第二章第07講 章節(jié)復(fù)習(xí)專題：一元一次不等式與一元一次不等式組（8個知識點(diǎn)+13大?？碱}型）-北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊

PAGE1第07講章節(jié)復(fù)習(xí)專題：一元一次不等式與一元一次不等式組目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一不等式的基本性質(zhì)】 4【考點(diǎn)二不等式的解與解集】 6【考點(diǎn)三一元一次不等式（組）的定義】 8【考點(diǎn)四解一元一次不等式（組）】 11【考點(diǎn)五求一元一次不等式（組）的整數(shù)解】 15【考點(diǎn)六一元一次不等式（組）求解中錯解復(fù)原問題】 19【考點(diǎn)七根據(jù)一元一次不等式的解集求參數(shù)】 25【考點(diǎn)八利用一元一次不等式的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍】 27【考點(diǎn)九利用一元一次不等式組的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍】 29【考點(diǎn)十根據(jù)一元一次不等式組的解集的情況求參數(shù)的取值范圍】 31【考點(diǎn)十一整式方程(組)與一元一次不等式（組）結(jié)合求參數(shù)的問題】 33【考點(diǎn)十二一元一次不等式（組）與一次函數(shù)結(jié)合的問題】 35【考點(diǎn)十三用一元一次不等式與不等式組解決實(shí)際問題】 38知識點(diǎn)01不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式．特別說明：(1)不等號“＜”或“＞”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數(shù)較大．(2)五種不等號的讀法及其意義：符號讀法意義“≠”讀作“不等于”它說明兩個量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小“＜”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“＞”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大“≤”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“≥”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對于含有未知數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關(guān)系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立．知識點(diǎn)02不等式的基本性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．特別說明：不等式的基本性質(zhì)的掌握注意以下幾點(diǎn)：(1)不等式的基本性質(zhì)是對不等式變形的重要依據(jù)，是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，它與等式的兩條性質(zhì)既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結(jié)、比較、體會．(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形時，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號的方向要改變．知識點(diǎn)03不等式的解與解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．注意：不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個范圍不等式的解集是一個集合，是一個范圍．其含義：①解集中的每一個數(shù)值都能使不等式成立；②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中知識點(diǎn)04一元一次不等式（組）的定義1.一元一次不等式（1）一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式．2.一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的定義：幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組．（2）概念解析形式上和方程組類似，就是用大括號將幾個不等式合起來，就組成一個一元一次不等式組．但與方程組也有區(qū)別，在方程組中有幾元一般就有幾個方程，而一元一次不等式組中不等式的個數(shù)可以是兩個及以上的任意幾個．知識點(diǎn)05解一元一次不等式（組）1.解一元一次不等式根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．2.解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．知識點(diǎn)06一元一次不等式（組）的整數(shù)解1.解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式的整數(shù)解．可以借助數(shù)軸進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進(jìn)而非常容易的解決問題．2.一元一次不等式組的整數(shù)解（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解．（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．知識點(diǎn)07一元一次不等式（組）的應(yīng)用（1）由實(shí)際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實(shí)際問題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式（組）解決實(shí)際問題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫出符合題意的解．知識點(diǎn)08利用一次函數(shù)的圖象得到一元一次不等式的解集(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函數(shù)的圖象在x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所組成的集合.(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函數(shù)的圖象在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所組成的集合.(3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函數(shù)y=k1x+b1圖象在一次函數(shù)y=k2x+b2圖象上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所組成的集合.