立體幾何基礎(chǔ)題題庫(360道附詳細答案)

立體幾何基礎(chǔ)題題庫一（有具體答案）

1、二面角是直二面角，Be。,設直線48與a、/所成的角分別為N1和N2,則

(A)Zl+Z2=90°(B)Zl+Z2^90°(C)Zl+Z2<90°(D)Zl+Z2<90()

解析：C

如圖所示作輔助線，分別作兩條與二面角的交線垂直的線，則N1和N2

分別為直線AB與平面外尸所成的角。依據(jù)最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)

經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角??.ZABO>Z2???ZABO+N1=90/.Z2+Z1<90

2.以下各圖是正方體或正四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，這四個點中不外皿的一個

圖是

解析:A項：PS|底面對應的中線，中線平行QS,PQRS是個梯形

C項：是個平行四邊形

D項：是異面直線。

3.有三個平面a,B,r，以下命題中正確的是

(A)假設a,B,7兩兩相交，則有三條交線(B)假設aJ_8,a_L則￡〃/

(C)假設a_Ly,￡Ca=〃，￡Cy=b,貝!1a_L6(D)假設a〃氏8rly=0,則aC

X=0

D

解析：A項：如正方體的一個角，三個平面相交，只有一條交線。

B項：如正方體的一個角，三個平面互相垂直，卻兩兩相交。

C項：如圖

4.如圖所示，在正方體ABC。-ABiCQi的側(cè)面4囪內(nèi)有一動點P到直線工8與直線81G的距離

相等，則動點尸所在曲線的形狀為

解析：51Gl?平面4G如圖:P點到定點B的距離與到定直線AB的

距離相等，建立坐標系畫圖時可以以點SB的中點為原點建立坐標系。

5.在正方體ABCO-ABG。中與A。成60°角的面對角線的條數(shù)是

(A)4條⑻6條(C)8條(D)10條

C

解析：如圖這樣的直線有4條，另外，這樣的直線也有4條,

共8條。

6.設A,B,C,。是空間不共面的四點，且滿足而?元=0,ACAD=0,ABAD=0,則△BCD是

(A)鈍角三角形(B)直角三角形(C)銳角三角形(D)不確定

C

解析:假設AB為a,AD為b,AC為c,且a>b>C?貝U，BD=,CD=A/C2+/?2,BC=>/d!2+C2

41^

如圖c則BD為最長邊,依據(jù)余弦定理

(五2十。2)+卜

cosZDCB=---------------//'-----------L>0「.NDC8最大角為銳角,所以△

2行常.477^

BCD是銳角三角形。

7.設a、b是兩條不同的直線，a、B是兩個不同的平面，則以下四個命題()

①假設alAala,則M/a②假設?！╝,ad_4則

③a±B、a±仇則a//a④若。Lb,a1.a,b_L⑸則a_L￡

其中正確的命題的個數(shù)是()

A.0個B.1個C.2個D.3個

B解析：注意①中b可能在a上；③中?？赡茉赼上;④中b〃a,或Z?wa均有a_L￡,

故只有一個正確命題

8.如圖所示，已知正四棱錐S—ABCD側(cè)棱長為虛,感■

面邊長為E是SA的中點，則異面直線BE與SC

所成角的大小為()

A.90°B.60°

AB

C.45°D.30°

B解析：平移SC到55,運用余弦定理可算得BE=S'E=S'B=JI

9.關(guān)于平面M與平面N,有以下條件:①M、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M

內(nèi)不共線的三點到N的距離相等;④/,M內(nèi)的兩條直線,且/〃M,m〃N;⑤/,m是異面直線，且III

M,N,m//N,則可判定平面M與平面N平行的條件的個數(shù)是

()

A.1B.2C.3

只有②、⑤能判定M//N,選B

10.已知正三棱柱ABC—AiBCi中，AiBICBi，則A[B與AC]

所成的角為

(A)45°(B)60°

(C)90°(D)120°

C解析：作CD_LAB于D,作GD|_LAB于Di，連BQ、ADi，易知ADBQi是平行四邊形，由三垂

線定理得A?_LACi，選C。

11.正四面體棱長為1,其外接球的表面積為

A.V3B.一%C.一"R

22

解析：正四面體的中心到底面的距離為高的1/4o(可連成四個小棱錐得證

12.設有如下三個命題：甲：相交直線/、m都在平面a內(nèi)，并且都不在平面B內(nèi)；乙：直線/、m中

至少有一條與平面B相交；丙：平面a與平面B相交.

