高中數(shù)學(xué)考前必記公式

附錄

附錄1高中數(shù)學(xué)考前必記公式

(DCdAU8)=(CuA)n(Cu8),CMAnB)=(CuA)U(CM);

集合

(2)card(AUB)=card(4)+card(/J)-card(AAH)

已知非零向量4=(xiJi)/=(Mj2),a與b的夾角為。，則

⑴數(shù)量積:〃?b=|〃|?|/?|cos0=xiX2+yiyi.

⑵模:同=,/+后+詔\a+b\=J((z+/))z=Vcz2+2ab+b2.

平面向量(3)平行:“〃/)="=M=xiy2-X2yi=0.

(4)垂直：4_L〃oa〃=0=x|X2+yiy2=0.

(5)夾角:cos0=戢=X}X2+y}y2

(6)a在b上的投影向量為|a|cos

I切

⑴J">0.〃>0).當(dāng)日僅當(dāng)時取等號：

基本

(2)4。后5十與2m2+/),即〃〃三(若)2W手，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；

不等式

(3點(diǎn)彩(">0),當(dāng)且僅當(dāng)〃功時取等號[+氏2("<0),當(dāng)且僅當(dāng)〃=/時取等號

已知7U)的定義域?yàn)镸xigWA」，則

函數(shù)的⑴增函數(shù):)介2)]>0=久旦3>00府)是增函數(shù);

單調(diào)性"'2

(2)減函數(shù)：(即)7U2)]V0Q"^<0U73是減函數(shù)

XVX2

已知?r)的定義域關(guān)乎原點(diǎn)對稱，則

函數(shù)的

(1)偶函數(shù)：A--v)-x)：/U)=0=火工)為偶函數(shù)；

奇偶性

(2)奇函數(shù)：火火)=-yuK-x)+人幻=o=yu)為奇函數(shù)

(1求a-x)=/(〃+x)uyU)的圖象關(guān)于直線x=a軸對稱(當(dāng)"=0時*x)是偶函數(shù))；

.&a-x)=為h+x)的”)的圖象關(guān)于直線尸法軸對稱.

函數(shù)的Q求a-x)=：/(a+x)e/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(40)中心對稱(當(dāng)。=0時風(fēng)v)是奇函數(shù))；

對稱性、./Uhr)=；/(Z?+x)<=VCr)的圖象關(guān)于點(diǎn)(竽,0)中心對稱;/(q-x)+y(/>+x)=2ce/(x)的圖象

周期性關(guān)于點(diǎn)然，c)中心對稱.

(3)若/(x+a)yx+。),則危)為周期函數(shù)/x)的周期T=\b-a\.

(4)若一+。)=兆)，則。)為周期函數(shù)危)的周期T=2\a\\

若<x+a)=17則Hx)為周期函數(shù)應(yīng)丫)的周期7=2|a|;

若啟)的圖象關(guān)于直線產(chǎn)軸對稱，則貝x)是周期函數(shù)凋期7=2也切；

若段)的圖象關(guān)于點(diǎn)S,O),S,O)中心對稱，則兀r)是周期函數(shù)，周期T=2|〃-“|;

若火工)的圖象關(guān)于直線x=a軸對稱，且關(guān)于點(diǎn)S，0)中心對稱，則危)是周期函數(shù)，周

期T=4\b-a\

(1)對數(shù)恒等式:“ogaN=N(a>0且-1N>0).

(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):如果。>0且"l.A/>0,N>0,那么

對數(shù)①積的對數(shù)=log,"+logaN;②商的對數(shù):Iog?^=]og?/W-loguM

的對數(shù):10以根=川0"根〃￡陽.

