高考數(shù)學(xué)（文）專題七 選考內(nèi)容

專題七選考內(nèi)容

第1講選修4—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程

命I題I分I析

愿全國(guó)卷3年高考

年份全國(guó)I卷全國(guó)n卷全國(guó)in卷

參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程化普通參數(shù)方程的應(yīng)

2020普通方程的互化、曲線的方程、求圓的極用、求直線的參

交點(diǎn),%坐標(biāo)方程數(shù)方程?不2

參數(shù)方程與普通方程、極

極坐標(biāo)的幾何意

坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方圓的極坐標(biāo)方程

2019義、動(dòng)點(diǎn)的軌跡

程的互化，點(diǎn)到直線的距及應(yīng)用,0

方程的求法?“2

離，心2

參數(shù)方程與直角參數(shù)方程與普通

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互坐標(biāo)方程的互方程的紅化、參

2018

化、曲線方程的求解化、參數(shù)方程的數(shù)方程的應(yīng)

應(yīng)用.%用

命題規(guī)律

1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重

點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：一是簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；二是曲線的參

數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用。

2.高考對(duì)此部分的考查以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等，備

考此部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

明確考點(diǎn)?？键c(diǎn)整合◎扣潴要點(diǎn)

1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化

把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，X軸的正半軸作為極軸，且

在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它

x=pcos。,

的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x,y)和(p,9),則|y=ps%0.

p2=x2+y2,

碗。=%W0）。

X

2.直線的極坐標(biāo)方程

若直線過點(diǎn)M(p0,0o),且極軸到此直線的角為a,則它的方

-

程為p5m(0—a)=p()5zn(0oa)o

兒個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程，

(1)直線過極點(diǎn):0=a(pER)；

(2)直線過點(diǎn)M(〃,0)(〃>0)且垂直于極軸：pcos()=a；

(3)直線過點(diǎn)心，雪且平行于極軸：psm0=ho

3.圓的極坐標(biāo)方程

幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程。

(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為八p=廣,

(2)當(dāng)圓心位于點(diǎn)MQ;0),半徑為廣p=2rcos0；

(3)當(dāng)圓心位于點(diǎn)“r,,半徑為r：p=2rsin0o

4.直線的參數(shù)方程

經(jīng)過點(diǎn)尸o5),g)，傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為

X=X（）+/COSCC,

”為參數(shù))。

y=）'o+，sina

設(shè)尸是直線上的任一點(diǎn)，則r表示有向線段他的數(shù)量。

5.圓、橢圓的參數(shù)方程

⑴圓心在點(diǎn)M（x0,%）,半徑為r的圓的參數(shù)方程為

x=M)+—cos仇

（。為參數(shù)，owe<2兀）。

y=N)+rsin。

x22x=acosO,

⑵橢圓夕+齊=1320）的參數(shù)方程為，卜加"伊為參

數(shù)）。

精析精研班點(diǎn)攻關(guān)?？枷蛱骄?。

考向一極坐標(biāo)方程及應(yīng)用

【例1】（2019.全國(guó)II卷）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M（po,

%）So>O）在曲線Cp=4sin。上，直線/過點(diǎn)440）且與0M垂直,

垂足為Po

⑴當(dāng)仇=即寸，求po及/的極坐標(biāo)方程;

J1

（2）當(dāng)M在。上運(yùn)動(dòng)且P在線段上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極

坐標(biāo)方程。

解（1）因?yàn)镸3）,%）在C上，

當(dāng)代）=不時(shí)，p（）=4sin37=2,\/3o

TT

由已知得|OP|=|Q41cos5=2。

設(shè)QS，。）為/上除P外的任意一點(diǎn)。連接OQ,在RtAOPQ

中，〃cos］。一全=|OP|=2,

，\/\

兀7T

經(jīng)檢臉，點(diǎn)P12,Q在直線pcos9一可=2上。

所以，/的極坐標(biāo)方程為pcos［。一,=2。

（2）設(shè)2（p,。）,在RtZkOA尸中，|OP|=|OA|?cos9=4cos。,即

p=4cos。。

TT7T

因?yàn)镻在線段OM上，且AP，OM,故。的取值范圍是5

I工^

兀兀

所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為〃=4cos。，疝5。

I乙

法悟通

(1)求曲線的極坐標(biāo)方程的一般思路。

對(duì)于曲線的極坐標(biāo)方程問題通常可利用坐標(biāo)變換公式轉(zhuǎn)化為

直角坐標(biāo)系中的問題求解，然后再次利用坐標(biāo)變換公式即可轉(zhuǎn)化

為極坐標(biāo)方程。

(2)解決極坐標(biāo)交點(diǎn)問題的一般思路。

一是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo),

再將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)；二是將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，根據(jù)限制

