高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第七章立體幾何

第七章立體幾何

7.1基本立體圖形

課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢

1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組

合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).

2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)

單的實(shí)際問題.

3.能用斜二測(cè)法畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)

單組合）的直觀圖.

必備知識(shí)】溫故知新

【教材梳理】

1.棱柱、棱錐、棱臺(tái)

分類棱柱棱錐棱臺(tái)

圖形￡D'

上底面

側(cè)面--底面叫的側(cè)棱

側(cè)棱側(cè)面，ry大

頂點(diǎn)j/方-弋於

法—打底面

頂點(diǎn)

定義有兩個(gè)面互相平行,其余各面有一個(gè)面是多邊形，其用一個(gè)坨于棱錐底面的平

都是四邊形,并且相鄰兩個(gè)四余各面都是有一個(gè)公共面去截棱錐，底面和截面之

邊形的公共邊都互相平行,iti頂點(diǎn)的三角形,由這些間那部分多面體

這些面所圍成的多面體面所圍成的多面體

結(jié)構(gòu)底面互相平行且金笠；側(cè)面都底面是一個(gè)多邊形；側(cè)上、下底面互相平行且相

特征是平行四邊形;側(cè)棱都相等且面都是三色彩；側(cè)面有似；各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一

互相平行一個(gè)公共頂點(diǎn)點(diǎn)；各側(cè)面為梯形

分類①按底面多邊形的邊數(shù)：三棱①按底面多邊形的邊①按底面多邊形的邊數(shù)：三

柱、四棱柱、五棱柱...數(shù)：三棱錐、四棱錐、棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)...

②按側(cè)棱與底面的關(guān)系：側(cè)棱五棱錐…②正棱臺(tái)：由正棱錐截得的

垂直于底面的棱柱叫做百棱柱,②正棱錐：底面是正多棱臺(tái)

邊形，并且頂點(diǎn)與底面

中心的

否則叫做斜棱拄.底面是正多邊連線垂直于底面的棱錐

形的直棱柱叫做正棱柱.底面是

平行四邊形的四棱柱也叫做土

行六面體

2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

分類圓柱圓轉(zhuǎn)圓臺(tái)球

圖形

定義以矩形的一邊所在直以亡力三角形的一條用平行于圓錐底面的以半圓的直徑所在

線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三直角邊所在的直線為平面去截圓錐，底面直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋

邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋與截面之間的部分轉(zhuǎn)一周所形成的曲

所圍成的旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)一周形成的面所圍面叫做球面,球面

成的旋轉(zhuǎn)體所圍成的旋轉(zhuǎn)體

結(jié)構(gòu)特①母線互相平行且相①母線相交于二息①母線延長(zhǎng)線交于二截面是圓面

征等，并垂直于底面②軸截面是全等的笠點(diǎn)

②軸截面是全等的矩腰三角形②軸截面是全等的笠

鬢③惻面展開圖是扇形腰梯形

③側(cè)面展開圖是矩形③側(cè)面展開圖是扇環(huán)

簡(jiǎn)單組合體：由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫簡(jiǎn)單組合體.其構(gòu)成形式主

要有：由簡(jiǎn)單幾何體拼接，或由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分.

3.立體圖形的直觀圖

（1）概念：直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形，

立體幾何中通常是在平行投影下得到的平面圖形.

（2）斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的步驟：

①在己知圖形中取互相垂直的％軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，

把它們畫成對(duì)應(yīng)的/軸和y'軸，兩軸相交于點(diǎn)0',且使4%‘0'y'=殂（或

135。）,它們確定的平面表示水平面.

②己知圖形中平行于％軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于％'軸或

V軸的線段.

③己知圖形中平行于工軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于2軸

的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半.

畫幾何體的直觀圖時(shí)，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個(gè)與工

軸、y軸都垂直的z軸，并且使平行于z軸的線段的平行性和長(zhǎng)度都不變.

4.簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

（1）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積

側(cè)面展開圖

側(cè)面積公式

其中r,/為底面半徑，I為母線長(zhǎng).