(3)換底公式:log/=J^4a>0且。聲11>0且"1力>0)

(續(xù)表)

(l)C=0(C為常數(shù));

基本初等(2)(x9JnxnqnWR且，#0);

函數(shù)的(3)(sinx)-cosx,(cosx)--sinx;

導(dǎo)數(shù)公式(4)?)'=e\S)'="lna(a>0且好1);

(5)(lnx)(log^t)-；loge>0且存1)

44<(人J113

(i)i/w均(刈可a)場ax

(2)[f(x)-g(x)]-f(x)g(x)+J(x)g'(x);

導(dǎo)數(shù)運(yùn)⑶圜“鏟之(M

算法則

⑹島上焉幽聽。)；

⑸復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:4式砌｝1=JAg(x)]g'(x)

⑴平方關(guān)系:sin%+cos%=l;商的關(guān)系:1^=lana(aHAn+5,A￡Z).

⑵公式一:sin(a+A2jr)=sina(kGZ),cos(a+^-27r)=cosa(tWZ).lan(a+A?27t)=lana(kW

同角三角

Z);

函數(shù)的基

公式二:sin(7t+a)=-sin?,cos(7t+?)=-cos?.tan(n+?)=tana;

本關(guān)系式

公式三:sin(-a尸-sina,cos(-a)=cos?,tan(-a)="tana\

和誘導(dǎo)

公式四：sin(兀-a)=sina,cos(n-a)=-cos?,tan(n-?)="tan?;

公式

公式五:sin(1-a)=cosa,cosQ-tz)=sina;

公式六:sin(]+aj=cosa,cos(]+aj=-sina

兩角和與(I)公式C(?+/r):cos(?=cosacos/?-sinasin人公式C(?./):cos(?-/<)=cosacos夕+sin

差的止wsinfi\

弦、(2)公式S(?+//):sin(a+tf)=sinacos￡+cosasin0,公式Sg力:sin?/尸sin?cos^-cosasin

余弦和正優(yōu)

切公式⑶公式TE：."加黑翳，公式“岬尸含鬻黑

(1)公式S2a：sin2a=2sin?cosa;

二倍角

(2)公式C2a：cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a;

公式

(3)公式T2?:tan2a=；：；￡

asina+bcos?=Va2+b2s\n(a+(/>)\其中Q匕H0,tan</?=-,cos(p=,a,s\n(p=

a

輔助角\

公式大)

(1)正弦定理:一^7=-^=-^7=2R(R為△ABC夕卜接圓的半徑)，變形:o=2Rsin

sinxisirasine

A,h=2Rsin8,c=2RsinC;

(2)余弦定理:〃2=b2+A2/>ccosA.b2=e2+a2-2aecosB,c2=a2+b2-2(ibcosC.

解三角形

WAAb2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2

推論:cosA=F^,COS晅

(3)三角形面積公式:S=gbcsinA=gacsinB=^abs'\nC

⑴通項(xiàng)公式：4i=31)d=a,“+(〃-〃?)d〃乩N：d為公差)；

等差數(shù)列

（2）前〃項(xiàng)和公式:S”=出答=〃n+誓4

（續(xù)表）

(1)通項(xiàng)公式:an=aiqn」=amqnm(m,n￡N.M為公比);

等比數(shù)列(na^q=1),

⑵前〃項(xiàng)和公式5尸弧(1刃")_aranq(「

設(shè)。為底面周長,c'Q分別是正樓臺上、下底面的周氐〃為高“為斜高」為母線

長，為圓柱、圓錐底面圓的半徑，廠「。分別為圓臺上、下底面圓的半徑./?為球的半

多而體和

徑.

旋轉(zhuǎn)體的

⑴直棱柱:S則=（力竹S底/?;⑵正棱錐:S㈣斗力',v=gs底瓦

面積和體

(3)正棱臺>:S制=3。0+。')〃'“=35i：it+S卜我+

積公式Js上底s下底）心

(4)圓柱:S陽往他=2兀4,'/=5tt//=7cr/K

(5)圓錐:Svnw?=nrl,V=1sh=^nrh;

(6)圓臺:SMw(=7t(m+r')/,V=/S上底+S下底+Js上底S下底)力=，域+r(Z+r，2)/7；

(7)球:S『4兀R2,V=%R3

⑴兩點(diǎn)P心”1)仍(工2刈間的距離I"的|=J(%2-%1)2+(力以)2；

(2)點(diǎn)p(xojo)到直線l:Ax+By+C=O的距離-=0'；+%+埒；

距離公式RB?