條件求出交點(diǎn)的極坐標(biāo)。

【變式訓(xùn)練1](2020?開封市高三模擬)在平面直角坐標(biāo)系

x=4cos%

xQy中，曲線G的參數(shù)方程為.(。為參數(shù))，尸是曲

線G上的動(dòng)點(diǎn)，M是。尸的中點(diǎn)，M點(diǎn)的軌跡為曲線以。

為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系。

(1)求曲線G，G的極坐標(biāo)方程；

(2)射線。=與與曲線G的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與曲線的

異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為3,求|AB|。

x=4cosa

解(1)曲線G的參數(shù)方程為一二(G為參數(shù))，

y=4十4sina

消去參數(shù)得曲線G的普通方程為f+(y—4)2=16,又f

=p)>,=psin0,

所以曲線Ci的極坐標(biāo)方程為〃=8sinO,

設(shè)y）,由條件知P（2x,2y）,點(diǎn)P在曲線G上,

2x=4cos?,

所以。?（。為參數(shù)），

2y=4十4sinct

x=2cosi,

所以曲線。2的參數(shù)方程為.?.（a為參數(shù)），消去參

j'=2+2sina

222

數(shù)得普通方程為幺+（），—2了=4,又x+y=pfy=psinO9所以

曲線C2的極坐標(biāo)方程為"=4sin。。

（2）射線與曲線C1的交點(diǎn)A的極徑為"i=8sin^=4小，

射線。=方與曲線。2的交點(diǎn)B的極徑為p2=4sin/=2小，

所以履8|=|.一22|=23。

考向二參數(shù)方程及應(yīng)用

[例2]在平面直角坐標(biāo)系X。），中，直線I的參數(shù)方程為

尤-]+，3|x=cos仇

<r-（r為參數(shù)），曲線G的參數(shù)方程為.A（。

73[y=sin。

〔尸2t

為參數(shù)）。

⑴設(shè)/與。1相交于A,B兩點(diǎn)，求|A8|；

（2）若把曲線G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的;，縱坐標(biāo)縮短

為原來的坐，得到曲線C2,設(shè)點(diǎn)。是曲線。2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

點(diǎn)P到直線/的距離的最小值。

解（1）解法一：曲線C1的普通方程為d+y2=l,將直線I

的參數(shù)方程代入，得產(chǎn)+/=（）,解得1=0或/=-1,根據(jù)參數(shù)的

幾何意義可知|AB|=1o

解法二：直線/的普通方程為y=V3（x-l）,曲線G的普通

方程為f+),2=l.

產(chǎn)小(L1),得/與G的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),",一身

由

乙)

則|A5|=1。

(2)直線/的普通方程為小x—y—小=0,

r1

x=]cosa,

曲線。2的參數(shù)方程為'仍（。為參數(shù)）,

y=22*s^na

故可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是；cosa,殺嗎,

則點(diǎn)尸到直線/的距離是

S近.同

2cosct_2sin。一

也sina—更+2

2=44尸，，

因此當(dāng)5皿,一7為T=一1時(shí)，點(diǎn)尸到直線/的距離取得最小值,

2事一、R

且最小值為4

法悟通

(1)參數(shù)方程的實(shí)質(zhì)是將曲線上每一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別用同

一個(gè)參數(shù)表示出來，所以有時(shí)處理曲線上與點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的問題

時(shí)非常方便。

(2)解題時(shí)要充分利用直線、圓、橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù)的

幾何意義。

【變式訓(xùn)練2]在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)

x=cosO,

方程為3為參數(shù))，直線/的參數(shù)方程為

y=sin〃

x=2+fcosa,

。為參數(shù))。

y=Zsina

(1)求曲線。和直線/的普通方程；

(2)若直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且|A8|=1,求直線/

的方程。

x=cos〃，

解(1)由<.八消去參數(shù)仇得曲線C的普通方程為

y=sin〃

x=2+tcosaf

f+?=1。直線/的參數(shù)方程為、,（，為參數(shù)），當(dāng)cos。

y=tsina

=0時(shí)，直線/的普通方程為x=2;當(dāng)cosaWO時(shí)，直線/的普通

方程為y=tana(x—2)。

x=2+rcosa,c

⑵把.代入d+y2=1,

y=tsina

得r+4rcosa+3=0o

3

因?yàn)镴=16cos26c-12>0,所以cos%>a。

設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為小區(qū)