（2）柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積

分類表面積體積（S是底面積，力是高）

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=5側(cè)+2S底V=Sh

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=辿+『V=Lsh

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面積=5側(cè)+S上+S下（S1.+S下+Js」s下）h

球（R是半徑）S=4i必V=-nR3

【常用結(jié)論】—

5.常見四棱柱及其關(guān)系

底面是平側(cè)棱垂直直

行四邊形平行于底面平

底

底是

各棱長(zhǎng)

是

面

面

正

長(zhǎng)

正

行

正

憑

相

都

形

形

等

舐

嗎|六面體方

四

方

方

六

棱

簪側(cè)棱垂直直四底面是平體

體

面

柱|鐳氤Jg行四邊形柱

體

6.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積是原圖形的半倍，即

4

C_V2C

>直觀圖=T3原圖形.

7.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論

（1）長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直

徑，即Ja?+b2+c2=2R.

（2）正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為R,若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=

V3a；若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；若球與正方體的各棱相切，則

2R=>/2a.

（3）正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3:1.

自主評(píng)價(jià)牛刀小試

1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫“J”，錯(cuò)誤的畫“X”.

（1）有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（X）

（2）有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.（X）

（3）側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體.（X）

（4）用斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖時(shí)，原圖形面積S與其直觀圖面積S'的

關(guān)系為s，=fs.（V）

4

（5）圓錐的體積等于底面積與高之積.（X）

2.（教材習(xí)題改編）三棱錐的四個(gè)面中，下列說法不正確的是（A）

A.不能都是直角三角形B.可能都是銳角三角形

C,可能都是等腰三角形D.可能都是鈍角三角形

［解析］解：正方體中三棱錐的各面都是直角三角形，故A不正確;

正四面體，四個(gè)面中，都是等邊三角形，故B,C正確；三棱錐的四個(gè)面中，

可能都是鈍角三角形，即D正確.故選A.

3.如圖，長(zhǎng)方體ABCD-AB'C'。'被截去一部分，其中EH。，則剩下的幾

何體是（C）

A.棱臺(tái)B.四棱柱C,五棱柱D.簡(jiǎn)單組合體

［解析］解：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱.故選C.

4.［2022屆江蘇南通高三開學(xué)考試］已知圓錐的軸截面是斜邊為2遍的直角三角

形，該圓錐的體積為（C）

A.等B.等C.V3irD.3V3n

［解析］解：由題意，知該圓錐的軸截面是等腰直角三角形，其底面圓半徑為國(guó),

高為V3,所以該圓錐的體積為U（V3）2xV3=V3ir.故選C.

核心考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例1下列說法正確的是（B）

A.有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B.在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各任取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線不一定是圓臺(tái)的

母線

C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

D.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾

何體叫圓錐

［解析I解：對(duì)于A,如圖1符合條件但卻不是棱柱；B顯然正確；

圖1

對(duì)于C,如圖2,其側(cè)棱不相交于一點(diǎn)，故不是棱臺(tái);

對(duì)于D,如圖3,以直角三角形的斜邊4B為軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個(gè)同底的圓錐.故

選B.

【點(diǎn)撥】解決此類問題的基本方法：①定義法：緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，

熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，

變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定;②反例

法：學(xué)會(huì)通過反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，設(shè)法舉出一

個(gè)反例即可.

變式1.【多選題】下列命題口正確的是（BC）

A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

B.在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱

柱

C.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體

D.棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等

［解析I解：A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但

不一定全等.B正確，由線面平行的性質(zhì)定理,知兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平

行于側(cè)棱，又垂直于底面.C正確，如圖，

正方體4BC0-中的三棱錐Q-ABC的四個(gè)面都是直角三角形.D不

正確，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于

一點(diǎn)，但側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.故選BC.

例2［2020新高考I卷II卷］日皆是中國(guó)古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與唇面

垂直的唇針投射到唇面的影子來測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球（球心記為0）,

地球上一點(diǎn)A的緯度是指04與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)4處的水平面是指

過點(diǎn)A且與。4垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日唇，若唇面與赤道所在平面平

行，點(diǎn)4處的緯度為北緯40°,則唇針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（B）

A.20°B.40°C.50°D.90°

［解析I解：畫出截面圖如圖所示,

其中CO是赤道所在平面的截線，［是點(diǎn)4處的水平面的截線：依題意可知04,

是唇針處所在直線，血是唇面的截線，依題意，署面和赤道平面平行，唇

針與唇面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得m〃C。,根據(jù)線面垂直的定義可

得由于44。。=40°,m//CD,所以，04G=NAOC=40°,由于

Z.OAG+Z.GAE=Z.BAE+Z.GAE=90°,所以4BAE=Z.OAG=40°,也愚

針與點(diǎn)4處的水平面所成角為4B4E=40°.故選B.

