技巧01 單選題和多選題的答題技巧（精講精練）（解析版）-高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

技巧01單選題和多選題的答題技巧

【命題規(guī)律】

高考的單選題和多選題絕大部分屬于中檔題目，通常按照由易到難的順序排列，每道題

目一般是多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的小型綜合，其中不乏滲透各種數(shù)學(xué)的思想和方法，基本上能夠做到充

分考查靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

(1)基本策略：?jiǎn)芜x題和多選題屬于“小靈通”題，其解題過(guò)程可以說(shuō)是“不講道理”，

所以其解題的基本策略是充分利用題干所提供的信息作出判斷和分析，先定性后定量，先特

殊后一般，先間接后直接，尤其是對(duì)選擇題可以先進(jìn)行排除，縮小選項(xiàng)數(shù)量后再驗(yàn)證求解.

(2)常用方法：?jiǎn)芜x題和多選題也屬“小”題，解題的原則是“小”題巧解，“小”題快解，

“小”題解準(zhǔn).求解的方法主要分為直接法和間接法兩大類，具體有：直接法，特值法，圖解

法，構(gòu)造法，估算法，對(duì)選擇題逐有排除法(篩選法)等.

【核心考點(diǎn)目錄】

核心考點(diǎn)一：直接法

核心考點(diǎn)二：特珠法

核心考點(diǎn)三：檢驗(yàn)法

核心考點(diǎn)四：排除法

核心考點(diǎn)五：構(gòu)造法

核心考點(diǎn)六：估算法

核心考點(diǎn)七：坐標(biāo)法

核心考點(diǎn)八：圖解法

【真題回歸】

A.B.

【答案】D

【解析】函數(shù)=的定義域?yàn)閧巾工0},

且/（_x）=m=_a一/⑺，

-XX

函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又當(dāng)x<0時(shí)，/（x）=nM<o,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)冗>1時(shí)，/（幻=七二］L《zl=x一■!函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

XXX

故選：D.

2.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后

的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體

積為（）

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

［解析］該幾何體由直三棱柱AFD-BHC及直二棱柱DGC-AEB組成，作_LC8于M,

如圖，

因?yàn)镃"=B，=3,NC〃B=120,所以CM=8M=^,"M=3,

22

因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以A8=8C=3>/5,

在直棱柱中，A4_Z平面則

由ABc8C=B可得JL平面ADCB,

設(shè)重疊后的EGLjFH交點(diǎn)為I，

則匕“A=；X3GX3后xl等MgHcWxBVJx'xB石二與

Qi97

則該幾何體的體積為V=2VAF[>_BHC-v,.^=2x--—=27.

故選：D.

3.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）函數(shù)y=（3'-37）cosx在區(qū)間g]的圖象大致為（）

以y

C.D.

【答案】A

【解析】令/3=（3'—3->。門,"

則/（-x）=（3--3）cos（r）=-（3r-3-v）cosx=-7（x）,

所以/（%）為奇函數(shù),排除BD；

又當(dāng)xe（0段）時(shí)，3r-3-x>0,cosx>0,所以/（x）>0,排除C.

故選：A.

42

4.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）若（2x-1），=a4x+見(jiàn)丁+a2x+atx+%,則/+%+%=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】令X=l，則《+。3+生+%+%=1，

令x=-l,則4-生+%?6+/=（一3）“=81,

M1+81一

故4+叼+%=—^―=41,

故選：B.

5.（多選題）（2022.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）若x,y滿足f+y2一個(gè)=1,則（）

A.x+y<\B.x+y^-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>\

【答案】BC

【解析】因?yàn)橐魃╝,biR）,由V+y2一盯=1可變形為，

（”+），）2_1=3.號(hào)43（^!^）,解得一2Kx+yK2.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時(shí),x+y=-2,當(dāng)且

僅當(dāng)％=y=i時(shí)，x+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確；

22

由f+y2一與，=1可變形為（/+）；）一I=解得丁+y2s2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±l

時(shí)取等號(hào)，所以C正確；

因?yàn)閒+y2-孫=］變形可得卜-1+方=1,設(shè)%—1=cos0T尸sin?，所以

x=cos+—^siny=—^-sin3,因此

6'73

x2+y2=cos2^+-sin2sin^cos=1+-Usin20--cos20+-

3G々33

TH電伊［羽，所以當(dāng)>3=4時(shí)滿足等式，

但是/+9之1不成立,

所以D錯(cuò)誤.