當甲成立時，

A.乙是丙的充分而不必要條件B.乙是丙的必要而不充分條件

C.乙是丙的充分且必要條件D.乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件

解析：當甲成立，即“相交直線/、m都在平面a內(nèi)，并且都不在平面8內(nèi)〃時，假設“/、m中至少

有一條與平面B相交〃，則“平面a與平面B相交.〃成立；假設“平面a與平面B相交〃，則“/、

m中至少有一條與平面B相交〃也成立.選(C).

13.已知直線〃?、〃及平面a,其中掰〃小那么在平面a內(nèi)到兩條直線機、〃距離相等的點的集合可

能是：［1）一條直線；（2）一個平面；［3）一個點；（4）空集.其中正確的是

解析：（1）成立，如加、〃都在平面內(nèi)，則其對稱軸符合條件；（2）成立，山、〃在平面a的同一側(cè)，

且它們到a的距離相等，則平面a為所求，（4）成立，當機、〃所在的平面與平面a垂直時，平面a內(nèi)

不存在到加、〃距離相等的點

14.空間三條直線互相平行，由每兩條平行線確定一個平面,則可確定平面的個數(shù)為（）

A.3B.1或2C.1或3D.2或3

解析：C如三棱柱的三個側(cè)面。

15.假設〃為異面直線，直線c〃a,則。與〃的位置關(guān)系是)

A.相交B.異面C.平行D.異面或相交

解析：D如正方體的棱長。

16.在正方體AIBICIDI—ABCD中，AC與BQ)

71

A.—B

6-7

n

C.—D.

32

解析：DBQ在平面AC上的射影BD與AC垂直，依據(jù)三垂線定理可得。

17.如圖，點P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是

異面直線的一個圖是（）

解析：CA,B選項中的圖形是平行四邊形，而D選項中可見圖:

18.如圖，是一個無蓋正方體盒子的表面展開圖，A、B、C為其上的三個點，則在正方體盒子中,

ZABC等于)

A.45°B.60°

C.90°D.120°

解析：B如圖包

★右圖是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有以下命題:

①AB與CD所在直線垂直;②CD與EF所在直線平行

③AB與MN所在直線成60°角;@MN與EF所在直線異面

其中正確命題的序號是)

A.①③B.①?C.②③D.(3X4)

解析：D

19.線段如，OB,比不共面，4AOW4BOC^Z_CO歸60°,阱1,。即2,貽3,則△?!比是

)

A.等邊三角形B『等邊的等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

2222

解析：B.設力俏x,AB=yfBC=z,由余弦定理知：V=l+3-3=7,?=1+2-2=3,/=2+3-6=7O

???是不等邊的等腰三角形，選（5）.

JT

20.假設a,b,/是兩兩異面的直線，a與b所成的角是一,）與a、/與b所成的角都是a,

3

則a的取值范圍是)

n5萬7171一萬5"71冗

A.一，一]B.C.[一,—]]

663236*1

解析:D

71

解當/與異面直線協(xié)方所成角的平分線平行或重合時，a取得最小值一,當/與a、b的公垂線平行

6

時，a取得最大值工，應選

2

21.小明想利用樹影測樹高，他在某--隨時測得長為1m的

竹竿影長，但當他馬上測樹高時，因樹靠近一幢建

筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墻如圖所

,留在墻壁部分的

影高，求樹高的高度（太陽光線可看作為平行光線）

4.2米

CD121

解析：樹高為AB,影長為BE,CD為樹留在墻上的影高，J===——,CE=1.08米，樹影長

CECE0.9

BE=2.7+1.08=3.78米，樹高

1A

AB=BE=4.2米o

0.9N

22.如圖，正四面體1\

A-BCD（空間四邊形的四條邊

長及兩

對角線

的長都

相等）

中，

E,一分

別是棱

AD,BC

的中點,

則

所和4C所成的角的大小是

解析：設各棱長為2,則EF=J5,取AB的中點為M,COS/M/E=正.即9二2.