(4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函數(shù)y=k1x+b1圖象在一次函數(shù)y=k2x+b2圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所組成的集合.【考點(diǎn)一不等式的基本性質(zhì)】例題：（24-25八年級上·浙江寧波·期末）若，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】不等式的性質(zhì)【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)：①把不等式的兩邊都加(或減去)同一個整式，不等號的方向不變；②不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式兩邊都乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A．∵，∴，故不正確；B．∵，∴，故不正確；C．∵，∴，∴，故不正確；D．∵，∴，正確；故選D．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·湖南婁底·期末）用不等式的性質(zhì)說明下圖中的事實(shí)，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【知識點(diǎn)】不等式的性質(zhì)【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)圖形及不等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：用不等式的性質(zhì)說明下圖中的事實(shí)，正確的是若，則，故選：A．2．（24-25八年級上·湖南永州·期末）已知，下列結(jié)論：；；若，則；若，則，其中正確的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】不等式的性質(zhì)【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)求解即可，解題的關(guān)鍵是正確理解不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)，不等號的方向不變，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．【詳解】解：∵，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，故結(jié)論錯誤；∵，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，故結(jié)論錯誤；∵，∴，故結(jié)論錯誤；∵，，∴，∴，故結(jié)論正確；∴正確的個數(shù)是個，故選：．3．（24-25八年級上·浙江·階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【知識點(diǎn)】不等式的性質(zhì)【分析】本題考查的是不等式的基本性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、在不等式的兩邊同時加，不等式仍成立，即，不符合題意；B、在不等式的兩邊同時乘以，不等號方向改變，即，不符合題意；C、在不等式的兩邊同時除以2，不等式仍成立，即，正確，符合題意；D．當(dāng)時，，原判斷錯誤，故本選項(xiàng)不符合題意故選：C．4．（23-24八年級下·廣東河源·期中）下列說法一定正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【知識點(diǎn)】不等式的性質(zhì)【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．利用不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)分析得出答案即可．【詳解】解：A．當(dāng)時，，即a與b不一定相等，故本選項(xiàng)不符合題意；B．若，則，故本選項(xiàng)不符合題意；C．若，當(dāng)時，，故本選項(xiàng)不符合題意；D．若，則，說法正確，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【考點(diǎn)二不等式的解與解集】例題：（23-24七年級下·河北保定·期末）下列說法中，正確的是（

）A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解C．是不等式的解集 D．是不等式的一個解【答案】D【知識點(diǎn)】不等式的定義、不等式的解集【分析】本題考查了不等式，解集，唯一解，一個解的定義的知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．所有滿足不等式的數(shù)的全體稱為這個不等式的解集，(是不等式解集中的一個數(shù))我們僅可以說它是滿足這個不等式的一個解，所有解的全體稱為解集，解集中的一個數(shù)稱為不等式的一個解，當(dāng)不等式的解有且只有一個時，則稱它為這個不等式的唯一解，根據(jù)解集，唯一解，一個解的定義，以此判斷四個選項(xiàng)即可選出正確答案．【詳解】解：解不等式，可得．A.由于，故不是不等式的解，故選項(xiàng)錯誤；B.由于，故是不等式的一個解，但不是唯一解，故選項(xiàng)錯誤；C.由于，故不是不等式的一個解，但不是解集，故選項(xiàng)錯誤；D.由于，故不是不等式的一個解，故選項(xiàng)正確；故選D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·吉林白城·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（）A．不等式的解是B．不等式的解是C．是不等式的一個解D．是不等式的一個解【答案】D【知識點(diǎn)】不等式的解集【分析】本題考查不等式的解和解集的定義．根據(jù)不等式的解集的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A、不是不等式的解，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不等式的解是所有小于0的數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不滿足，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是不等式的一個解，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的有（）①不是不等式的解；②不等式的解集是；③不等式的負(fù)數(shù)解有無限多個；④不等式的負(fù)數(shù)解有無限多個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【知識點(diǎn)】不等式的解集、求一元一次不等式的解集【分析】此題主要考查了不等式的解的定義，以及不等式的解集的定義，關(guān)鍵是熟練掌握兩個定義．根據(jù)不等式的解的定義：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解；不等式的解集的定義：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集，進(jìn)行分析即可得到答案．【詳解】①不等式的解集為：，∴不是不等式的解，正確；②不等式的解集是，正確；③不等式的負(fù)數(shù)解有無限多個，正確；④不等式的負(fù)數(shù)解有無限多個，正確．綜上分析可知，此題正確的說法有4個．故選：D．