2024年天津市九年級中考數(shù)學模擬匯編-圖形綜合（填空題）

試卷第=page11頁，共=sectionpages88頁試卷第=page66頁，共=sectionpages88頁2024年天津中考模擬匯編——圖形綜合（填空題）知識清單：全等三角形的判定：SSS（邊邊邊）：如果兩個三角形的三邊分別相等，則這兩個三角形全等。SAS（邊角邊）：如果兩個三角形的兩邊及它們之間的夾角分別相等，則這兩個三角形全等。ASA（角邊角）：如果兩個三角形的兩角及它們之間的夾邊分別相等，則這兩個三角形全等。AAS（角角邊）：如果兩個三角形的兩角及其中一個角的對邊分別相等，則這兩個三角形全等。HL（斜邊、直角邊）：在直角三角形中，如果一條斜邊和一條直角邊分別相等，則這兩個直角三角形全等。四邊形的性質：平行四邊形常用到的性質：=1\*GB3①平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等。=2\*GB3②平行四邊形的兩條對角線互相平分。=3\*GB3③平行四邊形的四個內角和為360度，兩組對角分別對應相等，任意兩個鄰角都互補。=4\*GB3④平行四邊形的任何一條對角線都能把它分成兩個全等的三角形；平行四邊形的兩條對角線，可以把它分成四個未必全等、但面積一定相等的三角形。=5\*GB3⑤平行四邊形的兩條對角線的長度的平方和，等于四條邊長度的平方和?？紤]到平行四邊形的對邊長相等，更進一步地，平行四邊形的兩條對角線的長度的平方和，等于平行四邊形的一組鄰邊長度平方和的2倍。長方形的性質:=1\*GB3①長方形的四個角都是直角；=2\*GB3②長方形的鄰邊互相垂直；=3\*GB3③對角線互相平分且相等；=4\*GB3④長方形的任何一條對角線都能把它分成兩個全等的直角三角形。=5\*GB3⑤長方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。菱形的性質：=1\*GB3①四條邊長都相等；②對角線互相垂直平分；③菱形都是中心對稱圖形；=4\*GB3④具備平行四邊形的一切性質。正方形的性質：四個角都是直角，四條邊長都相等；對角線長度相等且互相垂直平分；任意一組鄰邊都垂直且長度相等；正方形的任何一條對角線都能把它分成兩個全等的等腰直角三角形。正方形的兩條對角線把它分成四個全等的等腰直角三角形；所有的正方形，既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。三角形中位線：定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一。特點：若在一個三角形中，一條線段是平行于一條邊，且等于平行邊的一半（這條線段的端點必須是交于另外兩條邊上的中點），這條線段就是這個三角形的中位線。說明：在幾何題中，特別是在兩直線平行或線段的等量關系或角的等量關系中，三角形中位線起著獨特的作用，有時甚至非它莫許。因此凡是題設中有中點出現(xiàn)，就不妨設法應用中位線定理來進行計算，也許很有效。1．（2024·天津和平·二模）如圖，正方形的邊長為4，點在邊上，，作等腰直角三角形．（1）的長為．（2）若為AF的中點，連接DM，則DM的長為．2．（2024·天津濱海新·一模）如圖，菱形的邊長為6，對角線的長為，為的中點，過點作的垂線，垂足為，與交于點，與的延長線交于點．（1）的長為．（2）若為的中點，連接，則的長為．3．（2024·天津·一模）如圖，E是正方形對角線上一點，過點E作的垂線，交于點F，以，為邊作矩形，連接，（1）的長為；（2）若，則的長為．4．（2024·天津西青·一模）如圖，在中，對角線，相交于點，，，為上一點，平分，過點作于點，交于點．（1）寫出圖中的一個等腰直角三角形是；（2）若，則的長為．5．（2024·天津河北·一模）如圖，在邊長為6的正方形中，點M為的中點，點E在上，，等腰三角形中，．（1）的面積為；（2）若N為的中點，則的值為．6．（2024·天津河東·一模）如圖，在中，，，點在外，連接，過點作，交于點，連接，若，則（Ⅰ）線段的長等于；（Ⅱ）的面積為．7．（2024·天津武清·三模）如圖，菱形的邊長為5，對角線的長為8．（1）的面積為；（2）點E是邊上一點，過點E作的垂線，交于點F，交的延長線于點G，若點F為的中點，則的長為．