故選：BC.

6.（多選題）（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，四邊形A8co為正方形，EOJ_平面A8C。,

F8〃ED,A8=￡Z）=2FB,記三棱錐E—ACZ）,F-ABC,尸一ACE的體積分別為％%匕,

則（）

A.V3=2V2B.匕=匕

C.匕=耳+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【解析】

i^AB=ED=2FB=2a,因?yàn)镋D_L平面ABC。，F(xiàn)B\ED,則

匕=；℃皿=92〃；（24）2，

匕=gW詆連接8Z）交AC于點(diǎn)用，連接易得

BD1AC,

又&51_平面ABC。，4Cu平面ABC。，則E￡>_L4C,又EDCBD=D,ED,8￡）u平面

BDEF,則AC_L平面8D￡F，

又BM=DM=；BD=?,過(guò)尸作/G_LOE于G,易得四邊形MG/為矩形，則

FG=BD=2\f2a,EG=a,

貝|JEM="a?十（后了=娓a,FM=.十（任了=瓜,￡FJa?十=3"，

2222

EM+FM=EF>則EWJL加，SEFM=^EM-FM=^-afAC=2?，

則匕=匕一印“+%出襁=：47?5瓦“=243,則2匕=3匕，匕=3匕，匕=可+匕，故A、B錯(cuò)

誤；C、D正確.

故選：CD.

7.（多選題）（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）雙曲線。的兩個(gè)焦點(diǎn)為小居，以C的實(shí)軸為直徑

的圓記為。，過(guò)耳作。的切線與C交于M,N兩點(diǎn)，且cos/￡Ng=],則。的離心率為

（）

A4sK3r.THnV17

2222

【答案】AC

【解析】[方法一]:幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用

情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過(guò)￡作圓。的切線切點(diǎn)為B,

3

所以0B_LF|N,因?yàn)閏osNK”=]>0,所以N在雙曲線的左支，

|OB|=a,\OF]=ct忖B|=b,設(shè)由即cosa=|,則sina=g,

35

\NA\=-a,\NF2\=-a

|NE|-|NI^|=2^

5/3.

—a-\—a-2b=2a,

2【2）

.非

92bh=a,..e=—

2

選A

情況二

若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)閏osN耳N￡=|>0,所以N在雙曲線的右支,

所以|OB|二a,|0制=d|FjB|=b,設(shè)N6NE=a,

334

由COS/KM^=M，HPcosa=-則sina-

5

3S

|NA|=-?,|NH|=-a

|NI^|-|NF,|=2?

—3a+m2b——5a=2ra,

22

所以》=%，即2=?,

a2

所以雙曲線的離心率6=（=，7^=卓

選C

［方法二］:答案回代法

A選項(xiàng)e=-

2

特值雙曲線

2

丁=.耳卜技0）,月（石⑼：

過(guò)耳且與圓相切的一條直線為y=2(x+6卜

兩交點(diǎn)都在左支,阮-瀘｝

.?,|N^|=5,|N^|=1,|^E|=275,

3

則cosN￡Ng=g,

—、止YJE\f\3

CiAi項(xiàng)e=-----

2

特值雙曲線［￡(-x/i3,0),E,(713,0),

過(guò)耳且與圓相切的一條直線為y=g(x+9),

兩交點(diǎn)在左右兩支，N在右支，，N(5"5,55/萬(wàn))，

/.|NE|=5jNFj|=9,|^E|=2V13,

3

則cosNENg=g,

［方法三］:

依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過(guò)K作圓O的切線切點(diǎn)為G,

若M,N分別在左右支，

因?yàn)?。G_LN^,且cosN^N鳥(niǎo)=|>0,所以N在雙曲線的右支,

又|四=%\OF\=c,\GF］=bt

設(shè)4F\NF2=a,KRN=0,

2c

在aKN瑪中，有粵=

sinpsinI(a"+夕)sina

MH網(wǎng)=且°

sin(a+^)-sinpsinasinia+,)-sin,sina

'sinacos/?+cosasin/?-sinsina

h3._ab...4

而cosa=-，sinp=—,cospn=-,故s】na=一,

See5

代入整理得到乃=3a,即2=1，

a2

所以雙曲線的離心率《=￡=、［^=巫

a\a22

若M,N均在左支上,

|NF,|\NF.\2Cb

同理有L4==——，其中夕為鈍角，故cos〃=-2,

sinpsin(a+3p)、sinac

故版HM「2c即____________g____________=」_

sin6一sin(a+/7)sinasin0-sinacosp-cosasinpsina

代入8sa=g,sin^=-,sina=g,整理得到："=',

5c54b+2a4

故選：AC.