【考點(diǎn)三一元一次不等式（組）的定義】例題1：（22-23八年級下·山東菏澤·階段練習(xí)）下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的個數(shù)為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【知識點(diǎn)】一元一次不等式的定義【分析】本題主要考查了一元一次不等式的定義，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不為0，左右兩邊為整式的不等式，叫做一元一次不等式．根據(jù)一元一次不等式的定義分析判斷即可．【詳解】解：①，是方程；②，不含未知數(shù)，不是一元一次不等式；③，是代數(shù)式，不是不等式；④，是一元一次不等式；⑤，是一元一次不等式．故選：A．例題2：（23-24八年級下·河南鄭州·期中）下列各項(xiàng)中，是一元一次不等式組的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】一元一次不等式組的定義【分析】本題考查了一元一次不等式組的定義，根據(jù)一元一次不等式組的定義逐個判斷即可．含有相同字母的幾個不等式，如果每個不等式都是一次不等式，那么這幾個不等式組合在一起，就叫一元一次不等式組．【詳解】解：A.第二個不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式組，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式組，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.最高二次，不是一元一次不等式組，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.是一元一次不等式組，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·湖南婁底·階段練習(xí)）下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【知識點(diǎn)】一元一次不等式的定義【分析】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式，其中只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為1的不等式叫做一元一次不等式．解答此類題關(guān)鍵是會識別常見的不等號：．【詳解】解：①未知數(shù)的次數(shù)不是1，不是一元一次不等式，不符合題意；②含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式，不符合題意；③是一元一次不等式，符合題意；④不是不等式，不符合題意；⑤是一元一次不等式，符合題意；∴一元一次不等式一共有2個，故選：A．2．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）下列不等式組：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式組的個數(shù)（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【知識點(diǎn)】一元一次不等式組的定義【分析】根據(jù)一元一次不等式組的定義判斷即可．【詳解】解：①是一元一次不等式組；②是一元一次不等式組；③含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式組；④是一元一次不等式組；⑤，未知數(shù)是2次，不是一元一次不等式組，其中是一元一次不等式組的有3個，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式組的定義，根據(jù)共含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1來判斷．3．（23-24七年級下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）若是關(guān)于的一元一次不等式，則該不等式的解集是．【答案】【知識點(diǎn)】一元一次不等式的定義、求一元一次不等式的解集【分析】本題主要考查一元一次不等式的定義和解法，掌握基本概念和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)一元一次不等式的定義求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可．【詳解】解：根據(jù)不等式是一元一次不等式可得：，∴，∴原不等式化為：，解得：．故答案為：．4．（23-24七年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為．【答案】【知識點(diǎn)】一元一次不等式的定義【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可．【詳解】∵是關(guān)于x的一元一次不等式，∴，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解本題的關(guān)鍵．5．（23-24七年級下·重慶江津·期末）已知是關(guān)于x的一元一次不等式，則．【答案】2【知識點(diǎn)】一元一次不等式的定義【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：由題意得：，，解得：，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義，熟練掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四解一元一次不等式（組）】例題：（23-24七年級下·全國·期末）解不等式（組），并在數(shù)軸上表示它們的解集．(1)；(2)．【答案】(1)，數(shù)軸見解析(2)，數(shù)軸見解析【分析】本題考查了解不等式組以及解一元一次不等式的解集，運(yùn)用數(shù)軸表示不等式（組）的解集，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先移項(xiàng)，然后合并同類項(xiàng)，再系數(shù)化1，再運(yùn)用數(shù)軸表示不等式的解集，即可作答．（2）分別解出每個不等式的解集，再取它們的公共解集，運(yùn)用數(shù)軸表示不等式組的解集，即可作答．【詳解】（1）解：移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化1，得，解集在數(shù)軸上表示如圖：（2）解：由①得：；由②得：，，∴不等式組的解集為，不等式組的解集在數(shù)軸表示如圖：【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·浙江·期中）解不等式（組）：(1)解不等式：；(2)解不等式組，并求該不等式組的非負(fù)整數(shù)解．【答案】(1)(2)，不等式組的非負(fù)整數(shù)解為0，1【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．（1）先去括號，再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)即可得解；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】（1）解：去括號得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：；（2）解：解不等式①得：解不等式②得：原不等式組的解集為不等式組的非負(fù)整數(shù)解為0，1．