【點(diǎn)撥】課程標(biāo)準(zhǔn)要求考生認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，并能描述現(xiàn)實(shí)生

活中的簡(jiǎn)單物體結(jié)構(gòu)，高考常與數(shù)學(xué)文化結(jié)合考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，也體現(xiàn)生

活中處處有數(shù)學(xué).

變式2.《九章算術(shù)》是我國(guó)百代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：

“今有芻薨，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何？”

其意思為“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)

2丈，高2丈，問：它的體積是多少？”（已知1丈為10尺）（C）

A.12000立方尺B.11000立方尺C.10000立方尺D.9000立方尺

［解析］解：過上棱兩端點(diǎn)向底面作垂面，則垂面與上棱垂直，兩垂面將幾何體

分成兩個(gè)四棱錐和一個(gè)直三棱柱，如圖所示.

則三棱柱的體積匕=：x3x2x2=6,兩個(gè)四棱錐的體積之和為占=：x2x

3x2=4.

所求體積V=%+%=10（立方丈）=10000（立方尺）,故選C.

考點(diǎn)二空間多面體的面積、體積

命題角度1空間多面體的面積

例3側(cè)面是正三角形的正四棱錐，體積為6則它的全面積是支上

［解析］解：如圖，P—為正四棱錐,

設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,過P作PG_L8C于G,作P。1底面48CD,垂足為。，

連接OG.在RSPOG中，PG='a,PO=］『一?=<*

因?yàn)轶w積為年,gplxa2x^a=^,則Q=1.

6326

所以正四棱柱的全面積為4x^a2+a2=l+V3.

4

故填1+6,

【點(diǎn)撥】求解多面體的表面積，關(guān)鍵是找到其中的特征圖形，如棱柱中的矩

形，棱錐中的直角三角形，棱臺(tái)中的直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元

素間的關(guān)系，通過建立未知量與已知量間的關(guān)系進(jìn)行求解.

變式3.如圖1所示的正方體的棱長(zhǎng)為1,沿對(duì)角面（圖中陰影部分）將其分割

成兩塊，重新拼接成如圖2所示的斜四棱柱，則所得的斜四棱柱的表面積是生土

2vl.

V2；左右為兩個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為1；前后為兩個(gè)平行四邊形，相鄰兩邊長(zhǎng)為1

與魚，一個(gè)內(nèi)角為45。，從而斜四棱柱的表面積是2x1x灰+2x1?+2x

1xV2xsin4S°=4+2或，故填4+2A/2.

命題角度2空間多面體的體積

例4如圖，在多面體4BC0EF中，己知4BC0是邊長(zhǎng)為1的正方形，且4

ADE,△BCF均為正三角形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為（A）

［解析］解：如圖，過4，B兩點(diǎn)分別作4M,BN垂直于E尸,垂足分別為M,

N，連接0M,CN，

可證得DMIFF,CNLEF,則多面體4BCDEF分為三部分，即多面體的體積

^ABCDEF=^AMD-BNC+^E-AMD+^F-BNC?

依題意知4EFB為等腰梯形.

易知Rt△DME三Rt△CNF,所以EM=NF=1.

又BF=1,所以BN=當(dāng).

作N”垂直于8C,則“為8C的中點(diǎn)，所以NH=當(dāng).

所以SABNC=：，BC?NH=^.

所以乙一BNC=9S"N-NF=^,

^E-AMD—VF-BNC~'^AMD-BNC=^^BNC*MN=f.

所以以故選A?

【點(diǎn)撥】求空間幾何體體積的常用方法為公式法、割補(bǔ)法和等積變換法（等體

積法）：①割補(bǔ)法：將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出柱體和錐

體的體積，從而得出要求的幾何體的體積.②等積變換法：特別地，對(duì)于三棱

錐，由于其任意一個(gè)面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計(jì)算的方式來

求體積；利用“等積性”還可求“點(diǎn)到面的距離”.

變式4.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方

體4BC。-&B1GD1挖去四棱錐。-EFGH后所得的幾何體，其中。為長(zhǎng)方體

的中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn)，4B=BC=6cm,44i=

4cm,3D打印所用原料密度為0.9g/cn?,不考慮打印損耗，制作該模型所需

原料的質(zhì)量為11"g.

