圖形「

圖形的運動II形的旋轉

＜中心對稱

軸又才稱圖形

圖形的翻折、

輜對稱

粕對稱和軸對稱圖揚之間的區(qū)別與聯(lián)系:

軸、對稱軸對稱圖形

區(qū)①指兩個圖形而言；①對一個圖形而言；

別②指兩個圖形的一種形狀與位置②指一個圖形的特殊形狀。

關系。

聯(lián)①都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；

系②把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，就是一個軸對稱圖形；反過來，

把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩局部，這兩局部關于這條直線成軸對稱。

粕對稱幾何圖形的對稱軸：

名稱是否是軸對稱圖對稱軸有幾對稱軸的位置

形條

線段是2條垂直平分線或線段所在的直線

角是1條角平分線所在的直線

長方形是2條對邊中線所在的直線

正方形是4條對邊中線所在的直線和對角線所在

的直線

圓是無數(shù)條直徑所在的直線

平行四邊不是0條

形

第十二章實數(shù)

第一節(jié)實數(shù)的概念

12.1實數(shù)的概念

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為‘實數(shù)。

實數(shù)按如下方式分類:

止有理數(shù)

有理數(shù)零有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

負有理數(shù)

實數(shù)

正無理數(shù)

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)

實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個

點表示一個實數(shù)。

正數(shù)大于零，負數(shù)小于零，正數(shù)大于負數(shù)。

兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大，兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小。

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。

第二節(jié)數(shù)的開方

12.2平方根和開平方

如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根，也就做二次方根。

求一個數(shù)a的平方跟的運算叫做開平方，a叫做被開方數(shù)。

一個正數(shù)a的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)。零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根。

正數(shù)。的兩個平方根可以用“土表示，其中右表示。的正的平方根（乂叫算術平方根），讀作“根

號a"；--表示。的負平方根，讀作“負根號

零的平方根記作S,#）:0.

（1）當a>0時，（&）2=a,（―&）2=a.

（2）當位0時，C=a;

當a&O時，而=一。

12.3立方根和開立方

如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根，用表示，讀作“三次根號板

中的。叫做被開方數(shù)，“3”叫做根指數(shù)。

求一個數(shù)。的立方根的運算叫你開立方。

正數(shù)的立方是一個正數(shù)，負數(shù)的立方是一個負數(shù)，零的立方等于零，所以正數(shù)的立方根是一個正數(shù),

負數(shù)的立方根是一個負數(shù)，零的立方根是零。

任意一個實數(shù)都有立方根，而且只有一個立方根。

12.4n次方根

如果一個數(shù)的n次方（n是大于1的整數(shù)）等于。，那么這個數(shù)叫做。的n次方根，當n為奇數(shù)時，這

個數(shù)為。的奇次方根；當n為偶數(shù)時，這個數(shù)為。的偶次方根

求一個數(shù)。的n次方跟的運算叫做開n次方，。叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)。

實數(shù)。的奇次方根有且只有一個，用表示，其中被開方數(shù)。是任意一個實數(shù),根指數(shù)n是大于1

的奇數(shù)。

正數(shù)。的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，正n次方根用“近”表示，負n次方根用“一江”

表示，其中被開方數(shù)。>0,根指數(shù)n是正偶數(shù)（當n=2時，在土江中省略n）

負數(shù)的偶次方根不存在。

零的n次方根等于零，表示為瘋1=0

“后”讀作"n次根號a”

第三節(jié)實數(shù)的運算

12.5用數(shù)軸上的點表示數(shù)

有理數(shù)范圍內絕對值、相反數(shù)意義：

一個實數(shù)在數(shù)軸上所對應的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值。實數(shù)a的絕對值記作|a|.

絕對值相等，符號相反的兩個數(shù)記作互為相反數(shù)；

零的相反數(shù)是零。非零實數(shù)。的相反數(shù)是一Q。

實數(shù)大小的比擬：

負數(shù)小于零；零小于正數(shù)。

兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)較小。

從數(shù)軸上看，右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點所表示的數(shù)大。

兩點間的距離：

在數(shù)軸上，如果點A、點B所對應的數(shù)分別為a、b,那么

A、B兩點的距離AB=Ia—bI.

