2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第5講直線平面垂直的判定與性質(zhì)高效演練分層突破文新人教A版

PAGEPAGE1第5講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)[基礎(chǔ)題組練]1．設(shè)α為平面，a，b為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a⊥α，a∥b，則b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，則b∥αD．若a∥α，a⊥b，則b⊥α解析：選B.若a∥α，b∥α，則a與b相交、平行或異面，故A錯誤；易知B正確；若a⊥α，a⊥b，則b∥α或b?α，故C錯誤；若a∥α，a⊥b，則b∥α或b?α，或b與α相交，故D錯誤．故選B.2．(2024·廣州一模)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m∥α，n∥β，則m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n解析：選B.若α⊥β，m∥α，n∥β，則m與n相交、平行或異面，故A錯誤；因為m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又因為n∥β，所以α⊥β，故B正確；若m⊥n，m?α，n?β，則α與β的位置關(guān)系不確定，故C錯誤；若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m，n異面，故D錯誤．3.如圖，在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC解析：選D.因為BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故選項A正確．在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，則DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項B，C均正確．4．(2024·遼寧撫順一模)在三棱錐P-ABC中，已知PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，點D，E分別為棱BC，PC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．直線DE⊥直線AD B．直線DE⊥直線PAC．直線DE⊥直線AB D．直線DE⊥直線AC解析：選D.如圖，因為PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，所以△PAC≌△BAC，所以PC＝BC，取PB的中點G，連接AG，CG，則PB⊥CG，PB⊥AG，又因為AG∩CG＝G，所以PB⊥平面CAG，則PB⊥AC，因為D，E分別為棱BC，PC的中點，所以DE∥PB，則DE⊥AC.故選D.5．(2024·高考北京卷)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：．解析：其中兩個論斷作為條件，一個論斷作為結(jié)論，可組成3個命題．命題(1)：若l⊥m，m∥α，則l⊥α，此命題不成立，可以舉一個反例，例如在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)平面ABCD為平面α，A1D1和A1B1分別為l和m，滿意條件，但結(jié)論不成立．命題(2)：若l⊥m，l⊥α，則m∥α，此命題正確．證明：作直線m1∥m，且與l相交，故l與m1確定一個平面β，且l⊥m1，因為l⊥α，所以平面α與平面β相交，設(shè)α∩β＝n，則l⊥n，又m1，n?β，所以m1∥n，又m1∥m，所以m∥n，又m在平面α外，n?α，故m∥α.命題(3)：若m∥α，l⊥α，則l⊥m，此命題正確．證明：過直線m作一平面，且與平面α相交，交線為a，因為m∥α，所以m∥a.因為l⊥α，a?α，所以l⊥a，又m∥a，所以l⊥m.答案：②③?①或①③?②(答案不唯一)6．如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有；與AP垂直的直線有．解析：因為PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直線AB，BC，AC.因為AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因為AP?平面PAC，所以AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB.答案：AB，BC，ACAB7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求證：DC⊥平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PAC.證明：(1)因為PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PC⊥DC.又因為AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)因為AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因為PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PC⊥AB.又因為PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.8．(2024·武漢部分學(xué)校調(diào)研)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝1，AC⊥BC，E在AB上，且BA＝3BE，G在AA1上，且AA1＝3GA1.(1)求三棱錐A1-ABC1的體積；(2)求證：AC1⊥EG.解：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACC1A1，所以B到平面ACC1A1的距離為1，所以VA1-ABC1＝VB-AA1C1＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×1×1)×1＝eq\f(1,6).(2)證明：如圖，在AC上取點D，使CD＝eq\f(1,3)CA，連接ED，DG，因為BE＝eq\f(1,3)BA，所以DE∥BC，又BC⊥平面ACC1A1，所以DE⊥平面ACC1A1.又AC1?平面ACC1A1，所以DE⊥AC1.在正方形ACC1A1中，由CD＝eq\f(1,3)CA，A1G＝eq\f(1,3)A1A，得DG⊥AC1.又DE∩DG＝D，所以AC1⊥平面DEG.所以AC1⊥EG.[綜合題組練]1.如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動點，則下列結(jié)論不正確的是()A．平面D1A1P⊥平面A1APB．∠APD1的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))C．三棱錐B1-D1PC的體積為定值D．DC1⊥D1P解析：選B.在A中，因為A1D1⊥平面A1AP，A1D1?平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正確；在B中，當(dāng)P與A1重合時，∠APD1＝eq\f(π,2)，故B錯誤；在C中，因為△B1D1C的面積是定值，A1B∥平面B1D1C，所以點P到平面B1D1C的距離是定值，所以三棱錐B1-D1PC的體積為定值，故C正確；在D中，因為DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC?平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正確．2．(2024·高考全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB相互垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為．解析：由題意畫出圖形，如圖，設(shè)AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高．設(shè)圓錐的母線長為l，則由SA⊥SB，△SAB的面積為8，得eq\f(1,2)l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由題意知∠SAO＝30°，所以SO＝eq\f(1,2)l＝2，AO＝eq\f(\r(3),2)l＝2eq\r(3).故該圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×AO2×SO＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2＝8π.答案：8π3.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，點M，N分別在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN.(1)求證：AM⊥PD；(2)求直線CD與平面AMN所成角的正弦值．解：(1)證明：因為四邊形ABCD是正方形，所以CD⊥AD.又因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，故CD⊥平面PAD.又AM?平面PAD，則CD⊥AM，而PC⊥平面AMN，有PC⊥AM，又PC∩CD＝C，則AM⊥平面PCD，故AM⊥PD.(2)延長NM，CD交于點E，因為PC⊥平面AMN，所以NE為CE在平面AMN內(nèi)的射影，故∠CEN為CD(即CE)與平面AMN所成的角，又因為CD⊥PD，EN⊥PN，則有∠CEN＝∠MPN，在Rt△PMN中，sin∠MPN＝eq\f(MN,PM)＝eq\f(\r(3),3)，故CD與平面AMN所成角的正弦值為eq\f(\r(3),3).4．(2024·廣東七校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝2，E是AB的中點，G是PD的中點．(1)求四棱錐P-ABCD的體積；(2)求證：AG∥平面PEC；(3)求證：平面PCD⊥平面PEC.解：(1)易知V四棱錐P-ABCD＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·PA＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3).(2)證明：如圖，取PC的中點F，連接EF和FG，則易得AE∥FG，且AE＝eq\f(1,2)CD＝FG，所以四邊形AEFG為平行四邊形，所以EF