［解析］解：由題意得，S四邊形EFG”=4x6-4x：x2x3=12(cm2),

因?yàn)樗睦忮F。一EFGH的高為3cm,

所以%-EFGH=§x12x3=12(cm3).

又長(zhǎng)方體ABC。一&B1C1D1的體積為匕=4x6x6=144(cm3),所以該模型

3

體積為V=V2-VQ-EFGH=144-12=132(cm),其質(zhì)量m=0.9x132=

118.8(g).故填1188

考點(diǎn)三空間旋轉(zhuǎn)體的面積、體積

命題角度1空間旋轉(zhuǎn)體的面積

例5如圖，四邊形4BC0為梯形，AD//BC,Z.ABC=90°,以4為圓心，AD

為半徑畫一個(gè)扇形，則圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為

68n.

［解析］解：依題意，形成的幾何體是一個(gè)圓臺(tái)從上面挖出一個(gè)半球,

S半球=IX4nx22=8n,又CD=7(5-2)2+42=5,所以S網(wǎng)臺(tái)側(cè)=TTX

(2+5)x5=35TT,S圓臺(tái)底=251T.

故所求幾何體的表面積S表=8n+357T+25n=68n.故填68Tl.

【點(diǎn)撥】求旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.直角梯形繞直角腰旋

轉(zhuǎn)一周形成的是圓臺(tái)，四分之一圓繞半徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的是半

球，所以陰影部分繞48旋轉(zhuǎn)一周形成的是組合體，圓臺(tái)挖去半球，5表=

S圓臺(tái)側(cè)+S下底面+S半球表?

變式5.如圖，在四邊形4BCD中，/-DAB=90°,Z.ADC=135°,AB=5,

CD=2?AD=1,貝lj四邊形4BCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為

25(?+l)ir.

因?yàn)橐?0c=135。,所以NEOC=45。,所以△CDE是等腰直角三角形，

因?yàn)镃O=2V2，所以EC=ED=2.

又AD=1，所以AE=AD+ED=3.

所以BC=J(5—2尸+32=3V2.

四邊形4BC0繞4。旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體為一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐.其中圓臺(tái)

的上下底面圓的半徑分別為EC,高為4E；圓錐的底面圓的半徑為EC,高

為DE.所以所得幾何體的表面積S=nx52+7ix(2+5)x3>/2+7ix2x

2V2=25(72+l)n.故填25(魚+l)n.

命題角度2空間旋轉(zhuǎn)體的體積

例6已知4(0,0),B(1,0),C(2,l),D(0,3),將四邊形ABCO繞y軸旋轉(zhuǎn)

一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的體積是(A)

63

A.5TTB.3nC.-TTD.-n

22

[解析I解：如圖，過C作y軸的垂線交y軸于E,則ADCE是直角三角形，四邊

形4BCE是直角梯形，四邊形4BCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個(gè)圓錐和一

個(gè)圓臺(tái)的組合體，易求得力B=1,FC=V2,CE=2,4E=1,ED=2,DC=

2V2,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V=1XTIX22X2+^（1+1X2+22）X1=5T[.

故選A.

【點(diǎn)撥】求旋轉(zhuǎn)體體積的一般思路是理解旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，確定得到計(jì)算體

積所需要的幾何量.求旋轉(zhuǎn)體的體積常用公式法、分割法等，注意相關(guān)公式要牢

記.

變式6.《烏鴉喝水》的寓言故事，鼓勵(lì)人們遇到困難要運(yùn)用智慧、認(rèn)真思考才

能讓問題迎刃而解.如圖所示，烏鴉想喝水，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)錐形瓶，上面部分是圓

柱體，下面部分是圓臺(tái)，瓶口直徑為3cm,瓶底直徑為9cm,瓶口距瓶頸為

2V3cm,瓶頸到水位線距離和水位線到瓶底距離均為竽cm現(xiàn)將1顆石子投

入瓶中，發(fā)現(xiàn)水位線上移當(dāng)cm.若只有當(dāng)水位線到達(dá)瓶口時(shí)，烏鴉才能喝到

水，則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是（石子體積均視為一致）（C）

A.2顆B.3顆C.4顆D.5顆

［解析］解：如圖所示，力8=9cm,EF=GH=3cm,LO=3>/3cm,所以

=60°.原水位線直徑CO=6cm,投入1顆石子后，水位線直徑〃=5cm,

則由圓臺(tái)公式得到，

2

匕顆石子=1.MN.(CN2+IM+CN?/M)=誓1cm3.同理，空瓶體積是由

空瓶圓臺(tái)加圓柱體得到，即。空瓶=P空?qǐng)A臺(tái)+%柱體=*LN.(CN?十EL2+

3

CN,EL)+n,E*?/a=上^+嗎包=空史(cm),則需要石子的個(gè)數(shù)為

888

v99跖

戶工=±=?X57=^G(3,4)，則至少需要4顆石子.故選C.