24

23.OX,OY,OZ是空間交于同一點。的互相垂直的三條直

線，點尸到這三條直線的距離分別為3,4,7,則O尸長

為.

解析：在長方體OX4Y—Z8PC中，OX、OY.0Z是相交的三條互相垂直的三條直線。又PZ_LOZ,

2222

PYL0YtPXLOX,有OX2+OZ2=49,OY=OX=9tOF+OZ=16,

得0+W+/^37,仍病.

24.設直線a上有6個點，直線6上有9個點，則這15個點，能確定個不同的平面.

解析：當直線a,b共面時，可確定一個平面；當直線小人異面時，直線。與力上9個點可確

定9個不同平面，直線b與。上6個點可確定6個不同平面，所以一點可以確定15個不同的平面.

25.在空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點.求證：EF和AD為異面直線.

解析：假設EF和AD在同一平面a內(nèi)，…（2分），則A,B,E,Fea；……（4分）又A,EwAB,

AABca,ABea,......（6分）同理Cwa.......（8分）故A,B,C,Dea,這與ABCD是空間

四邊形矛盾。JEF和AD為異面直線.

26.在空間四邊形ABCD中，E,H分別是AB,AD的中點，F(xiàn),G分別是CB,CD的中點，假設AC

+BD=a,ACBD=b,求EG?+FH2.

解析：四邊形EFGH是平行四邊形，.......（4分）

EG2+FH2=2(EF2+FG2)=-(AC2+BD2)=-(a2-2力

22

27.如圖，在三角形/ABC中，ZACB=90°,

AC=b,BC=a,P是，ABC所在平面外一點，PB1AB,M是PA的中

點，AB±MC,求異面直MC與PB間的距離.

解析:作MN//AB交PB于點N.（2分）???PBJ_AB,???PB_LMN。（4分）又

AB1MC,AMN1MC.（8分）MN即為異面直線MC與PB的公垂線段，

（10分）其長度就是MC與PB之間的距離，則得

MN=—AB=—\]a2+b2.

22

28.已知長方體ABCD—ABCQ］中,AiA=AB,E、F分別是BD］和AD中點.

（I）求異面直線CDi、EF所成的角;

（2）證實EF是異面直線AD和BDi的公垂線.

（1）解析：??,在平行四邊形區(qū)4"G中，E也是AC的中點，???痔〃6；。，（2分）

???兩相交直線DC與CD,所成的角即異面直線CD,與EF所成的角.（

A（A=AB,長方體的側(cè)面A84A，COAC都是正方形

,ADiClCDi

???異面直線CD1、EF所成的角為90°.（7分）

（2）證：設AB二AA產(chǎn)a,???DiF="+也=B尸,???EF_LBDI.（9分）

由平行四邊形B4RG，知E也是AC】的中點，且點E是長方體ABCD—AIBIGDI的對稱中心，（12

分）AEA=ED,.??EF_LAD,又EF_LBD|,；.EF是異面直線BDi與

AD的公垂線.（14分）

29./ABC是邊長為2的正三角形，在/ABC所在平面外有一點

P,PB=PC=—,PA=-,延長BP至D,使BD=V7,E是BC

22

的中點，求AE和CD所成角的大小和這兩條直線間的距離.

解析：分別連接PE和CD,可證PE//CD,（2分）則NPEA即是

AE和CD所成角.（4分）在Rt/PBE中，

、39

3+----[

44_1

PB=—,BE=1,APE=—o在/AEP中,AE=6，cosZAEP=

222

2忑正

2

AZAEP=60°,即AE和CD所成角是60°.（7分）

VAE1BC,PE1BC,PE//DC,Z.CD1BC,???CE為異面直線AE和CD的公垂線段，（12分）它們之間的

距離為1.（14分）

30.在正方體ABCD—AiBiGDi中，E,F,G,H,M,N分別是正方體的棱AAAB,BC,

CG，C］。，"A的中點，試證：E,F,G,H,M,N六點共面.