2．（23-24七年級下·全國·單元測試）解不等式(組)，并把解集在數(shù)軸上表示出來(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元一次不等式和不等式組，解題關(guān)鍵是掌握解不等式和不等式組的方法和步驟．（1）根據(jù)解一元一次不等式的步驟依次計算即可；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到”確定不等式組的解集．【詳解】（1）解：，解集在數(shù)軸上表示如下：（2）解：解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式組的解集為：，不等式組的解集在數(shù)軸上表示如下：3．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）計算:(1)解不等式，并寫出滿足該不等式的負(fù)整數(shù)解．(2)解不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．【答案】(1)，、；(2)，數(shù)軸見解析【分析】本題考查的是解一元一次不等式（組），掌握不等式的解法，以及不等式組解集的確定方法是解題關(guān)鍵．（1）先解不等式，再寫出滿足該不等式的負(fù)整數(shù)解即可；（2）先求出每個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了確定不等式組的解集，再將解集在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】（1）解：，，滿足該不等式的負(fù)整數(shù)解為、；（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式的解集為，在數(shù)軸上表示如下：4．（24-25七年級上·山東東營·階段練習(xí)）（）解不等式，并在數(shù)軸上表示不等式的解集．（）解不等式：，并將它的解集在數(shù)軸上表示出來．（）解不等式組：并把解集在數(shù)軸上表示出來．（）解不等式組，并求出它的所有整數(shù)解．【答案】（），數(shù)軸表示見解析；（），數(shù)軸表示見解析；（）x>1，數(shù)軸表示見解析；（），所有整數(shù)解為，，【分析】（）根據(jù)解一元一次不等式的步驟求出不等式的解集，再把解集在數(shù)軸上表示出來即可；（）根據(jù)解一元一次不等式的步驟求出不等式的解集，再把解集在數(shù)軸上表示出來即可；（）分別求出每個不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式組的解集，再把解集在數(shù)軸上表示出來即可；（）分別求出每個不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式組的解集，進(jìn)而得到它的所有整數(shù)解；本題考查了解一元一次不等式和不等式組，在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集，求不等式組的整數(shù)解，正確計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）去括號得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為得，，不等式的解集在數(shù)軸上表示為：（）去分母得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為得，，不等式的解集在數(shù)軸上表示為：（）由①得，，由②得，x>1，∴不等式組的解集為x>1，不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：（），由①得，，由②得，，∴不等式組的解集為，∴不等式組的所有整數(shù)解為，，．【考點(diǎn)五求一元一次不等式（組）的整數(shù)解】例題1：（24-25八年級上·浙江寧波·期中）不等式的正整數(shù)解為．【答案】1，2【知識點(diǎn)】求一元一次不等式的整數(shù)解【分析】本題考查一元一次不等式的整數(shù)解，解不等式求出x的范圍，再取符合條件的正整數(shù)即可．【詳解】解：，去括號得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1，得：，所以，不等式的正整數(shù)解為1，2．例題2：（2025九年級下·全國·專題練習(xí)）不等式組的整數(shù)解有個．【答案】4【知識點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】本題考查了求一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握求一元一次不等式組的整數(shù)解的一般步驟是解題的關(guān)鍵：先求出不等式組的解集，再從解集中找出所有整數(shù)解．按照求一元一次不等式組的整數(shù)解的一般步驟進(jìn)行計算即可，即：先求出不等式組的解集，再從解集中找出所有整數(shù)解．【詳解】解：，由解得：，由解得：，不等式組的解集為：，它的整數(shù)解有：，，，，共個，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習(xí)）不等式的最小整數(shù)解是．【答案】1【知識點(diǎn)】求一元一次不等式的整數(shù)解【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，先解出一元一次不等式的解，然后根據(jù)整數(shù)的定義即可得出答案．【詳解】解：，∴不等式的最小整數(shù)解是1，故答案為：1．2．（23-24七年級下·四川南充·階段練習(xí)）不等式的正整數(shù)解的個數(shù)是．【答案】5【知識點(diǎn)】求一元一次不等式的整數(shù)解【分析】本題考查的是求解一元一次不等式的正整數(shù)解，先解不等式得到不等式的解集，再確定正整數(shù)解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，則不等式的正整數(shù)解有1、2、3、4、5共5個，故答案為：5．3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）不等式組的整數(shù)解為．【答案】0【知識點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】本題考查求不等式組的整數(shù)解，先求出每一個不等式的解集，進(jìn)而求出不等式組的解集，即可得出整數(shù)解．【詳解】解：解不等式組，得：，∴，∴不等式組的整數(shù)解為0；故答案為：0．4．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）不等式組的非負(fù)整數(shù)解是．【答案】3，2，1，0【知識點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】本題考查求不等式組的整數(shù)解，先求出不等式組的解集，進(jìn)而求出非負(fù)整數(shù)解即可．【詳解】解：，由①，得：；由②，得：，∴不等式組的解集為：；∴不等式組的非負(fù)整數(shù)解為：3，2，1，0；故答案為：3，2，1，0．5．（23-24七年級下·山東泰安·階段練習(xí)）一元一次不等式組的最大整數(shù)解是．【答案】2【知識點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式組的方法．