第一章第06講 解題技巧專題：構(gòu)造等腰三角形（4類熱點(diǎn)題型講練）-北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

PAGE1第06講解題技巧專題：構(gòu)造等腰三角形目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】 1【考點(diǎn)二利用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 5【考點(diǎn)三過腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】 11【考點(diǎn)四利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】 20【考點(diǎn)一利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形】模型分析：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題．平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡(jiǎn)稱：“知二求一”，在以后還會(huì)遇到很多類似總結(jié)）。平行四邊形中的翻折問題就常出現(xiàn)該類模型。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點(diǎn)O作的平行線與，分別相交于點(diǎn)M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。例題：（2024八年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）已知如圖中，，平分，平分，過作直線平行于，交，于，．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的周長．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等．（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，可得，據(jù)此即可證得；（2）同理（1）可得，根據(jù)的周長，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，平分，，，，∴是等腰三角形；（2）解：∵，，平分，，，，∵，，∴的周長為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·湖北襄陽·期中）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D．過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)E．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：是等腰三角形；(3)若，求的長（用含m，n的式子表示）．【答案】(1)(2)見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、三角形的外角的定義及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】（1）根據(jù)和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解；（2）根據(jù)條件證明，再根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明；（3）根據(jù)題意和（1）（2）問的結(jié)論證明，，是等腰三角形即可．【詳解】（1）解：∵在中，，∴，∵平分，∴，∴；（2）證明：由（1）得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（3）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，由（2）得：，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期末）（1）如圖1，中，，，的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．圖中有個(gè)等腰三角形．猜想：與，之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若，其他條件不變，圖中有個(gè)等腰三角形；與，間的關(guān)系是；（3）如圖3，，若的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作交于E，交于F．圖中有個(gè)等腰三角形．與，間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】（1）2，，理由見解析．（2）5，（3）2，【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】（1）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)得到角相等，再進(jìn)行等量代換得到，，再利用等角對(duì)等邊，得到，，即可解題．（2）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)，再進(jìn)行等量代換得到、、、，再利用等角對(duì)等邊，得到對(duì)應(yīng)線段相等，即可解題．（3）本題解法與（1）類似．【詳解】（1）解：，理由如下：，的平分線交于O點(diǎn)，，，

，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個(gè)等腰三角形．．故答案為：2．（2）解：，即為等腰三角形，，，的平分線交于O點(diǎn)，，，即為等腰三角形，，，，，，，，即為等腰三角形，，，和為等腰三角形，．綜上所述，共有5個(gè)等腰三角形，故答案為：5，．（3）解：的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，，，，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個(gè)等腰三角形．．故答案為：2，．【考點(diǎn)二利用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】模型分析：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，從而得AB=AC,BD=CD.即一邊上的高與這邊所對(duì)的角平分線重合，易得這個(gè)三角形是等腰三角形．例題：（23-24八年級(jí)上·湖北荊門·期末）如圖，在中，的平分線交于D，過C作交于II，交于N．(1)求證：為等腰三角形；(2)求證：．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題主要考查了三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）由平分交于，可得；由交于可得；兩者結(jié)合由三角形內(nèi)角和定理可得，即可得，從而得到是等腰三角形；（2）連接，先證，得到，，從而可得，由此即可得到．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵平分，∴，又∵在和中，，∴，∴，∴為等腰三角形；（2）證明：，理由如下：如圖：連接，∵和中：，∴，∴，又∵，∴，又∵中，，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·湖南常德·期末）如圖1：在中，平分，且，(1)若，求的長；(2)如圖2，若交于，交于，且為等腰三角形，求的長．【答案】(1)10(2)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定義【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．（1）延長交于點(diǎn)．證明，由即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到，由為等腰直角三角形，證明即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，延長交于點(diǎn)．平分，，，又，，，即，在中，，，；（2）解：如圖，（對(duì)頂角），，，又為等腰直角三角形，，，在與中，，，，即．2．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·開學(xué)考試）利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖①平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作,