則八十打=-4cosa,「心=3,則|A8|="i一打1=1,

所以(，i—&)2=(介+，2)一—4，也=16cos20t—12=1,

勺

13”,?si?n2a3

所以cos，=,所以tun（z=2-々,

16cosa13'

所以tana=±1學(xué)，即直線/的斜率為土、

JLX

所以直線/的方程為>=普》—今展或>=一曙x+與里。

考向三極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用

【例3】在平面直角坐標(biāo)系x0y中，設(shè)傾斜角為。的直線

x=S+，cosa,

/的參數(shù)方程為二,。為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極

>,=2+rsina

點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p

2

=\]+3COS2。'直線/與曲線。相交于不同的兩點(diǎn)A，瓦

(1)若a弋求直線I的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若|0P|為附與|PB|的等比中項(xiàng)，其中P(小,2),求直線/

的斜率。

77

解⑴因?yàn)?=%，所以直線/的參數(shù)方程為

產(chǎn)小+瑁，

0為參數(shù))，

9=2+.

消去t可得直線/的普通方程為X—小)，+小=0。

因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程p=可化為p2（l+3cos2。）

yj1+3cos2^

=4,

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為4x2+y2=4o

(2)易知點(diǎn)P在直線/上，設(shè)A,8對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為伍打,

X=\/3+rC0Sa,rr

將二,代入曲線。的直角坐標(biāo)方程4d+y2=4,

y=2+tsina

可得4(5+/cos。)'+(2+Zsina)2=4,

化簡(jiǎn)得(4cos%+sin2a)/+(8，§cosa+4sinG)l+12=0,

因?yàn)閨OP|為|別與|P8|的等比中項(xiàng)，

一閘=|他尸肅扁法所=7，

..、，12_「p?5.216

所以^2—1—~=7,可彳寸cosset=T7,sirrg=77,

4cosa+sma2121

所以tan2a=^o

因?yàn)锳=(8\f3cosa+4sina)2—48(4cos2a+sin2a)>0,

即sina(25cos。-sina)>0,

所以0<tana<2^/3,故tana=4^,

所以直線/的斜率為4

法悟通

參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如cos2a+sin2a=

1等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可

x=〃cos。，

以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式…

y=psmO,

卜2+），=/,

<2八等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化。這類

K=tan<9

問題一般可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程

解決相應(yīng)問題。

【變式訓(xùn)練3】（2020?全國(guó)III卷）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲

線C的參數(shù)方程為］=2—3f+j（/為參數(shù)且，W1），。與坐標(biāo)軸

交于4,8兩點(diǎn)。

⑴求|A8|；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，求直

線45的極坐標(biāo)方程。

解（1）因?yàn)橛?—/—F=o得，=—2,所以。與y軸

的交點(diǎn)為（0/2）;

由2—3/+產(chǎn)=0得（=2,所以。與x軸的交點(diǎn)為（-4,0）o

故|A8|=4yib,

（2）由⑴可知，直線A5的直角坐標(biāo)方程為￡+舌=1,將x

=pcos0,y=psin0代入，得直線AB的極坐標(biāo)方程為3/?cos。一psin。

+12=0o

重點(diǎn)增分專練（十八）選修4—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程

A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.（2020?全國(guó)II卷）已知曲線G，。2的參數(shù)方程分別為

X=4cos2仇x—t+~,

Q：（。為參數(shù)），。2：1[。為參數(shù)）。

j=4sin-，

【三-71

（1）將G，C2的參數(shù)方程化為普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)

G，。2的交點(diǎn)為P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)和P的圓的極

坐標(biāo)方程。

解（1）由G的參數(shù)方程得，G的普通方程為x+y=

4（0WxW4）。

由。2的參數(shù)方程得9=/十$+2,y2=/+*2,

所以f—,2=4。

故。2的普通方程為%2—y2=4o

5

"Jx+y=4,x=2f

⑵由）24得3

了一）廣=4

（53]