和弦長(3)兩條平行線K：At+與、+G=0^11l:Ax+By+C2=0間的距離"二者竺：

公式2后

(4)直線與圓相交所得的弦長|A=2x/r2-d2;

(5)空間點(diǎn)/)而,2)12(%2?2,22)間的距離儼/2|=](丘與)2+優(yōu)必了+⑵七十

⑴平均數(shù):數(shù)據(jù)即/2,…用的平均數(shù)是%什也+…+/),；己作元

n

222

⑵標(biāo)準(zhǔn)差：S=[(Xx-X)+(X2-X)+…+(Xn-X)]；

方差：，=-[(X|-X)2+(A2-X)2+...+(X,X)2].

nr

平均數(shù)、(3)比例分配的分層隨機(jī)抽樣的均值和方差：

標(biāo)準(zhǔn)差、如果總體分為兩層，兩層包含的個體數(shù)分別為M.N,兩層抽取的樣本量分別為也〃，

方差、用兩層的樣本平均數(shù)分別為五又兩層的總體平均數(shù)分別為冗片總體平均數(shù)為質(zhì)，樣本

最小一■乘r出叫“一z777M—N—m—n——

平均數(shù)為W,那么W=7777；%+77777y=-T-%+-T-y=W.

法求經(jīng)驗(yàn)

設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為元方差為系樣本分為兩層，其中兩層的個體數(shù)量分別為

回歸方程

，〃巴兩層的平均數(shù)分別為再52,方差分別為",5女

貝反=言右+高%？=含旨3+(工五月+焉俗：+(&了)2].

n__n

X(Xi-x)(yry)zXiyrnxy_

(4)用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)I可歸方程丫=bx+a:b-------~=L^i-------T?=y-bx

￡(x-xy￡xf-nx

i=l(t=l

(續(xù)表)

(1)概率的加法公式:若事件A與事件B互斥，則P(AUB尸P(A)+P(B),

若事件A與事件B互為對立事件，則P(AUB)=1,P(A)=1-P(B);

概率

古曲概型-P(AL事件八包含的樣本點(diǎn)個數(shù)

(2)古典概型RA)-樣本空間。包含的樣本點(diǎn)個數(shù)

計數(shù)原理(1)排列數(shù)公式:用RMn-l)(n?2)...(n-m+1)=n\.(nm￡N且=nl.

(n-ni)：t

(2)組合數(shù)公式：/="小5"；「"6+1)=工；)河川中,，且

/n<?),Cg=Cg=l,C?=CSm.

(3)二項(xiàng)式定理:(。+〃)〃=(：；!。"+禺。"%+……+C；；〃(〃eN“);

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng):「r+i=，；；""〃；

各二項(xiàng)式系數(shù)和:Cg+C3+第+...+啜=2”

(1)分布列、均值、方差

離散型隨機(jī)變量X的分布列

XX|X2...Xi...Xn

Pplp2...pi...Pn

均值:E(X)=X1〃I+X2P1+...+Arp,+...+.xtlpn,E(aX+h)=aE(X)+/?;

方差：D(X)=z[Xi-E{X)Vp?D[aX^b)=crD(X).

i=i

(2)條件概率:事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為P(四田二鬻.

概率的乘法公式:P(A8)=P(5|A)P(A).

(3)相互獨(dú)立事件:事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(48)=P(A)P(8).