12.6實數(shù)的運算

設A0,b>0,可知(癡?6)=(H)2.)2=Qko

根據(jù)平方根的意義，得47a-

a-.."a

同理:

近取數(shù)與準確數(shù)的接近程度即近似程度。對近似程度的要求，叫做精確度。

對于一個近似數(shù)，從左邊第一個不是零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字，叫做這個近似數(shù)的

有效數(shù)字。

第四節(jié)分數(shù)指數(shù)幕

分數(shù)指數(shù)基

(a>0)

(a>0)其中m、n為正整數(shù)，n>l.

有理數(shù)指數(shù)基有以下性質：

設a>b,b>0,P、q為有理數(shù)，那么

(1)y_a^

⑵D*二小

⑶3)1”.(鏟

本童小結

有理數(shù)

實數(shù)的分類

(------?

無理數(shù)

實數(shù)用數(shù)軸上的點表示數(shù)

運算法那么及運算性質

實數(shù)的運算

近似數(shù)及近似曄

數(shù)的開方分數(shù)指效毒、有理數(shù)指數(shù)帚運停性質

第十三章相交線、平行線

第1節(jié)相交線

13.1鄰補角，對頂角

相交線的定義：

在同一平面內，如果兩條直線只有一個公共點，那么這兩條直線叫做相交線。

對頂角的定義：

一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。

對頂角的性質：對頂角相等。

鄰補角的定義：

有公共頂點和一條公共邊，并且互補的兩個角稱為鄰補角。

鄰補角的性質：鄰補角互補。

垂線的定義：

垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，

它們的交點叫做垂足。

垂線的性質：

性質1：過一點有且只有一條直線與直線垂直。

性質2：垂線段最短。

點到直線的距離：

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

同位角：

兩個角都在兩條被截線同側，并在截線的同旁，這樣的一對角叫做同位角。

內錯角：

兩個角都在兩條被截線之間，并且在截線的兩旁，這樣的?對角叫做內錯角。

同旁內角：

兩個角都在兩條被截線之間，并且在截線的同旁，這樣的一對角叫做同旁內角。

平行線的概念

在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。

平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直

線也平行。

13.2垂線

1.垂線與斜線

通過操作實踐，所得到的結果說明垂線有這樣的根本性質：

在平面內經(jīng)過直線上或直線外地一點作直線的垂線可以作一條，并且只能作一條。

2.點到直線的距離

聯(lián)結直線外?點與直線上各點得所有線段中，垂線段最短。簡單地說：垂線段最短。

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離。

13.3同位角，內錯角，同旁內角（三線八角）

第2節(jié)平行線

13.4平行線的判定

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（同位角相等，兩直線平行）

平行線具有以下根本性質：

經(jīng)過直線外地一點，有且只有一條直線與直線平行。

兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。（內錯角相等，兩直線平行）

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。（同旁內角互斗，兩直線

平行）

13.5平行線的性質

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。（兩直線平行，同

位角相等）

兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。（兩直線平行，內

錯角相等）

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。（兩直線平行，

同旁內角互補）

如果兩條直線都與第三條在線平行，那么這兩條直線也互相平

行。（對于直線〃、b、c.如果?！ㄥ闙/c,那么?！╦被稱為平行

的傳遞性）

兩條平行線中，任意一條直線上的所有點到另一條宜線的距離都

是一個定值，這個定值叫做這兩條平行線間的距離。

第十四章三角形

第1節(jié)三角形的有關概念與性質

14.1三角形的有關概念

1.三角形的有關線段

三角形的高，中線，角平分線

2.三角形的分類

銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，不等邊三角形，等腰三角形，等邊三角形

14.2三角形的內角和

三角形的內角和等于180、

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；

三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。

三角形的外角和等于360。

第2節(jié)全等三角形

