2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何8.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)三視圖和直觀圖教案文含解析新人教A版

PAGEPAGE10§8.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖最新考綱考情考向分析1.相識柱、錐、臺、球及其簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡潔物體的結(jié)構(gòu)．2.能畫出簡潔空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等簡易組合)的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖．3.會用平行投影方法畫出簡潔空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖是高考重點考查的內(nèi)容．主要考查依據(jù)幾何體的三視圖求其體積與表面積．對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖的考查，以選擇題和填空題為主.1．多面體的結(jié)構(gòu)特征2．旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任始終角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線3.三視圖與直觀圖直觀圖空間幾何的直觀圖：常用斜二測畫法來畫．基本步驟是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸，y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直；(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為原來的一半三視圖畫法規(guī)則：長對正，高平齊，寬相等概念方法微思索1．底面是正多邊形的棱柱是正棱柱嗎，為什么？提示不肯定．因為底面是正多邊形的直棱柱才是正棱柱．2．什么是三視圖？怎樣畫三視圖？提示光線自物體的正前方投射所得的正投影稱為主視圖，自左向右的正投影稱為左視圖，自上向下的正投影稱為俯視圖，幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖統(tǒng)稱為三視圖．畫幾何體的三視圖的要求是主視圖與俯視圖長對正；主視圖與左視圖高平齊；左視圖與俯視圖寬相等．題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(×)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的截面與底面之間的部分．(√)(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．(×)(5)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．(×)(6)菱形的直觀圖仍是菱形．(×)題組二教材改編2．下列說法正確的是()A．相等的角在直觀圖中仍舊相等B．相等的線段在直觀圖中仍舊相等C．正方形的直觀圖是正方形D．若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍舊平行答案D解析由直觀圖的畫法規(guī)則知，角度、長度都有可能變更，而線段的平行關(guān)系不變．3．在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為________．(填寫全部正確的序號)答案③⑤題組三易錯自糾4．某空間幾何體的主視圖是三角形，則該幾何體不行能是()A．圓柱B．圓錐C．四面體D．三棱柱答案A解析由三視圖學(xué)問知，圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其主視圖為三角形，而圓柱的主視圖不行能為三角形．5．(2024·沈陽模擬)如圖是正方體截去陰影部分所得的幾何體，則該幾何體的左視圖是()答案C解析此幾何體左視圖是從左邊向右邊看．故選C.6．如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形答案D解析由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后AC∥y軸，BC∥x軸．所以△ABC是直角三角形．故選D.7．(2024·全國Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點M在主視圖上的對應(yīng)點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2答案B解析先畫出圓柱的直觀圖，依據(jù)題中的三視圖可知，點M，N的位置如圖①所示．圓柱的側(cè)面綻開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．|ON|＝eq\f(1,4)×16＝4，|OM|＝2，∴|MN|＝eq\r(|OM|2＋|ON|2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故選B.題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．以下命題：①以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確命題的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案B解析由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知①②錯誤，③正確．對于命題④，只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，④不正確．2．給出下列四個命題：①有兩個側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正確的命題為________．(填序號)答案①②③解析對于①，平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能是矩形，故①錯；對于②，對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖)，故②錯；對于③，若底面不是矩形，則③錯；④由線面垂直的判定，可知側(cè)棱垂直于底面，故④正確．綜上，命題①②③不正確．思維升華空間幾何體概念辨析題的常用方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，依據(jù)定義進行判定．(2)反例法：通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析．題型二簡潔幾何體的三視圖命題點1已知幾何體識別三視圖例1(2024·全國Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A解析由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.命題點2已知三視圖，推斷簡潔幾何體的形態(tài)例2如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是()A．三棱錐 B．三棱柱C．四棱錐 D．四棱柱答案B解析由題意知，該幾何體的三視圖為一個三角形、兩個四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱．命題點3已知三視圖中的兩個視圖，推斷第三個視圖例3一個錐體的主視圖和左視圖如圖所示，下列選項中，不行能是該錐體的俯視圖的是()答案C解析A，B，D選項滿意三視圖作法規(guī)則，C不滿意三視圖作法規(guī)則中的寬相等，故C不行能是該錐體的俯視圖．思維升華三視圖問題的常見類型及解題策略(1)留意視察方向，看到的部分用實線表示，不能看到的部分用虛線．(2)還原幾何體．要熟識柱、錐、臺、球的三視圖，結(jié)合空間想象還原．