求出不等式組的解集為，即可求出最大整數(shù)解．【詳解】解：解不等式，得解不等式，得，不等式組的解集為不等式組的整數(shù)解有，不等式組的最大整數(shù)解為2．故答案為：2．6．（23-24七年級下·江蘇淮安·階段練習(xí)）不等式組的所有整數(shù)解的和為．【答案】【知識點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】本題考查求一元一次不等式組的整數(shù)解，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵．分別算出兩個不等式的解，即可得出不等式組的解集，然后找到解集中的所有整數(shù)解，最后相加即可．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的整數(shù)解為，，…，∴所有整數(shù)解的和為，故答案為：．7．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）不等式組的所有整數(shù)解的和為．【答案】【知識點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】先求出每一個不等式的解集，后確定不等式組的解集，后確定整數(shù)解求和即可．本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練進(jìn)行不等式求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵∴解不等式①，得，解不等式,②，得，∴不等式組的解集為，故其整數(shù)解有，且，故答案為：．【考點(diǎn)六一元一次不等式（組）求解中錯解復(fù)原問題】例題1：（23-24七年級下·吉林松原·期末）以下是某同學(xué)解不等式的部分解答過程．解：去分母，得，第一步去括號，得，第二步移項(xiàng)，得，第三步…(1)以上解題過程中．第二步是依據(jù)________（運(yùn)算律）進(jìn)行變形的，第________步開始出現(xiàn)錯誤．(2)請你寫出完整的解答過程．并在數(shù)軸上表示不等式的解集．【答案】(1)乘法分配律；三(2)見解析；數(shù)軸見解析【知識點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、在數(shù)軸上表示不等式的解集【分析】本題主要考查了解一元一次不等式：（1）根據(jù)解一元一次不等式的基本步驟進(jìn)行判斷即可；（2）先去分母、再去括號，然后移項(xiàng)合并同類，最后未知數(shù)系數(shù)化為1．【詳解】（1）解：以上解題過程中．第二步是依據(jù)乘法分配律進(jìn)行變形的，第三步開始出現(xiàn)錯誤．故答案為：乘法分配律；三（2）解：解：去分母，得，去括號，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得：，解得：，在數(shù)軸上表示不等式的解集，如下：例題2：（2024九年級下·山西·專題練習(xí)）下面是小李解不等式組，的部分過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：令解不等式①，得．去分母，得．第一步移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得．第二步系數(shù)化為1，得．第三步……任務(wù)一：上述解不等式①的過程第______步出現(xiàn)了錯誤，其原因是______；任務(wù)二：請你寫出解此不等式組的正確過程．【答案】任務(wù)一：三；不等式的兩邊同時除以時不等號的方向未改變；任務(wù)二：．【知識點(diǎn)】求不等式組的解集【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，掌握解一元一次不等式組的步驟成為解題的關(guān)鍵．任務(wù)一：根據(jù)解一元一次不等式的步驟以及等式的基本性質(zhì)即可解答；任務(wù)二：先分別求出各不等式的解集，然后確定不等式組的解集即可【詳解】任務(wù)一：解：第三步出現(xiàn)了錯誤，不等式的兩邊同時除以時不等號的方向未改變；故答案為：三；不等式的兩邊同時除以時不等號的方向未改變?nèi)蝿?wù)二：解：由①得，，，，；由②得：即；所以原不等式組的解集為．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級下·遼寧鐵嶺·期末）下面是小淇同學(xué)解一元一次不等式的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：去分母，得

第一步去括號，得．

第二步移項(xiàng)，得．

第三步合并同類項(xiàng)，得．

第四步系數(shù)化為1，得

第五步任務(wù)一：①以上解題過程中，第一步的依據(jù)是______．②第______步開始出現(xiàn)錯誤，這一步正確的應(yīng)是______．任務(wù)二：請你直接寫出正確的結(jié)果【答案】任務(wù)一：①不等式性質(zhì)2；②三，任務(wù)二：【知識點(diǎn)】不等式的性質(zhì)、求一元一次不等式的解集【分析】本題考查不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式：任務(wù)一：①根據(jù)不等式的性質(zhì)作答即可；②第三步開始出錯，移項(xiàng)時沒有變號，寫出正確的步驟即可；任務(wù)二：解不等式即可．【詳解】解：任務(wù)一：①第一步的依據(jù)是不等式性質(zhì)2；故答案為：不等式性質(zhì)2；②第三步開始出錯，移項(xiàng)時沒有變號，正確的應(yīng)是：；故答案為：三，；任務(wù)二：解：去分母，得：，去括號，得：，移項(xiàng)，得：，合并，得：，系數(shù)化為1，得：．2．（23-24七年級下·河南安陽·期末）圓圓解不等式的過程如下：解：去分母得…第一步，去括號得…第二步，移項(xiàng)得…第三步，合并同類項(xiàng)得…第四步，系數(shù)化為1得…第五步，(1)以上運(yùn)算步驟中，去分母的依據(jù)是__________；(2)以上解題過程中，第二步是依據(jù)__________（填寫相關(guān)的運(yùn)算律）進(jìn)行變形的；(3)第__________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是__________；(4)寫出正確的解題過程【答案】(1)不等式的基本性質(zhì)2(2)乘法的分配律(3)一，去分母時整數(shù)沒有乘以最小公倍數(shù)(4)見解析【知識點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、不等式的性質(zhì)、有理數(shù)乘法運(yùn)算律【分析】本題考查解一元一次不等式，不等式的基本性質(zhì)，在數(shù)軸上表示不等式的解集．不等式的解集在數(shù)軸上表示的方法：“>”空心圓點(diǎn)向右畫折線，“≥”實(shí)心圓點(diǎn)向右畫折線，“<”空心圓點(diǎn)向左畫折線，“≤”實(shí)心圓點(diǎn)向左畫折線．掌握解一元一次不等式的步驟，正確在數(shù)軸上表示出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答；（2）根據(jù)乘法的分配律進(jìn)行計算即可解答；（3）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答；（4）不等式去分母，去括號，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】（1）以上運(yùn)算步驟中，去分母的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)2；（2）以上解題過程中，第二步是依據(jù)乘法的分配律（填寫相關(guān)的運(yùn)算律）進(jìn)行變形的；（3）第一步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是去分母時整數(shù)沒有乘以最小公倍數(shù)；（4）去分母得，去括號得，移項(xiàng)得，合并同類項(xiàng)得，系數(shù)化為1得，．3．（23-24七年級下·山西長治·期末）下面是小明同學(xué)解不等式組的過程，請認(rèn)真閱讀，完成相應(yīng)的任務(wù)．解：由不等式①，得．第一步解得．第二步由不等式②，得．第三步移項(xiàng)，得．第四步合并同類項(xiàng)，得