8．（2024·河南南陽·一模）如圖，矩形中，，，把沿著翻折得到，連接交于點，點是的中點，點是的中點，連接，則的長為．9．（2024·天津和平·三模）如圖，在菱形中，對角線交于點O，點E為的中點，連接，．

（Ⅰ）的面積為；（Ⅱ）若點F為的中點，連接交于點G，，則線段的長為．10．（2024·天津紅橋·三模）如圖，在中，，，，D為邊的中點，點E在邊上，且．（1）的長為．（2）若點F為的中點，點G為的中點，則的長為．11．（2024·天津濱海新·二模）如圖，四邊形是正方形，邊長為，是邊上的動點，在正方形的外側以為邊作正方形，連接，若為的中點，連接，則線段的最小值為．12．（2024·天津·二模）如圖，正方形的邊長為4，點E是邊的中點，，交正方形外角的平分線于點F．（1）的面積為；（2）若M是的中點，連接，則的長為．13．（2024·天津紅橋·二模）如圖，在中，．（1）的面積為；（2）以為邊作正方形，過點作，與的延長線相交于點，則的長為．14．（2024·天津河西·一模）如圖，在四邊形中，，，連接對角線AC、BD，，，若為的中點，為的中點，連接．

（Ⅰ）四邊形的面積為．（Ⅱ）的長為．15．（2024·天津河北·二模）如圖，正方形的邊長為，作以為底的等腰三角形，

(1)的面積為；(2)若，分別為，的中點，為的中點，射線，相交于點，則的長為．16．（2024·天津西青·二模）如圖，在正方形中，對角線相交于點O，點E是上一點，連接并延長至點F，使得，過點F作，交的延長線于點H連接．

