2024年廣東江門廣雅中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年廣東省江門市廣雅自主招生數(shù)學(xué)試卷（時(shí)間：90分鐘，滿分：120分）一、填空題（第1、2、3題每題6分；第4、5、6題每題8分，共42分）1．意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列．若每一小格子的邊長為，求下圖中從兩個(gè)以為半徑的圓弧到以為半徑的圓弧組成的螺旋線的總長度．2．在中，兩直角邊分別是和，求三角形內(nèi)切圓和外切圓面積之比為．3．小明說：“我年齡肯定最小”；小紅說：“我不是年齡最小的那個(gè)人”；小張說：“我年齡不是最小，但也不是最大的”；小李說：“只有我是年齡最大的”．若四人的年齡各不相同，但僅有一人說錯(cuò)，則四人中年齡最大的是．4．化簡．5．在三角形中，，平分交線段于點(diǎn)，，，．6．已知，則的值為．二、解答題（第7題12分；8、9題每題13分；第10、11題每題20分，共78分）7．解方程8．一位家住內(nèi)蒙古呼倫貝爾大草原的同學(xué)，暑假回家?guī)椭胰嗽诳盏厣蠂亲筮吺前雸A，右邊是矩形的羊圈（如圖所示），在柵欄總長度為定長的條件下，矩形的豎直方向?qū)捲O(shè)為，水平方向長為，要使羊圈面積最大，應(yīng)如何設(shè)計(jì)？9．如圖，已知為等邊三角形，邊長為，以為頂點(diǎn)，作等邊，邊長為，使繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，連接、，求的最小值．10．已知拋物線，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)，．(1)，是否為定值，如果是定值則求出該值；(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求拋物線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離；(3)是否為定值，如果是定值則求出該值；(4)證明以線段為直徑的圓與直線相切．11．如圖，已知正方形，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)形成正方形，兩正方形交點(diǎn)形成八條線段，，，，，，，，求證．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】本題考查了求弧長，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：依題意，兩個(gè)以為半徑的圓弧到以為半徑的圓弧組成的螺旋線的總長度為：故答案為：．2．【分析】本題主要考查三角形的性質(zhì)和圓的基本性質(zhì)，根據(jù)題意求得斜邊長為5，結(jié)合等面積法求得三角形內(nèi)切圓半徑，利用直角三角形的性質(zhì)求得外切圓半徑，結(jié)合面積公式即可求得其比值．【詳解】解：如圖設(shè)，，則，那么，，設(shè)三角形內(nèi)切圓為r，則，解得，三角形外切圓半徑為，則三角形內(nèi)切圓面積：，三角形外切圓面積，那么，三角形內(nèi)切圓和外切圓面積之比為，故答案為：．3．小紅【分析】本題考查了邏輯推論，注重對(duì)問題條件的分析，尋找矛盾是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用假設(shè)，得出矛盾的結(jié)論，則結(jié)論就是假設(shè)的反面，再結(jié)合排除法來解答即可．【詳解】解：假設(shè)小明說錯(cuò)，則小明不是年齡最小的，其余三人說的是對(duì)的，即是小紅不是年齡最小的，小張不是年齡最小的，小李是年齡最大的，不是年齡最小的，從而沒有年齡最小的，與四人的年齡各不相同，存在年齡最小的相矛盾，所以小明說的是正確的，小明年齡最小；假設(shè)小紅說的是錯(cuò)的，則小紅是年齡最小的，這與小明年齡最小相矛盾，所以小紅說的是對(duì)的，小紅不是年齡最小的；假設(shè)小張說的是錯(cuò)的，另根據(jù)小明年齡最小，則小張年齡最大，且小李說的對(duì)的，于是小張年齡最大與小李年齡最大相矛盾，所以小張說的是對(duì)的，小張年齡不是最大，也不是最??；由前三人說的是對(duì)的可得小李說的是錯(cuò)的，則小李年齡不是最大的；綜上可得小紅年齡是最大的，故答案為：小紅．4．【分析】本題考查了分母有理化及二次根式的加減，熟練掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵，先把化為，進(jìn)而分母有理化后，利用二次根式的加減法則即可得解．【詳解】解：，故答案為：．5．【分析】過C點(diǎn)作交的延長線于E點(diǎn)，則可證，進(jìn)而可得，即可得解．本題主要考查了等角對(duì)等邊，相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次根式的化簡．熟練掌握以上知識(shí)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過C點(diǎn)作交的延長線于E點(diǎn)，則，∵平分，，，，，，，．故答案為：．6．或【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，解一元二次方程，完全平方公式，熟練掌握解一元二次方程，完全平方公式是解題的關(guān)鍵，由得，進(jìn)而得，最后把當(dāng)作一個(gè)整體求解一元二次方程即可得解．【詳解】解：∵，∴，即，∴∴，∴，∴，故答案為：或．7．或【分析】本題主要考查絕對(duì)值的應(yīng)用、解一元一次方程和分類討論思想的應(yīng)用，根據(jù)題干已知的絕對(duì)值將x分為三種情況，分情況討論使用絕對(duì)值的意義化簡求解即可．【詳解】解：若，則，化簡得，解得（舍去）；若，則，化簡得，解得；若，則，化簡得，解得；綜上所述，或．8．當(dāng)，，羊圈面積最大．【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出周長的關(guān)系式，再結(jié)合面積公式列出表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，則，，∵柵欄總長度為定長，∴，∴，則羊圈面積，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，羊圈面積最大．9．【分析】取中點(diǎn)，連接并延長到，使得，連接，，證明（）得，，再證，根據(jù)勾股定理得，，又證明，得，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，，即，從而得當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值的長．【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接并延長到，使得，連接，，∵是的中點(diǎn)，∴，在和中，∵∴（）∴，，∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，，∴，∴，在和中，∴，∴，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值的長．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股的定理，兩點(diǎn)之間，線段最短，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．(1)是定值，，(2)1(3)是定值，1(4)見詳解【分析】（1）聯(lián)立函數(shù)解析式，得到一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，利用二次函數(shù)求值即可；（3）求出，，推出，結(jié)合（1）中結(jié)論，進(jìn)行求解即可；（4）中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而得到圓心到直線的距離為，求出線段的長，判斷與的關(guān)系，即可得證．【詳解】（1）解：是定值．聯(lián)立：，則，化簡得，∴，，∴，∴，；（2）解：∵直線與軸交于點(diǎn)，∴，∵拋物線上的任意一點(diǎn)∴則令，則，∴拋物線上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為1；（3）解：是定值，∵，，且，∴，同理：，∴，由（1）知：，∴原式，∴是定值，定值為1；（4）解：∵線段為直徑，∴圓心的坐標(biāo)為：，∴圓心到直線的距離為，∵，∴，∵，由（1）知：，，∴，，∴，∴，∴，∴圓心到直線的距離等于半徑，∴以線段為直徑的圓與直線相切．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，勾股定理，切線的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．11．見詳解【分析】本題主要考查正方形的