垂足為C，延長交于點(diǎn)B，可證得，則，．【問題提出】（1）如圖②，在中，平分，于點(diǎn)E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，求∠的度數(shù)；【問題探究】（2）如圖③，在中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系；【問題解決】（3）如圖④是一塊肥沃的土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，他進(jìn)行了如下操作：①作的平分線；②再過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D．已知米，米，面積為平方米，求劃出的的面積．【答案】（）；（），理由見解析；（）【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、角平分線的有關(guān)計(jì)算、等邊對(duì)等角、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】（）延長交于點(diǎn)，由已知可知，再由等腰三角形的在得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（）延長交于點(diǎn)，證，得，再由已知可知，即可得出結(jié)論；（）延長交于，由已知可知，，則再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（）解：如圖，延長交于點(diǎn)，由已知可知，∴，∵，∴；（）解：，證明如下：如圖，延長交于點(diǎn)，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，由已知可知，，∴；（）解：如圖，延長交于，由已知可知，，，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三過腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形】模型分析：在等腰三角形內(nèi)部或外部作任意一邊的平行線均可構(gòu)造出新的等腰三角形.條件：如圖1，若AC=BC,過點(diǎn)D作D作DE//BC.結(jié)論：△ADE是等腰三角形.條件：如圖2，若AC=BC,過點(diǎn)D作D作DE//AB.結(jié)論：△CDE是等腰三角形.例題：（24-25八年級(jí)上·湖南張家界·期中）如圖，是的角平分線，，交于點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形．(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，見解析【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)和判定、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，角平分線定義，熟練掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線得．再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，進(jìn)而．即可證明結(jié)論成立；（2）由等邊對(duì)等角及平行線的性質(zhì)得，，從而．由（）得，，從而．【詳解】（1）證明：證明：∵是的角平分線，∴．∵，∴，∴．∴，∴是等腰三角形；（2）解：．理由如下：∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即．由（）得，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·山西朔州·期中）綜合與探究如圖，在中，，為延長線上的一動(dòng)點(diǎn)，且，交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：是等腰三角形．(2)如圖2，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析．【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及垂線的定義．解題的關(guān)鍵是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)．（1）通過已知條件證明和相等就能證明是等腰三角形；（2）由，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)可得，再根據(jù)勾股定理求出，過A點(diǎn)作，再通過證明三角形全等得出．【詳解】（1）證明：，．，，，．又，，，是等腰三角形；（2）解：，理由如下：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）得，∵，．，，．又為的中點(diǎn)，．在和中，，，．2．（24-25八年級(jí)上·河南周口·期末）（1）如圖1，為等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)D在邊上，動(dòng)點(diǎn)E在邊上．若這兩點(diǎn)分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，以相同的速度分別由點(diǎn)B向點(diǎn)A和由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)P，則在動(dòng)點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)過程中，與之間的數(shù)量關(guān)系是______________________．（2）如圖2，若把（1）中的“動(dòng)點(diǎn)D在邊上，動(dòng)點(diǎn)E在邊上”改為“動(dòng)點(diǎn)D在射線上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E在射線上運(yùn)動(dòng)”，其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．（3）如圖3，若把（1）中的“動(dòng)點(diǎn)D在邊上”改為“動(dòng)點(diǎn)D在射線上運(yùn)動(dòng)”，連接，交于點(diǎn)M，其他條件不變，則在動(dòng)點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)過程中，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出簡(jiǎn)要的證明過程．【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3），證明見詳解【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得，和，即可證明，則有；（2）由題意得，，進(jìn)一步得，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可證明，有；（3）作交AB于H，則，，，有為等邊三角形，進(jìn)一步得，即可證明，則．【詳解】解：（1）∵是等邊三角形，∴，，由題意得，，在和中，，∴，∴；（2）成立，理由如下：由題意得，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，（3），理由如下：作交AB于H，如圖，∵為等邊三角形，，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．3．（23-24八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）【問題初探】（1）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，點(diǎn)E是延長線上的一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)D，若，求證：．①如圖2，小樂同學(xué)從中點(diǎn)的角度，給出了如下解題思路：在線段上截取，使，連接，利用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出結(jié)論；②如圖3，小亮同學(xué)從平行線的角度給出了另一種解題思路：過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)M，利用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出了結(jié)論；請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的解題思路，寫出證明過程；【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)的做法非常巧妙，為了讓同學(xué)們更好的理解這種轉(zhuǎn)化的思想方法，李老師提出了新的問題，請(qǐng)你解答，如圖4，在中，點(diǎn)E在線段上，D是的中點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)N，若，求證：；【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，，平分，點(diǎn)E在線段的延長線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)D，且，請(qǐng)直接寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①選擇小樂同學(xué)的做法：證明見解析；②選擇小亮同學(xué)的做法：證明見解析；（2）證明見解析；（3）【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質(zhì)和判定、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、含30度角的直角三角形【分析】（1）①證明，得出，，證明，得出，證明，得出，即可證明結(jié)論；②證明，得出，根據(jù)等腰三角形的判定證明，即可證明結(jié)論；（2）延長，取，連接，證明，得出，，根據(jù)等腰三角形判定得出，即可證明結(jié)論；（3）延長，使，連接，證明，得出，，證明，得出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出，根據(jù)，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）延長，取，連接，如圖所示：∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）延長，使，連接，如圖所示：∵，，∴，∴，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．【考點(diǎn)四利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】模型分析：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，一般通過轉(zhuǎn)化倍角尋找等腰三角形．條件：如圖1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC.結(jié)論：△BDC是等腰三角形.條件：如圖2，若∠ABC=2∠C,延長CB到D,使BD=BA,連接AD.結(jié)論：△ADC是等腰三角形.條件：如圖3，若∠B=2∠ACB,以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延長線于點(diǎn)D.結(jié)論：△DBC是等腰三角形.例題：（23-24八年級(jí)上·山西晉中·期中）【問題提出】在中，，為的角平分線，探究線段，，的數(shù)量關(guān)系．【問題解決】如圖1，當(dāng)，過點(diǎn)作，垂足為，易得；由此，如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系？給出證明．【方法遷移】如圖3，當(dāng)，為的外角平分線時(shí)，探究線段，，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，并說明理由．【答案】【問題解決】，證明見解析；【方法遷移】，證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】問題解決：在線段上截取，連接，由角平分線定義和全等三角形的判定證明，進(jìn)而證得，結(jié)合三角形外角性質(zhì)可證得，進(jìn)而證得即可解答；方法遷移：在的延長線上截取，連接，證明，進(jìn)而證得，結(jié)合等角的補(bǔ)角相等和三角形外角性質(zhì)可證得，進(jìn)而證得即可解答．【詳解】解：?jiǎn)栴}解決：，證明：如圖，在線段上截取，連接，∵為的角平分線，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，∴；方法遷移：．證明：如圖，在的延長線上截取，連接，∵為的外角平分線，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）問題背景：在中，，點(diǎn)為線段一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足某種條件時(shí)，探討在線段、、、四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系．(1)在圖1中，當(dāng)時(shí)，則可得，請(qǐng)你給出證明過程．(2)當(dāng)時(shí)，如圖2，求證：；(3)當(dāng)是的角平分線時(shí)，判斷、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形綜合問題【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)得到，證明結(jié)論；（2）在上截取，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)證明；（3）在上截取，連接，證明，仿照（2）的證明方法解答．【詳解】（1），，，，，，，；（2）在上截取，連接，在和中，，，，，，，，，，，；（3），理由如下：在上截取，連接，在和中，，