數(shù)學(xué)建模中權(quán)重的確定方法市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

權(quán)重確實(shí)定方法-----建模協(xié)會(huì)第1頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)化(歸一化)極值線形模式：新數(shù)據(jù)=（原數(shù)據(jù)-極小值）/（極大值-極小值）均值標(biāo)準(zhǔn)差模式：新數(shù)據(jù)=（原數(shù)據(jù)-均值）/標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)數(shù)Logistic模式：新數(shù)據(jù)=1/（1+e^(-原數(shù)據(jù))）含糊量化模式：新數(shù)據(jù)=1/2+1/2sin[派3.1415/（極大值-極小值）*（X-（極大值-極小值）/2）]X為原數(shù)據(jù)第2頁(yè)權(quán)重權(quán)重是一個(gè)相正確概念，是針對(duì)某一指標(biāo)而言。某一指標(biāo)權(quán)重是指該指標(biāo)在整體評(píng)價(jià)中相對(duì)主要程度。自重權(quán)數(shù)：以權(quán)數(shù)作為指標(biāo)分值（或分?jǐn)?shù)），或者以權(quán)數(shù)直接作為等級(jí)分值。加重權(quán)數(shù)：在各指標(biāo)已知分值（即自重權(quán)數(shù)）前面設(shè)置權(quán)數(shù)。第3頁(yè)a.

教授咨詢權(quán)數(shù)法（特爾斐法）該法又分為平均型、極端型和緩解型。主要依據(jù)教授對(duì)指標(biāo)主要性打分來(lái)定權(quán)，主要性得分越高，權(quán)數(shù)越大。優(yōu)點(diǎn)是集中了眾多教授意見(jiàn)，缺點(diǎn)是經(jīng)過(guò)打分直接給出各指標(biāo)權(quán)重而難以保持權(quán)重合理性。第4頁(yè)

b.因子分析權(quán)數(shù)法

依據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中因子分析方法，對(duì)每個(gè)指標(biāo)計(jì)算共性因子累積貢獻(xiàn)率來(lái)定權(quán)。累積貢獻(xiàn)率越大，說(shuō)明該指標(biāo)對(duì)共性因子作用越大，所定權(quán)數(shù)也越大。第5頁(yè)c.信息量權(quán)數(shù)法依據(jù)各評(píng)價(jià)指標(biāo)包含分辨信息來(lái)確定權(quán)數(shù)。采取變異系數(shù)法，變異系數(shù)越大，所賦權(quán)數(shù)也越大。

計(jì)算各指標(biāo)變異系數(shù)，將CV作為權(quán)重分值，再經(jīng)歸一化處理，得信息量權(quán)重系數(shù)。第6頁(yè)d.獨(dú)立性權(quán)數(shù)法利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中多元回歸方法，計(jì)算復(fù)相關(guān)系數(shù)來(lái)定權(quán)，復(fù)相關(guān)系數(shù)越大，所賦權(quán)數(shù)越大。計(jì)算每項(xiàng)指標(biāo)與其它指標(biāo)復(fù)相關(guān)系數(shù)，計(jì)算公式為，

R越大，重復(fù)信息越多，權(quán)重應(yīng)越小。取復(fù)相關(guān)系數(shù)倒數(shù)作為得分，再經(jīng)歸一化處理得權(quán)重系數(shù)。第7頁(yè)e.主成份分析法一個(gè)多元分析法。它從所研究全部指標(biāo)中，經(jīng)過(guò)探討相關(guān)內(nèi)部依賴結(jié)構(gòu)，將相關(guān)主要信息集中在幾個(gè)主成份上，再現(xiàn)指標(biāo)與主成份關(guān)系，指標(biāo)Xj權(quán)數(shù)為：