（Ⅰ）的度數(shù)是（度）；（Ⅱ）若，，則的長為．17．（2024·天津南開·一模）如圖，在等腰中，，過點C作，連接，交于點，點為中點，連接，，若，則．18．（2024·天津河西·二模）如圖，在邊長為4的正方形的外側，作直角三角形，，且．（Ⅰ）與的長度和為；（Ⅱ）若O為的中點，連接，則的長為．19．（2024·天津河東·二模）如圖，E為平行四邊形外一點，且滿足，，，．（Ⅰ）平行四邊形的面積為；（Ⅱ）若點M，N分別在線段，上，連接，當時，連接，，的最小值為．20．（2024·天津南開·二模）如圖，，均為等腰直角三角形，其中，，點A，E，D在同一直線，與相交于點F，G為的中點，連接，．（1）的度數(shù)為．（2）若F為的中點，且，則的長為．21．（23-24八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）在等邊中，點F為延長線上一點，點D是的中點，連接交于點M，以為邊向下作等邊，連接，若，，則的長為．22．（2024·天津和平·一模）如圖，已知半圓的直徑長為2，點為中點，為上任意一點，與相交于點．（1）（度）；（2）的最小值為．答案第=page1111頁，共=sectionpages3333頁答案第=page1212頁，共=sectionpages3333頁參考答案：1．【分析】1）在上取一點，使，構造等腰直角、，從而可得，（2）延長交延長線于點，可得等腰直角，為中位線，由此即可解題．【詳解】解：（1）在上取一點，使，在正方形的邊長為4，∴，，∴，，∵，∴，∴，又∵在等腰直角中，，∴，∴，∵，∴，（2）延長交延長線于點，由（1）：，，∴,∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，故答案為（1），（2）．【點睛】本題是正方形與三角形的綜合，主要考查了三角形全等、正方形的性質、勾股定理，利用一線三垂直作輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．2．3【分析】本題考查了菱形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理，熟練掌握萎形的性質是解題的關鍵．(1)利用條件證明出，即可得到答案；(2)連接交于點O，連接，利用平行線段成比例求出，再求出，在中求出，在中，再求出G為，求出是的中位線，從而求出長度即可．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，在與中，為的中點，，故答案為：3．（2）連接交于點O，連接，為菱形，，E為的中點，，，，，，在中，在中，，，G為的中點，又為的中點，是的中位線，，故答案為：．3．【分析】本題考查了正方形的判定與性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理．（1）如圖，過點作，垂足為，過點作，垂足為，利用正方形的性質，證明，根據(jù)矩形的性質易得，即可證得，得到，進而證得矩形是正方形，再根據(jù)正方形性質證得，，，然后由全等三角形判定（邊角邊）可證得，即可得到，解題關鍵是合理添加輔助線構造全等三角形，找到對應邊的關系；（2）如圖，過點作，垂足為，由正方形性質易得是等腰直角三角形，求得，再根據(jù)，得，然后根據(jù)勾股定理得，計算即可得出答案，解題關鍵是合理添加輔助線構造直角三角形，并利用勾股定理解三角形．【詳解】解：（1）如圖，過點作，垂足為，過點作，垂足為，四邊形是正方形，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，矩形是正方形，，，又，，，故答案為：；（2）如圖，過點作，垂足為，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，，，，故答案為．4．（答案不唯一）4【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的定義即可求解；（2）過點作，由是等腰三角形，根據(jù)三線合一可知點是的中點，可證得，根據(jù)已知可求得，從而得，為等腰直角三角形，可得，因此可證明，則，在中，利用勾股定理可求得，即得答案．【詳解】（1）解：是等腰直角三角形故答案為：（答案不唯一）；（2）解：過點作，交于，，由題意得：.又BE平分，，點為的中點，，，，又，，，又，，又，，，設，則，在中，，即，解得（負值不符合題意，已舍去），即，．故答案為：4．【點睛】考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的性質，三線合一的應用，平行線的性質，全等三角形的判定和性質，利用勾股定理求三角形邊長，熟記圖形的性質定理是解題的關鍵．5．/【分析】（1）如圖1，作的延長線于，則，，由，可得，則，根據(jù)，計算求解即可；（2）如圖2，連接交的延長線于，作的延長線于，連接，則四邊形是矩形，則，，，證明，則，，，是的中點，是的中位線，則，由勾股定理得，，進而可求．【詳解】（1）解：如圖1，作的延長線于，∵正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：如圖2，連接交的延長線于，作的延長線于，連接，則四邊形是矩形，∴，，，∵，∴，∴，，∴，是的中點，又∵N為的中點，∴是的中位線，∴，∴由勾股定理得，；∴，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，正弦，全等三角形的判定與性質，中位線，勾股定理，矩形的判定與性質等知識．熟練掌握正方形的性質，正弦，全等三角形的判定與性質，中位線，勾股定理，矩形的判定與性質是解題的關鍵．6．25【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理求解即可；（2）根據(jù)證明得，可得A，C，B，E四點共圓，從而，然后求出，再根據(jù)勾股定理求出即可求解．【詳解】解：（1），∴．∵，∴；（2）∵∴∴∴A，C，B，E四點共圓，∴．是等腰直角三角形∴故答案為：2，5．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，四點共圓，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．7．【分析】本題主要考查了菱形的性質，平行四邊形的判定與性質，三角形中位線定理及勾股定理等知識，熟練掌握菱形、平行四邊形的性質和勾股定理是解題的關鍵．（1）連接，交于點，先證，再得到是的中位線，再證四邊形是平行四邊形，得，然后由勾股定理求出即可求出三角形的面積；（2）先證明是的中位線，得到的長，再證明四邊形是平行四邊形，得到，即可求解．【詳解】解：（1）連接，交于點，如圖所示：

