高考數(shù)學(xué)第二輪專題第13講-圓錐曲線的方程與性質(zhì)

高考第二輪專題數(shù)學(xué)新高考2第13講圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.[2020·全國卷Ⅰ]已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,點A到C的焦點的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p= ()A.2 B.3 C.6 D.92.[2020·浙江卷]已知點O(0,0),A(-2,0),B(2,0).設(shè)點P滿足|PA|-|PB|=2,且P為函數(shù)y=34-x2圖像上的點,則|OP|= A.222 B.4105 C.7 3.[2020·全國新高考Ⅰ卷](多選題)已知曲線C:mx2+ny2=1. ()A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點在y軸上B.若m=n>0,則C是圓,其半徑為nC.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±-mD.若m=0,n>0,則C是兩條直線4.[2020·全國卷Ⅲ]設(shè)O為坐標原點,直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點,若OD⊥OE,則C的焦點坐標為 ()A.14,0 B.12,0C.(1,0) D.(2,0)5.[2020·全國卷Ⅲ]設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為5.P是C上一點,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4,A.1 B.2C.4 D.86.[2020·天津卷]設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),過拋物線y2=4x的焦點和點(0,b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行,另一條漸近線與l垂直,則雙曲線A.x24-y24=1 B.x2C.x24-y2=1 D.x2-y27.[2020·北京卷]已知雙曲線C:x26-y23=1,則C的右焦點的坐標為;C8.[2020·全國卷Ⅰ]已知F為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點,A為C的右頂點,B為C上的點,且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,圓錐曲線的簡單性質(zhì)1(1)若拋物線y2=2px(p>0)上任意一點到焦點的距離恒大于1,則p的取值范圍是 ()A.p<1 B.p>1 C.p<2 D.p>2(2)以橢圓y29+x24=1的長軸端點作為短軸端點,且過點(-4,1)的橢圓的焦距是A.16 B.12C.8 D.6【規(guī)律提煉】圓錐曲線的性質(zhì)較多,如橢圓上兩點間的最大距離是2a(長軸長)、雙曲線上兩點間的最小距離為2a(實軸長)、橢圓的焦半徑的取值范圍是[a-c,a+c]等.還有一些二級結(jié)論也應(yīng)該記憶,如:雙曲線上的焦點到準線的距離是b.測題1.如圖M5-13-1,圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形,過AC且與截面ABCD垂直的平面截該圓柱表面,所得曲線為一個橢圓,則該橢圓的焦距為 ()圖M5-13-1A.1 B.2 C.2 D.222.已知雙曲線x25-y2m=1(m>0)的一個焦點為F(-3,0),則其漸近線方程為A.y=±52x B.y=±255xC.y=±52x 3.已知曲線C由拋物線y2=2x與拋物線y2=-2x組成,A(1,2),B(-1,2),M,N是曲線C上關(guān)于y軸對稱的兩點(A,B,M,N四點不共線,且點M在第一象限),則四邊形ABNM周長的最小值為()A.2+17 B.1+17C.3 D.4圓錐曲線的定義的應(yīng)用2(1)設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F,點Q(0,b).已知點P在雙曲線C的左支上,且P,Q,F三點不共線,若△PQF的周長的最小值是8a,則雙曲線CA.3 B.3 C.5 D.5(2)已知拋物線y2=4x的焦點為F,點P是拋物線在第一象限上的一個點,線段PF的垂直平分線l與拋物線的準線交于點Q,且QP|QP|·QF|QF|=12,則直線lA.533 B.74 C.72 【規(guī)律提煉】利用橢圓、雙曲線的定義解題時,要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件,如在雙曲線的定義中,有兩點是缺一不可的:一是絕對值,二是2a<|F1F2|.若只是不滿足第一個則是雙曲線的一支.對于拋物線,若有曲線上的點到焦點的距離,一般會轉(zhuǎn)化為點到準線的距離,反之亦然.測題1.已知直線y=kx(k≠0)與橢圓C:x2a2+y2=1(a>1)交于P,Q兩點,點F,A分別是橢圓C的右焦點和右頂點,若|FP|+|FQ|+|FA|=52a,則a=A.4 B.2 C.43 D.2.[2020·北京卷]設(shè)拋物線的頂點為O,焦點為F,準線為l,P是拋物線上異于O的一點,過P作PQ⊥l于Q,則線段FQ的垂直平分線 ()A.經(jīng)過點O B.經(jīng)過點PC.平行于直線OP D.垂直于直線OP3.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線交橢圓C于A,B兩點,若∠ABF2=90°,且△ABF2的三邊長|BF2|,|AB|,|AF2|成等差數(shù)列,則A.12 B.33 C.22 4.已知雙曲線x2-y22=1的左、右焦點分別為F1,F2,若雙曲線的右支上存在一點M,使得直線MF1與圓O:x2+y2=1相切,則△F1MF2的面積為 (A.22 B.22+2 C.22+4 D.42+4離心率問題3(1)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,圓O:x2+y2-a2-b2=0與雙曲線的一個交點為P,若|PF1|=3|PF2|,則雙曲線CA.2 B.3+12 C.2 D.3(2)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A,右焦點為F,若點M為橢圓C上一點,且(AF+AM)·MF=0,|AM|=2|MF|,則CA.27 B.37 C.47 【規(guī)律提煉】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題,其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程或不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式,而建立關(guān)于離心率的方程或不等式要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.測題1.我國現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家徐利治教授曾指出,圓的對稱性是數(shù)學(xué)美的一種體現(xiàn).