wj=dj·bij∑mj=1dj·bij

其中bij為第i個(gè)主成份與第j個(gè)原因間系數(shù)，di=λi/Σλk為貢獻(xiàn)率。第8頁(yè)f.層次分析法（AHP法）層次分析法是一個(gè)多目標(biāo)多準(zhǔn)則決議方法，是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家薩迪教授基于在決議中大量原因無(wú)法定量地表示出來(lái)而又無(wú)法回避決議過(guò)程中決議者選擇和判斷所起決定作用，于20世紀(jì)70年代初提出。此法必須將評(píng)定目標(biāo)分解成一個(gè)多級(jí)指標(biāo)，對(duì)于每一層中各原因相對(duì)主要性給出判斷。它信息主要是基于人們對(duì)于每一層次中各原因相對(duì)主要性作出判斷。第9頁(yè)這種判斷經(jīng)過(guò)引入1～9比率標(biāo)度進(jìn)行定量化。該法優(yōu)點(diǎn)是綜合考慮評(píng)價(jià)指標(biāo)體系中各層原因主要程度而使各指標(biāo)權(quán)重趨于合理；缺點(diǎn)是在結(jié)構(gòu)各層原因權(quán)重判斷矩陣時(shí)，普通采取分級(jí)定量法賦值，輕易造成同一系統(tǒng)中一原因是另一原因5倍、7倍，甚至9倍，從而影響權(quán)重合理性。第10頁(yè)g.優(yōu)序圖法設(shè)n為比較對(duì)象（如方案、目標(biāo)、指標(biāo)）數(shù)目，優(yōu)序圖是一個(gè)棋盤(pán)格圖式共有n×n個(gè)空格，在進(jìn)行兩兩比較時(shí)可選擇1，0兩個(gè)基本數(shù)字來(lái)表示何者為大、為優(yōu)。“1”表示兩兩相比中相對(duì)“大”、“優(yōu)”、“主要”，而用“0”表示相對(duì)“小”、“劣”、“不主要”。以優(yōu)序圖中黑字方格為對(duì)角線，把這對(duì)角線兩邊對(duì)稱空格數(shù)字對(duì)照一番，假如對(duì)稱兩欄數(shù)字恰好一邊是1，而另一邊是0形成互補(bǔ)或者兩邊都為0.5，則表示填表數(shù)字無(wú)誤，即完成互補(bǔ)檢驗(yàn)。滿足互補(bǔ)檢驗(yàn)優(yōu)序圖各行所填各格數(shù)字橫向相加，分別與總數(shù)T（T=n(n-1)/2）相除就得到了各指標(biāo)權(quán)重。第11頁(yè)h.熵權(quán)法熵最先由申農(nóng)引入信息論，現(xiàn)已在工程技術(shù)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域得到比較廣泛應(yīng)用。其基本思緒是依據(jù)指標(biāo)變異性大小來(lái)確定客觀權(quán)重。普通來(lái)說(shuō)，某個(gè)指標(biāo)信息熵Ej越小，表明指標(biāo)值變異程度越大，提供信息量越多，在綜合評(píng)價(jià)中所起作用越大，其權(quán)重也越大。相反，某個(gè)指標(biāo)信息熵Ej越大，表明指標(biāo)值變異程度越小，提供信息量越少，在綜合評(píng)價(jià)中所起作用越小，其權(quán)重也越小。把實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)dij后，依據(jù)以下公式計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)信息熵：

Ej＝-(lnm)-1∑mi=1pijlnpij

其中m為被評(píng)價(jià)對(duì)象數(shù)目，n為評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)目，而且pij=dij∑mi=1dij，假如pij=0，則定義limpij→0pijlnpij=0。利用熵計(jì)算各指標(biāo)客觀權(quán)重公式為：wj=1-Ejn-∑nj=1Ej

j=1，2，3……n第12頁(yè)i.標(biāo)準(zhǔn)離差法標(biāo)準(zhǔn)離差法思緒與熵權(quán)法相同。通常，某個(gè)指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明指標(biāo)值變異程度越大，提供信息量越多，在綜合評(píng)價(jià)中所起作用越大，其權(quán)重也越大。相反，某個(gè)指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明指標(biāo)值變異程度越小，提供信息量越少，在綜合評(píng)價(jià)中所起作用越小，其權(quán)重也應(yīng)越小。其計(jì)算權(quán)重公式為：

wj=σj∑nj,j=1，2，3，……n第13頁(yè)j.CRITIC法該法基本思緒是確定指標(biāo)客觀權(quán)數(shù)以評(píng)價(jià)指標(biāo)間對(duì)比強(qiáng)度和沖突性為基礎(chǔ)。對(duì)比強(qiáng)度以標(biāo)準(zhǔn)差形式來(lái)表現(xiàn)，即標(biāo)準(zhǔn)差大小表明在同一指標(biāo)內(nèi)，各方案取值差距大小。標(biāo)準(zhǔn)差越大，各方案之間取值差距越大。而各指標(biāo)間沖突性是以指標(biāo)之間相關(guān)性為基礎(chǔ)。若兩個(gè)指標(biāo)之間含有較強(qiáng)正相關(guān)，說(shuō)明兩個(gè)指標(biāo)沖突性較低。第j個(gè)指標(biāo)與其它指標(biāo)沖突性量化指標(biāo)為∑nt=1(1-rij)其中rij為評(píng)價(jià)指標(biāo)t和j之間相關(guān)系數(shù)。設(shè)Cj表示第j各指標(biāo)所包含信息量，則Cj可表示為：第14頁(yè)Cj=σj∑nt=1(1-rij)