第五步解得第六步所以，原不等式組的解集是．第七步任務(wù)一：（1）小明的解答過程中，第三步的依據(jù)是_______________________；（2）第______步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是_______________________；任務(wù)二：（3）直接寫出這個不等式組正確的解集是____________．【答案】（1）不等式的基本性質(zhì)2；（2）六，化系數(shù)為1時沒有變號；（3）【知識點(diǎn)】不等式的性質(zhì)、求不等式組的解集【分析】本題考查了解一元一次不等式，步驟：①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1；依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)．任務(wù)一：（1）第三步變形的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)2；；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)可判斷第五步錯誤任務(wù)二：通過解一元一次不等式得到這個不等式組正確的解集．【詳解】解：任務(wù)一：（1）第三步變形的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)2；（2）明的解答過程中，第六步開始出現(xiàn)了錯誤，產(chǎn)生錯誤的原因是化系數(shù)為1時沒有變號；故答案為：（1）不等式的基本性質(zhì)2；（2）六；化系數(shù)為1時沒有變號；任務(wù)二：不等式組正確的解集是．故答案為：．4．（23-24八年級下·河南鄭州·期末）以下為小穎在解不等式組時草稿紙上演草的過程：解不等式②，…………第一步…………第二步…………第三步………第四步(1)小穎發(fā)現(xiàn)不等式②解的不對，請指出是第步開始出現(xiàn)錯誤；(2)請你完成本題的解答：解：解不等式①，得，解不等式②，得，在同一數(shù)軸上表示不等式①和②的解集，如圖所示：所以原不等式組的解集為．【答案】(1)第一步(2)，，見解析【知識點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題主要考查了解不等式組，熟練掌握運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)運(yùn)算法則計算得出解集畫圖即可．【詳解】（1）解：第一步，等式兩邊同時乘以，故為；（2）解：解不等式①，得，解不等式②，得，故該不等式解集為：，在同一數(shù)軸上表示不等式①和②的解集，如圖所示：故該不等式解集為：．5．（2024·寧夏銀川·二模）在解不等式組時，小穎同學(xué)求解不等式①的解答過程如下，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：去分母，得……第1步去括號，得……第2步移項(xiàng)，得……第3步合并同類項(xiàng)，得……第4步兩邊都除以3，得……第5步任務(wù)一：填空：（1）以上運(yùn)算步驟中，第2步去括號依據(jù)的運(yùn)算律是________；（2）第3步移項(xiàng)的依據(jù)是________；（3）第________步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是________；任務(wù)二：請寫出正確的解答過程，并求出不等式組的解集．【答案】任務(wù)一：（1）乘法分配律；（2）不等式性質(zhì)；（3）1，去分母時沒給常數(shù)項(xiàng)乘分母的最小公倍數(shù)；任務(wù)二：，過程見解析【知識點(diǎn)】不等式的性質(zhì)、求一元一次不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．任務(wù)一：（）根據(jù)乘法分配律即可求解；（）根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解；（）根據(jù)去分母時，常數(shù)項(xiàng)漏乘最小公倍數(shù)，即可求解；任務(wù)二：按照解一元一次不等式的步驟解答，再求出不等式②的解集，然后得出不等式組的解集即可．【詳解】解：任務(wù)一：（）第2步去括號依據(jù)的運(yùn)算律是乘法分配律；（）第3步移項(xiàng)的依據(jù)是不等式的性質(zhì)；（）第1步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是，去分母時，每一項(xiàng)都要乘以最小公倍數(shù)，第1步中常數(shù)項(xiàng)沒有乘以最小公倍數(shù)；任務(wù)二：，去分母得，，去括號得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為得，，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：．【考點(diǎn)七根據(jù)一元一次不等式的解集求參數(shù)】例題：（23-24七年級下·河北邯鄲·期末）若關(guān)于的不等式的解集如圖所示，則的值為．【答案】5【分析】本題考查不等式，能從讀取圖像的信息，會解含有參數(shù)的不等式，用參數(shù)表示不等式的解由圖像可以知道，，只需要根據(jù)寫出的解集，即可求出的值【詳解】解：∵，∴，由圖像可知，∴，解得，故答案為：【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·全國·單元測試）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則a的取值范圍是．【答案】/【分析】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)不等式兩邊同除以或乘以一個負(fù)數(shù)不等號方向發(fā)生改變，得出，求出即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式的解集為，∴，解得：．故答案為：．2．（23-24七年級下·黑龍江牡丹江·期末）若關(guān)于x的不等式的解集是，那么關(guān)于x的不等式的解集是．【答案】【分析】本題是一個方程與不等式的綜合題目．由關(guān)于x的不等式的解集是，知且，據(jù)此得出，且，再代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵關(guān)于x的不等式的解集是，∴且，∴，∴，∴，∴，關(guān)于x的不等式可化為，解得：故答案為：．3．