平方差和完全平方公式及經(jīng)典例題

專題一：平方差公式例1：計(jì)算下列各整式乘法。①位置變化 ②符號(hào)變化③數(shù)字變化 ④系數(shù)變化⑤項(xiàng)數(shù)變化⑥公式變化◆變式拓展訓(xùn)練◆【變式1】【變式2】 【變式3】專題二：平方差公式的應(yīng)用例2：計(jì)算的值為多少？◆變式拓展訓(xùn)練◆【變式1】 【變式2】【變式3】 【變式4】已知a、b為自然數(shù)，且，（1）求的最大值；（2）求的最大值。專題三：完全平方公式例3：計(jì)算下列各整式乘法。①位置變化： ②符號(hào)變化：③數(shù)字變化： ④方向變化：⑤項(xiàng)數(shù)變化： ⑥公式變化◆變式拓展訓(xùn)練◆【變式1】A.8 B.16 C.2 D.4【變式2】已知【變式3】已知A.1 B.13 C.17 D.25【變式4】已知專題四：完全平方公式的運(yùn)用例4：已知：，求：①； ②； ③◆變式拓展訓(xùn)練◆【變式1】【變式2】三、創(chuàng)新探究1．2.展開后得，則3.，，則的結(jié)果為4.如果，那么如果，則；．7．8.已知a=123456789，b=123456785，c=123456783，求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值．常見題型：（一）公式倍比例題：已知=4，求。(1)，則=(2)已知=(二）公式變形(1)設(shè)（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，則A=(2)若，則a為(3)如果，那么M等于(4)已知(a+b)2=m，(a—b)2=n，則ab等于(5)若，則N的代數(shù)式是（三）“知二求一”1．已知x﹣y=1，x2+y2=25，求xy的值．2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x2+y2（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．4．已知a﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b）2（2）a2﹣6ab+b2的值．（四）整體代入例1：，，求代數(shù)式的值。例2：已知a=x＋20，b=x＋19，c=x＋21，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值⑴若，則=⑵若，則=若，則=⑶已知a2＋b2=6ab且a＞b＞0，求的值為⑷已知，，，則代數(shù)式的值是．（五）楊輝三角請(qǐng)看楊輝三角（1），并觀察下列等式（2）：根據(jù)前面各式的規(guī)律，則（a+b）6=．（六）首尾互倒1．已知m2﹣6m﹣1=0，求2m2﹣6m+=．2．閱讀下列解答過程：已知：x≠0，且滿足x2﹣3x=1．求：的值．解：∵x2﹣3x=1，∴x2﹣3x﹣1=0∴，即．∴==32+2=11．請(qǐng)通過閱讀以上內(nèi)容，解答下列問題：已知a≠0，且滿足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣7，求：（1）的值；（2）的值．（七）數(shù)形結(jié)合1．如圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中的虛線剪開均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖（2）形狀拼成一個(gè)正方形．（1）你認(rèn)為圖（2）中的陰影部分的正方形邊長(zhǎng)是多少？（2）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖（2）陰影部分的面積；（3）觀察圖（2），你能寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？三個(gè)代數(shù)式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決下列問題：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．2．附加題：課本中多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘是利用平面幾何圖形的面積來表示的，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用圖1或圖2的面積來表示．（1）請(qǐng)寫出圖3圖形的面積表示的代數(shù)恒等式；（2）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它的面積能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．（八）規(guī)律探求15．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根據(jù)你的觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出8×9×10×11+1的結(jié)果（2）試猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一個(gè)數(shù)的平方，并予以證明．平方差公式的變形技巧位置變化：(a+b)(-b+a)=a2-b2符號(hào)變化：b)(-a-b)=(-b)2-a2系數(shù)變化：(3a+4b)(3a-4b)=(3a)2-(4b)2指數(shù)變化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2增因式變化：(a+b)(a-b)(-a+b)(-a-b)=(a2-b2)(a2-b2)增項(xiàng)變化：b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2公式連用變化：(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2)2-(b2)2公式逆用變化：(a+b)2-(c+d)2=(a+b+c+d)(a+b-c-d)完全平方公式的變形技巧一、符號(hào)變形例1計(jì)算解：原式＝＝＝＝二、系數(shù)變形例2計(jì)算解：原式＝＝＝三、逐步變形例3計(jì)算解：原式＝＝＝四、指數(shù)變形例4計(jì)算解：原式＝＝＝＝五、分組變形例4計(jì)算解：原式＝＝＝六、拆數(shù)變形例4計(jì)算解：原式＝＝＝＝10404七、拆項(xiàng)變形例4計(jì)算解：原式＝＝＝＝逆用變形例