14.3全等三角形的概念與性質

能夠重合的兩個圖形叫做全等形。

兩個三角形是全等形，就說它們是全等三角形。兩個全等三角形，經(jīng)過運動后一定重合，相互重

令的頂點叫做對應頂點：相互重合的邊叫做對應邊；相互重合的角叫做對應角。

全等三角形的對應邊相等，對應角相等。

14.4全等三角形的判定

判定方法1在兩個三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應相等，那么這兩個三角形全等（簡

記為S.A.S）。

判定方法2在兩個三角形中，如果有兩個角及它們的夾邊對應相等，那么這兩個三角形全等（簡

記為A.S.A）o

判定方法3在兩個三角形中，如果有兩個角及其中一個題的對邊對應相等，那么這兩個三角形全

等（簡記為A.A.S）。

判定方法4在兩個三角形中，如果有三條邊對應相等，那么這兩個三角形全等1簡記為SSS）。

斜邊和一^直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”和“HL”。

SSA、AAA不能識別兩個三角形全等，識別兩個三角形全等時，必須有邊的參與，如果有兩邊一

角對應相等時，角必須是兩邊的夾角。在角形全等的證明思路

找夾色一一SAS

I.兩邊找直角一＜一HL

找另一邊一一SSS

找邊的對角AAS

II.一邊一角邊為角的令甲i找夾角的另一邊一一sAS

J找夾邊的另一角——ASA

邊為加勺對邊——找任意一角——AAS

in.兩角找夾邊［一A'SA

找旺意一邊——AAS

第3節(jié)等腰三角形

14.5等腰三角形的性質

等腰三角形的兩個底角相等〔簡稱“等邊對等角

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱為“等腰三角形的三線合

一”）。

等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角平分線所在的直線.

14.6等腰三角形的判定

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，這個三角形是等腰三角形（簡稱

為“等角對等邊”）。

14.7等邊三角形

等邊三角形是特殊的等腰三角形，它的三邊都相等。

等邊三角形的性質；

等邊三角形的每個內角等于60'。

判定等邊三角形的方法：

（1）三個內角都相等的三角形是等邊三角形。

（2）有一個角等于60,的等腰三角形是等邊三角形。

SSA、AAA不能識別兩個三角形全等，識別兩個三角形全等時，必須有邊的參與，如果有兩邊一

角對應相等時，角必須是兩邊的夾角。

1、|線段的垂直平分弱:

定理：

⑴線段垂直平分線上的點與線段兩端距離相等。

與線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。

注意：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這點到三角形三個頂點的距離相等。

2、|等腰三角形|：

豳

①等腰三角形兩個底角相等，簡稱“等邊對等角”。

②等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊

推論：等邊三角形三個內角框等，每一個內角都等于60°。

礴:

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等，簡稱“等角對等邊”。

帽畫：①三個角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

礴:在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

3、|角的平分線|：

詢：

①角平分線上任意一點到角的兩邊的距離相等。

②在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

第十五章平面直角坐標系

第1節(jié)平面直角坐標系

15.1平面直角坐標系

在平面內取一點°,過點°畫兩條互相垂直的數(shù)軸，且使它們以點0為公共原點。這樣，就在

平面內建立了一個直角坐標系。通常，所畫的兩條數(shù)軸中，有一條是水平放置的，它的正方向向右，這

條數(shù)軸叫做橫軸（記作了軸）；另一條是鉛直放置的，它的正方向向上，這條軸叫做縱軸（記作?軸）。

如下圖，記作平面直角坐標系1°匕點0叫做坐標原點（簡稱原點），上軸和尸軸統(tǒng)稱為坐標軸。

在平面直角坐標系xOy中，點P所對應的有序實數(shù)對（ab）叫做點P的坐標，記作P（a,b）,其中

a叫做橫坐標，b叫做縱坐標。

象限的劃分：

經(jīng)過點A（a.b）且垂直于x軸的直線可以表示為直線x=a,經(jīng)過點A（a,b）且垂直于y軸的直線可以表示為

直線y=b.

第2節(jié)直角坐標平面內點的運動

15.2直角坐標平面內點的運動

點的坐標有了平面直角坐標系，平面內的點就可以用一個有序數(shù)對來表示，a點對應x軸的數(shù)值為橫坐

標，b點對應y軸的數(shù)值為縱坐標，有序數(shù)對就叫做點A的坐標，記作（a,b）o

在直角坐標平面內，

平行于x軸的直線上的兩點A（藥,y）、B（X?,y）的距離

AB=|凝一巧|；

平行于y軸的直線上的兩點C（x,片）、D（x,「2）的距離

CD=|景1一力|.