（23-24七年級下·廣東汕頭·期末）已知關(guān)于的不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖，則a的值是．【答案】/0.5【分析】本題考查了解一元一次不等式、由數(shù)軸得出不等式的解集、解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是得出不等式的解集后和數(shù)軸上的解結(jié)合得出關(guān)于的方程．由不等式和數(shù)軸可以得出該不等式的解集，由此可知此時得到的兩個式子是一樣的，進(jìn)而可以得到關(guān)于的一元一次方程，解此方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：解不等式得，，由數(shù)軸可得該不等式的解集為：，，解之得，．故答案為：．【考點(diǎn)八利用一元一次不等式的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍】例題：（23-24七年級下·廣東廣州·期末）若關(guān)于的不等式的正整數(shù)解是1，2，3，則整數(shù)的最小值是．【答案】10【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，首先確定不等式的解集，先利用含a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．【詳解】解：不等式的解集是：，∵不等式的正整數(shù)解恰是1，2，3，∴，∴a的取值范圍是．∴整數(shù)a的最小值是10．故答案為：10．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級下·吉林長春·期中）若關(guān)于的一元一次不等式只有2個正整數(shù)解，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了不等式的特殊解，熟悉掌握不等式的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．化簡，得到，根據(jù)只有2個正整數(shù)解列式運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，∴，∵關(guān)于的一元一次不等式只有個正整數(shù)解，∴，解得：，故答案為：．2．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式至少有3個負(fù)整數(shù)解，則的取值范圍是．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)殛P(guān)于的不等式至少有3個負(fù)整數(shù)解，所以該不等式至少有的三個負(fù)整數(shù)解是，，所以，解得3．（23-24八年級上·浙江溫州·期中）如果關(guān)于的不等式的正整數(shù)解僅為，那么整數(shù)的所有取值之和是．【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解等知識點(diǎn)的理解和掌握，求出不等式的解集，根據(jù)題意得出，即，求出為，，即可求得整數(shù)的所有取值之和為．【詳解】解：，，，關(guān)于的不等式的正整數(shù)解僅為，，整數(shù)為，其和為，故答案為．【考點(diǎn)九利用一元一次不等式組的整數(shù)解求參數(shù)的取值范圍】例題：（24-25八年級上·四川成都·期末）如果關(guān)于的不等式組有且只有個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為．【答案】【知識點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解、由一元一次不等式組的解集求參數(shù)【分析】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解、解一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是求出的取值范圍．先分別解出兩個不等式的解，根據(jù)不等式組有且只有個整數(shù)解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得滿足條件的整數(shù)的值，然后求出它們的和即可．【詳解】解：由，得，由，得，關(guān)于的不等式組有且只有個整數(shù)解，這個整數(shù)解是，，，，，，解得：，滿足條件的整數(shù)的值為，，，符合條件的所有整數(shù)的和為，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是．【答案】【知識點(diǎn)】由不等式組解集的情況求參數(shù)、求一元一次不等式組的整數(shù)解【分析】本題考查解一元一次不等式（組，一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法．先解出不等式組中每個不等式的解集，然后根據(jù)不等式組恰有3個整數(shù)解，即可得到關(guān)于的不等式組，然后求解即可．【詳解】解：由，得：，由，得：，不等式組恰有3個整數(shù)解，這3個整數(shù)解是0，1，2，，解得，故答案為：．2．（23-24七年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知關(guān)于x的不等式組只有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是．【答案】【知識點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解、由一元一次不等式組的解集求參數(shù)【分析】首先解兩個不等式，根據(jù)不等式組只有3個整數(shù)解，即可得到一個關(guān)于的不等式組，從而求得的范圍．本題考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．【詳解】解：，解①得：，解②得：，不等式組只有三個整數(shù)解，則整數(shù)解一定是3，4，5．根據(jù)題意得：，解得：．故答案為：．3．（23-24七年級下·安徽滁州·階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)使關(guān)于的不等式組有且只有兩個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【知識點(diǎn)】求一元一次不等式組的整數(shù)解、由不等式組解集的情況求參數(shù)【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)不等式組的整數(shù)解個數(shù)可得答案．【詳解】解：，解①得，解②得，∵不等式組有解集，∴，∵不等式組有且只有兩個整數(shù)解，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)十根據(jù)一元一次不等式組的解集的情況求參數(shù)的取值范圍】例題：（24-25七年級下·全國·單元測試）已知不等式組的解集為，則的值是．【答案】3【分析】此題主要考查了一元一次不等式的解法，代數(shù)式求值，關(guān)鍵是正確計算出兩個不等式的解集．首先計算出兩個不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集是，可得，，再解一元一次方程可得答案．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集為，，，解得：，，故答案為：3．