j=1，2，3，……n

Cj越大，第j個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)所包含信息量越大，該指標(biāo)相對(duì)主要性就越大。第j個(gè)指標(biāo)客觀權(quán)重Wj應(yīng)為：

wj=Cj∑nj=1Cj

j=1，2，3，……n第15頁(yè)k.非含糊數(shù)判斷矩陣法非含糊數(shù)判斷矩陣法是經(jīng)過(guò)把三角含糊數(shù)判斷矩陣轉(zhuǎn)化為非含糊數(shù)，將新矩陣調(diào)整為互反矩陣，同時(shí)對(duì)其一致性進(jìn)行檢驗(yàn)，再利用AHP法來(lái)確定權(quán)重一個(gè)方法。

設(shè)三角含糊數(shù)M1=（l1，m1，u1），M2=(l2，m2，u2)→建立單位含糊判斷矩陣→集結(jié)單位含糊判斷矩陣建立三角含糊判斷矩陣→將三角含糊數(shù)轉(zhuǎn)化為非含糊數(shù)→對(duì)互反性進(jìn)行調(diào)整利用AHP法計(jì)算即可得到評(píng)價(jià)原因權(quán)重集。

該方法以三角含糊數(shù)判斷矩陣為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)一系列數(shù)學(xué)處理轉(zhuǎn)換，得到含糊綜合評(píng)價(jià)原因權(quán)重，使確定原因權(quán)重過(guò)程中主觀判斷更符合人們思維習(xí)慣與表示方式，在一定程度上改進(jìn)了傳統(tǒng)含糊綜合評(píng)價(jià)一些缺點(diǎn)，使該方法準(zhǔn)確性和有效性得到一定提升。第16頁(yè)1.算術(shù)平均法§1教授評(píng)定統(tǒng)計(jì)法第17頁(yè)第18頁(yè)2.頻數(shù)統(tǒng)計(jì)法第19頁(yè)第20頁(yè)第21頁(yè)3.加權(quán)統(tǒng)計(jì)法加權(quán)統(tǒng)計(jì)法前兩步（1），（2）同頻數(shù)統(tǒng)計(jì)法。第22頁(yè)第23頁(yè)

層次分析是一個(gè)決議分析方法。它結(jié)合了定性分析和定量分析，并把定性分析結(jié)果量化?！?層次分析法(TheAnalyticHierarchyprocess,簡(jiǎn)稱AHP)第24頁(yè)

人們?cè)谌粘Ｉ詈凸ぷ髦校?jīng)常會(huì)碰到在各種方案中進(jìn)行選擇問(wèn)題。比如假日旅游能夠有多個(gè)旅游點(diǎn)供選擇；畢業(yè)生要選擇工作單位；工作單位選拔人才；政府機(jī)構(gòu)要作出未來(lái)發(fā)展規(guī)劃；廠長(zhǎng)要選擇未來(lái)產(chǎn)品發(fā)展方向；科研人員要選擇科研課題……

人們?cè)谶x擇時(shí)，最困難就是在眾多方案中都不是十全十美,往往這方面很好，其它方面就不十分滿意，這時(shí)，比較各方案哪一個(gè)更加好些，就成為首要問(wèn)題了。第25頁(yè)

例1某家庭預(yù)備“五·一”出游，手上有三個(gè)旅游點(diǎn)資料。u1點(diǎn)景色優(yōu)美，但u1是一個(gè)旅游熱點(diǎn)，住宿條件不十分好,費(fèi)用也較高；u2點(diǎn)交通方便,住宿條件很好，價(jià)錢也不貴，只是旅游景點(diǎn)很普通；u3點(diǎn)旅游景點(diǎn)不錯(cuò),住宿、花費(fèi)都挺好，就是交通不方便。終究選擇哪一個(gè)更加好呢？

在這個(gè)問(wèn)題中，首先有一個(gè)目標(biāo)——旅游選擇；其次是選擇方案標(biāo)準(zhǔn)——景點(diǎn)好壞、交通是否方便、費(fèi)用高低、住宿條件等；第三個(gè)是可供選擇方案。第26頁(yè)一、建立遞階層次結(jié)構(gòu)