點的平移

在平面直角坐標系中，（m>0）

將點（x,y）向右平移m個單位長度,可以得到對應點(x+m,y)；

將點（x,y）向左平移m個單位長度,可以得到對應點(x-m,y)；

將點（x,y）向上平移m個單位長度,可以得到對應點(x,y+m)；

將點（x,y）向下平移m個單位長度,可以得到對應點(x,y-m)v

坐標平面圖坐標平面圖是由兩條坐標軸和四個象限構成的，也可以說坐標平面內的點可以分為

六個區(qū)域：x軸上，y軸上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在這六個區(qū)域中，除x軸與y

軸的一個公共點（原點）之外，其他區(qū)域之間都沒有公共點。

建立了直角坐標系的平面叫做直角坐標平面［簡稱坐標平面）,這樣，原來平面內的點都可以用有序實

數(shù)對來表示。

在平面直角坐標系中，點尸所對應的有序實數(shù)對叫做點尸的坐標，記作式里協(xié)，其

中"叫做橫坐標，.叫做縱坐標。

原點0的坐標是(Q8。4的坐標是4的坐標是(TF。

在平面直角坐標系中對稱點的特點：

①關于X成軸對稱的點的坐標，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)。

I橫同縱反)

②關于y成軸對稱的點的坐標，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)。

(橫反縱同)

③關于原點成中心對稱的點的坐標，橫坐標與橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標與縱坐標互為相反數(shù)。

(橫縱皆反)

一般地，在直角坐標平面內，與點M(x,y)關于X軸對稱的點的坐標為(x,y);與點M(x,y)關于y

軸對稱的點的坐標為(-x,y).

一般地，在直角坐標平面內，與點M(x,y)關于原點對稱的點的坐標為5x,-y)。

第十六章二次根式

第一節(jié)二次根式的概念和性質

16.1二次根式

I.二次根式的概念：式子右(。20)叫做二次根式.注意被開方數(shù)只能是正數(shù)或O.

2.二次根式的性質

a(a>0)

*

一a(a<0)

②(八)2=a(a>0)

③=五?戰(zhàn)(。>。力>0)；

④代親"20")

16.2最簡二次根式與同類二次根式

1.被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次

根式.

2.化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式

16.3二次根式的運算

1.二次根式的加減:先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類三次根式分別合并.

2.二次根式的乘法：等于各個因式的被開方數(shù)的積的算術平方根，

即y[ci-4h=yfab(a>0,b>0).

3.二次根式的和相乘，可參照多項式的乘法進行.

兩個含有二次根式的代數(shù)式把乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個三次根式互為有理化因

式.

4.二次根式相除，通常先寫成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根號化

去(或分子、分母約分).把分母的根號化去，叫做分母有理化.

二次根式的運算法那么：

a>/c+b>/c=(a+c)Vc(c>0)

^=、口(a>0,b>0)

yfb\b

=\[a"(a>0)

第十七章一元二次方程

17.1一元二次方程的概念

1.只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程

2.一般形式y(tǒng)=ax?+bx+c(aWO),稱為一元二次方程的一般式，ax叫做二次項,a是二次項系數(shù)；bx叫

做一次項，b是一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項

17.2一元二次方程的解法

1.特殊的一元二次方程的解法：開平方法，分解因式法

2.一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法

4口八-b±《護一44c-b+yjb2-4ac-b-y]b2-4ac

3.求根公式工=-------------：x=--------------,A=-------------；

2a]2a2a

△=Z?2-4ac20

17.3一元二次方程的判別式

1.一元二次方程ox，+〃x+c=O(aw0)：

△>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根

△V0時，方程沒有實數(shù)根

2.反過來說也是成立的

17.4一元二次方程的應用

1.一般來說，如果二次三項式奴？+法+C(〃工0)通過因式分解得公；2+灰+。=4。一￡)(不一々)：

內、x2是一元二次方程辦2+bx+c=0(a00)的根

2.把二次三項式分解因式時；

如果力2—4ac20,那么先用公式法求出方程的兩個實數(shù)根，再寫出分解式

如果〃2—4ac<0,那么方程沒有實數(shù)根，那此二次三項式在實數(shù)范圍內不能分解因式

3.實際問題：設，歹U,解，答

第十八章正比例函數(shù)和反比例函數(shù)