所以P的直角坐標(biāo)為造，2）°

設(shè)所求圓的圓心的直角坐標(biāo)為（即0）,由題意得

焉=,一5：+,9，解得沏=17

410°

因此，所求圓的極坐標(biāo)方程為〃=7cos。。

（0

2.（2020,江蘇高考）在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)也，司在直線/：

/JT、

pcos8=2上，點(diǎn)B[p2,5J在圓Cp=4sin。上（其中p20,0We<2兀）。

⑴求Q,〃2的值；

（2）求出直線/與圓C的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)。

7T71

解（1）由picosq=2,得pi=4;"2=4Xsin[=2,

//JT\\

又（0,0）即0,7也在圓C上，

因此p2=2或p2=0o

pcos^=2,

（2）由彳八得4sin0cos0=2,所以sin28=1

〃=4si也o

因?yàn)椤?、?！??！┴＃?/p>

所以0=3,p=2^/2o

所以公共點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2啦，,。

3.（2020.全國(guó)I卷）在直角坐標(biāo)系/Oy中，曲線G的參數(shù)方

x=cost,

程為.k。為參數(shù)）。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極

軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為4〃cose-16psin0+3=

Oo

⑴當(dāng)仁1時(shí)'G是什么曲線？

（2）當(dāng)k=4時(shí)，求G與G的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)。

x=cosl

,‘消去參數(shù)，得f+y2=l,

|y=sin/,

故曲線G是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓。

4

x=cost,

⑵當(dāng)％=4時(shí)，C,:.消去參數(shù)[得G的普通方程

[y=sin4t,

為也+6=1。

。2的直角坐標(biāo)方程為4x-16y+3=0o

C=1

，（也+⑴=1,X~49

由解得《

[4x—16y+3=0,_1

H。

（\n

故G與。2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)為1，4）°

4.（2020.長(zhǎng)沙市模擬考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線

x=t一小,

/1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線/的參數(shù)方程為

\y=k7t2

x=y[3~m,

_m（m為參數(shù)）。設(shè)直線/i與/2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化

{y=3k

時(shí)點(diǎn)P的軌跡為曲線G。

（1）求出曲線G的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

直線G的極坐標(biāo)方程為"Sin,+M|=3啦，點(diǎn)Q為曲線G上的動(dòng)

點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線。2的距離的最大值。

解(1)分別消去/”/2的參數(shù)方程中的參數(shù)，得/],L的普通

方程為/)：y=k(x+小),

仁y=聶力一%),

2

兩式相乘消去&可得?+/=1,

因?yàn)榕?0,所以y#0,

2

所以曲線G的普通方程為方+『=1。二())。

(2)因?yàn)閜sin。+1=3啦,所以網(wǎng)116+〃(：05。=6,將工="605。,

y=psinO代入上式，得直線G的直角坐標(biāo)方程為x+y—6=0。

結(jié)合(1)知曲線C1與直線。2無公共點(diǎn)。

X=A/3COSC(,

曲線G的參數(shù)方程為.(以為參數(shù)，a手尿,ke

j=sina

Z),

所以曲線G上的點(diǎn)2(V3cosa,sina)至U直線x+y—6=0的距

離

|小cosa+sina-6|2sin[a+3,6

d=碑=s

所以當(dāng)sin(a+W=—1時(shí)，d取得最大值,為4VL

5.在直角坐標(biāo)系g中,曲線G的參數(shù)方程為kx=t.cosa

。為參數(shù)，，20),在以。為原點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系

中，曲線Q,G的極坐標(biāo)方程為p?—2〃cos。-p(cosO+sin。)

=5°

(1)判斷。2,G的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若tana=^O＜。，)，G分別與G，G交于M，N兩點(diǎn),

求|MN。

解(1)由。2：/—2/7COS。一T=0,

可得￡+/-2X一3=0,

即C‘2是圓心為(1,。)，半徑為平的圓;

又G："(cos，+sinO)=《,

j)

7

可得x+y—《=O,即G是一條直線,

7

1+0-5也”

因?yàn)閳A心(1,0)到直線。3的距離d=~1^=5<5，即

d<r9

所以圓。2與直線。3相交。

(2)由tana=^(0a^7t),得sina=,,cosa=^,

(〃=如。0),

由b_2〃cosd—3。,尸2爸4一

仔/一夕_5_°，

2

解得pi=2,〃2=一§(舍去),

。=加2。)，

得卷f4+3+、于7

p(cos0+sin^)=1,

解得P3=1,故|MN|=|〃1—01=1o

B級(jí)素養(yǎng)落實(shí)

x=^/3cosa,

6.在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線G的參數(shù)方程為

j=V3sina

(。為參數(shù)，?e[0,TT])O以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極

坐標(biāo)系，曲線0?的極坐標(biāo)方程為片=1_$畝2。：小cos20°

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)G與。2的交點(diǎn)為M,N,求/MON。

人,[x=V3cosa,.、

解⑴由仄.得f+y2=3。

y=73sina

又a￡[0,TT],所以曲線C是以。為圓心，小為半徑的圓的

上半部分。

所以曲線G的極坐標(biāo)方程為〃=3(?！闧0,n])o

(2)將〃=小代入p2=—sin2e+小COS26中'