8.（多選題）（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（幻及其導(dǎo)函數(shù)/'（X）的定義域均為R,

記g(x)=/(%),若觀2+幻均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g(-g)=。C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】［方法一］:對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究

對(duì)于/*),因?yàn)閱枰?人］為偶函數(shù),所以/'(|-2'］=/(|+2,即噌一:|=巾+’①,

所以〃3-力二〃力，所以/(X)關(guān)于4對(duì)稱，則/(-1)=/(4),故C正確；

對(duì)于g(x),因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù)，g(2+x)=g(2—x),g(4—x)=g(x),所以g(x)關(guān)于x=2

對(duì)稱,由①求導(dǎo),和g(x)=f'(x).得

/(A)］十(”)］。-/'弓7卜,(”卜08(6)，所以

g(3r)+g(x)=0,所以g(x)關(guān)于g,0)對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,所以g《)=°，結(jié)合g(x)

關(guān)于x=2對(duì)稱，從而周期T=4x(2—|)=2,所以g(一￡］=g(T)=0，g(T)=g(l)=-g(2)，

故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(幻+。(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定f(x)

的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

［方法二］:【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.

由方法一知g(x)周期為2,關(guān)于x=2對(duì)稱，故可設(shè)g(x)=cos(心:)，則f(x)=,sin(7u:)+c,

7C

顯然A,D錯(cuò)誤，選BC.

故選：BC.

［方法三］:

因?yàn)閱?2x),g(2+x)均為偶函數(shù),

所以/(T一2")=+即/g一')='(^+')‘g(2+x)=g(2-x),

所以f(3-x)=/(x),gd)=g@),則/(—1)=/(4),故C正確;

3

函數(shù)/*),g(x)的圖象分別關(guān)于直線x=］x=2對(duì)稱，

又g(x)=/'(x),且函數(shù)可導(dǎo),

所以g代卜°送(3一”)二一g(x)，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x),

所以g(-￡j=g(l)=0，江-1)=晨1)=一8(2)，故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)/*)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(。為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無(wú)法確定/(x)

的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難

度較高，是該題的通性通法；

方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.

【方法技巧與總結(jié)】

1、排除法也叫篩選法或淘汰法，使用排除法的前提條件是答案唯一，具體的做法是采

用簡(jiǎn)捷有效的手段對(duì)各個(gè)備選答案進(jìn)行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾支逐一排除，從

而獲得正確結(jié)論.

2、特殊值法：從題干(或選項(xiàng))出發(fā)，通過(guò)選取特殊情況代入，將問(wèn)題特殊化或構(gòu)造

滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進(jìn)行判斷.特值法是“小題小做”的重要策略，要注意

在怎樣的情況下才可使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊數(shù)列等.

3、圖解法：對(duì)于一些含有幾何背景的題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖

形，并通過(guò)對(duì)圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果.這類問(wèn)題的幾何意義一般較

為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等.

4、構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法，依據(jù)問(wèn)題給出的條件和結(jié)

論給出的信息，把問(wèn)題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚?，?gòu)造與問(wèn)題相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，

從而找到解題的方法

5、估算法：由于選擇題提供了唯一正確的選項(xiàng)，解答又無(wú)需過(guò)程.因此，有些題目，

不必進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，只需對(duì)其數(shù)值特點(diǎn)和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，便能作出正確的判斷,

這就是估算法.估算法往往可以減少運(yùn)算量.

6、檢驗(yàn)法：將選項(xiàng)分別代人題設(shè)中或?qū)㈩}設(shè)代人選項(xiàng)中逐一檢驗(yàn)，確定正確選項(xiàng).

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)一：直接法

【典型例題】

例1.(2022春?貴州貴陽(yáng)?高三統(tǒng)考期中)基本再生數(shù)凡與世代間隔7是新冠肺炎的流

行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所

需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/（，）二e"描述累計(jì)感染病例數(shù)

/?）隨時(shí)間，（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率/?與%,7近似滿足％=1+".有學(xué)

者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出％=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例

數(shù)增加3倍需要的時(shí)間約為（加2ao.69）（）

A.1.8天B.2.5天C.3.6天Z）.4.2天

【答案】C

【解析】把以二3.28,7=6代入%=1+〃，可得r=0.38,所以

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加3倍需要的時(shí)間為*

則有/(f+fj=4/(f),即e°鴻F)=4e°叫整理有e°■婀=4,

rt,sco.AA,JZP>In421n22x0.69”

則0.38%=ln4,解得——=----工------=3.6.