已知圓C:(x-2)2+(y-1)2=2,直線l:a2x+b2y-1=0,若圓C上任一點關(guān)于直線l的對稱點仍在圓C上,則點(a,b)必在 ()A.離心率為12的橢圓上B.離心率為2C.離心率為22的橢圓上D.離心率為22.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與直線x=-1所圍成的三角形的面積為4,則雙曲線A.15 B.172 C.17 D.3.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點與雙曲線C的右焦點F2重合,點P為C與E的一個交點,且直線PF1的傾斜角為45°,則雙曲線A.5+12 B.2+1 C.3 D4.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過點F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A,B兩點,AF2,BF2分別交y軸于P,Q,若△PQF2的周長為12,則A.2 B.3C.233 D焦點三角形問題4(1)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2均在x軸上,C的面積為23π,過點F1的直線交C于A,B兩點,且△ABF2的周長為8,則橢圓C的標準方程為 ()A.x24+y2=1 B.x23C.x24+y23=1 D.x(2)設(shè)F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點,O為坐標原點,過F2的直線交雙曲線的右支于P,N兩點,直線PO交雙曲線C的左支于點M,若|MF2|=3|PF2|,且∠MF2N=60°,則雙曲線C的漸近線的斜率為A.±277 BC.±72 D.±【規(guī)律提煉】焦點三角形作為橢圓、雙曲線中的一個特殊圖形,其主要的解題策略為:一,利用兩種曲線的定義;二,充分運用好正弦定理與余弦定理.如在焦點三角形PF1F2中:①對于橢圓,有|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|(1+cos∠F1PF2)=4a2-2|PF1||PF2|(1+cos∠F1PF2),即2b2=|PF1||PF2|(1+cos∠F1PF2);②對于雙曲線,有|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos∠F1PF2)=4a2+2|PF1||PF2|(1-cos∠F1PF2),即2b2=|PF1||PF2|(1-cos測題1.已知中心在原點的橢圓和雙曲線有共同的左、右焦點F1,F2,兩曲線在第一象限的交點為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形,若|PF1|=8,橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則2e1+1e2的取值范圍是A.(4,+∞) B.(4,7)C.(2,4) D.(22,4)2.過橢圓x225+y216=1的中心O任作一條直線交橢圓于P,Q兩點,F是橢圓的一個焦點,則△PFQ的周長的最小值為A.12 B.14 C.16 D.183.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,若橢圓上存在點M滿足∠F1MF2=60°,且MF1·MFA.1 B.2 C.3D.24.已知點P是雙曲線x28-y24=1上一點,F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,若△F1PF2的外接圓半徑為4,且∠F1PF2為銳角,則|PF1|·|PF2|=A.15 B.16 C.18 D.20與弦相關(guān)的問題5(1)已知雙曲線x2-y22=1的漸近線與拋物線M:y2=2px(p>0)交于點A(2,a),直線AB過拋物線M的焦點,交拋物線M于另一點B,則|AB|等于 (A.72 B.4 C.92 D(2)過橢圓x24+y2=λ(λ>1)上一點P作圓C:(x-1)2+y2=1的切線,且切線的斜率小于0,切點為M,切線交橢圓于另一點Q,若M是線段PQ的中點,則直線CM的斜率 (A.為定值22 B.為定值C.為定值22 D.隨λ的變化而變化【規(guī)律提煉】求解直線與圓錐曲線的相交弦問題時,常用“設(shè)而不求”的策略,利用弦長公式求解的常用方法有:①求出兩交點坐標,用兩點間的距離公式求解;②運用弦長公式|AB|=1+k2|x1-x2|或|AB|=1+1k2|y1-y2|,測題1.已知斜率為k(k>0)的直線l過拋物線C:y2=6x的焦點F且與拋物線C交于A,B兩點,過A,B作x軸的垂線,垂足分別為A1,B1,若S△ABB1S△ABA1=A.1 B.3 C.5 D.222.如圖M5-13-2,已知F1,F2分別是橢圓C:x264+y232=1的左、右焦點,過F1的直線l1與過F2的直線l2交于點N,線段F1N的中點為M,線段F1N的垂直平分線MP與l2的交點P在橢圓上,若O為坐標原點,則|OM圖M5-13-2A.0,22 B.0,12C.(0,2) D.(0,1)圓錐曲線與圓、直線的綜合問題6(1)已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且∠F1PF2=π3,記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則1e12+3e2A.1 B.2512 C.4 D.(2)[2020·全國卷Ⅱ]設(shè)O為坐標原點,直線x=a與雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點.若△ODE的面積為8,則A.4 B.8C.16 D.32(3)在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線C:y2=4x和點D(2,0),直線x=ty-2與拋物線C交于不同的兩點A,B,直線BD與拋物線C交于另一點E.給出以下說法:①以BE為直徑的圓與拋物線的準線相離;②直線OB與直線OE的斜率之積為-2;③設(shè)過點A,B,E的圓的圓心坐標為(a,b),半徑為r,則a2-r2=4.其中所有正確說法的序號是 ()A.①② B.①③C.②③ D.①②③【規(guī)律提煉】圓錐曲線的綜合問題一般以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體,參數(shù)處理為核心,經(jīng)常運用函數(shù)與方程、不等式、平面向量等知識求解,主要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、特殊與一般等思想方法,突出考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).測題1.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F,直線y=3x與橢圓C相交于A,B兩點,且AF⊥BF,則橢圓A.2-12 B.C.3-12 D.2.已知雙曲線x2a2-y2=1(a>0)的離心率為233,拋物線y2=2px(p>0)的焦點與雙曲線的右焦點F重合,其準線與雙曲線交于點M(yM