顆石子—^―0八”

考點(diǎn)四與球相關(guān)的切、接問題

命題角度1幾何體的外接球

例7

(1)己知三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=3,

PA1PBt則三棱錐P-ABC的外接球的體積為(B)

A.—B.空生C.27A/3TTD.27n

22

［解析］解：因?yàn)樵谌忮FP-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=

3,所以

因?yàn)镻41PB,所以P41PC,PCLPB.

以P4,PB,PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外

接球即三棱錐P-ABC的外接球.

A

P、B

因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為J32+3Z+32=3V3,

所以其外接球半徑R=手.

因此三棱錐P-ABC的外接球的體積P=yX(嶗3=萼^.故選B.

(2)設(shè)A,B,C,。是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三

角形且其面積為，則三棱錐。-ABC體積的最大值為(B)

A.12V3B.18V3C.24V3D.54V3

［解析I解：由等邊三角形ABC的面積為9次,可得=9點(diǎn)，所以4B=

6,所以等邊三角形ABC的外接圓的半徑為r=曰AB=28.

設(shè)球的半徑為R,球心到△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d=V/?2-r2=

416-12=2.所以三棱錐。-ABC高的最大值為2+4=6,所以三棱錐。-

ABC體積的最大值為］X9A/3X6=18V3.故選B.

【點(diǎn)撥】幾何體的外接球問題關(guān)鍵是確定球心位置，主要方法有：①將幾何體

還原或補(bǔ)為正方體或長(zhǎng)方體，進(jìn)而確定球心；②幾何體的外接球球心一定在過

底面的外心與底面垂直的直線上；③球心到各頂點(diǎn)的距離都相等；④球心一定

在外接球的直徑上.

變式7.

(1)已知直三棱柱ABC-481cl的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若48=3,

AC=4fABLACtAA±=12,則球0的表面積為1691r.

［解析I解：如圖，設(shè)球。的半徑為R.將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體4BEC-

AEE9,則球。是長(zhǎng)方體4BEC-A'B'E'C的外接球，所以體對(duì)角線BC'為球

0的直徑.因此2R="2+42+122=13,故S球=4nR2=169n.故填

169n.

(2)［2020年全國(guó)I卷］己知4,B,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，OOi為△力

的外接圓，若。Q的面積為4n,AB=BC=AC=OQ,則球。的表面積為

(A)

A.64nB.48TIC.36nD.32n

［解析I解：如圖，設(shè)圓。1的半徑為r,球的半徑為R,依題意，得五產(chǎn)=4n，

所以丁=2,因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，由正弦定理可得4B=2rsin600=

2V3,所以。。1=48=2百，根據(jù)球的截面性質(zhì)0011平面力8C,所以。?！?/p>

OtA,R=OA=q00；+。42=Joo：+「2=4,所以球。的表面積S=

4TTR2=64n.故選A.

(3)［2022年全國(guó)乙卷］己知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四

個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為弓.

［解析I解：如圖，由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱鏈時(shí)，其體積最大，設(shè)底面

邊長(zhǎng)為Q,底面所在圓的半徑為r,貝懺=當(dāng)。，四棱錐的高h(yuǎn)=J1—',則

四棱錐的體積y=w:卜彳r)=

3屑=黑，當(dāng)且僅當(dāng)9=1一9,即Mug時(shí)，等號(hào)成立.

所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高九=ji_.=.故填

命題角度2幾何體的內(nèi)切球

例8已知正三棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2遍,則該棱錐的內(nèi)切球的半徑為

V2-1,

［解析］解：如圖，在正三棱錐P中，過點(diǎn)P作尸。1平面ABC于點(diǎn)。，連

接40并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E,連接PE,易知。為AABC的中心.

因?yàn)?B=2V3,PD=1，所以S-BC=36，0E=1,PE=也.所以S“BC=

ix2V3xV2=V6.所以三棱錐的體積V=|x3V3x1=V3.