18.1.函數(shù)的概念

1.在問題研究過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量：保持數(shù)值不變的量叫做常量

2.在某個變化過程中有兩個變量，設為x和y,如果在變量x的允許取之范圍內，變量y隨變量x的變

化而變化，他們之間存在確定的依賴關系，那么變量y叫做變量x的函數(shù)，x叫做自變量

3.表達兩個變量之間依賴關系的數(shù)學是自稱為函數(shù)解析式y(tǒng)=/(x)

4.函數(shù)的自變量允許取之的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域；如果變量y是自變量x的函數(shù)，那么對于x

在定義域內去頂?shù)囊粋€值a,變量y的對應值叫做當x=a時的函數(shù)值

18.2正比例函數(shù)

1如果兩個變量每一組對應值的比是一個不等于零的常數(shù)，那么就說這兩個變量成正比例

2.正比例函數(shù):解析式形如y=kx（k是不等于零的常數(shù)）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，氣質常數(shù)k叫做比例

系數(shù)；正比例函數(shù)的定義域是一切實數(shù)

3.對于一個函數(shù)y=/（x）,如果一個圖形上任意一點的坐標都滿足關系式y(tǒng)=/（x）,同時以這個函數(shù)

儺析式所確定的x與y的任意一組對應值為坐標的點都在圖形上，那么這個圖形叫做函數(shù)）=/（幻的

圖像

4.一般地，正比例函數(shù)），=履（%是常數(shù)且&工0）的圖像時經(jīng)過原點O（0,0）和點（1,k）的一條直

線，我們把正比例函數(shù)y=Ax的圖像叫做直線），=kx

5.正比例函數(shù)y=kx（2是常數(shù)且人工0）有如下性質：

（1）當kVO時二正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過一、三象限，自變量x的值逐漸增大時，y的值也隨著逐漸

增大

（2）當kVO時，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過二、四象限，自變量x的值逐漸增大時，y的值那么隨著

逐漸減小

18.3反比例函數(shù)

I.如果兩個變量的每一組對應值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，那么就說這兩個變量成反比例

2.解析式形如&（k是常數(shù),的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中k也叫做反比例系數(shù)

X

反比例函數(shù)的定義域是不等于零的一切實數(shù)

3.反比例函數(shù)），=々左是常數(shù)，攵工0）有如下性質：

x

（I）當k>0時，函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限，在每一個象限內，當自變量x的值逐漸增大

時，y的值那么隨著逐漸減小

（2）當kVO時，函數(shù)圖像的兩支分別在第二、四象限，在每一個象限內。自變量x的值逐漸增大

時，y的值也隨著逐漸增大

18.4函數(shù)的表示法

1.把兩個變量之間的依賴關系用數(shù)學式子來表達------解析法

2.把兩個變量之間的依賴關系用圖像來表示……圖像法

3.把兩個變量之間的依賴關系用表格來表示---列表法

第十九章幾何證明

19.1命題和證明

1.我們現(xiàn)在學習的證明方式是演繹證明，簡稱證明

2.能界定某個對象含義的句子叫做定義

3.判斷一件事情的句子叫做命題；其判斷為正確的命題叫做真命題；其判斷為錯誤的命題叫做假命題

4.數(shù)學命題通常由題設、結論兩局部組成

5.命題可以寫成“如果……那么……”的形式，如果后是題設，那么后市結論

19.2證明舉例

1.平行的判定，全等三角形的判定

19.3逆命題和逆定理

1.在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，二第一個命題的結論又是第二個命題

的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題，如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題同做它的逆

命題

2如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明也是定理,那么這兩個定理叫做互逆定理.其中一個叫做另一個的

逆定理

19.4線段的垂直平分線

1.線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的任意?點到這條線段兩個端點的距離相等。

2、逆定理：和一條線段的兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

19.5角的平分線

1、角的平分線定理：在角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。

2、逆定理：在一個角的內部［包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

19.6軌跡

1、和線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線

2、在一個叫的內部（包括頂點）且到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線

3、到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個定點為圓心、定長為半徑的圓

19.7直角三角形全等的判定

I.定理1：如果直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記為H.L）

2.其他全等三角形的判定定理對于直角三角形仍然適用

19.8直角三角形的性質

1.定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

2.推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于30,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