1,0.380.380.38

故選：C.

例2.（2022春.廣東深圳.高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)

/(x)=sin<yx+sins+1）?>0）,己知f（x）在［0,可上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，則3的取值

范圍是（）.

71047101311

A.B.D.

3,T3,33,3

【答案】A

【解析】由題知,

n2sms+且-a兀

/(x)=sin69X+sina)x+—J5sin|o)x-\--|,

3226

因?yàn)槿?0,可.

兀n

所以公t+gw—，。兀+一

o66

因?yàn)閒（力在［o,可上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn),

所以當(dāng)<3兀+三<=，解得（〈?wig,

26233

所以。的取值范圍是《，?，

故選：4

例3.（多選題）（2022春?吉林長(zhǎng)春?高一東北師大附中校考期中）設(shè)函數(shù)/*）的定義域?yàn)镽,

滿足f（x）=2f（x-2），且當(dāng)xw（0,2］時(shí)，/（x）=x（2-x）,若對(duì)任意、e（一,M,都有f（x）<3,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值可以是（）

A.3B.4c-1D-T

【答案】ABC

[解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)的定義域?yàn)镽，滿足=2/(X-2)，且當(dāng)xe(0,2]時(shí)，/(x)=x(2-x),

所以當(dāng)Xw(2,4]時(shí),f(x)=2(x-2)[2-(x-2)]=2(x-2)(4-x),

當(dāng)xe(4,6|時(shí)，f(x)=4[(x-2)-2]|4-(x-2)]=4(x-4)(6-x),

函數(shù)部分圖象如圖所示，

911

由4(x-4)(6-x)=3,得4%2_40X+99=0,解得x=或“=]，

因?yàn)閷?duì)任意,都有，(萬(wàn)(3,

9

所以由圖可知機(jī)工；；，

故選：ABC

核心考點(diǎn)二：特珠法

【典型例題】

例4.(遼寧省鞍山市第一中學(xué)2022屆高三下學(xué)期六模考試數(shù)學(xué)試題)若e>b>a>@,

m=ah,〃=b“,P=log"則”，n,〃這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為()

A.B.n>p>m

C.n>m>pD,m>p>n

【答案】C

【解析】因?yàn)樗匀　?22=：,則

5-

m=ab=2^=\J2^=\/32e(5,6)?

〃二8"=(|)弓=6.25,

p=logwb=log,1e(1,2),所以〃

故選：C.

例5.(多選題)(廣東省佛山市順德區(qū)2022屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題)已知0〈人vavl,

則下列不等式成立的是()

A.log”。<log/B.logrtb>1C.a\nb<b\x\aD.a\x\a>b\nb

【答案】BC

log,力-lo&a=世一毆=愴28一尼％=(lg"TM(lg"lg“)

【解析】選項(xiàng)A：

bIgaTgblg?lg/?Igalgb

[tlO<Z><a<l,可得lgb<lga<。,

則lgblga>0,Igb-lgavO,lg/?+Iga<0

(lgZ?-lga)(lgZ?+lg?)

則>o,則心g*>log".判斷錯(cuò)誤;

lgalg〃

選項(xiàng)B：由0va<l,可得丁=log/為(0,+8)上減函數(shù)，

又0<Z?<a,則log“力>log“。=1.判斷正確；

選項(xiàng)C：由0<avl,可知y=a*為R上減函數(shù)，又匕va,則a">a"

由a>0,可知丁=/為(0,+oo)上增函數(shù)，又bva,則則方“

又y=lnx為(0,+oo)上增函數(shù)，則ina*>ln〃"，則alnbv勿na.判斷正確;

選項(xiàng)D：令4=2，b=\,則Ovbvavl,

ee

.1.111.12

ama=—\v\—=—,ZL1?ln/L?=—In-=--

eeee~e~e"

122-e

貝ijalna-bln/?=——+w=一廠<0，即aInavbln/?.判斷錯(cuò)誤.

eee-

故選：BC

例6.(多選題)(2022春?重慶沙坪壩?高一重慶一中?？茧A段練習(xí))我們知道，函數(shù)y=/(x)