得1—sin29+小cos29=2,即一sin29+/cos29=1。

(1、B)

所以21一/sin20+號(hào)cos20j=1,

即cos[2e+dj=]。

所以20+'=與，或29+3=2兀

o3o

即。=專，或夕=苧。

1I

所以NMON=苧一色=穹。

tJL//*_z

7.(2020?深州市統(tǒng)一測(cè)試)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，直線

G的參數(shù)方程為J,。為參數(shù)，a為傾斜角)，以

y=tsina

坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的

極坐標(biāo)方程為〃=4sin仇

(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)直線G與曲線。2相交于E廠兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)P的極

坐標(biāo)為(2舊，兀)，若2|石F|=|P￡+|PQ,求直線G的普通方程。

解由曲線C2的極坐標(biāo)方程為"=4sin。，

所以p2=4〃sin。，

又―+y2="2,),=psin仇

代入上式化簡(jiǎn)可得，f+y2—4y=0,

所以曲線。2的直角坐標(biāo)方程為產(chǎn)+0，-2)2=4。

(2)易得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(一25，0),

\x=-2小+tcosa,

將.

|j=Zsina

代入曲線。2的直角坐標(biāo)方程，可得

r—(4^/3cosa+4sina)r+12=0,

1=(45cosa+4sina)2—48=8sin(a+22—48>0,

,或sin,+郛一當(dāng)

解得sin

2

TI-

由題知a為銳角,故sinla+jl>

也、，兀?兀幺兀力八兀

所以鏟<亍即0<?<^,

設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為小12,則

，i+f2=445cosa+4sin。，人?12=12,

所以4與打同號(hào)，

由參數(shù)，的幾何意義可得，

\PE\+\PF\=\t]\+\t2\=\ti+t2\=Ssin[?+1j|,

\EF]=\t]-12\=4（，1+/2）2一書"2

=474，百a+鼻-3,

所以2X4\^4sin^a+^—3=8sin。+野,

（由

兩邊平方化簡(jiǎn)可解得sina+z=1,

\3）

兀

所以。=5+2女兀，kGZ,

TTTT

因?yàn)?<?<^,所以<Z=7,

rX=-2^3+2

所以直線G的參數(shù)方程為J]

尸/,

消去參數(shù)/,可得直線G的普通方程為工一5y+2小=0。

第2講選修4—5不等式選講

命I題分I析

全國(guó)卷3年高考

年份「全國(guó)I卷?全國(guó)Tl卷全前卷

函數(shù)的圖象與不不等式的解法與

2020不等式的證明123

等式的解法(23恒成立問題123

不等式的證明的

含絕對(duì)值不等式

基本方法、基本不基本不等式的應(yīng)

2019的解法、不等式恒

等式及其變形的用123

成立問題123

靈活應(yīng)用?123

含絕對(duì)值不等式含絕對(duì)值不等式含絕對(duì)值函數(shù)的

的解法及絕對(duì)值的解法及絕對(duì)值圖象與絕對(duì)值不

2018

不等式恒成立問不等式恒成立問等式恒成立問

題工3題123題上3

@命題規(guī)律

1.不等式選評(píng)是高考的選考內(nèi)容之一，考查的重點(diǎn)是絕對(duì)值

不等式的解法以及不等式的證明，其中絕對(duì)值不等式的解法以及

絕對(duì)值不等式與函數(shù)綜合問題的求解是命題的熱點(diǎn)。

2.該部分命題形式單一、穩(wěn)定，難度中等，備考時(shí)應(yīng)注意分

類整合思想的應(yīng)用。

明確考點(diǎn)扣準(zhǔn)要點(diǎn)

O考點(diǎn)整合。

1.絕對(duì)值不等式的性質(zhì)

定理1：如果〃"是實(shí)數(shù),則|。+勿或間+⑸，當(dāng)且僅當(dāng)就20

時(shí)，等號(hào)成立。

定理2：如果a,b,c是實(shí)數(shù),那么|〃一c|W|〃一切+|。一c|,

當(dāng)且僅當(dāng)(a—c)》0時(shí)，等號(hào)成立。

2.|ar+A|2c(c>0)型不等式的解法

⑴|辦+用Wc<=>—C〈QX+Z?WC。

(2)|ar+/?|>cOar+〃2c或ax+b^—Co

3.\x-a\-\-\x-b\^c,|x—〃|+|x—W?(c>0)型不等式的解法

(1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義直觀求解。

(2)利用零點(diǎn)分段法求解。

(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解。

4.基本不等式

定理1：設(shè)a,a+b2^2abo當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí);