層次分析普通把問(wèn)題分為三層，各層間關(guān)系用線連接。第一層稱為目標(biāo)層，第二層為準(zhǔn)則層，第三層叫做方案層。假如有次級(jí)標(biāo)準(zhǔn)還能夠增加次準(zhǔn)則層等。第27頁(yè)比如，上面例子遞階層次結(jié)構(gòu)為：景點(diǎn)旅游住宿費(fèi)用交通u1u2u3————目標(biāo)層————準(zhǔn)則層————方案層第28頁(yè)

為了把這種定性分析結(jié)果量化，20世紀(jì)70年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家Saaty等人首先在層次分析中引入了九級(jí)百分比標(biāo)度和兩兩比較矩陣。二、結(jié)構(gòu)兩兩比較判斷矩陣

兩個(gè)元素相互比較時(shí)，以其中一個(gè)元素作為1(如ui)，假如相對(duì)上一層,ui與uj比較,好壞相同，則uj記為1；uj比ui很好,uj記為3;uj比ui好,uj記為5；uj比ui顯著好，uj記為7;假如uj比ui好多，則uj記為9;2,4,6,8則是介于1,3,5,7,9之間情況。第29頁(yè)

把與上層某元素相關(guān)系全部下層元素逐一比較，且每一個(gè)元素與各元素比較結(jié)果排成一行則可得到一個(gè)方陣A=(aij)n×n，稱為兩兩比較矩陣。設(shè)ui與uj比為aij，則uj與ui比應(yīng)為aji=1/aij,所以兩兩比較矩陣A也稱為正互反矩陣。如例1建立層次分析模型：第30頁(yè)景點(diǎn)旅游住宿費(fèi)用交通u1u2u3第31頁(yè)

假如我們經(jīng)過(guò)判斷矩陣A1,能夠準(zhǔn)確確實(shí)定u1,u2,u3

相對(duì)“景點(diǎn)”權(quán)重,就能夠經(jīng)過(guò)對(duì)“景點(diǎn)”“住宿”“費(fèi)用”“交通”等全部考慮到原因權(quán)重,再經(jīng)過(guò)這些原因相對(duì)目標(biāo)權(quán)重,最終確定出各方案對(duì)目標(biāo)權(quán)重。第32頁(yè)三、由判斷矩陣計(jì)算元素對(duì)于上層支配元素權(quán)重（或排序）

用判斷矩陣求權(quán)重方法有很各種，下面介紹三種方法：1.和法2.最小夾角法3.特征向量法第33頁(yè)1.和法第34頁(yè)2.最小夾角法第35頁(yè)3.特征向量法第36頁(yè)但在實(shí)際問(wèn)題中極難使A滿足一致性。即使AHP并不要求判斷矩陣含有完全一致性，不過(guò)偏離一致性要求過(guò)大判斷矩陣所作出最終決議也會(huì)于實(shí)際情況偏差太大，所以有必要對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。第37頁(yè)n3456789RI0.580.901.121.241.321.411.45第38頁(yè)第39頁(yè)五、計(jì)算最底層元素對(duì)目標(biāo)權(quán)重（排序）向量在上述步驟中得到是各層元素對(duì)上層元素權(quán)重（排序）向量

，而我們目標(biāo)卻是要得到最底層元素對(duì)目標(biāo)權(quán)重（排序）向量

，這就須將已經(jīng)得到權(quán)重（排序）向量進(jìn)行合成，從而得到綜合權(quán)重（排序）向量

。以下就三層情況來(lái)介紹這種方法。第40頁(yè)第41頁(yè)第42頁(yè)第43頁(yè)最大特征值和對(duì)應(yīng)正特征向量分別為：λ=3.002，X=(5.903867500,0.8066923031,3.086293726)Tλ=3.080，X=(0.0846216595,0.4466019878,0.6734288503)Tλ=3.094，X=(0.09138978270,0.3366828382,0.4961400716)Tλ=3.065，X=(3.658853431,8.514030366,0.943422178)Tλ=4.0155,X=(9.15749285,3.529892637,3.90998156,1.8409641)T第44頁(yè)特征向量歸一化得第三層3個(gè)元素對(duì)第二層4個(gè)元素權(quán)重（排序）向量為：W1=(0.6028,0.08236,0.3151)T，W2=(0.07023,0.3706,0.5589)TW3=(0.09888,0.3643,0.5368]T，W4=[0.2791,0.6494,0.07196)T第二層4個(gè)元素對(duì)目標(biāo)權(quán)重（排序）向量為W(2)=(0.4966,0.1914,0.2120,0.0998)T第三層3個(gè)元素對(duì)元素對(duì)目標(biāo)權(quán)