的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以

將其推廣為：函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。力)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=/(x+a)-、為奇函數(shù).現(xiàn)已知函數(shù)/(同=以+4+%則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)y=/(x+l)-2a為奇函數(shù)

B.當(dāng)a>0時(shí)，，(力在(1,e)上單調(diào)遞增

C.若方程/(力=0有實(shí)根，則aw(y>,0)D[L+8)

D.設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)g(x)關(guān)于(1,1)中心對(duì)稱，若a=T，且/(x)與g(x)的圖象共有2022

個(gè)交點(diǎn)，記為4(4丫)(，=1,2,■?,2022),則(Xi+y)+(W+%)++%22+%22)的值為4044

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A..f(x+\)-2a=a(x+\)+—^--+a-2a=ax+—

由解析式可知y=or+一是奇函數(shù)，故A正確；

x

對(duì)于B.特殊值法

“=1"2,*2)=2〃+六+心+1

2~2-1

即7(I)一/⑵用費(fèi)若0<。<2,則/(x)在(1收)上不是單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C.令/(力=奴+^7+〃=0，分離參數(shù)后〃(l--^2)e(-<x>,O)u(O,l]

x-1\-x

故Ep*W(—8,0)u[l,+8),C正確；

對(duì)于D.由A可知，當(dāng)。時(shí)，“X)關(guān)于(1,1)中心對(duì)稱，且g(力關(guān)7(1,1)中心對(duì)稱，所以

這2022個(gè)交點(diǎn)關(guān)于(1,1)對(duì)稱，故

(入]+電++玄22)+(31+%++丫榻??)=2022+2022=4044,D正確.

故選：ACD

核心考點(diǎn)三：檢驗(yàn)法

【典型例題】

例7.(多選題)(2022?高一課時(shí)練習(xí))對(duì)于定義在R上的函數(shù))，=/(力，若存在非零實(shí)數(shù)而，

使得y=/(x)在(YO,X。)和(如內(nèi))上均有零點(diǎn)，則稱而為y=/(x)的一個(gè)“折點(diǎn)”.下列函數(shù)

中存在“折點(diǎn)”的是()

A./(x)=3|x-l|+2B./(x)=lg(|x|+3)-i

—r4.1

C.f(x)———xD.f(x)=+4

【答案】BC

【解析】A：因?yàn)?。)=31+2230+2=3,所以/(1)沒(méi)有零點(diǎn)，即/(x)沒(méi)有“折點(diǎn)”；

B：當(dāng)xNO時(shí)/(x)=lg(x+3)—3單調(diào)遞增，又/(0)=lg3—gvO,/(7)=lgl0-l>0,

所以/(力在(0,48)上有零點(diǎn).又/(x)=lg(N+3)-；是偶函數(shù)，

所以外力在(3,0)上有零點(diǎn)，所以/(X)存在“折點(diǎn)

C：令f(x)=]-x=0,得x=0或±百，

/(力在(0,”)上有零點(diǎn)，在(華,0)上有零點(diǎn)，即/(X)存在“折點(diǎn)”.

D：令/(x)=急=0,解得戶-1,所以“X)只有一個(gè)零點(diǎn)，即人力沒(méi)有“折點(diǎn)”.

故選：BC

例8.(多選題)(2022?全國(guó),高三專題練習(xí)圮知函數(shù)〃x)=2cos(8+8)-l(0>O,O<e<、

的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且恰好存在2個(gè)毛￡［05，使得/(x)的圖象關(guān)于直線1=/對(duì)稱，則()

n

A.(p=-

B.。的取值范圍為y.yj

C.一定不存在3個(gè)司?0』，使得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)T)對(duì)稱

D./⑶在［o，］上單調(diào)遞減

【答案】ABD

【解析】因?yàn)?(0)=2cos。-1=0,0<8<^，得。=5,A正確.

設(shè)〃=如+?,則y=2cos〃-1

如圖所示，由工目0』，得++所以2乃40+?<3心得,《啰<1,B

正確.

如圖所示，當(dāng)當(dāng)乃時(shí)，存在3個(gè)八目05,使得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4一1)對(duì)稱.C

錯(cuò)誤.

e八1tT八?兀41冗「5/r8乃

因?yàn)閞u0,—,所以〃)X+QO—>―^)+—，又三-?3工3-,

所以,4(0+。<萬(wàn)，所以“可在0,1上單調(diào)遞減，DIE確.