等號(hào)成立。

定理2：如果a,b為正數(shù)，則巴芋24茄，當(dāng)且僅當(dāng)a=b

時(shí)，等號(hào)成立。

定理3：如果〃，b,c為正數(shù)，則匹區(qū)當(dāng)且僅當(dāng)

。=匕=。時(shí),,等號(hào)成立。

定理4：(一般形式的算術(shù)一兒何平均不等式)如果3,。2,…,

%為n個(gè)正數(shù)，則__土出力弋處見…%,當(dāng)且僅當(dāng)。1=。2

=~=恁時(shí),等號(hào)成立。

.精析精研-重點(diǎn)攻關(guān)----------------?考向探究?------

考向一含絕對(duì)值不等式的解法

[例1]已知函數(shù)./U)=|2x+3|一|x-Q|meR)。

(1)當(dāng)L=1時(shí),解不等式人r)l2；

(2)若關(guān)于工的不等式火?川/一3|的解集包含[3,5],求。的取

值范圍。

解⑴當(dāng)4=1時(shí),不等式段)22即為3+31一|元一1|22,

3

<-

X-2一］?,x>l,

所以或或

x+422,

—%—4^23x+222

解得xW—6或OWxW1或x>l,

所以不等式的解集為(-8,-6]U[0,+8)。

⑵關(guān)于x的不等式?x)》|x—3|的解集包含[3,5],

即|21+3|一以一3|邦不一〃|在工￡［3,5］時(shí)恒成立,

即1+62以一〃|在［3萬］時(shí)恒成立，

即一6WQW2X+6在［3,5］時(shí)恒成立，

則一6WaW12,

所以。的取值范圍是［-6,12］。

法悟通

(1)對(duì)于形如(Ax)|2|g(x)l的不等式，可利用不等式兩邊同時(shí)平

方的技巧，去掉絕對(duì)值。

(2)對(duì)于形如|/U)|±|g(x)|2m|/U)|±|g(x)|于a的不等式,可利用

零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)

值符號(hào)的不等式(組)求解。

【變式訓(xùn)練11(2020?全國(guó)I卷)已知函數(shù)於)=|3x+l|-2|x

一1|。

(1)畫出y=/(力的圖象；

⑵求不等式段)次x+1)的解集。

rr11

-%—3,XW-Q,

解(1)由題設(shè)知./U)=<5x—i,--<x^1,作出y=/U)

、x+3,x>\o

的圖象如圖所示。

(2)函數(shù)y=?x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù))=

1)的圖象。

y=/U)的圖象與y=/(x+l)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為［一不一記。

7

由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)XV—4時(shí)，y=/(x)的圖象在y=/(x+1)

圖象的上方。

(71

故不等式?r)》a+l)的解集為［-8,一京。

考向二不等式的最值問題

［例2］(2020.西安五校聯(lián)考)已知函數(shù)?x)=|2x—〃|+

八十Q°

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求不等式兀Q21的解集;

(2)求函數(shù)g(￡)=/U)+/(—x)的最小值。

解⑴當(dāng)〃=2時(shí),Xx)=|2x-2|+|x+l|^l,

xW—1時(shí)，2—2x—x—131,得xWO,即有xW—1,

—時(shí)，2~2x+x+1^1,得工<2,即有一14<1,

2

時(shí)，2x—2+x+121,得即有

■,X21,

綜上，不等式式幻21的解集為Ro

22

(2)g(x)=/U)+./(—x)=|2x—〃|+x+-+|—2x—c/H--x+-

22

x

=|2x—a|+|2x+〃|+x+~Cl+~~“2|(2r—〃)一(2x+〃)|+

(2、(214I4?-

卜+方卜七=恒+￡》2yj\2a\~=4隹

當(dāng)且僅當(dāng)(2九一4)(2x+4)<0,j+北1一旨<0,|2。|=林卜寸，

取“="，所以函數(shù)g(x)的最小值為4g。

i法悟通

不等式的最值問題的解決方法

(1)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)。

(2)均值不等式。

(3)函數(shù)的單調(diào)性。

【變式訓(xùn)練2](2020.合肥市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)y(x)

=\x-m\—\x+2\(mR),不等式於一2)20的解集為(-8,4]o

(1)求m的值;

(2)若々>0,Z?>0,c>3,且〃+2〃+c=2加，求(〃+1)?(/?+l)(c

-3)的最大值。

解(1)因?yàn)閒ix)=\x-m\—|x+2|,所以J(x—2)=\x—m~2\—

|x|20的解集為(一8,4],

所以以一加一2|2|x|的解集為(一8,4J,

結(jié)合y=|x|的圖象得加+2=8,即m=6o

(2)因?yàn)椤?=6,所以。+2/?+c=12。

又。>0,b>Q9c>3,

“..(。+1)(2/7+2)伍一3)