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·山東聊城·期末）如果不等式組的解集為，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了解不等式組，根據(jù)所給不等式組解得，，根據(jù)此不等式組的解集為，即可得；掌握解不等式組的方法是解題關(guān)鍵．【詳解】解：解不等式①，得，由不等式②得，，∵不等式組的解集為，∴，故答案為：．2．（23-24七年級下·江蘇揚(yáng)州·期末）若關(guān)于的不等式組無解，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了根據(jù)不等式組的解集情況求參數(shù)，正確解不等式組是解題關(guān)鍵．分別解不等式，再根據(jù)不等式組無解，確定的取值范圍即可．【詳解】解：，解不等式①得：解不等式②得：，不等式組無解，，故答案為：．3．（23-24八年級下·江西吉安·期末）關(guān)于的不等式組的解為，則的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解題關(guān)鍵．先求出不等式組的解（用表示出來），再根據(jù)其解為即可得．【詳解】解：，解不等式②得：，∵關(guān)于的不等式組的解為，∴，解得，故答案為：．【考點(diǎn)十一整式方程(組)與一元一次不等式（組）結(jié)合求參數(shù)的問題】例題：（24-25七年級下·全國·單元測試）如果關(guān)于的不等式組有解，且關(guān)于的方程有正整數(shù)解，那么符合條件的所有整數(shù)的和為．【答案】【分析】本題考查了不等式組的解，已知一元一次方程解的情況求參數(shù)，掌握不等式組的解集由所構(gòu)成的幾個不等式解集的公共部分組成是解題關(guān)鍵．先解方程，再根據(jù)不等式組有解求出的取值范圍，然后根據(jù)方程有正整數(shù)解得出，將的取值代入，找出符合條件的值，并相加即可得出答案．【詳解】解：解不等式，得．解不等式，得．該不等式組有解，，解得．整理方程，得．方程有正整數(shù)解，，解得，．當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得，不符合題意，舍去；符合條件的所有整數(shù)的和為．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級下·河南三門峽·期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則a的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查解一元一次不等式組，解二元一次方程組．由可得得，從而得到關(guān)于a的不等式組，即可求解．【詳解】解：，由得：，∴，∵，∴，∴a的取值范圍是.故答案為：.2．（23-24七年級下·河南周口·期末）已知關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足且關(guān)于的不等式組無解，則的取值范圍是．【答案】【分析】先分別求出方程組的解和不等式組的解集，再結(jié)合已知條件求出的范圍，即可求解．【詳解】解方程組得：∵方程組的解滿足∴，解得解不等式組得：∵關(guān)于的不等式組無解∴，解得∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，解一元一次不等式等知識點(diǎn)，能求出的取值范圍是解此題的關(guān)鍵．3．（2024·山東東營·二模）若關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)、是二元一次方程組的解可知的解，最后解一元一次不等式即可．【詳解】解：∵、是二元一次方程組的解，∴，∵關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足，∴，∴解得：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程組及一元一次不等式的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)十二一元一次不等式（組）與一次函數(shù)結(jié)合的問題】例題：（24-25八年級上·上海·期末）如圖所示，直線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，則不等式的解集是．【答案】【分析】本題主要考查一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)圖象求不等式的解集．從圖象上找到在上方的部分對應(yīng)的自變量的取值范圍即可．【詳解】解：∵直線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，∴不等式的解集是．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級上·江蘇常州·階段練習(xí)）一次函數(shù)的圖象如圖所示，觀察圖象回答問題：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、函數(shù)圖象解不等式等知識，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象，按要求逐步求解即可得到結(jié)論．正確地識別圖象是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：觀察圖象：當(dāng)時，是圖中一次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則；，是指一次函數(shù)圖象在軸上方圖象，則此情況；時，如圖所示：，是指一次函數(shù)圖象在直線下方圖象，也就是軸右側(cè)的一次函數(shù)圖象，則此情況；故答案為：．2．（24-25八年級上·安徽六安·階段練習(xí)）一次函數(shù)中兩個變量x，y的部分對應(yīng)值如下表所示：x…01…y…7531…那么關(guān)于x的不等式的解集是．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)與不等式，根據(jù)表格可知，隨著的增大而減小，且時，，進(jìn)而得到當(dāng)時，，即可．【詳解】解：根據(jù)表格可知，隨著的增大而減小，且時，，∴當(dāng)時，，故答案為：．3．（24-25八年級上·江蘇南京·期末）如圖，一次函數(shù)（、是常數(shù)，且），的圖像交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，觀察函數(shù)圖象得到，當(dāng)時，函數(shù)的圖象都在函數(shù)的圖象的上方，由此得到不等式，即的解集．【詳解】解：如圖所示，一次函數(shù)與的圖像交于點(diǎn)，∴不等式，即的解集為故答案為：．【考點(diǎn)十三用一元一次不等式與不等式組解決實(shí)際問題】例題：（24-25八年級上·安徽安慶·期中）某中學(xué)計劃購買型和型課桌凳共200套，經(jīng)招標(biāo)，購買一套型課桌凳比購買一套型課桌凳少用40元，且購買4套型和5套型課桌凳共需1820元．(1)求購買一套型課桌凳和一套型課桌凳各需多少元？(2)學(xué)校根據(jù)實(shí)際情況，要求購買這兩種課桌凳的總費(fèi)用不能超過40880元，并且購買型課桌凳的數(shù)量不能超過型課桌凳數(shù)量的，學(xué)校購買型課桌凳x套，總費(fèi)用為元．①求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．②該校本次購買型和型課桌凳共有幾種購買方案？怎樣的方案