(4)全概率公式:

隨機(jī)變量一般地，設(shè)4工2,…/”是一組兩兩互斥的事件AUA2U...LM尸Q,且

及其分P(/t)>0,i=l,2,…簿，則對任意的事件BGQ,有P(B)=￡P(guān)(A,)P(8|A,).

i=l

布列

(5)〃重伯努利試驗(yàn):每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為秋0<〃<1),在〃重伯努利試驗(yàn)

中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為喘/(IR)M(A=O.12.?,〃).

(6)超幾何分布:假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取

〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

P(X=k)=,k=m,m+1g+2,…其中〃.M.N￡N\M<N,n<N,m=mnK{O,n-

N+M},片min{兒M}.

⑺二項(xiàng)分布:分布列為P(X=/D=Cj//(l-prk(k=O,\,2,…，記為X?B(〃M；

數(shù)學(xué)期望E(X)=〃〃,萬差O(X)=〃p(l-〃).

(8)正態(tài)分布貿(mào)入)=篇1*的圖象稱為正態(tài)密度曲線，其中直線x="為對稱軸.

若X?則E(X)=%D(X)=〃.

3b原則:①PQ-dXq戶0.6827,

翱(〃-20%+2亦0.9545,

潮（/一3日%+3亦0.9973

附錄2關(guān)注教材中的素材挖掘拓展

一、函數(shù)

三次函數(shù)與指對數(shù)混合式函數(shù)的圖象

1.對于三次函數(shù)嚴(yán)加+加+cx+d(aM),結(jié)合導(dǎo)數(shù)，我們可以確定三次函數(shù)

y=ax^+Z?%2+cx+J(a#O)單調(diào)性，從而確定其圖象，如下表所示.

而且我們可以證明..")=&/+加+以+代加)的圖象是關(guān)于點(diǎn)卷》對稱

的，且對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)是八》)二。/。)是八x)的導(dǎo)數(shù))的解.更有趣的是，若凡0有極大值與

極小值，則4?二空.

3Q2

注:我們可以進(jìn)一步推廣〃次函數(shù)的圖象的對稱性如下：

若/U)是一個〃次多項(xiàng)式，底2(因?yàn)橹本€從狹義上講沒有對稱中心而從廣義上講有無

數(shù)個對稱中心)，其n次項(xiàng)系數(shù)是的,〃-1次項(xiàng)系數(shù)是即則有：

(1)如果y=?r)的圖象是中心對稱圖形，那么其對稱中心是(-款/(-言))

(2)如果)，寸幻的圖象是軸對稱圖形，那么其對稱軸是x=/k

2.常用指對數(shù)混合式函數(shù)的圖象

(l)yrlnx的圖象如圖@該函數(shù)的極值點(diǎn)為：/《,[),該函數(shù)在(03)上單調(diào)遞減，在

6,+8)上單調(diào)遞增.)=卷的圖象如圖②圖中虛線為漸近線.k1,該函數(shù)的極值點(diǎn)為

e,P(e,e),該函數(shù)在(0,1),(1,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增.

(2)產(chǎn)號的圖象如圖③該函數(shù)的極值點(diǎn)為e,P(e.),該函數(shù)在(0,e)上單調(diào)遞增，在

(e,+8)上單調(diào)遞減.尸汨的圖象如圖④該函數(shù)的極值點(diǎn)為]P(-1，T),該函數(shù)在上

單調(diào)遞減，在(-1,+◎上單調(diào)遞增.

(3).y*的圖象如圖⑤該函數(shù)的極值點(diǎn)為1/(1*),該函數(shù)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在

(1,+8)上單調(diào)遞減的圖象如圖⑥該函數(shù)的極值點(diǎn)為1/(11),該函數(shù)在(-8,0),(0,1)上

單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞堵.

(4)關(guān)于危)=*與其他三個函數(shù)的關(guān)系:產(chǎn)十(xe用代x)j=Nnx=eEnX決n

j);>'=^=-lnx1-e,n"x).