解析：???EN//MF,???EN與MF共面Q,（2分）又??，EF〃MH,??.EF和MH共面￡.（4分），?,不共線

的三點E,F,M確定一個平面，（6分）.,?平面a與夕重合，.,?點Hwa。（8分）同理點Gsa.（10

分）故E,F,G,H,M,N六點共面.

31.三個互不重合的平面把空間分成六個部份時，它們的交線有)

A.1條B.2條C.3條D.1條或2條

D

解析：分類：1）當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，有兩條交線;2）當三個平面交于一

條

直線時，有一條交線，應選D

32.兩兩相交的四條直線確定平面的個數(shù)最多的是)

A.4個B.5個C.6個D.8個

解析：c如四棱錐的四個側(cè)面，第二6個。

33..在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點如果EF與HG交

于點M,則（）

A.M一定在直線AC上

B.M一定在直線BD上

C.M可能在AC上，也可能在BD上

D.M不在AC上，也不在BD上

解析：:平面ABCn平面ACD二AC,先證MW平面ABC,M￡平面ACD,從而M^AC

A

34..用一個平面去截正方體。其截面是一個多邊形，則這個多邊形的邊數(shù)最多是

解析：6條

35.已知：aua,bua,acb=A,Peb,PQ//a.

本題主要考查用平面公理和推論證實共面問題的方法.

解析：???PQ〃名，PQ與a確定一個平面人.?.直線au4點

36.已知4ABC三邊所在直線分別與平面a交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R三點燧。（12分）

本題主要考查用平面公理和推論證實共線問題的方法

解析：???A、B、C是不在同一直線上的三點

???過A、B、C有一個平面￡

又「=P,_aA8u￡

37.已知：平面ac平面夕=4,bua,bca=A,cu4且c〃a,

求證：b^c是異面直線

解析：反證法：假設b與c不是異面直線，則b〃c或b與c相交

38.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E、F分別是AB、CD的中點，EF=A/3,求AD與BC所成

角的大小

（本題考查中位線法求異面二直線所成角）

解析：取BD中點M,連結(jié)EM、MF,則

39.如圖，在正方體ABCD—AIBIGDI中，M、N分別為棱AA】和BBi的中點，求異面直線CM

與DiN所成角的正弦值.（14分）

Pi

（本題考查平移法，補形法等求異面二直線所成角）

解析：取DDi中點G,連結(jié)BG,MG,MB,GC得矩形MB（“，］釬二為I。）

則BG和MC所成的角為異面直線CM與DiN所成的角.

而CM與DiN所成角的正弦值為延

9

40.如圖，P是正角形ABC所在平面外一點，M、N分別是AB制PC=AB=ao

（1）求證：MN是AB和PC的公垂線

（2）求異面二直線AB和PC之間的距離

解析：（I）連結(jié)AN,BN,〈△APC與ABPC是全等的正三角形，又N是PC的中點

AAN=BN

又TM是AB的中點，AMN1AB

同理可證MN_LPC

又?.?MNnAB=M,MNAPC=N

AMN是AB和PC的公垂線。

⑵在等腰在角形ANB中,...AN=BN=*a,AB=a、:.MN斗娟一（；A.=§

即異面二直線AB和PC之間的距離為立。.

2

41空間有四個點，如果其中任意三個點都不在同一條直線上，那么經(jīng)過其中三個點的平

面[]

A.可能有3個，也可能有2個B.可能有4個，也可能有3個

C.可能有3個，也可能有1個D.可能有4個，也可能有1個

解析：分類，第一類，四點共面，則有一個平面，第二類，四點不共面，因為沒有任何三點共線，則

任何三點都確定一個平面，共有4個。.

42.以下命題中正確的個數(shù)是[]

①三角形是平面圖形②四邊形是平面圖形

③四邊相等的四邊形是平面圖形④矩形一定是平面圖形

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：命題①是正確的，因為三角形的三個頂點不共線，所以這三點確定平面。