3.推論2：在直角三角形中，如果一條之驕傲便等于斜邊的一般，那么這條直角邊所對的角等于30

19.9勾股定理

1.定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊

2.勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的立方

3.勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角

三角形

19.10兩點間距離公式

1.如果直角坐標平面內有兩點4芭，,）、8（七,月），那么A、3兩點的距離

22

AB=y/（x2-x,）+（y2-yl）

八年級下冊

第二十章一次函數(shù)

20.1一次函數(shù)的概念

1.一般地，解析式形如丁=丘+"hh是常數(shù)，ZwO）的函數(shù)叫做一次函數(shù)；

一次函數(shù)的定義域是一切實數(shù)

2.一般地，我們把函數(shù)y=c1c為常數(shù)）叫做常值函數(shù)

20.2一次函數(shù)的圖像

1.列表、描點、連線

2.一條直線與），軸的交點的縱坐標叫做這條直線在y軸上的截距，簡稱直線的截距

3.一般地，直線），=區(qū)+8伏4是常數(shù),女工0）與y軸的交點坐標是（0.b）,

直線的截距是b

4.次函數(shù)>,十力（b#0）的圖像可以由正比例函數(shù)），=丘的圖像平移得到

當h>0時，向上平移b個單位，當bVO時.向下平移b的絕對值個單位

5.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關系（看圖）

20.3一次函數(shù)的性質

1.一次函數(shù)y="+b（hb是常數(shù),k力（））具有以下性質：

當k>0時，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大

當kVO時，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而減小

2.

①如下圖，當k>0,b>0時,直線經(jīng)過第一、二、三象限（直線不經(jīng)過第四象限）:

②如下圖，當k>0,b>0時,直線經(jīng)過第一、三、四象限（直線不經(jīng)過第二象限）;

③如下圖，當k<0,b>0時,直線經(jīng)過第一、二、四象限（直線不經(jīng)過第三象限）;

④如下圖，當k<0,b<0時,直線經(jīng)過第二、三、四象限（直線不經(jīng)過第一象限）.

20.4一次函數(shù)的應用

1.利用一次函數(shù)及圖像解決實際問題

第二十一章代數(shù)方程

21.1一元整式方程

1.cvc=\2（a是正整數(shù)），x是未知數(shù)，a是用字母表示的數(shù)，于是，在項ax中，字母a是項的系數(shù)，

我們把a叫做字母系數(shù)，我們把a叫做字母系數(shù)，這個方程是含字母系數(shù)的一元一次方程

2.如果方程中只有一個未知數(shù)且兩邊都是關于未知數(shù)的整式，那么這個方程叫做一元整式方程

3.如果經(jīng)過整理的一元整式方程中含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是n（n是正整數(shù)），那么這方程就叫做一

元n次方程；其中次數(shù)n大于2的方程統(tǒng)稱為一元高次方程，本章簡稱高次方程

21.2二項方程

1.如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項和非零的常數(shù)項，另一邊是零，那么這樣的方程就叫

做二項方程；一般形式為c/x"+6=O］。工0,〃工0,n是正整數(shù)）

2.解一元n（n>2）次二項方程，可轉化為求一個數(shù)的n次方根

3.對于二項方程=O（。工0,6/0）

當n為奇數(shù)時，方程有且只有一個實數(shù)根

當n為偶數(shù)時，如果ab<0,那么方程有兩個實數(shù)根，且這兩個根互為相反數(shù)：如果ab>0,

那么方程沒有實數(shù)根

213可化為一元二次方程的分式方程

解分式方程,可以通過方程兩邊同乘以方程中各分式的最簡公分母,約去分母,轉化為正式方程來

解

2.注意將所得的根帶入最簡公分母中檢驗是否為增根(也可芍入方程中)

3.換元法可將某些特殊的方程化繁為簡，并且在解分式方程的過程中，防止了出現(xiàn)解高次方程的問題,

起到降次的作用

21.4無理方程

1.方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程

2.整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程

3.有理方程和無理方程統(tǒng)稱為初等代數(shù)方程，簡稱代數(shù)方程

4.解簡單的無理方程，可以通過去根號轉化為有理方程來解，解簡單無理方程的