故選：ABD

例9.(多選題)(2022秋?高二課時(shí)練習(xí))在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)

非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾，簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿足一

定條件的連續(xù)函數(shù)/*)，存在一個(gè)點(diǎn)七,使得/(毛)=不，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函

數(shù)，而稱與為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，依據(jù)不動(dòng)點(diǎn)理論，下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)f(x)=sinx有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)

B.函數(shù)/(幻="2+瓜+°(。工0)至多有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)

C.若函數(shù)/。)=奴2+bx+c(“H0)沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，則方程f(/*))=%無(wú)實(shí)根

D.設(shè)函數(shù)/(x)=Je"+1一。(aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若曲線y=sinx上存在點(diǎn)(%,%)

使/(〃%))=%成立，則。的取值范圍是[Le]

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,令g(x)=sinx-凡xeR,=cosx-l<0,當(dāng)且僅當(dāng)cosx=l時(shí)取"今，

則g(x)在R」二單調(diào)遞減，而g(0)=0,即g(x)在R上只有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)/(X)只有一個(gè)不

動(dòng)點(diǎn)，A不正確；

對(duì)于B,因二次函數(shù))，=如、(6-1)工+。至多有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)/⑶至多有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，

B正確；

對(duì)于C,依題意，方程/*)—1=0。辦2+(力—]?+。=0無(wú)實(shí)數(shù)根，即A=S—])2一4〃。<0,

當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)y=fCv)-x的圖象開(kāi)口向卜.,則”x)—x>0恒成立，即HxcR,恒有

f(x)>X,

而/WsR,因此有九人切>/(mX恒成立，即方程/(/(幻)="無(wú)實(shí)根，

當(dāng)〃<0時(shí)，二次函數(shù)>=/*)—x的圖象開(kāi)口向下，則/(幻―xvO恒成立，即VxtR,恒有

f(x)<x,

而/(x)wR,因此有/U?(刈恒成立，即方程/(/(幻)=不無(wú)實(shí)根，

所以函數(shù)/(x)=a?+云+。(。=0)沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，則方程〃/(動(dòng)一無(wú)實(shí)根，C正確；

對(duì)于D,點(diǎn)(%,為)在曲線'=31上，則為￡[—1,1],又于〃％))=穌,即有

當(dāng)時(shí)，/(%)=為滿足/(/(%))=%,顯然函數(shù)f(x)=jex+x—a是定義域上的增

函數(shù)，

若/(y0)>%，則/(/(%))>/(>o)>%與若f(%))=%矛盾，

若/(y0)<y(>，則/(/(%))</(%)v%與/(，(%))=%矛盾，

因此，當(dāng)時(shí)，f(yQ)=yQ,即當(dāng)owxwi時(shí)，/(x)=x,

對(duì)xe[°，l]，Je"+x-a=xo+=e-，令〃(工)=爐一/+%,XG[0,1],

,x

h(x)=e-2x+\>2-2x>0t而兩個(gè)“=”不同時(shí)取得，即當(dāng)xe［0,l］時(shí)，〃(幻>0,

于是得出x)在［0,1］上單調(diào)遞增，有是0)"(冷"(1),即lW〃(x)We,則IKaKe,D正確.

故選：BCD

核心考點(diǎn)四：排除法

【典型例題】

例10.函數(shù)y=/(x)的部分圖象如圖所示，則()

【答案】A

【解析】由題意，函數(shù)f(x)圖象可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù),

對(duì)于A,f(-x)

2(—x+1)—x2(—x-1)

11

-/W，符合題意,

2(1+1)12(J-1)

對(duì)于5,/(-X)=J--L」

2(—x+1)—X2(—x—1)

11

2(*+1)—,+2(T-1)-/M,符合題意,

對(duì)于C,f(-x)=__1

2(-x+l)-x2(-x-l)

111

2(7+1)+，+2(才-1)#-f(Jr),不符合題意,

對(duì)于O,/(-x)=--------5----------+—5—

2(-x+l)-x2(-x-l)

卜一/㈤,不符合題意,

2(1+1)x2(1-1)

故排除C,。選項(xiàng)，

乂當(dāng)x=0.1時(shí)，代入B中函數(shù)解析式,

即/(0.1)=---------------------+--------------

2(0.1+1)0.12(0.1-1)