設(shè)內(nèi)切球半徑為R,則卜=VC_ABC+Vo-pBc+VO-PAC+VO-PAB=/謝?R+

3x?R=(V5+㈣R=V3,可得R=V2-1.

故填口-1.

變式8.

(1)已知三棱錐P-ABC,若24,PB,PC兩兩垂直，且PA=2,PB=

PC=1,則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為；

［解析］解：由題意，設(shè)三棱錐P—48。的內(nèi)切球的半徑為丁，球心為。，則由等

體積得Vp_.BC=^0-PAB+^0-PAC+^0-PBC+^0-ABC,即gX^X2X1X1=

-x-x2xlxrx2+-x-xlxlxr+-x-xV2x/5--xr,解得r=L

323232yj24

故內(nèi)切球的表面積為4m*2=:故填，

（2）在四棱錐P—4BC0中，底面4BC0是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PO_L底面

ABCD,且PD=2a.若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一球，則此球的最大半徑為

（2-a）a.

［解析I解：由題意知，當(dāng)球與四棱錐各面均相切，即內(nèi)切于四棱錐時(shí)球的半徑r

最大，如圖1.作出其左視圖，如圖2.

圖1圖2

由“等面積法”，SNAD=1x2ax2a=1x2axrx2+1x2^2axr,故球

的半徑r=（2-V2）a.

故填（2-V2）a.

課時(shí)作業(yè)知能提升

【鞏固強(qiáng)化】

I.如圖所示的幾何體是柱體的有（B）

［解析I解：①③⑤不是柱體，②是圓柱，④是以左、右面為底面的棱柱.故選B.

2.將一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括

(D)

A.一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐B.兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱

C.兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái)D.一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐

［解析］解：從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成

了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在直線

旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，如圖.故選D.

3.下面四個(gè)圖形中，可作為三棱柱的平面展開圖的是（A）

［解析I解：A是三棱柱的平面展開圖；B是三棱錐的平面展開圖；C是四棱錐的

平面展開圖；D作為三棱柱的平面展開圖，一側(cè)多了一個(gè)底，另一側(cè)少了一個(gè)

底.故選A.

4.如圖，矩形。'4B'C'是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中。'4=

6cm,CD'=2cm,則原圖形是(C)

A.正方形

C.菱形D.一般的平行四邊形

［解析I解：如圖，在原圖形。4BC中，有。。=20'。=2x2魚=4魚，CD=

CD'=2.

所以0c=yJOD2+CD2=

所以O(shè)A=OC,所以四邊形04BC是菱形.

故選C.

5.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)、P到底面/BC的距離為3,則三

棱錐的表面積是(C)

A.9V3B.18V3C.27V3D.3673

［解析I解：由題意可知底面三角形的中心到底面三角形的邊的距離為:x日x

6=75,所以正三棱錐的斜高為小2+(73)2=2七,所以這個(gè)正三棱錐的側(cè)

面積為3x1x6x2V3=18V3,底面積為［x62xsin60°=9V3.所以正三棱

錐P-ABC的表面積為18舊+9V3=27V3.故選C.

6.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，

則該圓柱的體積為(B)

A.irB.—C.-D.-

424

［解析］解：圓柱的軸截面如圖所示，

由題意可得，AC=1.AB=^結(jié)合勾股定理，底面半徑r=卜一?)2=

2

y,由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是卜=何2h=?(曰)x1=聲.故

選B.

7.已知過球面上A,B,。三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且

AB=18fBC=24,AC=30f求球的表面積和體積.

［答案］解：因?yàn)锳&BC：4c=18:24:30=3:4:5,

所以△ABC是直角三角形，Z.B=90°.

又球心。在截面△ABC上的投影。'為截面圓的圓心（如圖所示），也是以△

ABC的外接圓的圓心，

所以斜邊4c為截面圓O'的直徑.

設(shè)01=r,0C=R,

在Rt/kO'C。中，由題設(shè)知sin/O'C。=絲=工，所以NO'CO=30。，

OC2

所以：=cos30。=多，即R=\r,（*）

又2r=4C=30,所以r=15，代入（*）得R=10V3.所以球的表面積為S=

2

4ir/?2=4TTx（10A/3）=1200Tl.

球的體積為P=|IT/?3=|TIX（10V3）3=4000V3n.