所以(a+1)0+1)(6-3)=-——°——4

J

1)+(2>+2)+(c-3)3

l(a+2b+cc

=41一3=戶印=32,

當(dāng)且僅當(dāng)Q+1=2Z?+2=c—3時(shí)，等號(hào)成立，結(jié)合Q+2〃+C

=12,解得〃=3,b=\,c=7時(shí)，等號(hào)成立，

所以(〃+l)S+l)(c—3)的最大值為32o

考向三不等式恒(能)成立問題

[例3]已知函數(shù)j(x)=\x-m\—\x+3m|(m>0)。

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求不等式1的解集；

(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,3不等式於)<|2+/|+|/—1|恒成立,求

機(jī)的取值范圍。

1—4,G1,

解⑴當(dāng)m=\時(shí)，Rx)=<—2%—2,—3<x<l,

、4,xW—3。

[―2x—221,、

由人幻21,得或不或一3,

[―3<￥<1

解得仁一宗3

所以不等式人x)Nl的解集為xxW一mO

(2)不等式火X)<|2+/|+|L1|對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,[恒成立，等價(jià)

于對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,/WV(|2+r|+|/—l|)min恒成立,即，(M]max<(|2

+r|+|r—l|)min,

因?yàn)?Ax)=\x-m\—\x+3m\55—(x+3m)|=4m,\2+t\

十|L1閆(2+。一"—l)|=3,

3

所以4m<3,又/77>O,所以0<m<4o

(31

即機(jī)的取值范圍為0,T°

法悟通

解決不等式恒成立、能成立、恰成立問題的策略

不等式?x)X在區(qū)間D上恒成立，等價(jià)于在

不等式

區(qū)間。上火X)min>A。

恒成立

不等式?丫)<8在區(qū)間￡)上恒成立，等價(jià)于在

問題

區(qū)間。上?4皿<8

在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式成立，

不等式

等價(jià)于在區(qū)間。上/>)max>40

能成立

在區(qū)間。上存在實(shí)數(shù)X使不等式兀x)<5成立，

問題

等價(jià)于在區(qū)間。上人。面<8

不等式/U)>A在區(qū)間。上恰成立，等價(jià)于不

不等式

等式火X)>A的解集為。。

恰成立

不等式在區(qū)間D上恰成立，等價(jià)于不

問題

等式./U)VB的解集為D

【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)次x)=|x|+|x+l|。

(1)若任意x￡R，恒有成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍；

(2)若存在m￡R,使得加之+2m+八1)=0成立，求實(shí)數(shù)/的取

值范圍。

解⑴由於)=|%|+以+1|汁以一(工+1)|=1,

知?Ax)min—1,

欲使任意了￡凡恒有人x)22成立，

則需滿足2qU)min,

所以實(shí)數(shù)％的取值范圍為(一8,l]o

—2r—1,t<—lf

⑵由題意得財(cái)=M+|/+1|=J1,

hr+l,r>0,

存在m￡R,使得i?r+2m+fit)=0成立，

即有』=4一攸?！?,所以ywwi,

t<—1,

又人。<1可等價(jià)轉(zhuǎn)化為。

—21—1W1,

—1W/W0,r>0,

或或，

臼，2/+1W1,

所以實(shí)數(shù)/的取值范圍為L(zhǎng)L0]。

考向四不等式的證明問題

【例4】(2020?全國(guó)m卷)設(shè)mb,cER,a+b+c=O9abc

(1)證明：ab+bc+ca<0；

(2)用max{mb,c}表示mb,c的最大值，證明：maxftz,

b,c}^y[4o

證明(1)由題設(shè)可知，a,b,。均不為零,

2222

所以ab+bc+ca=h(<a+b+c)—(a+b+c)]=—

乙

+c2)<0o

(2)不妨設(shè)max{。,b,c}=a9

因?yàn)閍bc=1,a=—(/?+(?),

所以a>0,b<0,c<0o

o3

由,可得abcW女,故汨,

c}2折。

所以max{〃，b,

法悟通

(1)證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法和反證

法，其中比較法和綜合法是基礎(chǔ)，綜合法證明的關(guān)鍵是找到證明

的切入點(diǎn)。

(2)當(dāng)要證的不等式較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)'可用

分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步

必須可逆。在不等式的證明中，一方面要注意基本不等式成立的

條件；另一方面要善于對(duì)“式子”進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、變形。

【變式訓(xùn)練4](2020.福州市質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)外)=|2x