=--10--<0,不符合題意；

119

故排除8選項(xiàng)，

故選A

例11.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(2-x)=/(2+x),且在(2,轉(zhuǎn))單調(diào)遞增,

【解析】依題意可知函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸方程為x=2,在(2,+8)上單調(diào)遞增，且

/(4)=0,

設(shè)力(x)=f(x+2),則函數(shù)力。)的對(duì)稱軸方程為x=0,在(0、長(zhǎng)。)上單調(diào)遞增，且

力(2)=0,.?.4(x)是偶函數(shù)，且當(dāng)0vxv2時(shí)，〃(x)v0.因此函數(shù)

y=f(x+2)g(x)=〃(x)-x4也是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故可以排除選項(xiàng)A和

D；當(dāng)0vxv2時(shí)，y=h(x)x4<0,由此排除選項(xiàng)C.

例12.如圖1,已知尸ABC是直角梯形，ABI/PC,AB±BC,。在線段PC上，

AO_LPC.將ARW沿4。折起，使平面口4￡>_1_平面A8CD,連接P8,PC,設(shè)PB

的中點(diǎn)為N,如圖2.對(duì)于圖2,下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()

圖】

A.平面P4B_L平面PBCB.8CJL平面PDC

C.PD±ACD.PB=2AN

【答案】4

【解析】解：因?yàn)锳D_LPC,

所以AZ)_L￡)C,AD±PD,

又DC,POu平面PDC,DCcPD=D,

即AT>_L平面PDC,

折疊前有A8//PC,ABIBC,ADA.PC,所以AD〃BC,

所以BC_L平面尸QC,

故B正確.

由于平面BAD_L平面ABC。，平面Q4￡)c平面A8CD=A￡>,PDu平面PAD,且

AD工PD,

所以「D_L平面ABC。，

又ACu平面A3CD，

所以心_LAC,

故C正確.

DC工PD,DCLAD,P￡>cA￡>=O,P。、A。在平面PAD內(nèi)，

「.DC_L平面PAD,

VABHDC,

.?.AB_L平面PA。，乂AAu平面PAD,故A3_LR4,

「.△/X8為直角三角形，N為斜邊的中點(diǎn)，

所以尸B=2AN,故。正確.

由排除法可得A錯(cuò)誤.

故選A

核心考點(diǎn)五：構(gòu)造法

【典型例題】

例13.已知關(guān)于x的不等式如―Inx—ln(/n+l)..O在(0,也)恒成立，則用的取

值范圍是()

A.B.(-1,1]C.(e-1,1]D.(l,e]

【答案】A

【解析】解：ex-mx-lnx-ln(m+1)..0得e*-儂..】n(/n+l)x,

即“+jr?ln(m+l)r+(HI*l)r=/"W"+ln(m+1",

令f(x)=e*+x，xe(0,+oo),則//(1)=i+I>U,故/(%)在xe(0,+oo)單調(diào)遞

增，

若/(x)../(ln(?M+l)x),則/〃+1)/在x￡(0,-Ko)恒成立，

記g(x)=x-ln(m+l)x,則g(x)..O在xe(0,+oo)上恒成立，即g(%)1n^一。'

因?yàn)間(x)=l-'，則當(dāng)不<1時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,

X

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,+oo)上單調(diào)遞增，

故g(X)min=g(D=l-ln(m+l)..O

所以!》(，〃+I)41,即Ovwi+L,e,解得Tv=,e-l,

所以機(jī)的取值范圍是(-l,e-1].

故選：A.

例14.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f\x),若f(x)滿足

(x-l)[r(x)-/(x)]>0,"2-幻=/3)"-2，則下列判斷一定正確的是()

A./(1)</(0)B./⑵少/⑼c/(3)>?/(0)D./(4)<e4/(0)

【答案】C

【解析】解：令8(幻=羋，則g(x)=/a)二"2

ee

???/(x)滿足：("一1)"'(幻一，(刈>0，

.?.當(dāng)xv1時(shí)，/'(X)—f(x)<0./.g'(x)v0.此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

g(—i)>g(0).即^T->犁=/(0).

ee

???/(2-口=/(刈/2,,/(3)=/(-1)^>""(0)/=//(o).

故選：C.

例15.已知a=log萬(wàn)五，力=log1sin35°,c=二,則()

2幾

A.c>b>aB.c>a>bC.b>c>aD.a>b>c

【答案】4

a=log”&二；log；reVglog.乃=g

【解析】解:

—=log(sin45"<b=logfsin350<log)sin30'=1.

