已知A(-11,36),B(21,6),求x軸上點P有到A,B距離和最小值

-1-已知A(-11,36),B(21,6),求x軸上點P有到A,B距離和最小值主要內(nèi)容：本文通過解析幾何直線性質(zhì)、三角形三邊關系以及導數(shù)法，介紹已知A(-11,36),B(21,6)求x軸上點P有其到A,B距離和最小值的主要步驟。?.對稱分析法根據(jù)兩點間直線距離最短，先找出其中1個點關于x軸對稱點，再與另外一個點連成直線，則直線與x軸的交點即為所求的p點。☆.找關于A點對稱步驟：A(-11,36)B(21,6) xP(eq\f(115,7),0)A1(-11,-36)此時A關于x軸的對稱點為A1(-11,-36)，此時直線A1B的斜率k1為：k1=eq\f(6-(-36),21+11)=eq\f(21,16),則其直線方程為:y-6=eq\f(21,16)*(x-21).令y=0，代入求出x=eq\f(115,7),所以p(eq\f(115,7),0).☆.找關于B點對稱步驟：A(-11,36)B(21,6) xP(eq\f(115,7),0)B1(21,-6)此時B關于x軸的對稱點為B1(21,-6)，此時直線B1A的斜率k2為：k2=eq\f(36-(-6),-11-21)=-eq\f(21,16),則其直線方程為:y-36=-eq\f(21,16)(x+11).令y=0，代入求出x=eq\f(115,7),所以p(eq\f(115,7),0).?.三角形分析法已知A(-11,36),B(21,6),求x軸上點P有其到A,B距離和最小，即問題轉化為在三角形ABP中，已知邊AB的長度c=eq\r(1924)為定值，求三角形另外兩邊BP和AP長度和的最小值。 P(x,0) A(-11,36)B(21,6)由于三角形的兩邊和大于第三邊，即BP+AP>AB，可知當BP與AP的夾角越接近180°時，AP+PB的值最小,設p點坐標為P(x,0)，x∈(-11,21),此時AP和PB的斜率絕對值相等。又Kap=eq\f(36,-11-x)，kbp=eq\f(6,21-x)，所以：|eq\f(36,-11-x)|=|eq\f(6,21-x)|，求出x=eq\f(115,7)，其中x=eq\f(137,5)(舍去)。?.光線最短路徑分析法思路：光線總是沿傳播所耗時間最短路程傳播。B(21,6)A(-11,36) 90°-θθP(x,0)x所求點即為光線的入射角，光線從A點出發(fā)，在p點反射后，經(jīng)過點B,設PB與x軸的傾斜角為θ，則光線的入射角=反射角=90°-θ，此時PA的與x軸的傾斜角為180°-θ，根據(jù)斜率關系有：tanθ=kbp=eq\f(6,21-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(36,-11-x),所以：6(-11-x)=-36(21-x),即：x=eq\f(115,7)。?.導數(shù)分析法設p的坐標為p(x,0),所求距離和為d，則：d=eq\r((x+11)2+362)+eq\r((x-21)2+62),是關于x的函數(shù)，對x求導有d'x=eq\f(x+11,eq\r((x+11)2+362))+eq\f(x-21,eq\r((x-21)2+62)),令d'x=0，則eq\f(x+11,eq\r((x+11)2+362))=-eq\f(x-21,eq\r((x-21)2+62)),(21-x)eq\r((x+11)2+362)=(x+11)eq\r((x-21)2+62),可知-11<x<21,方程兩邊平方有:62(x+11)2=