—l|+x+：的最小值為

(1)求加的值；

(2)若a,b,c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=m,證明：cr+^+c1^

解⑴根據(jù)題意，函數(shù)於)=|2x-1|+x+|=

1

2-1>1

2，%—2，

<

,31

—冗十],x<2,

所以於)在一8,句上單調(diào)遞減，

在/+°°]

上單調(diào)遞增，

所以兀X)min=(；J=1,即m=1o

(2)證明:由(1)知,m=1,所以a+—+c=l。

又。，b,c為正實(shí)數(shù)，

a1b2^2ah,b2c2^2hc,a2-\-c2^2ac,

所以2(6Z2+h2+c2)2(6//?+he+ac),

所以1=(tz+Z?+c)2=6?2+/?2+c2+lab+2/?c+"lea3(tz24-b1

+c2)o

即/+/+°2*。

重點(diǎn)增分專練(十九)選修4—5不等式選講

A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.(2020?東北三校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=|x+2|+|x—3|。

(1)求不等式f(x)>9的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)W|3m-2|有解，求實(shí)數(shù)m的取值范

圍。

—2x+l,x<-2,

解(l)f(x)=<5,—2^x<3,

、2x—1,x23,

當(dāng)xv-2時(shí)，-2x+l>9,解得xv-4,所以xv-4;

當(dāng)一2Wxv3時(shí)，5>9,無解；

當(dāng)x23時(shí)，2x-l>9,解得x>5,所以x>5。

綜上，不等式f(x)>9的解集為｛x|x〉5或x<—4｝。

(2)因?yàn)榛?2|+做一3|2卜+2一任-3)|=5(當(dāng)且僅當(dāng)儀+2)任

-3)^0,即一2WxW3時(shí)取等號(hào))，

7

所以|3m—2|25,解得mW—1或

2

2.(2020?全國(guó)II卷)已知函數(shù)f(x)=|x—a|+|x-2a+l|o

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)24的解集；

(2)若f(x)24,求a的取值范圍。

7—2x,xW3,

解(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=11,3Vx<4,當(dāng)xW3時(shí)，令

、2x—7,x>4o

3

—2x+724,解得XW5;

當(dāng)3Vx<4時(shí)，1)4,無解；

當(dāng)x>4時(shí)，令2x—724,解得x2,。

r、

311

因此，不等式f(x)24的解集為JxxWj或ro

(2)因?yàn)閒(x)=|x-a2|+|x-2a+1121a2-2a+l|=(a-Ip,故當(dāng)

(a—l)2^4,

即|a—1|22時(shí),f(x)>4,

所以當(dāng)a23或a〈一l時(shí)，f(x)24。

所以a的取值范圍是(一8,-1]U[3,+8)。

3.(2020.廣州市調(diào)研測(cè)試)已知f(x)=|x-a|(x-2)+|x-2|(x

-a)0

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)v0的解集；

(2)若x￡(—8,a)時(shí)，f(x)〈0,求a的取值范圍。

解(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=2|x-2|(x-2),

由2|x-2|(x—2)<0,解得xv2,

所以不等式f(x)<0的解集為{x|x<2}o

(2)當(dāng)X￡(-8,a)時(shí)，

f(x)=|x-a|(x-2)+|x-2|(x—a)

=(a—x)(x-2)+|x-2|(x—a)

=(x-a)[|x-2|-(x-2)],

因?yàn)閤—a<(),則由f(x)<0,可得|x—2|一(x—2)>(),|x—2|>x

一2,

所以x—2<0,x<2,即x<a=>x<2,

所以a的取值范圍是(一8,2]o

4.(2020?沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知函數(shù)f(x)=|2x+3|-|x-l|o

⑴求不等式f(x)W3的解集；

(2)若不等式f(x)>2a—|3x—3|對(duì)任意x￡R恒成立，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍。

解⑴由/U)W3,得|2x+3|一|x—l|W3,

31Q3

X21,一，，或1

不等式可化為x+4<3或

3x+2W3[-x-4W3,

313

解得無解或一六或一7&W一3

所以不等式火x)W3的解集為xo

(2)若不等式—|3x—3]對(duì)任意的x￡R恒成立，

即不等式|2x+3|—\x-1|>2〃一|3x—3|對(duì)任意的x￡R恒成立，

即不等式|〃+3|+3一2|>2。對(duì)任意的x￡R恒成立，

因?yàn)閨2X+3|+|2Y—2|2|(2X+