若已知A(4,19),B(9,1),求x軸上點P到A,B距離和最小值

-1-已知A(4,19),B(9,1),求x軸上點P到A,B距離和最小值主要內(nèi)容：本文通過解析幾何直線性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)法，介紹已知A(4,19),B(9,1)求x軸上點P有其到A,B距離和最小值的主要步驟。?.對稱分析法根據(jù)兩點間直線距離最短，先找出其中1個點關(guān)于x軸對稱點，再與另外一個點連成直線，則直線與x軸的交點即為所求的p點?！?找關(guān)于A點對稱步驟：A(4,19)B(9,1) xP(eq\f(35,4),0)A1(4,-19)此時A關(guān)于x軸的對稱點為A1(4,-19)，此時直線A1B的斜率k1為：k1=eq\f(1-(-19),9-4)=4,則其直線方程為:y-1=4*(x-9).令y=0，代入求出x=eq\f(35,4),所以p(eq\f(35,4),0).☆.找關(guān)于B點對稱步驟：A(4,19)B(9,1) xP(eq\f(35,4),0)B1(9,-1)此時B關(guān)于x軸的對稱點為B1(9,-1)，此時直線B1A的斜率k2為：k2=eq\f(19-(-1),4-9)=-4,則其直線方程為:y-19=-4(x-4).令y=0，代入求出x=eq\f(35,4),所以p(eq\f(35,4),0).?.三角形分析法已知A(4,19),B(9,1),求x軸上點P有其到A,B距離和最小，即問題轉(zhuǎn)化為在三角形ABP中，已知邊AB的長度c=eq\r(349)為定值，求三角形另外兩邊BP和AP長度和的最小值。 P(x,0) A(4,19)B(9,1)由于三角形的兩邊和大于第三邊，即BP+AP>AB，可知當(dāng)BP與AP的夾角越接近180°時，AP+PB的值最小,設(shè)p點坐標(biāo)為P(x,0)，x∈(4,9),此時AP和PB的斜率絕對值相等。又Kap=eq\f(19,4-x)，kbp=eq\f(1,9-x)，所以：|eq\f(19,4-x)|=|eq\f(1,9-x)|，求出x=eq\f(35,4)，其中x=eq\f(167,18)(舍去)。?.光線最短路徑分析法思路：光線總是沿傳播所耗時間最短路程傳播。B(9,1)A(4,19) 90°-θθP(x,0)x所求點即為光線的入射角，光線從A點出發(fā)，在p點反射后，經(jīng)過點B,設(shè)PB與x軸的傾斜角為θ，則光線的入射角=反射角=90°-θ，此時PA的與x軸的傾斜角為180°-θ，根據(jù)斜率關(guān)系有：tanθ=kbp=eq\f(1,9-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(19,4-x),所以：1(4-x)=-19(9-x),即：x=eq\f(35,4)。?.導(dǎo)數(shù)分析法設(shè)p的坐標(biāo)為p(x,0),所求距離和為d，則：d=eq\r((x-4)2+192)+eq\r((x-9)2+12),是關(guān)于x的函數(shù)，對x求導(dǎo)有d'x=eq\f(x-4,eq\r((x-4)2+192))+eq\f(x-9,eq\r((x-9)2+12)),令d'x=0，則eq\f(x-4,eq\r((x-4)2+192))=-eq\f(x-9,eq\r((x-9)2+12)),(9-x)eq\r((x-4)2+192)=(x-4)eq\r((x-9)2+12),可知4<x<9,方程兩邊平方有:(x-4)2=1