命題②是錯誤，因平面四邊形中的一個頂點在平面的上、下方向稍作運動，就形成了空間四邊形。命

題③也是錯誤，它是上一個命題中比較特別的四邊形。

命題④是正確的，因為矩形必需是平行四邊形，有一組對邊平行，則確定了一個平面。

43.如果一條直線上有一個點不在平面上，則這條直線與這個平面的公共點最多有—1個。

解析：如果有兩個，則直線就在平面內(nèi)，那么直線上的所有點都在這個平面內(nèi)，這就與已知有一個點

不在平面上矛盾，所以這條直線與這個平面的公共點最多有一個。

44.空間一條直線及不在這條直線上的兩個點，如果連結(jié)這兩點的直線與已知直線_____,則它們在

同一平面內(nèi)。答案：相交或平行

解析：依據(jù)推論2,推論3確定平面的條件。

45.三角形、四邊形、正六邊形、圓，其中一定是平面圖形的有3個。

解析：三角形的三個頂點不在一條直線上，故可確定一個平面，三角形在這個平面內(nèi)；圓上任取三點

一定不在一條直線上，這三點即確定一個平面，也確定了這個圓所在的平面，所以圓是平面圖形；而

正六邊形內(nèi)接于圓，故正六邊形也是平面圖形；而四邊形就不一定是平面圖形了，它的四個頂點可以

不在同一平面內(nèi)。

46.三條平行直線可以確定平面?zhèn)€。答案：1個或3個

解析：分類、一類三線共面，即確定一個平面，另一類三線不共面，每兩條確定一個，可確定3個。

47.畫出滿足以下條件的圖形。

(1)aClP=l,aU(i,bUB,aPb二A

(2)aA0=a,bUB,b〃a

解析：如圖1-8-甲，1-8-乙

48.經(jīng)過平面。外兩點A,B和平面a垂直的平面有幾個？

解析：一個或無數(shù)多個。

當A,B不垂直于平面。時，只有一個。

當A,B垂直于平面a時，有無數(shù)多個。

49.設空間四邊形ABCD,E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點，假設AB=12a,CD=472,

且四邊形EFGH的面積為12百，求AB和CD所成的角.

解析：由三角形中位線的性質(zhì)知，HGIIAB,HEIICD,ZEHG就是異面直線AB和CD所成的角.

???EFGH是平行四邊形，HG=-AB=6A/2,

2

HE=-,CD=26,

2

:SEFOJ=HG-HE-sinzEHG=12V6sinzEHG,/.12V6sinzEHG

1273.

/J

/.sinZEHG=—，故ZEHG=45°.

2

AB和CD所成的角為45。

注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只需指出即可。

J7

50.點A是BCD所在平面外一點，AD=BC,E、F分別是AB、CD的中點，且EF=—AD,求異面直線AD

和BC所成的角。（如圖）

解析：設G是AC中點，連接DG、FG。因D、F分別是AB、CD中

點，故EGIIBC且EG二工BC,FGIIAD,且FG二，AD,由異面直線所

22

成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成

角，即為所求。由知二二又

ZEGFBOADEGGF,AD,EF=AD.由余

2

弦定理可得coszEGF=0,即ZEGF=90°。

注：本題的平移點是AC中點G,按定義過G分別作出了

兩條異面直線的平行線，然后在4EFG中求角。通常在出現(xiàn)線段中點時，常取另一線段中點,以構(gòu)成

中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系。

51.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M>N分別為BC、AD的中點。

求：AM與CN所成的角的余弦值；

解析：⑴連接DM,過N作NE〃AM交DM于E,貝IJ/CNE

為AM與CN所成的角，

〈N為AD的中點,NE〃AM省?,.NE=LAM且E為MD的中點。

2

設正四面體的棱長為1,則NC=，?走=3且ME二』MD=3

22424

317

在RtAMEC中，CE2=ME2+CM2=—+-=—

16416

222曲+個-：2

CN+NE-CE4416二2

cosNCNE=--------------------------

2CNNEV3V33

oZ?----?-----

44

71

XVZCNEe(0,—)

2

2

???異面直線AM與CN所成角的余弦值為一.