拓展:利用,/U)fe'的圖象和性質(zhì)，借助于同構(gòu)思想構(gòu)造一些其他復(fù)雜的函數(shù)：

1)?=eG-1>。川=c"-1);

磔詈二e?曙=叨-ln(ex)];

鬻手臀T-m打

二、立體幾何

正方體的截面形狀

用一個平面去截正方體，所得截面的形狀可能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形.

I.三角形:當(dāng)平面以一定角度只截正方體的三條棱時,得到的截面是三角形，如圖，其

形狀只能是銳角三角形.

當(dāng)平面過正方體的共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)時，所得截面為正三角形;當(dāng)平面過正方體

的共頂點(diǎn)的三條棱的末端（不重合的頂點(diǎn)）時,得到的正三角形面積最大.

2.四邊形:當(dāng)平面以一定角度只截正方體的四條棱時,得到的截面是四邊形，其形狀可

以是正方形、非矩形的平行四邊形、矩形、菱形、梯形（含等腰梯形），如圖所示.

3.五邊形:當(dāng)平面以一定角度只截正方體的五條棱時,得到的截面是五邊形，但不可能

是正五邊形，如圖所示.

4.六邊形:當(dāng)平面以一定角度截正方體的六條棱時，得到的截面是六邊形，可以是正六

邊形（特別地，截面與正方體各棱的交點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)時,截面為F六邊形），如圖所示.

當(dāng)六邊形為正六邊形時，所得的截面的面積最大，可以用投影公式法證明，即用公式S,呦形

=?證明，其中。為截面與正方體底面所成的角.

cos。

三、解析幾何

丫222

1.橢圓C：2+3=lS>/?0）的焦點(diǎn)在X軸上，若48是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),

azb

是橢圓上異于A石的一點(diǎn)，直線AP的斜率存在且不為（）,則依而產(chǎn)耳，如圖①若A.B是

aL

橢圓諄+。1（〃》〉0）上的任意兩點(diǎn),是弦AB的中點(diǎn)，直線AB的斜率存在且不為0,

且回不過原點(diǎn)，則如心產(chǎn)其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖②若C是焦點(diǎn)在），軸上的橢圓,

則兩個結(jié)論改為-長若。是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則兩個結(jié)論改為《若C是焦點(diǎn)在y

軸上的雙曲線，則兩個結(jié)論改為以

b

①②

2.若尸o(xo,yo)在圓x2+)2=/(r>0)上，則在Po處的圓的切線方程是人"+)夢=/；若

22

Po(xojo)在橢圓尢+%=1(。乂>0)上，則在尸。處的橢圓的切線方程是簧+等=1；若Po(xo,和)

在雙曲線。3=13>0,/>0)上，則在R)處的雙曲線的切線方程是學(xué)爺=1;在拋物線

y2=2px(p>0)上任一點(diǎn)、Po(xo,yo)處的切線方程為yyo=p(x+xo).

22

3.直線A8過橢圓Cv：3+vR=l(a>%>())的右焦點(diǎn)F,與。交于點(diǎn)43,過分別作C

的切線交于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸在直線x=「(此直線為橢圓的?條準(zhǔn)線)上，且PF_L48;反之，點(diǎn)P

在直線尸手(此直線為橢圓的一條準(zhǔn)線)上，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線,切點(diǎn)為4A則直線

A8過橢圓的右焦點(diǎn).

四、統(tǒng)計與概率

甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能

地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求〃次傳球后球在甲手中的概率.

在概率內(nèi)容考查中，常常出現(xiàn)以數(shù)列為背景，與遞推數(shù)列有關(guān)的問題，上面的這道題就

是選擇性必修第三冊第91頁的練習(xí)題，實(shí)質(zhì)是根據(jù)題意得出遞推關(guān)系:%=〃%」+式〃可是

非零常數(shù),叱2),求通項(xiàng)