(3)由部分視圖畫出剩余的部分視圖．先揣測，還原，再推斷．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·大連模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為BD1的中點，則△PAC在該正方體各個面上的正投影可能是()A．①②B．①④C．②③D．②④答案B解析P點在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△PAC在上底面或下底面的投影為①，在前、后面以及左、右面的投影為④.(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中最長棱的長度為()A．3eq\r(3)B．2eq\r(6)C.eq\r(21)D．2eq\r(5)答案B解析由三視圖得，該幾何體為四棱錐P－ABCD，如圖所示．側(cè)面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，過點P作PE⊥AB，垂足為點E，則AE＝1，BE＝2，AD＝2，PE＝4，則該幾何體中最長的棱為PC＝eq\r(42＋22＋22)＝2eq\r(6)，故選B.題型三空間幾何體的直觀圖例4已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．答案eq\f(\r(2),2)解析如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖．因為OE＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝eq\f(1＋3,2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).思維升華用斜二測畫法畫直觀圖的技巧在原圖形中與軸平行的線段在直觀圖中與軸平行，不平行的線段先畫線段的端點再連線．跟蹤訓(xùn)練2如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測畫法)是一個底角為45°、腰和上底長均為2的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是()A．2＋eq\r(2)B．1＋eq\r(2)C．4＋2eq\r(2)D．8＋4eq\r(2)答案D解析由已知直觀圖依據(jù)斜二測畫法規(guī)則畫出原平面圖形，如圖所示，所以這個平面圖形的面積為eq\f(4×2＋2＋2\r(2),2)＝8＋4eq\r(2)，故選D.1．(2024·遼寧部分重點中學(xué)協(xié)作體模擬)在一個密閉透亮的圓柱筒內(nèi)裝肯定體積的水，將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時，指出圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形態(tài)不行能是()A．圓面 B．矩形面C．梯形面 D．橢圓面或部分橢圓面答案C解析將圓柱桶豎放，水面為圓面；將圓柱桶斜放，水面為橢圓面或部分橢圓面；將圓柱桶水平放置，水面為矩形面，所以圓柱桶內(nèi)的水平面可以呈現(xiàn)出的幾何形態(tài)不行能是梯形面，故選C.2.如圖所示，四面體ABCD的四個頂點是長方體的四個頂點(長方體是虛擬圖形，起協(xié)助作用)，則四面體ABCD的三視圖是(用①②③④⑤⑥代表圖形)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D(zhuǎn)．③④⑤答案B解析主視圖應(yīng)當(dāng)是邊長為3和4的矩形，其對角線左下到右上是實線，左上到右下是虛線，因此主視圖是①，左視圖應(yīng)當(dāng)是邊長為5和4的矩形，其對角線左上到右下是實線，左下到右上是虛線，因此左視圖是②；俯視圖應(yīng)當(dāng)是邊長為3和5的矩形，其對角線左上到右下是實線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③.3．用隨意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體肯定是()A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體答案C解析截面是隨意的且都是圓面，則該幾何體為球體．4．某幾何體的主視圖與左視圖如圖所示，則它的俯視圖不行能是()答案C解析若幾何體為兩個圓錐體的組合體，則俯視圖為A；若幾何體為四棱錐與圓錐的組合體，則俯視圖為B；若幾何體為兩個四棱錐的組合體，則俯視圖為D；不行能為C，故選C.5．在一個幾何體的三視圖中，主視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的左視圖為()答案D解析由主視圖與俯視圖知，幾何體是一個三棱錐與被軸截面截開的半個圓錐的組合體，故左視圖為D.6．如圖為幾何體的三視圖，依據(jù)三視圖可以推斷這個幾何體為()A．圓錐 B．三棱錐C．三棱柱 D．三棱臺答案C7．(2024·赤峰模擬)已知底面是直角三角形的直棱柱的主視圖、俯視圖如右圖所示，則該棱柱的左視圖的面積為()A．18eq\r(6) B．18eq\r(3)C．18eq\r(2) D.eq\f(27,2)eq\r(2)答案C解析設(shè)左視圖的長為x，則x2＝6×3＝18，∴x＝3eq\r(2).所以左視圖的面積為S＝3eq\r(2)×6＝18eq\r(2).故選C.8．用一個平面去截正方體，則截面不行能是()A．直角三角形 B．等邊三角形C．正方形 D．正六邊形答案A解析用一個平面去截正方體，則截面的狀況為：①截面為三角形時，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不行能是鈍角三角形、直角三角形；②截面為四邊形時，可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形、矩形，但不行能是直角梯形；③截面為五邊形時，不行能是正五邊形；④截面為六邊形時，可以是正六邊形．9.一水平放置的平面四邊形OABC，用斜二測畫法畫出它的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原平面四邊形OABC的面積為________．答案2eq\r(2)解析因為直觀圖的面積是原圖形面積的eq\f(\r(2),4)倍，且直觀圖的面積為1，所以原圖形的面積為2eq\r(2).10.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點，則三棱錐P－ABC的主視圖與左視圖的面積的比值為________．答案1解析如題圖所示，設(shè)正方體的棱長為a，則三棱錐P－ABC的主視圖與左視圖都是三角形，且面積都是eq\f(1,2)a2，故面積的比值為1.11．給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直；③在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；④存在每個面都是直角三角形的四面體．其中正確命題的序號是________．答案②③④解析①不正確，依據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不肯定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面所在的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形．12．某四面體的三視圖由如圖所示的三個直角三角形構(gòu)成，則該四面體六條棱長最長的為________．答案eq\r(41)解析四面體如圖所示，其中SB⊥平面ABC且在△ABC中，∠ACB＝90°.由SB⊥平面ABC，AB?平面ABC得SB⊥AB，同理SB⊥BC，所以棱長最長的為SA且SA＝eq\r(SB2＋AB2)＝eq\r(SB2＋AC2＋BC2)＝eq\r(41).13.如圖，在一個正方體內(nèi)放入兩個半徑不相等的球O1，O2，這兩個球外切，且球O1與正方體共頂點A的三個面相切，球O2與正方體共頂點B1的三個面相切，則兩球在正方體的面AA1C1C上的正投影是()答案B解析由題意可以推斷出兩球在正方體的面上的正投影與正方形相切．由于兩球球心連線AB1與面A