2222

設(shè)丁=皿，由y=l2歲”o得：x..e,所以y=皿在［e,+8）單調(diào)遞減，于是:

XXX

\neInn

——>----，

e7i

即：^lne＞eln^,e"＞爐，所以c=J＞l.

;re

所以c＞。＞a.

故選A.

核心考點(diǎn)六：估算法

【典型例題】

例16.（2020春?江蘇淮安?高三江蘇省漣水中學(xué)校考階段練習(xí)）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美

人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是叵［（避二1=0.618稱為黃金分割

22

比例），已知一位美女身高160cm,穿上高跟鞋后肚臍至鞋底的長(zhǎng)度約103.8cm,若她穿上

高跟鞋后達(dá)到黃金比例身材，則她穿的高跟鞋約是（）（結(jié)果保留一位小數(shù)）

A.7.8cmB.7.9cmC.8.0cmD.8.1cm

【答案】B

【解析】設(shè)該美女穿的高跟鞋為大則弛幽±!三=且二1=0.618,解得工。7.9,

103.82

故選：B.

例17.設(shè)函數(shù)“X）是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間［-1,0］上是增函數(shù)，且

f（x+2）=—/（x）,則有（）

人個(gè)）＜艱）=⑴—C）＜《）

c./O＜/（5）＜/g）

【答案】4

【解析】解：根據(jù)題意，定義在R上的奇函數(shù)/(X)滿足/。+2)=一/(%),

當(dāng)時(shí)，有〃|)=_/(一》=〃；)，

函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間[-1,0]上是增函數(shù)，

則/(x)在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù)，

則有〈/⑴，

則有

故選：A

核心考點(diǎn)七：坐標(biāo)法

【典型例題】

例18.在AA8C中，AC=3,BC=4,NC=90。/為-ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),

且PC=1,則/%?麗的取值范圍是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.(-6,4]D.[-4,6]

【答案】。

【解析】解：法一：建立如圖所示坐標(biāo)系，

由題易知，設(shè)。(0,0),4(3,0),5(0,4),?.?PC=1,.?.設(shè)尸(cosdsinS),6>e[0,2^)

PA?PB=(3—cos9,—sin0)(—cos8,4—sin6)=—3cos8—4sin8+cos2^4-sin20

34

=1-5sin(^+^)(sin^=-,cos^>=—)G[-4,6]

7T

法二：注意：<CP,CB>*—<CP,CA>|,且C4C8=0

2

:.PAPB

=(PC+CA)(PC+CB)

PC2+PCCA+PCCBCACB

=PC2-CPCA-CPCB+CACB

=1-3cos<CP,CA>-4cos<CP,CB>+0

=l-3cos<CP,CA>-4sin<CP,CA>

=1—5sin[<CP,CA>+(p\

其中，夕￡（0,9，tan『=；.

?I領(lǐng)P4PB6

例19.如圖，在直角梯形ABC。中，AB//CD,AD1DC,AD=DC2AB,E為AD

的中點(diǎn)，若CA=2CE+〃DB（九〃sR）,則2+〃的值為（）

C.2

55

【答案】B

【解析】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.

A(0,2),

8(1,2),及0,1).

CA=(-2,2),CE=(-2,1),。8=(1,2),

CA=ACE+pDB,

/.(-2,2)=2(-2J)+Xt2),

—22+//=-2

■,^+2x7=2'

解得;i=9,〃=2.

55

Q

則2+〃=

故選：B.

例20.(多選題)如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。中，尸為以A為圓心、A8為半徑

的圓弧80（包含8,力）上的任意一點(diǎn)，且AP=xAB+），A。，則下列結(jié)論正確的是

)

A.x+y的最大值為J5

5

B.工+），的最小值為三

C.APAO的最大值為4

D.2的最小值為4-45歷

【答案】ACD

【解析】解：分別以48,4。所在直線為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,

設(shè)P(2cosJ,2sin0),。u[0,力，則4B=(2,0),AD=(0,2),4尸=(2cos夕2sin。)，

2

AP=cos04B+sineA。，=(2—2cos/一2sin〃)，尸。=(—2cos仇2—2sin0),

由條件知：x=8S。，y=sin。，x+y=J^sin(0+￥)6[l,J5],故A正確，B錯(cuò)誤.

4

4PAD=4sin6>G[0,4],POP^=4-4&sin(e+^)e[4—40,O],故C,。正確.