3

注：1、本題的平移點是N,按定義作出了異面直線中一條的平行線，然后先在4CEN外計算CE、CN、

EN長，再回到4CEN中求角。

2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角

形后，依據(jù)這個角的余弦的正、負值來判定這個角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面

直線所成的角的鄰補角）。最后作答時，這個角的余弦值必需為正。

52..如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E、F分別是BC、AD上的點，已知AB=4,CD=20,EF=7,

ApRF1

——=——=-o求異面直線AB與CD所成的角。

FDEC3

解析：在BD上取一點G,使得挺二」，連結(jié)EG、FG

GD3

在ABCD中，-,故EG〃CD,并且

ECGD

EGBE\

FGDF3

所以，EG=5；類似地，可證FG//AB,且——=—

ABAD4

故FG=3,在AEFG中，利用余弦定理可得

cosZ

EG2+GF2-EF232+52-72L故NFGE=120。o

FGE=-----------------=-----------

2EGGF2-3-52

另一方面，由前所得EG〃CD,FG//AB,所以EG與FG所成的銳角等于AB與CD所成的角，于

是AB與CD所成的角等于60°。

53.在長方體ABCD-ABCD中，AA,=c,AB=a,AD=b，且a>b.求AC與BD所成的角的余弦.

解一：連AC,設ACC1BD=O,則0為AC中點，取GC的中點F,連OF,貝I」OF〃AC1且OF=，AC1,

2

所以NFOB即為AC1與DB所成的角。在AFOB中，OB」加+從,OF=-y/a2+b2+c2,

22

BE=-J/??+qc?,由余弦定理得

—(a2+/>2)+—(6f2+/>2+c2)-(ft2+—c2)2?2

COSZOB=4------------------44;0乩

2.兒2+/.五2+/+￡2J(Q2+62)(/+〃+°2)

4

解二：取AG中點a,中點G.在△GOG中，NCQiG即AC1與DB所成的角。

解三：.延長CD到E,使ED=DC.則ABDE為平行四邊形.AE/7BD,所以NEAG即為AG與BD所成的角.連

ECi,在△AEC1

中，AE=jY+b?,ACl=7tz2+^2+c2,ClE=j4〃2+c2由余弦定理,得

/(a2+/?2)+(a2+Z?2+c2)-(4fl2+c2)b2-a2

cosZEACi=-------------]—[--------=[?

2?y/a2+Z>2?yla2+b2+c2yj(a2+Z72)(tz2+b2+c2)

所以NEAG為鈍角.

依據(jù)異面直線所成角的定義，AG與BD所成的角的余弦為

J(〃2+/)(〃2+匕2+/)

54.已知AO是平面a的斜線，A是斜足，OB垂直a,B為垂足，則

直線AB是斜線在平面a內(nèi)的射影，設AC是a內(nèi)的任一條直線,

解析：設AO與AB所成角為01,AB與AC所成角為。2,AO與AC所成

角為。，則有cos。=cos。1?cos02。

在三棱錐S—ABC中，ZSAB=ZSAC=

ZACB=90,AC=2,BC=6,SB=曬,求異面直線SC與AB所成角的大小。（略去了該題的

1,2問）

由SA_L平面ABC知，AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影,S

設異面直線SC與AB所成角為6,

B

A

C

則cos0=cosZSCA-cosNRAC,

由AC=2,3C=0,53=厲得A3=V17,S4=2A/5,SC=2

12

:.cosZSCA=—，cosZBAC=—；=，

2V17

J17Vi7

cos6=------,即異面直線SC與AB所成角為arccos-------

1717

55.已知平行六面體ABC。-44GA的底面ABCD是菱形，且

gCB=gCD=NBCD=⑻,證實C,CJ_BDo

（略去了該題的2,3問）

解析：設G在平面ABCD內(nèi)射影為H,則CH為G。在平面ABCDc內(nèi)的

射影，

:.cos4c[CD=cosNC\CH?cosZ.DCH,

:.cosNC[CB=cos4C、CH-cosZ.BCH,

由題意ZC.CD=/C\CB,???cosZDCH=cos/BCH,

又VZ￡>CH,ZBCHG[O,K)

???ZDCH=ZBCH,從而CH為NOCB的平分線，

又四邊形ABCD是菱形，???CH1BD

???CC與BD所成角為90°,即C.C.LBD

56..在正四面體ABCD中,E,F分別為BC,AD的中點，

求異面直線AE與CF所成角的大小。

解析：連接BF、EF,易證AD_L平面BFC,

???EF為AE在平面BFC內(nèi)的射影，

設AE與CF所成角為0,

/.cos0=cosZAEF-cosZCFE?