8.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂

的奇特小屋名叫Trillion,于1996年列入世界文化遺產(chǎn)名景（如圖1）.現(xiàn)測(cè)量

一個(gè)屋頂，得到圓錐SO的底面直徑AB長(zhǎng)為12m,母線￡4長(zhǎng)為18m（如圖

2）.C是母線S4的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)S）.

圖1圖2

（1）現(xiàn)用鮮花鋪設(shè)屋頂，如果每平方米大約需要鮮花60朵，那么裝飾這個(gè)屋

頂（不含底面）大約需要多少朵鮮花（1T取3.14,結(jié)果精確到個(gè)位）；

［答案］解：圓錐的側(cè)面積為S=1T?黃S4a3.14x6xl8=339.12(m2),又每

平方米大約需要鮮花60朵，于是得339.12x60q20347(朵)，所以裝飾這

個(gè)屋頂大約需要20347朵鮮花.

(2)從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長(zhǎng)度.

［答案］將圓錐SO的側(cè)面沿母線SA剪開得其展開圖為如圖所示的扇形S44',連

接AC,則4C為所求最小長(zhǎng)度.

44'的長(zhǎng)度為TI/B=12n,得扇形圓心角乙4s4=粵==,在△A'SC中，

183

SAr=18,SC=［SA=6,由余弦定理得AC?=SA，2+SC2-2sA?

SCcos^A'SC=182+62-2x18x6cos—=468,所以4c=6V13,

3

所以燈光帶的最小長(zhǎng)度為645m.

【綜合運(yùn)用】

9.［2022年新高考II卷］已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為38和

4V3,其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(A)

A.lOOnB.128nC.1447rD.1921T

〔解析I解：設(shè)正三棱臺(tái)上、下底面所在圓面的半徑分別為q四，則2丁1=

4,27*2=幅，即7］=372=4,設(shè)球心到上、下底面的距離分別為

2

dr,d2,球的半徑為R,則詢=\lR2-9,d2=V/?—16,由|di-d2l=l或

22

d14-d2=1,BP|V/?-9-\/R-16|=1或-9+加-16=r,解得

R2=25，符合題意.所以球的表面積為S=4nR2=100n.故選A.

10.［2022年新高考I卷］南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，

其中一部分水蓄入某水庫.己知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積

為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0kn?,將該水

庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔148.5m上升到

157.5m時(shí)，增加的水量約為(V7*2.65)(C)

A.1.0x109m3B.1.2x109m3c.1.4x109m3D.1.6x109m3

［解析］解：如圖，依題意可知棱臺(tái)的高九=MN=157.5—148.5=9(m),所以

增加的水量即為棱臺(tái)的體積P.

AB

棱臺(tái)下底面積S=140.0km2=140x106m2,

上底面積S'=180.0km2=180x106m2,

所以p=1/i(S+S'+VSS7)=1x9x(140x106+180x105+

V140x180x1012)=3x(320+6077)x106?(96+18x2.65)x107=

1.437xIO9x1.4x109(m3).故選C.

11.［2022年全國(guó)甲卷］甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之

SV

和為2n,側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為喂和P乙.若U=2,則聲=

乙乙

(C)

A.V5B.2>/2C.WTOD.—

4

［解析］解：設(shè)母線長(zhǎng)為L(zhǎng)甲圓錐底面半徑為乙圓錐底面圓半徑為小，則

三==—=2,所以r1=2r2.

5乙irr2Zr2

由圓心角之和為2n,得答1+等=2TT,則牛=1,所以6=?正2=夕，

所以甲圓錐的匍h=小2T2=凈,乙圓錐的高九2=/2一？2=爭(zhēng),所

12.［2022屆山東日照月考］某市民廣場(chǎng)有一批球形路障球(如圖1所示)，現(xiàn)

公園管理處響應(yīng)市民要求，決定將每個(gè)路障球改造成方便市民歇腳的立方八面

體石凳(如圖2所示).其中立方八面體有24條棱、12個(gè)頂點(diǎn)、14個(gè)面(6個(gè)

正方形、8個(gè)正三角形)，它是將立方體“切”去8個(gè)“角”后得到的幾何體.

經(jīng)過測(cè)量，這批球形路障球每個(gè)直徑為60cm,若每個(gè)路障球?yàn)楦脑旌笏昧?/p>

方八面體的外接球，則每個(gè)改造后的立方八面體的表面積為5400+18006

cm2.