∵菱形的邊長為5，，∴，，，，在中，∴，故答案為：；（2）由（1）可得：∵，∴，∵點是邊的中點，∴是的中位線，∴，∵是菱形的對角線，又∵∴四邊形是平行四邊形，，∴，，∴，故答案為：．8．【分析】如圖所示，連接，過點作于點，與交于點，可證都是等腰直角三角形，點是的中點，可得是的中位線，是的中位線，再證，可得，在中根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，與交于點，

∵四邊形是矩形，，∴，，，∵沿著翻折得到，∴，，則，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，且，∴是等腰直角三角形，則，在中，點是的中點，，，∴，∴，即，∴，即點是的中點，∴是的中位線，則，∵，，∴點是的中點，∵點是的中點，∴是的中位線，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，在中，，∴，∴，，∴點是的中點，∴，∴在中，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查矩形的性質，等腰三角形的性質，中位線的判定和性質，直角三角形的性質，平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定和性質的綜合，掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵．9．12【分析】（1）根據(jù)三角形中線求面積即可；（2）過點E作于點M，由菱形的性質，是的中位線，得，因此，推出，得到，從而求出的長，得到的長，求出的長，由三角形面積公式求出長，得到的長，由勾股定理即可求出的長．【詳解】解：（1）為的中點，，；（2）如圖，過點E作于點M，

四邊形為菱形，，，，，，為的中位線，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理，三角形中線求面積，平行線分線段成比例，勾股定理等知識，關鍵是過點E作于點M，證明，求出的長．10．1【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形的中位線定理，勾股定理，正確添加輔助線、掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵．（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）作，連接并延長交于，連接，先證明，可得，又勾股定理求得，再利用三角形中位線定理即可求解．【詳解】解：（1）∵，D為邊的中點，∴，在中，，∴，故答案為：1；（2）作，連接并延長交于，連接，∵，，∴，，，又∵點G為的中點，∴，∴，∴，在中，，∵點F為的中點，∴是的中位線，∴，故答案為：．11．【分析】本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，三角形中位線的性質，垂線段最短，勾股定理，連接，延長交點，連接，可得為等腰直角三角形，進而得，得到為的中位線，即得，可得當取最小值時，取最小值時，由當時，的值最小，此時，點為的中點，得，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，延長交點，連接，則，∵四邊形是正方形，∴

，∴為等腰直角三角形，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴點為的中點，∵為的中點，∴為的中位線，∴，∴當取最小值時，取最小值時，當時，的值最小，此時，點為的中點，，∴，故答案為：．12．12【分析】（1）取中點N，連接，，由勾股定理求得，證明，得到，再由三角形面積公式求得，，然后由求解；（2）過點D作于H，根據(jù)，得，得出，再在中，由勾股定理，求得，則，從而可求得，在中，由勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）取中點N，連接，，正方形，，，為的中點，∴由勾股定理，得，∵N是的中點，∴∴，，∴∴∵為正方形外角的平分線，∴∴∴∵∴∵∴，∴∴，∵∴；故答案為：12．（2）過點D作于H，如圖，正方形，∴∴∴∴∴在中，由勾股定理，得，即∴∴由（1）知∵M是的中點，∴∴在中，由勾股定理，得∴故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的性質，勾股定理，解直角三角形．正確作出輔助線，構造全等三角形與直角三角形是解題的關鍵．13．2【分析】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，正方形的性質；（1）過點作于點，勾股定理求得，進而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；（2）過點作交的延長線于點，證明，，進而得出，根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】（1）如圖所示，過點作于點，∵∴在中，∴，故答案為：．（2）如圖所示，過點作交的延長線于點，∵四邊形是正方形，∴，∴由∴∴同理可得∴∴在中，，故答案為：．14．40【分析】本題考查了垂直平分線的判定和三角形中位線的應用、勾股定理，根據(jù)，，由垂直平分線判定定理可得，由此根據(jù)四邊形的面積為，在取的中點M，連接、，可得、是中位線，是直角三角形，由勾股定理即可求出．【詳解】解：（Ⅰ）∵，，∴，∴四邊形的面積為（Ⅱ）在取的中點M，連接、，