設正四面體的棱長為〃，則4后=。/=8/=立。，

2

顯然EF_LBC,:.EF=一a，

2

?/AS_EF娓/AM_EF在

??cosNAEF=-----=—，cosNAPE=------二—，

AE3CF3

2一2

cos0=—,即AE???與CF所成角為arccos—,,

33

57.三棱柱—QA內(nèi)，平面0880]J_平面OAB,

/。3=60”,乙4。4=90。，且03=。。1=2,01=5求異面直線48與AO1所成角的大小,

（略去了該題的1問）

解析：在平面BO1內(nèi)作8cL001于C,連A。,

由平面BOO[B]J_平面AOB,NAOB=90知，

AO_L平面BOO4,，AOUBC,

又AOr>OOl=Ot:.BC_L平面AOOiA，

???AC為在平面AOJA內(nèi)的射影。

設AB與A01所成角為0,AC與A0］所成角為仇，

則cos0=cosZBA}C-cos%，

由題意易求得BC=?A】C=2,A\B=Jj,

A,C_2

cosZBA]C=麗二77

在矩形中易求得AC與AO1所成角。2的余弦值：COS%=g

:.cosO=cosZB/AjC-cos02=—,

即A8與AO｝所成角為arccos-y。

58.已知異面直線。與b所成的角為50°,P為空間一定點，則過點P且與。，b所成的角均是30°的

直線有且只有()

A、1條B、2條C、3條D、4條

解析：過空間一點P作?！?。，b'//b,則由異面直線所成角的定義知：。與Z/的交角為50°,過P

與。，。'成等角的直線與。，b亦成等角，設。，6確定平面a,a,6交角的平分線為/,則過/且

與a垂直的平面(設為P)內(nèi)的任一直線「與a,b’成等角(證實從略)，由上述結(jié)論知：［與a,b

所成角大于或等于/與。，//所成角25°,這樣在6內(nèi)/的兩側(cè)與//成30°角的直線各有一條，共

兩條。在a,〃'相交的另一個角130°內(nèi)，同樣可以作過130°角平分線且與a垂直的平面y,由上述結(jié)

論知，y內(nèi)任一直線與a,所成角大于或等于65°,所以y內(nèi)沒有符合要求的直線，因此過P與。，

人成300的直線有且只有2條，應選(B)

59.垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是()

C屏面

解析：D

60.li、L是兩條異面直線，直線mi、nr與h、L都相交，則m1、m2的位置關(guān)系是(

解析：D

61.在正方體ABCD-A，B，CD，中，與棱AA，異面的直線共有幾條

()

解析：A

62.在正方體ABCD-A，BO中12條棱中能組成異面直線的總對數(shù)是

)

解析：B

棱AA，有4條與之異面，所以，所有棱能組成4X12=48對,但每一對都重復計算

一次，共有24對.

63..正方體ABCD-ABCD中屏面直線CD，和BC所成的角的度數(shù)是()

解析：B

ZADr=60°即為異面直線CD，和BC所成的角的度數(shù)為60°

64.異面直線a、b,a_Lb,c與a成30°角，則c與b成角的范圍是

)

A.

C2；］［工］

c.D.

，直線c在cl位置時，它與

b成角的最小值是60°

65..如圖，空間四邊形ABCD的各邊及對角線長都是1,點M在邊AB上運動、點Q在邊CD上運動,

則P、Q的最短距離為()

解析：B

當M,N分別為中點時。

因為AB,CD為異面直線，所以M,N的最短距離就是異面直線AB,CD的距離為最短。連接BN,AN則

CDJ_BN,CD_LAN且AN二BN,所以NM_LAB。同理，連接CM,MD可得MNICDo所以MN為AB,CD

/_--3172

WJBN2-BM2=--

4V-7442

的公垂線。因為AN二BN=2所以在RT4BMN中，MN=求

異面直線的距離通常利用定義來求，它包括兩個步驟:先證一條線段同時與兩異面直線相交垂直；再利

用數(shù)量關(guān)系求解。在做綜合題時往往大家只重視第二步，而忽略第一步。

66.空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點，EF=J3,則AD,BC所成的角為

()

由佳+—91

cosZEMF=211=-2

視察異

解B