圖1圖2

［解析I解：由題意知，立方八面體表面有8個(gè)正三角形，再加上6個(gè)小正方形，

且正方形邊長(zhǎng)與正三角形邊長(zhǎng)相等，因?yàn)槁氛锨驗(yàn)榱⒎桨嗣骟w的外接球，則圖

中EG為外接球的直徑，設(shè)立方八面體棱長(zhǎng)為a，在正六邊形E4DGPN中，EG=

2a,即2a=60，則a=30.

所以立方八面體的表面積S=6Q2+8x—a2=54004-1800V3(cm2).故填

5400+180075.

13.如圖所示，四棱錐P-ABC。中，PA1菱形4BC0所在的平面，/.ABC=

60°，點(diǎn)E,F分別是,PD的中點(diǎn).

(1)求證：平面4EF_L平面P40；

［答案］解：證明：菱形4BC0中，連接4C,如圖.

則△4BC是正三角形，又E是BC的中點(diǎn)，即有4E_1.BC,又AD〃BC,于是

AELADf因P41平面ABC。，AEu平面，則PALAE,PAC\AD=

A,從而得AE1平面PA。,又4Eu平面AEF,所以平面4EF1平面PAO.

(2)當(dāng)48=AP=2時(shí)，求多面體PA8EF的體積.

［答案］由⑴知4E=V3SABE=?AE=f,S.==：乂/

PA?40=1,而PA1平面ABE,AE1平面PAP,于是有“一力班=^^ABE-

P4=殍，-MF=?AE=苧，所以多面體P-4BEF的體積力_4曲=

^P-ABE+^E-PAF=三?

【拓廣探索】

14.［2022年新高考I卷］己知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為L(zhǎng)其各頂點(diǎn)都在同一球面

上.若該球的體積為36口，且3W/W3V5,則該正四棱錐體積的取值范圍是(C)

A.［18,^］B.6與5篙引D.［18,27］

［解析I解：如圖，設(shè)該球的球心為。，半徑為R,正四棱錐的底邊長(zhǎng)為a,高為

h,依題意，得36冗=(爪/?3,解得R=3.

（I2=h2+（-ya）,（h=

由題意及圖可得《'2）2解得16,4

［才=（”3）2+（會(huì)），卜二2心f

所以正四棱錐的體積V=1a2/i=1（2/2-^）XJ=^（2-^）（3<Z<3V3）.

（方法一）17，=33一盤=53（4-?）（3工1工3>/5）,令,=0,得1=2遍，

所以當(dāng)3WLV2歷時(shí)，>0；當(dāng)2遍38時(shí)，7V0,所以函數(shù)｝二

（3<Z<3V3）在［3,2遙）上單調(diào)遞增，在（2痣3v5］上單調(diào)遞減.又

當(dāng)［=3時(shí)，V=^-；當(dāng)1=2乃時(shí)，1/=?；當(dāng)［=375時(shí)，P=?;所以該正

434

四棱錐的體積的取值范圍是片,當(dāng).

43

（方法二）昨鼠2一芻=72X.?（2-J）V72X前可吒）］3=?

（當(dāng)且僅當(dāng)］=2-2,即1=2連時(shí)，等號(hào)成立），所以正四棱錐的體積的最

大值為排除A,B,D.故選C.

7.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

課程標(biāo)準(zhǔn)

借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象

出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，并了解基本事實(shí)1-3.

必備知識(shí)

【教材梳理】

1.平面的基本性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)

基本事文字語言圖形語言符號(hào)語言作用

實(shí)

基本事過不在一條直線上的三個(gè)/—7B7A、B,C三點(diǎn)、確定平面；判

實(shí)1點(diǎn)，有且只有一個(gè)正面/,?C/不共線=存定點(diǎn)線共面等

?M/在唯一的平

面a使4,

B,CWa

基本事如果一條直線上的兩念直在八田74￡L8e確定直線在平

實(shí)2—個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線/卜74/，，且面內(nèi)；判定點(diǎn)

在這個(gè)平面內(nèi)丁、/Beadle在平面內(nèi)等

a

基本事如果兩個(gè)不重合的平面有一Pwa,且判定兩平面相

實(shí)3個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只PwB0ac交；判定點(diǎn)在

有?條過該點(diǎn)的公共直線6=I,且直線上等

PeI

（2）基本事實(shí)1與2的推論

推論文字語言圖形語言符號(hào)語言

推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一