∵E為的中點，∴，，同理：，，∵，∴，∴，故答案為：（Ⅰ）40，（Ⅱ）．15．【分析】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理；（1）過作于，根據(jù)等腰三角形的性質得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論；（2）連接，由為的中點，得到，根據(jù)等腰三角形的性質得到，根據(jù)正方形的性質得到，根據(jù)全等三角形的性質得到，由（1）知，，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【詳解】解：（1）過作于，

，，，的面積為，故答案為：；（2）連接，為的中點，，，，四邊形是正方形，，，，，為的中點，，，，由（1）知，，，為的中點，，，，；故答案為：．16．【分析】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的性質與判定，三角形中位線定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定等等：（Ⅰ）根據(jù)正方形的性質得到，再由三角形中位線定理得到，則，即；（Ⅱ）連接，作于點，證明，得到，再證明是等腰直角三角形，得到，設，則，，，進而得到，解得，則，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得．【詳解】解；（Ⅰ）∵四邊形是正方形，∴，∵，∴是得中位線，∴，∴，∴，故答案為：90；（Ⅱ）如圖所示，連接，作于點，∵，，∴，∴，∴，∴

∵是正方形的對角線，∴，∴是等腰直角三角形，∴，設，則，∴，，∵，∴，解得，∴，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，故答案為：．17．5【分析】延長交于點，連接，由直角三角形斜邊上的中線性質得，進而證明是線段的垂直平分線，得，，再證明，得，則，進而由勾股定理求出，然后證明四邊形是平行四邊形，即可得出結論．【詳解】解：如圖，延長交于點，連接，，點為的中點，，點在線段的垂直平分線上，是等腰直角三角形，，是線段的垂直平分線，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，故答案為：5．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、平行四邊形的判定與性質以及勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質和等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．18．【分析】（Ⅰ）根據(jù)是直角三角形，，，直接解直角三角形即可得到與的長度，即可得到結果；（Ⅱ）過點O，E作的垂線，垂足為，過點E作的垂線，交延長線與點Q，證明四邊形是矩形，解直角三角形即可得到的長度，證明，求出的長度，最后利用勾股定理即可得到結果．【詳解】解：（Ⅰ）三角形中，，且，，，，故答案為：；（Ⅱ）過點O，E作的垂線，垂足為，過點E作的垂線，交延長線與點Q，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，O為的中點，，G為的中點，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形，正方形的性質，三角形相似的判定與性質，矩形的判定與性質，勾股定理．正確作出輔助線是解題的關鍵．19．【分析】（Ⅰ）過點D作于點G．則，求出，由直角三角形的性質可得出，由勾股定理求出，根據(jù)平行四邊形的面積公式計算即可．（Ⅱ）作E關于的對稱點，連接，，把平移到處，連接，，過點作的延長線與點H，則四邊形為平行四邊形，，，，證明四邊形為平行四邊形，則，由四邊形為平行四邊形，得出，，，由勾股定理求出，，由，可得出，最后由當三點共線時，可求出的最小值．【詳解】解：（Ⅰ）過點D作于點G，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．故答案為：6．（Ⅱ）作E關于的對稱點，連接，，把平移到處，連接，，過點作的延長線與點H，如圖，則四邊形為平行四邊形，，，，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，由（1）得：，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴，∴∵，，∴，當三點不共線時，，當三點共線時，，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了含直角三角形的性質，平行四邊形的判定以及性質，利用軸對稱求最小值以及勾股定理的應用，正確作出輔助線是解題的關鍵．20．/90度【分析】（1）先證得進而可求出的度數(shù)；（2）作于點H，則，可證明，則，再由勾股定理求得，依據(jù)，解得，則，，進而可求出的長．【詳解】解：（1）∵，均為等腰直角三角形，，，∴∴∴，∴∴，∴．故答案為；（）作于點H